河南省信陽市2025屆數學高二上期末監(jiān)測模擬試題含解析

河南省信陽市2025屆數學高二上期末監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°2．已知函數，若在處取得極值，且恒成立，則實數的最大值為（）A. B.C. D.3．某超市收銀臺排隊等候付款的人數及其相應概率如下：排隊人數01234概率0.10.16030.30.10.04則至少有兩人排隊的概率為（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.744．已知向量，，且與互相平行，則的值為（）A.-2 B.C. D.5．橢圓上一點到一個焦點的距離為，則到另一個焦點的距離是（）A. B.C. D.6．在直三棱柱中，，且，點是棱上的動點，則點到平面距離的最大值是（）A. B.C.2 D.7．內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則一定是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形8．直線被圓所截得的弦長為（）A. B.C. D.9．意大利數學家斐波那契的《算經》中記載了一個有趣的數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，這就是著名的斐波那契數列，該數列的前2022項中有（）個奇數A.1012 B.1346C.1348 D.135010．年1月初，中國多地出現散發(fā)病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陸續(xù)發(fā)出“春節(jié)期間非必要不返鄉(xiāng)”的倡議，鼓勵企事業(yè)單位職工就地過年.某市針對非本市戶籍并在本市繳納社保，且春節(jié)期間在本市過年的外來務工人員，每人發(fā)放1000元疫情專項補貼.小張是該市的一名務工人員，則“他在該市過年”是“他可領取1000元疫情專項補貼”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．在等差數列中，，且構成等比數列，則公差等于（）A.0 B.3C. D.0或312．在等差數列中，，則的公差為（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓：，：.則這兩圓的連心線方程為_________（答案寫成一般式方程）14．若正數x、y滿足，則的最小值等于________.15．圓關于直線的對稱圓的標準方程為_______16．已知數列滿足，則_____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求適合下列條件的圓錐曲線的標準方程（1）中心在原點，實軸在軸上，一個焦點在直線上的等軸雙曲線；（2）橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，且它的一個頂點恰好是拋物線的焦點；（3）經過點拋物線18．（12分）如圖，分別是橢圓C：的左，右焦點，點P在橢圓C上，軸，點A是橢圓與x軸正半軸的交點，點B是橢圓與y軸正半軸的交點，且，.（1）求橢圓C的方程；（2）已知M，N是橢圓C上的兩點，若點，，試探究點M，，N是否一定共線？說明理由.19．（12分）已知橢圓上的點到焦點的最大距離為3，離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓交于不同兩點，與軸交于點，且滿足,若，求實數的取值范圍.20．（12分）如圖，直三棱柱中，，，是棱的中點，（1）求異面直線所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值21．（12分）在復數集C內方程有六個根分別為（1）解出這六個根；（2）在復平面內，這六個根對應的點分別為A，B，C，D，E，F；求多邊形ABCDEF的面積22．（10分）求函數在區(qū)間上的最大值和最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用直線的方向向量求出其斜率，進而求出傾斜角作答.【詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B2、D【解析】根據已知在處取得極值，可得，將在恒成立，轉化為，只需求，求出最小值即可得答案【詳解】解：，，由在處取得極值，得，解得，所以，，其中，.當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，故函數在處取得極小值，，恒成立，轉化為，令，，則，，令得，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，所以，即得，故選：D3、D【解析】利用互斥事件概率計算公式直接求解【詳解】由某超市收銀臺排隊等候付款的人數及其相應概率表，得：至少有兩人排隊的概率為：故選：D【點睛】本題考查概率的求法、互斥事件概率計算公式，考查運算求解能力，是基礎題4、A【解析】應用空間向量坐標的線性運算求、的坐標，根據空間向量平行有，即可求的值.【詳解】由題設，，，∵與互相平行，∴且，則，可得.故選：A5、B【解析】利用橢圓的定義可得結果.【詳解】在橢圓中，，由橢圓的定義可知，到另一個焦點的距離是.故選：B.6、D【解析】建立空間直角坐標系，設出點的坐標，運用點到平面的距離公式，求出點到平面距離的最大值.