定西市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

定西市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.2．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.3．設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和是，若，則的通項(xiàng)公式可以是（）A. B.C. D.4．若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A. B.C. D.6．已知等差數(shù)列為其前項(xiàng)和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.137．三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD，BC的中點(diǎn)，BE，DH的交點(diǎn)為G，則的化簡(jiǎn)結(jié)果為（）A. B.C. D.8．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.9．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.10．某市2016年至2020年新能源汽車年銷量y（單位：百臺(tái)）與年份代號(hào)x的數(shù)據(jù)如下表：年份20162017201820192020年份代號(hào)x01234年銷量y1015m3035若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為，則表中m的值為（）A.22 B.20C.30 D.32.511．若圓與直線相切，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.或3C. D.或12．已知集合A=（）A. B.C.或 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若點(diǎn)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最大值為_(kāi)_______14．某次實(shí)驗(yàn)得到如下7組數(shù)據(jù)，通過(guò)判斷知道與具有線性相關(guān)性，其線性回歸方程為，則______.（參考公式：）12345676.06.26.36.46.46.76.815．已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，到直線：的距離為，則的最小值為_(kāi)_________16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若，則橢圓的離心率為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線焦點(diǎn)是，斜率為的直線l經(jīng)過(guò)F且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；（2）求線段AB的長(zhǎng)18．（12分）已知數(shù)列滿足，（1）設(shè)，求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，試說(shuō)明理由19．（12分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，首項(xiàng)，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成解答（若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）.①與直線平行；②與直線垂直；③直線l的一個(gè)方向向量為；已知直線l過(guò)點(diǎn)，且___________.（1）求直線l的一般方程；（2）若直線l與圓C：相交于M，N兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).21．（12分）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓C上位于第二象限的任一點(diǎn)，直線l是的外角平分線，過(guò)左焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為N，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)T在線段AB上，且，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為R，求面積的取值范圍.22．（10分）已知橢圓的右焦點(diǎn)是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且的最小值是1，當(dāng)垂直長(zhǎng)軸時(shí)，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與橢圓相切，且交圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由直線斜率與方向向量的關(guān)系算出斜率，然后可得.【詳解】記直線的傾斜角為，由題知，又，所以，即.故選：A2、A【解析】設(shè)，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，求得，解不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，其中.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，此時(shí)不存在；②當(dāng)時(shí)，，解得；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，此時(shí)不存在.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.3、D【解析】根據(jù)題意可得公差的范圍，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，所以，故AB錯(cuò)誤；若，則，與題意矛盾，故C錯(cuò)誤；若，則，符合題意.故選：D.4、B【解析】求得傾斜角的正切值即得【詳解】k=tan120°=.故選：B5、C【解析】，故，即，故漸近線方程為.【考點(diǎn)】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.6、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，，進(jìn)而根據(jù)條件求出，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數(shù)列，所以，又，又，聯(lián)立方程組解得：.于是，.故選：B.7、D【解析】依題意可得為的重心，由三角形重心的性質(zhì)可知，由中位線定理可知，再利用向量的加法運(yùn)算法則即可求出結(jié)果【詳解】解：依題意可得為的重心，，，分別為邊，和的中點(diǎn)，，，故選：D8、C【解析】把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，焦點(diǎn)在軸上，，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.9、C【解析】根據(jù)空間里面點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的性質(zhì)即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：C.10、B【解析】求出樣本中心的橫坐標(biāo)，代入回歸直線方程，求出樣本中心的縱坐標(biāo)，然后求解即可【詳解】因?yàn)?，代入回歸直線方程為，所以，，于是得，解得故選：B11、D【解析】利用圓心到直線的距離等于半徑可得答案.【詳解】若圓與直線相切，則到直線的距離為，所以，解得，或.