第13關(guān) 以二次函數(shù)與圓的問題為背景的解答題（解析版）

第十三關(guān)：以二次函數(shù)與圓的問題為背景的解答題

L總體點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)在全國(guó)中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，同時(shí)在省級(jí)，國(guó)家級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也有二次

函數(shù)大題，很多學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大學(xué)中很多數(shù)學(xué)知識(shí)都與函數(shù)知識(shí)或

函數(shù)的思想有關(guān)，學(xué)生在初中階段函數(shù)知識(shí)和函數(shù)思維方法學(xué)得好否，直接關(guān)系到未來數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)?！皥A”

在初中階段學(xué)習(xí)占有重要位置，“垂徑定理”、“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”的判定與性質(zhì)、”直線與圓的位置關(guān)系”

的判定與性質(zhì)、“正多邊形的判定與性質(zhì)”通常是命題頻率高的知識(shí)點(diǎn).由于這部分知識(shí)的綜合性較強(qiáng),多作

為單獨(dú)的解答題出現(xiàn).如果把圓放到直角坐標(biāo)系中，同二次函數(shù)結(jié)合,則多作為區(qū)分度較高的壓軸題中出現(xiàn).

此類題目由于解題方法靈活，考查的知識(shí)點(diǎn)全面，體現(xiàn)了方程、建模、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)

學(xué)思想,得到命題者的青睞

【解題思路】二次函數(shù)與圓都是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，歷來是中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)，其本身涉及的知識(shí)

點(diǎn)就較多，綜合性和解題技巧較強(qiáng)，給解題帶來一定的困難，而將函數(shù)與圓相結(jié)合，并作為中考的壓軸題，

就更顯得復(fù)雜了.只要我們掌握解決這類問題的思路和方法，采取分而治之，各個(gè)擊破的思想，問題是會(huì)

迎刃而解的.解決二次函數(shù)與圓的問題，用到的數(shù)學(xué)思想方法有化歸思想、分類思想、數(shù)學(xué)結(jié)合思想，以

及代入法、消元法、配方法、代定系數(shù)法等。解題時(shí)要注意各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和數(shù)學(xué)思想方法、解題技

巧的靈活應(yīng)用，要抓住題意，化整為零，層層深入，各個(gè)擊破，從而達(dá)到解決問題的目的。

【典型例題】

【例1】（2019?黑龍江中考真題）如圖，拋物線y=Q/+歷:一|經(jīng)過點(diǎn)A（1,0）和點(diǎn)B（5,0）,與y軸

交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）以點(diǎn)A為圓心，作與直線BC相切的OA,請(qǐng)判斷。A與y軸有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）在直線BC上方的拋物線上任取一點(diǎn)P,連接PB、PC,請(qǐng)問：APBC的面積是否存在最大值？若存

在，求出這個(gè)值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

yt

【答案】(1)y=-1X2+2X-1；(2)相交；(3)SAPBC有最大值嶗，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為《，白

332424

【解析】

試題分析：(1)把A、B兩點(diǎn)分別代入拋物線解析可求得a和b,可求得拋物線解析式:

(2)過A作AD_LBC于點(diǎn)D,則AD為?A的半徑，由條件可證明△ABDs/\CBO,利用相似三角形的性

質(zhì)可求得AD的長(zhǎng)，可求得半徑，進(jìn)而得出答案;

(3)由待定系數(shù)法可求得直線BC解析式，過P作PQ〃y軸，交直線BC于點(diǎn)Q,交x軸于點(diǎn)E,可設(shè)出

P、Q的坐標(biāo)，可表示出APQC和APQB的面積，可表示出APBC的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其

最大值，容易求得P點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：(1)???拋物線、=。/+6%-3經(jīng)過點(diǎn)人(1,0)和點(diǎn)B(5,0),???把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得

ci—b—=0f__11《

3

5,解得：。一一5，???拋物線解析式為y=T/+2x—［；

(25a+5b-：0{b=233

(2)相交，理由：過A作AD_LBC于點(diǎn)D,如圖1,丁0A與BC相切，，AD為。A的半徑，由(1)可

知C(0,、)，且A(1,0),B(5,0),AOB=5,AB=OB-OA=4,OC=1；在RsOBC中，由勾股定理

可得BCZOJ+0B?=J?2+52=乎,VZADB=ZBOC=90°,ZABD=ZCBO,AAABD^ACBO,/.

多=9,即組=4，解得AD=半，即。A的半徑為雪，???罕>1,???0A與y軸相交；

ULDU—vA>A

33

(3)VC(0,-?,?,?可設(shè)直線BC解析式為丫=10<-/把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得k=%???直線BC的解析式

為、="一￡過P作PQ〃y軸，交直線BC于點(diǎn)Q,交x軸于點(diǎn)E,如圖2,設(shè)P(x,-*+2%一?),

則Q［x,APQ=(-1X2+2X-1)-(如一力=一梟2+亞=一女》一］+不二

SAPBC=SAPCQ+S.PBQ=；PQ?OEWPQ?BEWPQ(OE+BE)=；PQ?OB《PQ=一：-32+號(hào),.?.當(dāng)x：時(shí),SAPBC

2222262242

有最大值嶗，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為《，》，???當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為《，9時(shí)，APBC的面積有最大值.