【詳解】解：以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標第,則,,,設點,故，，.設設平面的法向量為，則即，取，則.所以點到平面距離.當，即時，距離有最大值為.故選:D.【點睛】本題考查空間內點到面的距離最值問題，屬于中檔題.7、C【解析】利用余弦定理角化邊整理可得.【詳解】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.故選：C8、A【解析】求得圓心坐標和半徑，結合點到直線的距離公式和圓的弦長公式，即可求解.【詳解】由圓的方程可知圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，所以弦長為.故選：A.9、C【解析】由斐波那契數列的前幾項分析該數列的項的奇偶規(guī)律，由此確定該數列的前2022項中的奇數的個數.【詳解】由已知可得為奇數，為奇數，為偶數，因為，所以為奇數，為奇數，為偶數，…………所以為奇數，為奇數，為偶數，又故該數列的前2022項中共有1348個奇數，故選：C.10、B【解析】根據充分條件、必要條件的定義進行判定.【詳解】只有非本市戶籍并在本市繳納社保的外來務工人員就地過年，才可領取1000元疫情專項補貼，小張是該市的一名務工人員,但他可能是本市戶籍或非本市戶籍但在本市未繳納社保，所以“他在該市過年”是“他可領取1000元疫情專項補貼”的必要不充分條件.故選：B.11、D【解析】根據，且構成等比數列，利用“”求解.【詳解】設等差數列的公差為d，因為，且構成等比數列，所以，解得，故選：D12、A【解析】根據等差數列性質可得方程組，求得公差.【詳解】等差數列中,,，由通項公式可得解得故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出兩圓的圓心坐標，再利用兩點式求出直線方程，再化成一般式即可【詳解】解：圓，即，兩圓的圓心為：和，這兩圓的連心線方程為：，即故答案為：14、9【解析】把要求的式子變形為，利用基本不等式即可得結果.【詳解】因為，所以，當且僅當時取等號，故答案為.【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數否在定義域內，二是多次用或時等號能否同時成立）.15、【解析】先將已知圓的方程化為標準形式，求得圓心坐標(2,2)和半徑2，然后可根據直線的位置直接看出(2,2)點的對稱點，進而寫出方程.【詳解】圓的標準方程為，圓心(2,2),半徑為2，圓心(2,2)關于直線的對稱點為原點,所以所求對稱圓標準方程為，故答案為：16、【解析】找到數列的規(guī)律，由此求得.【詳解】依題意，，，所以數列是以為周期的周期數列，.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）或【解析】（1）由已知求得，再由等軸雙曲線的性質可求得則，由此可求得雙曲線的方程；（2）由已知求得拋物線的焦點為，得出橢圓的，再根據橢圓的離心率求得，由此可得出橢圓的方程；（3）設拋物線的標準方程為：或，代入點求解即可.【小問1詳解】解：對于直線，令，得，所以，則，所以，所以中心在原點，實軸在軸上，一個焦點在直線上的等軸雙曲線的方程為；【小問2詳解】解：由得拋物線的焦點為，所以對于橢圓，，又橢圓的離心率為，所以，解得，所以橢圓的方程；【小問3詳解】解：因為點在第三象限，所以滿足條件的拋物線的標準方程可以是：或，代入點得或，解得或，所以經過點的拋物線的方程為或18、（1）（2）不一定共線，理由見解析【解析】（1）由橢圓定義可得a，利用∽△BOA可解；（2）考察軸時的情況，分析可知M，，N不一定共線.【小問1詳解】由題意得，，設，，代入橢圓C的方程得，，可得.可得.由，，所以∽△BOA，所以，即，可得.又，，得.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】當軸時，，設，，則由已知條件和方程，可得，整理得，，解得或.由于，所以當時，點M，，N共線；所以當時，點M，，N不共線.所以點M，，N不一定共線.19、(1)(2)，或【解析】（1）由橢圓的性質可知：，解得a和c的值，即可求得橢圓C的標準方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理求得：，，λ，根據向量的坐標坐標，（x1+1，y1）＝λ（x2+1，y2），求得，由，代入即可求得實數m的取值范圍【詳解】(1)由已知，解得，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）由已知,設，聯(lián)立方程組，消得，由韋達定理得①②因為，所以，所以③，將③代入①②，，消去得，所以.因為，所以，即，解得，所以，或.【點睛】本題考查橢圓的標準方程及簡單性質，直線與橢圓的位置關系，韋達定理，向量的坐標表示，不等式的解法，考查計算能力，屬于中檔題20、（1）（2）【解析】(1)建立空間直角坐標系,求出相關各點坐標,求出,利用向量的夾角公式求得答案;(2)求出平面平面和平面的一個法向量,利用向量夾角公式求得答案.【小問1詳解】以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,所以，所以直線所成角的余弦值為；【小問2詳解】設為平面的一個法向量，,則m?，同理,則,可取平面的一個法向量為，則,由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.21、（1）（2）【解析】（1）原式可因式分解為，令，設可求解出的兩個虛根，同