故選：D.12、A【解析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧希?故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【解析】根據(jù)給定條件求出圓C的圓心C到直線l的距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線的距離，所以圓C上點(diǎn)P到直線l距離的最大值為.故答案為：714、9##【解析】求得樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入回歸直線，即可求得.詳解】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得：故，解得.故答案為：.15、3【解析】根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過(guò)焦點(diǎn)F作直線：的垂線，此時(shí)取得最小值，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過(guò)焦點(diǎn)F作直線：的垂線，此時(shí)取得最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，即的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及拋物線的最值問(wèn)題，其中解答中根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算與求解能力，屬于中檔試題.16、##【解析】由向量的數(shù)量積得，從而得，利用勾股定理和橢圓的定義可得的等式，從而求得離心率【詳解】，所以，又，所以是直角三角形，，，又，，所以，，，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為，（2）【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)可求出的值，從而求出拋物線的方程，即可得到準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)，，，，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立消去，整理得，得到根與系數(shù)的關(guān)系，由拋物線的定義可知，代入即可求出所求【小問(wèn)1詳解】解：由焦點(diǎn)，得，解得所以拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為，【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，，，直線的方程為.與拋物線方程聯(lián)立，得，消去，整理得，由拋物線定義可知，所以線段的長(zhǎng)為18、（1）；（2）存在，3【解析】(1)結(jié)合遞推關(guān)系可證得bn+1－bn1，且b1＝1，可證數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，據(jù)此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)結(jié)合通項(xiàng)公式裂項(xiàng)有求和有，再結(jié)合條件可得，即求【詳解】（1）證明：∵，又由a1＝2，得b1＝1，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以bn＝1+(n－1)×1＝n，由，得（2）解：∵，，所以，依題意，要使對(duì)于n∈N*恒成立，只需，解得m≥3或m≤-4又m＞0，所以m≥3，所以正整數(shù)m的最小值為319、（1）；（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，根據(jù)等比中項(xiàng)的概念即可求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出答案；（2）由（1）得，再根據(jù)分組求和法即可求出答案【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由已知得，，即，解得或，又，∴，∴；（2）由（1）得，【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的分組求和法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題20、（1）若選擇①②，則直線方程為：；若選擇③，則直線方程為；（2）若選擇①②，則；若選擇③，則.【解析】（1）根據(jù)所選擇的條件，結(jié)合直線過(guò)點(diǎn)，即可寫出直線的方程；（2）利用（1）中所求直線方程，以及弦長(zhǎng)公式，即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】若選①與直線平行，則直線的斜率；又其過(guò)點(diǎn)，故直線的方程為，則其一般式為；若選②與直線垂直，則直線的斜率滿足，解得；又其過(guò)點(diǎn)，故直線的方程為，則其一般式為；若選③直線l的一個(gè)方向向量為，則直線的斜率；又其過(guò)點(diǎn)，故直線的方程為，則其一般式為；綜上所述：若選擇①②，則直線方程為：；若選擇③，則直線方程為.【小問(wèn)2詳解】對(duì)圓C：，其圓心為，半徑，根據(jù)（1）中所求，若選擇①②，則直線方程為，則圓心到直線的距離，則直線截圓所得弦長(zhǎng)；若選擇③，則直線方程為，則圓心到直線的距離，則直線截圓所得弦長(zhǎng).綜上所述，若選擇①②，則；若選擇③，則.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意可得到的值，結(jié)合橢圓的離心率，即可求得b,求得答案;（2）由可得，進(jìn)一步推得，于是設(shè)直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得弦長(zhǎng)，表示出三角形AOB的面積，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求其范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中位線，，,又,故,即,，又，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】由題意可知，，,①當(dāng)過(guò)的直線與軸垂直時(shí)，，,②當(dāng)過(guò)的直線不與軸垂直時(shí)，可設(shè)，，直線方程為,聯(lián)立,可得：.,,,由弦長(zhǎng)公式可知，到距離為,故，令，則原式變?yōu)椋?，原式變?yōu)楫?dāng)時(shí)，故，由①②可知.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓相交時(shí)的三角形的面積問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，解答的關(guān)鍵是計(jì)算三角形面積時(shí)要理清運(yùn)算的思路，準(zhǔn)確計(jì)算.22、（1）；（2），.【解析】（1）由的最小值為1，得到，再由，結(jié)合，求得的值，即可求得橢圓的方程.（2）設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與橢圓相切，求得，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式，求得的面積的表示，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由題意，點(diǎn)橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且的最小值是1，得，因?yàn)楫?dāng)垂直長(zhǎng)軸時(shí)，可得，所以，即，又由，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程