242424

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；探究型；二次函數(shù)的最值；最值問題；存在型；壓軸題.

【例2】（2019?廣西中考真題）如圖，直線丫=1一3交工軸于點(diǎn)A,交〉軸于點(diǎn)C,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（1,0）,

拋物線y=ax2+bx+c（a工0）經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D,對(duì)稱軸與工軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E,息E

關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為尸，連接CE,以點(diǎn)尸為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)0為直線y=x-3上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）求周長(zhǎng)的最小值；

（3）若動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)。不重合，點(diǎn)。為。尸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)PQ的最大值等于時(shí)，過P,Q兩點(diǎn)的

2

直線與拋物線交于M,N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），求四邊形的面積.

【答案】（1）y=-x2+4x-3：（2）V2+V10；（3）26+；后

【解析】

【分析】

（1）直線y=x-3,令x=0,則y=?3,令y=0,則x=3,故點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為⑶0）、（0,-3）,即可求解;

（2）過點(diǎn)B作直線y=x-3的對(duì)稱點(diǎn)B\連接BD交直線y=x-3于點(diǎn)P,直線BB交函數(shù)對(duì)稱軸與點(diǎn)G,則

此時(shí)ZSBDP周長(zhǎng)=BD+PB+PD=BD+BB為最小值，即可求解；

(3)如圖2所示，連接PF并延長(zhǎng)交圓與點(diǎn)Q,此時(shí)PQ為最大值，即可求解.

【詳解】

解：(1)直線y=x-3,令x=0,則丁=-3,令y=0,則x=3,

故點(diǎn)A,C的坐標(biāo)為(3,0)、(0,-3),

則拋物線的表達(dá)式為：y=a(x-3)(x-1)=a(x2-4x+3),

則3a=-3,解得：a=-\,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+4x-3...?：

(2)過點(diǎn)B作直線y=x-3的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接8D交直線丫二工一3于點(diǎn)尸，

直線B'B交函數(shù)對(duì)稱軸與點(diǎn)G，連接AB',

則此時(shí)ABDP周長(zhǎng)=BD+PB+PD=BD+B'B為最小值，

。(2,1),則點(diǎn)G(2,—1),即：BG=EG，

即點(diǎn)G是5夕的中點(diǎn),過點(diǎn)8'(3,-2),

△BDP周長(zhǎng)豉小值=BD+B'B=亞+屈;

(3)如圖2所示，連接尸尸并延長(zhǎng)交圓9點(diǎn)Q,此時(shí)P0為最大值,

點(diǎn)點(diǎn)B,C,E,F的坐標(biāo)為(3,0),(1,0),(0,-3),(2,0),(-2,0),

則CE=9，F(xiàn)Q=；CE,

q1

則=——CE=岳,

22

設(shè)點(diǎn)P（機(jī)m一3）,點(diǎn)尸（一2,0）,

PF2=13=（/n-2）2+（/n-3）2,

解得:m=l,故點(diǎn)尸（L-2）,

將點(diǎn)P,F坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

24

直線P廠的表達(dá)式為：y=~x--...@,

33

聯(lián)立①②并解得：.J土后,

3

y”……?八…（7-5-26+2后［（7+后-26-25/34^1

故點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為：一,——,—1f―,——-——

過點(diǎn)M、N分別作x軸的垂線交于點(diǎn)S,R,

niil_《《?_26+8>/34

人」◎四邊形A8MN一?梯形MfSM-J&ARN~°A5BW-Q

【名師點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、點(diǎn)的對(duì)稱性、圖形的面積計(jì)算等，其中（3）,確定PQ

最值時(shí)，通?？紤]直線過圓心的情況，進(jìn)而求解.

【例3】（2018?青海中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是以AB為直徑的。M的內(nèi)接

四邊形，點(diǎn)A,B在x軸上，△MBC是邊長(zhǎng)為2的等邊二角形，過點(diǎn)M作直線1與x軸垂直，文0M于

（1）求過A,B,E三點(diǎn)的拋物線的解析式;

（2）求證：四邊形AMCD是菱形；

(3)請(qǐng)問在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得AABP的面積等于定值5?若存在，請(qǐng)求出所有的點(diǎn)P的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴y=J(x+1)2-2；(2)證明過程見解析；(3)(2,-),(-4,-).

