線代課件等多個

第二節(jié)矩陣的運算一加法三乘法四矩陣的冪九小結(jié)二數(shù)乘六方陣的行列式五矩陣的轉(zhuǎn)置七伴隨矩陣八共軛矩陣課前復(fù)習(xí)1、矩陣的定義形數(shù)表，稱為數(shù)域Ｆ中的一個ｍ×ｎ矩陣.由數(shù)域Ｆ中的ｍ×ｎ個數(shù)排成的ｍ行ｎ列的矩記作：注：實矩陣，復(fù)矩陣，行矩陣，列矩陣，方陣，方陣的行列式，兩矩陣同型，兩矩陣相等.2、幾種特殊的矩陣1）零矩陣ｍ×ｎ個元素全為零的矩陣稱為零矩陣.2）對角矩陣主對角線以外的所有元素全為零的方陣稱為對角陣.3）單位矩陣主對角線上的所有元素全為１的對角陣稱為單位陣.4）數(shù)量矩陣主對角線上的所有元素全為λ的對角陣稱為數(shù)量陣.5）三角矩陣上三角矩陣與下三角矩陣統(tǒng)稱為三角陣.6）負矩陣稱滿足下列兩個條件的矩陣為階梯形矩陣：1）若有零行（元素全為零的行），位于底部；7）階梯形矩陣2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.稱滿足下列三個條件的矩陣為行最簡形矩陣：1）行階梯形矩陣8）行最簡形矩陣2）各非零行的首非零元均為１.3）首非零元所在列其它元素均為０.稱滿足下列兩個條件的矩陣為標準形：1）左上角為單位陣；9）標準形２）其它元素均為０.一、矩陣的加法1、定義注意:只有同型矩陣才能進行加法運算.若規(guī)定2、運算規(guī)律（設(shè)ＡＢＣＯ均是同型矩陣）（1）

（交換律）（2）

（結(jié)合律）（3）（4）（5）（減法）二、數(shù)乘矩陣1、定義若規(guī)定2、運算規(guī)律（設(shè)均是矩陣，）（1）（2）（3）（4）（6）1）數(shù)乘矩陣是數(shù)λ去乘Ａ中的每一個元素.注意:（5）2）若，則矩陣的加法與數(shù)乘矩陣合稱為矩陣的線性運算.三、矩陣的乘法1、引例設(shè)甲、乙兩家公司生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種型如果生產(chǎn)這三種型號的計算機每臺的利潤(單位：萬Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ甲乙ⅠⅡⅢ那么這兩家公司的月利潤(單位：萬元)為多少?號的計算機，月產(chǎn)量（單位：臺）為元／臺)為

甲公司每月的利潤為29.1萬元，乙公司的利潤為由例題可知矩陣Ａ、Ｂ、Ｃ的元素之間有下列關(guān)系34.1萬元.依題意2、定義若規(guī)定其中注：1）條件左矩陣Ａ的列數(shù)等于右矩陣Ｂ的行數(shù)2）方法等于左矩陣的第行與右矩陣的第列對應(yīng)元素左行右列法——矩陣乘積的元素乘積的和.3）結(jié)果左行右列——左矩陣Ａ的行數(shù)為乘積Ｃ的行數(shù)，右矩陣Ｂ的列數(shù)為乘積Ｃ的列數(shù).特別：與矩陣的乘積與矩陣的乘積為為一階方陣，即一個數(shù)一個ｓ階方陣例1設(shè)解3、矩陣相乘的三大特征1、無交換律2、無消去律3、若4、運算規(guī)律（假定所有運算合法，是矩陣，）（1）（2）（3）（4）（5）注不盡相同，亦不盡相同.定義對于矩陣，若，稱與可交換.例2設(shè)，求的所有可交換矩陣.解設(shè)，于是即建立方程組得所以四、方陣的冪1、定義規(guī)定若注：1、一般矩陣的冪無意義，除了方陣.2、只能是正整數(shù).（1）（2）2、運算規(guī)律（設(shè)均是階方陣，）（4）（3）（5）（6）注：（1）（2）（7）例3設(shè)，計算解下用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想當(dāng)時，等式顯然成立.當(dāng)時，等式成立，即等式成立.所以猜想正確.要證時成立，此時有解例4設(shè)，計算.易見把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例五、矩陣的轉(zhuǎn)置1、定義2、運算規(guī)律（假定所有運算合法，是矩陣，）（1）（2）（4）（3）特別例5已知解所以而且顯然對稱矩陣的特點是：它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等.如3、對稱矩陣定義設(shè)為階方陣，若，即，那么稱為對稱矩陣.

兩個同階的對稱矩陣的和還是對稱矩陣,對稱矩陣的數(shù)乘也是對稱矩陣.但兩個對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣.特別定義設(shè)為階方陣，若，即，那么稱為反對稱矩陣.反對稱矩陣的主要特點是:主對角線上的元素為0,其余的元素關(guān)于主對角線互為相反數(shù).如

兩個同階的反對稱矩陣的和還是反對稱矩陣,反對稱矩陣的數(shù)乘也是反對稱矩陣.但兩個反對稱矩陣的乘積不一定是反對稱矩陣.特別4、反對稱矩陣證明例6設(shè)列矩陣，滿足為階單位矩陣，且，證明是對稱矩陣，且.是對稱矩陣.又

證明任一階矩陣都可表示成對稱陣與反對稱陣之和.證明所以C為對稱矩陣.所以B為反對稱矩陣.命題得證.例7設(shè)則設(shè)則六、方陣的行列式注意方陣與行列式是兩個不同的概念.1、定義由ｎ階方陣Ａ的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變）叫做方陣Ａ的行列式.記作2、運算規(guī)律（假定所有運算合法，ＡＢ是矩陣，λ∈Ｒ）（1）（2）（4）（3）注例8已知解所以易見1、定義行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成矩陣的轉(zhuǎn)置.七、伴隨矩陣稱為矩陣的伴隨矩陣.2、運算規(guī)律（假定所有運算合法，是矩陣，）（1）（2）同理可得性質(zhì)證明所以八、共軛矩陣1、定義當(dāng)為復(fù)矩陣時，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記，稱為的共軛