222

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)題意首先求出拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)式求出函數(shù)解析式；(2)利用等邊三

角形的性質(zhì)結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)得出NAMD=NCMD=2NAMC=6O。，進(jìn)而得出DC=CM=MA=AD,即可得出

答案；(3)首先表示出AABP的面積進(jìn)而求出n的值，再代入函數(shù)關(guān)系式求出P點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：(1)由題意可知，AMBC為等邊三角形，點(diǎn)A,B,C,E均在。M上，則MA=MB=MC=ME=2,

又???CO_LMB,AMO=BO=1,AA(-3,0),B(1,0),E(-1,-2),

拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為(?1,-2),設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x+1)2?2(a#0)

把點(diǎn)B(1,0)代入廣a(x+1)2-2,解得：a=^,

故二次函數(shù)解析式為：y=i(x+1)2-2；

(2)連接DM,〈△MBC為等邊三角形，AZCMB=60°,ZAMC=120°,,點(diǎn)D平分弧AC,

:.ZAMD=ZCMD=-^ZAMC=60°,VMD=MC=MA,AAMCD,AMDA是等邊三角形，

ADC=CM=MA=AD,:.四邊形AMCD為菱形(四條邊都相等的四邊形是菱形)；

(3)存在.

理由如下：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n)VSAABP^-ABInl，AB=4A-^x4x|n|=5,即21nl=5,

解得：：當(dāng)15

n=b|,,1—(m+l)2-2=—,解此方程得：mi=2,m2=-4

4?

RR

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,^),(-4,￡),

515

當(dāng)好-另時(shí)，■—(m+l)2-2="-,此方程無解，

55

故所求點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,5)，(-4,5).

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

【方法歸納】函數(shù)知識(shí)要理解好數(shù)形結(jié)合的思想，知識(shí)點(diǎn)的掌握中要理解文字解釋和圖像之間的關(guān)系,

至于與圓、三角形、方程的綜合題，往往最后一問難度大，要建立模型、框架，完善步驟，循序漸進(jìn).

【針對(duì)練習(xí)】

1.我們不妨約定：對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”.

（1）①在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有;

②在凸四邊形ABCD中，AB=AD且CBHCD,則該四邊形“十字形”.（填“是”或“不是”）

（2）如圖1,A,B,C,D是半徑為1的。O上按逆時(shí)針方向排列的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E,N

ADB-ZCDB=ZABD-ZCBD,當(dāng)6<AC2+BD2<7時(shí)，求OE的取值范圍；

（3）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，a>0,c<0）與x軸交于

A,C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)），B是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,-ac）,記“十字形"ABCD

的面積為S,記AAOB,ACOD,AAOD,ABOC的面積分別為Si，S2>S3,S4.求同時(shí)滿足下列三個(gè)條件

的拋物線的解析式；

①陣店+醫(yī)；②向匹醫(yī)+醫(yī)；③“十字形”ABCD的周長(zhǎng)為12as.

【答案】⑴①菱形，正方形；②不是；⑵10EW號(hào)（OE>0）；⑶y=x2-9.

【解析】分析：（1）利用"十字形’'的定義判斷即可;

（2）先判斷出NADB+NCAD=NABD+/CAB,進(jìn)而判斷出NAED=NAEB=90。，即：AC_LBD,再判斷

出四邊形OMEN是矩形，進(jìn)而得出OE2=2?；（AC?十BD?）,即可得出結(jié)論；

（3）由題意得，A（毛巴o）,B（0,c）,C（多叵，o）,D（0,-ac）,求出S=|AC*BD=-1（ac+c）x在，

2a2a22a

S1=；OA?OB=-竺華2S2=；OC?OD:空衿，S3=！OAxOD二任等，S4=[OBxOC=-C（呼叫,進(jìn)而建立方程

24a242424a

J-譬+b）+=卜（：+2+卜黑？求出a=l,再求出b=0,進(jìn)而判斷出四邊形ABCD是菱形，

V4a22V4a

求出AD=3V10,進(jìn)而求出c=-9?即可得出結(jié)論.

詳解：（1）①?.?菱形，正方形的對(duì)角線互相垂直，

，菱形，正方形是：“十字形”，

???平行四邊形，矩形的對(duì)角線不一定垂直，

???平行四邊形，矩形不是“十字形”，

故答案為：菱形，正方形；

②如圖，

當(dāng)CB二CD時(shí)，在AABC和4ADC中，

AB=AD

CB=CD,

AC=AC

AAABC^AADC(SSS),

AZBAC=ZDAC,

VAB=AD,

AAC1BD,

:.當(dāng)CB/2D時(shí)，四邊形ABCD不是“十字形”,

故答案為：不是；

(2)VZADB+ZCBD=ZABD+ZCDB,ZCBD=ZCDB=ZCAB,

:.NADB+NCAD=NABD+NCAB,

A180°-^AED=180°-ZAEB.

/.ZAED=ZAEB=90°,

AAC1BD,

過點(diǎn)0作OM_LAC于M,ON_LBD于N,連接OA,OD,

AOA=OD=1,OM2=OA2-AM2,ON2=OD2-DN2,AM=iAC,DN=^BD,四邊形OMEN是矩形,

22

???ON;ME,OE2=OM2+ME2,

r.OE2=OM2+ON2=2--(AC2+BD2),

4

V6<AC2+BD2<7,

.\2-^<OE2<2-1,

號(hào)

?,亭OE岑;

(3)由題意得，Ao),B(0,c),Co),D(0,-ac),

2a2a

Va>0,c<0,

???OA冬,OBiOC塞,OD=-ac,AC號(hào)BD=-ac-c,

.?.S《AC?BD=->ac+c)x渾s4)A?OB一吟,s240c?OD―年

S3=k)AxOD=-叱+叱S4=k)BxOC=-，牛叱

???我=展+醫(yī)，遮=疝+醫(yī)，

.J-Cp/Z+b)J-c(VZ-b)J_C(y/X+b)J-c(yfX-b)

,,-薜~+2=2+-帚-'

>/4c=2?

a=l,

?.s=-cVZ,S產(chǎn)-包運(yùn)電,s卡■包叵3,

4a4a

**VS=yfSl+JS?,

,*S=Si+S2+2JS1S2,

?c氏一竿+2產(chǎn)身，

\y/b2—4c=V—4c

??b=0,

??A(G，0),B(0,c),C(xFc,0),d(0,-c),

??四邊形ABCD是菱形,

,.4AD=12V10,

\AD=3VTO,

即：AD2=90,

/AD2=C2-c>

*.c2-c=90,

??c=-9或c=10(舍),

即：y=x2-9.

【名師點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了新定義，平行四邊形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)，全

等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，求出a=l是解本題的關(guān)鍵.

2.(2019?湖南中考真題)如圖，拋物線)=以2+6公(。為常數(shù)，。>0)與x軸交于。，從兩點(diǎn)，點(diǎn)3為拋

物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為處0)(-3</<0),連接并延長(zhǎng)與過。，A,B三點(diǎn)的。尸相交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)C作。尸的切線CE交x軸于點(diǎn)E.①如圖1,求證：CE=DE;②如圖2,連接AC,BE,BO,

當(dāng)〃=,NCAE=NOBE時(shí)，求---------的值

3ODOE

【答案】(1)4(—6,0)；(2)①見解析；②--------------=—

ODOE6

【解析】

【分析】

(1)令y=0,可得ax(x+6)=0,則A點(diǎn)坐標(biāo)可求出；

(2)①連接PC,連接PB延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)M,由切線的性質(zhì)可證得NECD二/COE,則CE二DE；

②設(shè)OE二m,由CE2=OE?AE,可得m=」----由NCAE=NOBE可得殷二變，則m=—9—,綜合

6+2rBEOE-t-6

整理代入-可求出上-上的值.

tmODOE

【詳解】

(1)令o?+box=0

ax(x+6)=0

.??A(-6,0)

(2)連接PC,連接尸8延長(zhǎng)交x軸于M

???。尸過0、A、B三點(diǎn)，8為頂點(diǎn)

...PM_LOA，/PBC+/BOM=9U

又,：PC=PB

/PCB=/PBC,

???CE為切線

ZPCB+ZECD=90s

又?.?NBDP=/CDE

/ECD=/COE,

：.CE=DE,

(3)設(shè)OE=m,即E(m,0)

由切割定理：CR=OEAE

m—i}1=m?(機(jī)+6)="二-----①,

7'76+2/

vZC4E=ZCBD.

已知NCAE=NOBE,/CBO=NEBO

BDDO

由角平分線定理:

~BE~~OE

(3+^27J、吁旦②

丫(3+優(yōu))+27m-r-6

由①?得一--=―——=>z2+18/+36=0

6+2/-t-6

盧=—187—36

1____111_3r+6_1

~OD~~OE~~~t~~m~一~?~~6,

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)與圓的綜合問題，涉及二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、

切割線定理等知識(shí).把圓的知識(shí)鑲嵌其中，會(huì)靈活運(yùn)用圓的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

3.(2019?浙江中考真題)已知在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線分別交X軸和),軸于點(diǎn)4(-3,0),8(0,3).

⑴如圖I,已知。P經(jīng)過點(diǎn)O,且與直線4相切于點(diǎn)求。P的直徑長(zhǎng);

⑵如圖2,已知直線小＞=31-3分別交x軸和)軸于點(diǎn)。和點(diǎn)。，點(diǎn)。是直線6上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以。為

圓心，2行為半徑畫圓.

①當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí)，求證：直線4與OQ相切;

②設(shè)0Q與直線4相交于M,N兩點(diǎn)，連結(jié)QM,QN.問:是否存在這樣的點(diǎn)。，使得AQMN是等腰直角

【答案】(1)0P的百杼長(zhǎng)為30：(2)①加解析：②存在這樣的點(diǎn)。!(3-)5,6-30)和

02(3+0,6+3正)，使得AQMN是等接直角三角形.

【解析】

【分析】

(1)連接BC,證明^ABC為等腰直角三角形，則。P的直徑長(zhǎng)=BOAB,即可求解；

(2)過點(diǎn)C作CE_LA8于點(diǎn)E,證明CE=ACsin450=4x經(jīng)血=圓的當(dāng)徑，即可求解；

(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)。，使得AQMN是等腰直角三角形，分點(diǎn)。在線段C尸上時(shí)和點(diǎn)。在線段CF的

延長(zhǎng)線上兩種情況，分別求解即可.

【詳解】

(1)如圖3,連接BC,

圖3

VZBOC=90°,

，點(diǎn)P在BC上，

???OP與直線h相切于點(diǎn)B,

AZABC=90°,WOA=OB,

/.△ABC為等腰直角三角形，

則。P的直徑長(zhǎng)二BC=AB=3V2

(2)如圖4過點(diǎn)。作CE_LA3于點(diǎn)E，

圖4

將y=0代入y=3x-3,得X=l,

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0).

AC=4>

???ZC4E=45°,

二CE-與AC=2a

丁點(diǎn)。與點(diǎn)C重合,

又。。的半徑為20，

???直線4與。。相切.

②假設(shè)存在這樣的點(diǎn)。，使得AQMN是等腰直角三角形,

??,直線4經(jīng)過點(diǎn)A(—3,0)1(0,3),

???/的函數(shù)解析式為》=x+3.

記直線4與4的交點(diǎn)為產(chǎn)，

情況一：

如圖5,當(dāng)點(diǎn)。在線段C尸上時(shí),

由題意，得NMNQ=45。.

如圖，延長(zhǎng)N。交x軸于點(diǎn)G,

圖5

??,4Ao=45。，

???ZNGA=180°-45°-45°=90°,

即NG_Lx軸，

工點(diǎn)。與N有相同的橫坐標(biāo)，

設(shè)Q（機(jī),3加一3）,則N（m,m+3）,

QN=m+3-（3加-3）.

???。。的半徑為2&，

，機(jī)+3—（3機(jī)-3）=2^2,

解得切=3-&，

???3機(jī)—3=6-3點(diǎn)，

???Q的坐標(biāo)為（3-6-3夜）.

情況二：

當(dāng)點(diǎn)。在線段C尸的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得利=3+應(yīng)，。的坐標(biāo)為（3+企,6+3五）.

???存在這樣的點(diǎn)0(3-五,6-30)和。2(3+后,6+3&)，使得AQMN是等腰直角三角形.

【點(diǎn)睛】

本題為圓的綜合運(yùn)用題，涉及到一次函數(shù)、圓的切線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，其中(2),關(guān)鍵要確定圓的位置，分

類求解，避免遺漏.

4.(2018?山東中考真題)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為P(x,y)的動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)且與

x軸柜切于點(diǎn)B.

(1)當(dāng)x=2時(shí)，求。P的半徑；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，請(qǐng)判斷此函數(shù)圖象的形狀，并在圖②中畫出此函數(shù)的圖象；

(3)請(qǐng)類比圓的定義(圖可以看成是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合)，給(2)中所得函數(shù)圖象進(jìn)

行定義：此函數(shù)圖象可以看成是到的距離等于到的距離的所有點(diǎn)的集合.

<4)當(dāng)OP的半徑為1時(shí)，若0P與以上(2)中所得函數(shù)圖象相交于點(diǎn)C、D,其中交點(diǎn)D(m,n)在點(diǎn)

C的右側(cè)，請(qǐng)利用圖②，求cosNAPD的大小.

【答案】(1)v；(2)圖象為開口向上的拋物線，見解析；(3)點(diǎn)A；x軸；(4)75-2

4

【解析】

分析：(1)由題意得到AP=PB,求出y的值，即為圓P的半徑；

(2)利用兩點(diǎn)間的距離公式，根據(jù)AP二PB,確定出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖象即可;

(3)類比圓的定義描述此函數(shù)定義即可；

(4)畫出相應(yīng)圖形，求出m的值，進(jìn)而確定出所求角的余弦值即可.

詳解：(1)由x=2,得至ljP(2,y),

連接AP,PB,

???圓P與X軸相切，

???PBJ_x軸，即PB=y,

由AP=PB,得到J(l_2『+(2_y)2=y,

解得：y=[，

則圓p的半徑為3：

4

(2)同(1),由AP=PB,得至lj(x-1)2+(y-2)2=y2,

整理得：y=!(x-1)2+1,即圖象為開口向上的拋物線,

4

畫出函數(shù)圖象，如圖②所示；

(3)給(2)中所得函數(shù)圖象進(jìn)行定義：此函數(shù)圖象可以看成是到點(diǎn)A的距離等于到x軸的距離的所有點(diǎn)

的集合；

故答案為點(diǎn)A；x軸；

(4)連接CD,連接AP并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)F,交CD于E,

設(shè)PE=a,則有EF=a+l,ED=J1_°2,

；?D坐標(biāo)為(1+J]—々2,a+l),

代入拋物線解析式得：a+l=-(1-a2)+1,

解得：a=-2+&■或a=-2-&（舍去），即PE=-2+右,

在RIAPED中，PE=75-2,PD=I,

PE

則cos/APD二一=Jr5-2.

PD

點(diǎn)睛：此題屬于圓的綜合題，涉及的知識(shí)有：兩點(diǎn)間的距離公式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾

股定理，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

5.(2。18?江蘇中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)丫=(x-a)(x-3)(0<a<3)的圖象與x軸

交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與)軸交于點(diǎn)D,過其頂點(diǎn)C作直線CP_Lx軸，垂足為點(diǎn)P,連接

AD、BC.

(1)求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；

(2)若AAOD與ABPC相似，求a的值；

(3)點(diǎn)D、O、C、B能否在同一個(gè)圓上，若能，求出a的值，若不能，請(qǐng)說明理由.

7

【答案】(1)(1)A(a,0),B(3,0),D(0,3a).(2)a的值為一.(3)當(dāng)@二6時(shí)，D、0、C、B四點(diǎn)

共圓.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸相交，則y=0,得出A(a,0),B(3,0),與y軸相交，則x=0,

得出D(0,3a).

(2)根據(jù)(1)中A、B、D的坐標(biāo)，得出拋物線對(duì)稱軸x=@二，AO=a,OD=3a,代入求得頂點(diǎn)C(空3，

22

1),從而得PB=3--=—,PC=f—I；再分情況討論：①當(dāng)AAODs^BPC時(shí)，根據(jù)

I2)22I2)

a_3a

相似三角形性質(zhì)得3-。(3-。丫，解得：a=±3(舍去);

1a13a7

②△AODsaCPB,根據(jù)相似三角形性質(zhì)得(3-。丫3-。,解得：ai=3(舍)，a?二-；

33

(3)能；連接BD,取BD中點(diǎn)M,根據(jù)己知得D、B、O在以BD為直徑，M(-,-a)為圓心的圓上,

22

若點(diǎn)C也在此圓上，則MC二MB,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得一個(gè)關(guān)于a的方程，解之即可得出答案.

【詳解】(1)*.*y=(x-a)(x-3)(0<a<3)與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，

AA(a,0),B(3,0),

當(dāng)x=0時(shí)，y=3a,

AD(0,3a)；

(2)VA(a,0),B(3,0),D(0,3a).，對(duì)稱軸,AO=a,OD=3a,

2

%?+3葉f'3-af

當(dāng)x=——時(shí)，y=-----,

2I2)

①當(dāng)AAODsaBPC時(shí),

.AOOD

解得：a=±3（舍去）;

②△AODs^CPB,

AOOD

7

解得：ai=3(舍)，a2=—.

3

7

綜上所述：a的值為彳；

3

（3）能；連接BD,取BD中點(diǎn)M,

33

VD,B、0三點(diǎn)共圓，且BD為直徑，回心為M（-,-a）,

22

若點(diǎn)C也在此圓上，

化簡(jiǎn)得：a4-14a2+45=0,

:.（a2-5）（a2-9）=0,

a2=5或a2=9,

*,?31=\/5，32=_y/S?33=3（舍），H4=_3（舍），

V0<a<3,

??a二^5，

???當(dāng)2=石時(shí)，D、0、C、B四點(diǎn)共圓.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確進(jìn)行

分析，熟練應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.（2017?江蘇中考真題）如圖，以原點(diǎn)。為圓心，3為半徑的圓與x軸分別交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A

的右邊）,P是半徑OB上一點(diǎn)，過P且垂直于AB的直線與。O分別交于C,D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的上方），

直線AC,DB交于點(diǎn)E.若ACCE=1：2.

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求過點(diǎn)A和點(diǎn)E,且頂點(diǎn)在直線CD上的拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

y

【答案】(1)P(1,0).(2)y=2^x2-亞x-15一

848

【解析】

試題分析：(1)如圖，作EF_Ly軸于F,DC的延長(zhǎng)線交EF于H.設(shè)H(m,n),則P(m,0),PA=m+3,

arprAPi

PB=3-m.首先證明△ACPS^ECH,推出一=一=一=一，推出CH=2n,EH=2m=6,再證明ADPB

CECHHE2

-△DHE,推出竺=絲=2_=1,可得=9，求出m即可解決問題；

EHDH4n42m+64

(2)由題意設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-3)(x-5),求出E點(diǎn)坐標(biāo)代入即可解決問題.

試題解析：(1)如圖，作EFJ_y軸于F,DC的延長(zhǎng)線交EF于H.設(shè)H(m,n),則P(m,0),PA=m+3,

AAACP^AECH,

.竺_竺_竺一

??布一禱一詬一萬

ACH=2n,EH=2m=6,

VCD1AB,

APC=PD=n.

VPB/7HE,

/.△DPB^ADHE,

PB_DP_n_1

?t?,

現(xiàn)DH4口4

3一必_1

2初+64

.*.m=l,

AP(1,0).

(2)由(1)可知，PA=4,HE=8,EF=9,

連接OP,在RSOCP中，PC70c2_°p2=2&，

，CH=2PC=4&,PH=6也，

AE(9,6&),

???拋物線的對(duì)稱軸為CD,

:.(-3,0)和(5,0)在拋物線上，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-5),把E(9,6及)代人得到

a①

8

???拋物線的解析式為丫=亞(x+3)(x-5),即y=2^x2-@x-包2.

8848

考點(diǎn)：圓的綜合題.

7.(2019?山東中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=。/+8%+，與。1\1相交于人、B、C^

D四點(diǎn).其中AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0),(0,-2),點(diǎn)D在x軸上且AD為。M的直徑.點(diǎn)E是。M

與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)，過劣弧DE上的點(diǎn)F作FH_LAD于點(diǎn)H,且FH=1.5.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求出/PEF的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使/QCM是等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);

如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)(4,0),y=1(%+1)(%-4)：(2)P(2,0)；

35353325

(3)Q.(—9—),QJ(一,--)9Q?(一,?4),/?Q4(一,?—

12222252428

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,0),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式(半徑相等)可以求得m=￡,

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,0),這樣就可以根據(jù)交點(diǎn)式來求解拋物線的解析式:y=1(x+l)(x-4)=^2-1%-2；

(2)要在“軸上的找到一點(diǎn)P,使得Z1PEF的周長(zhǎng)最小，我們先來看E,F兩點(diǎn)，這是兩個(gè)定點(diǎn)，也就是說

EF的長(zhǎng)度是不變的，那實(shí)際上這個(gè)題目就是求PE+PF的最小值，這就變成了軸對(duì)稱問題中最為經(jīng)典的“放

羊問題”,要解決這一問題首先我們看圖中有沒有E或F的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)題意，顯然是有E點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B的，

那么連接BF與X軸的交點(diǎn)就是我們要求的點(diǎn)P(2,0)；

(3)首先點(diǎn)M本身就在拋物線對(duì)稱軸上，其坐標(biāo)為6，0)；點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,-2)；求Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意可設(shè)Q點(diǎn)為0,n)./QCM是等腰三角形，則可能有

三種情況，分別是QC=MC；QM=MC；QC=QM.根據(jù)這三種情況就能求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)可能是(;，±4或

(|，一月或G，一旬.

試題解析：(1)VA(-1,0),B(0,-2)

AOE=OB=2,OA=1,

TAD是。M的直徑，

.\OEOB=OAOD,

即：22=1OD,OD=4,

AD(4,0),

把A0),B(0,-2),D(4,0)代入了二扇+此+仁得:

a-b+c=0

c=-2

16a4-4b+c=0

3

2

-X

該拋物線的表達(dá)式為：y=^2

連接AF,DF,

???FHJ_AD于點(diǎn)H,AD為直徑

AAAFH^AFDH,

???E點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)0對(duì)稱，

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，連接BF交x軸于點(diǎn)P,

VA(-1,0),D(4,0),

.\AD=5,

設(shè)DH=x,則AH=5-x,

即1.52=x⑸x),

9

5x-x2=—,

4

4x2-20x+9=0,

(2x-l)(2x-9)=0,

由AH>DH,

1

ADH=-,

2

1

.\OH=OD-DH=-，

3

AF(3.5,1.5),

設(shè)直線BF的解析式為y=h+b,

則3.5k+b=l.5；b=-2,

則k=l,b=-2,

.*.y=x-2,

令y=0,貝ljx=-2,

AP(2,0)

325

-，----)

28

考點(diǎn)：二次函數(shù)與圓

8.(2019?山東中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為1的圓的圓心。在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)

軸分別交于A、B、C、。四點(diǎn).拋物線y=。/+①；+。與曠軸交于點(diǎn)。，與直線y=x交于點(diǎn)M、N,且

NC分別與圓。相切于點(diǎn)力和點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E,連結(jié)DE,并延長(zhǎng)DE交圓。于凡求EF的長(zhǎng).

(3)過點(diǎn)8作圓。的切線交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,判斷點(diǎn)P是否在拋物線上，說明理

【答案】(1)9=一'+"+1(2)噂(3)點(diǎn)P在拋物線上，理由見解析

【解析】

解：(1)???圓心0在坐標(biāo)原點(diǎn)，圓。的半徑為1,

??.點(diǎn)力、B、C、。的坐標(biāo)分別為4(一1,0)、B(0,-1),C(l,0)、0(0,1)

???拋物線與直線＞=》交于點(diǎn)M、N,且NC分別與圓。相切于點(diǎn)4和點(diǎn)C,

M(-l,-1)、N(l,1).

?.?點(diǎn)。，M.N在拋物線上，將0(0,1).A1(-1,-1).N(l,1)的坐標(biāo)代入

2

y=ax+bx+cf得：J—。+乃+’解之，得：b=1

,c=1

???拋物線的解析式為：C(l,0)、D(0,1).

(2)y=-x2+x+1=-(x2+、

二拋物線的對(duì)稱軸為“=5

又?！?在，0D=1,DB=2,

FD=竿，

：.EF=FD-DE=運(yùn)-運(yùn)=運(yùn).

5210

(3)點(diǎn)P在拋物線上.

設(shè)過D、C點(diǎn)的直線為：y=kx+b,

將點(diǎn)C(l,0)、D(0,1)的坐標(biāo)代入y=kx+b,得：k=-l,b=1,

二直線DC為：y=kx+b.

過點(diǎn)P作圓0的切線BP與P軸平行，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y=-1,

將y=-1代入y=kx+b,得：x=2.

???P點(diǎn)的坐標(biāo)為y=-1,

當(dāng)％=2時(shí)，y=-x24-x+1=-224-24-1=-1,

所以，P點(diǎn)在拋物線C(l,0).D(0,1)上.

(1)根據(jù)。O半徑為1,得出D點(diǎn)坐標(biāo)，再利用CO=1,AO=1,點(diǎn)M、N在直線y=x上，即可求出答案;

(2)先利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)果；

(3)先求出直線CD的解析式，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可以判斷點(diǎn)P是否在拋物線上.

9.(2018?山東中考真題)如圖，已知拋物線y=ax?+bx+c(a/))經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),B(-1,0),C(0,

-3).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若以點(diǎn)A為圓心的圓與直線BC相切于點(diǎn)M,求切點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以點(diǎn)B,C,Q,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若

a

【答案】(1)y=x2-2x-3；(2)M(-屋-W)；(3)存在以點(diǎn)B,C,Q.P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四

邊形，P的坐標(biāo)為(1+J7,3)或(1-",3)或(2,-3).

【解析】

【分析】

(1)把A,B,C的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a,b,c的值即可；

(2)由題意得到直線BC與直線AM垂直，求出直線BC解析式，確定出直線AM中k的值，利用待定系

數(shù)法求出直線AM解析式，聯(lián)立求出M坐標(biāo)即可；

(3)存在以點(diǎn)B,C,Q,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況，利用平移規(guī)律確定出P的坐標(biāo)即

可.

【詳解】

9a+36+c,-0

(1)把人(3,0),B(-1,0),C(0,-3)代入拋物線解析式得：，a-b+c=0,

c=-3

a=\

解得：＜力=-2,

c=-3

則該拋物線解析式為y=x2-2x-3；

(2)設(shè)直線BC解析式為丫=1^-3,

把B1?1,0)代入得：?k?3=0,即k=-3,

，直線BC解析式為y=-3x-3,

???直線AM解析式為y=1x+m,

把A(3,0)代入得：l+m=0,即m=-1,

:.直線AM解析式為y=-x-1,

y=-3x-3

聯(lián)立得：(1—

y=—x-1

I3

3

x=——

解得：，

0

y="5

36

則nlM(-丁-y);

(3)存在以點(diǎn)B,C,Q,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

分兩種情況考慮：

設(shè)Q：x,0),P(m,m2-2m-3),

當(dāng)四邊形BCQP為平行四邊形時(shí)，由B(-1,0),C(0,-3),

根據(jù)平移規(guī)律得：-l+x=0+m,0+0=-3+m2-2m-3,

解得：m=\±yf7,x=2土幣,

當(dāng)m=l+V7時(shí)，m2-2m-3=8+2后-2-2近-3=3,即PC+近，3)；

當(dāng)m=l-近時(shí)，m2-2m-3=8-277-2+277-3=3,即P（1-近，3）；

當(dāng)四邊形BCPQ為平行四邊形時(shí)，由B（?1,0）,C（0,-3）,

根據(jù)平移規(guī)律得：-l+m=0+x,0+m2-2m-3=-3+0,

解得：m=0或2,

當(dāng)m=0時(shí)，P（0,-3）（舍去）；當(dāng)m=2時(shí)，P（2,-3）,

綜上，存在以點(diǎn)B,C,Q,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，P的坐標(biāo)為（1+",3）或（1-、斤，3）

或（2,-3）.

【點(diǎn)睛】

此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)以及平移規(guī)律，

熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

10.（2018?湖南中考真題）我們不妨約定：對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”.

（1）①在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有;

②在凸四邊形AB