2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市六校高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省哈爾濱市六校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則（）A B.10 C. D.20〖答案〗A〖解析〗．故選：A．2.設(shè)A，B是直線l上兩點(diǎn)，則“A，B到平面a的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，則A，B兩點(diǎn)到平面的距離相等，但反之不成立，因?yàn)楫?dāng)，分別在平面a的兩側(cè)，且滿足，到平面的距離相等時(shí)，直線l與平面相交．故選：B．3.已知一組數(shù)據(jù)：55，64，92，76，88，67，76，90，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）A.90 B.88 C.82 D.76〖答案〗A〖解析〗將數(shù)據(jù)從小到大排列：55，64，67，76，76，88，90，92，又，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是.故選：A.4.在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由余弦定理得，因?yàn)?，所?故選：C.5.已知非零向量滿足，且向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，且，所以，即夾角為.故選：C.6.已知某正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正六棱柱的性質(zhì)可得為其外接球的球心（如圖），，由于底面為正六邊形，所以為等邊三角形，故，所以，所以為外接球的半徑，故外接球表面積為.故選：D.7.用2，3，4這3個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則事件“這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)”發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗將2，3，4組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的情況有，共6種，其中偶數(shù)有，共4種，所以事件“這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)”發(fā)生的概率為．故選：C．8.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，所以，由余弦定理得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以的最大值是．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A.B.復(fù)數(shù)的虛部為5C.若復(fù)數(shù)滿足，則D.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為3〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，復(fù)數(shù)的虛部為-5，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，而，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以的最大值?，故D正確.故選：AD.10.在中，角的對(duì)邊分別為，則下列對(duì)的個(gè)數(shù)的判斷正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，有兩解B.當(dāng)時(shí)，有一解C.當(dāng)時(shí)，無(wú)解D.當(dāng)時(shí)，有兩解〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，由正弦定理得，即，所以，又因?yàn)?，所以或，有兩解，故A正確；對(duì)于B，由正弦定理得，無(wú)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由正弦定理得，無(wú)解，故C正確；對(duì)于D，由正弦定理得，又，所以為銳角，此三角形只有一解，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，在直三棱柱中，，，，是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，B，D作截面交于點(diǎn)E，則（）A. B.平面平面C.平面 D.點(diǎn)到截面的距離為〖答案〗ABD〖解析〗如圖，在直三棱柱中，，平面，平面，則有平面，平面，平面平面，可得，故A正確；∵是的中點(diǎn)，，，∴，又，∴，∴，則，∴，∵，，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，故B正確；因?yàn)椋矫?，所以與平面不平行，故C錯(cuò)誤；設(shè)與交于點(diǎn)，則平面，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到截面的距離等于點(diǎn)到截面的距離，在中，，由等面積法可得，所以點(diǎn)到截面的距離為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若事件與互斥，且，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭录c互斥，且，所以.故〖答案〗為：.13.如圖，用無(wú)人機(jī)測(cè)量一座小山的海拔與該山最高處的古塔的塔高，無(wú)人機(jī)的航線與塔在同一鉛直平面內(nèi)，無(wú)人機(jī)飛行的海拔高度為，在處測(cè)得塔底（即小山的最高處）的俯角為，塔頂?shù)母┙菫?，向山頂方向沿水平線飛行到達(dá)處時(shí)，測(cè)得塔底的俯角為，則該座小山的海拔為_______；古塔的塔高為_______．〖答案〗〖解析〗如圖，在，，由正弦定理，又，所以，即，延長(zhǎng)交于，則，又無(wú)人機(jī)飛行的海拔高度為，所以該座小山的海拔為，在中，，又，由正弦定理有，得到.故〖答案〗為：.14.已知中，為上一點(diǎn)，且，垂足為，則_______．〖答案〗〖解析〗如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以直線為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，則，又，過作于，易知，所以，得到，設(shè)，則，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量．（1）若三點(diǎn)共線，求的值；（2）若四邊形為矩形，求的值．解：（1）因?yàn)?，所以，，又三點(diǎn)共線，所以，所以，解得．（2）由，若四邊形為矩形，則．即，解得，由，得解得．所以．16.如圖，在三棱錐中，是線段的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn).（1）若平面，試確定在上位置，并說明理由；（2）若，證明：.解：（1）是的中點(diǎn)，理由如下：若平面，由平面，平面平面，得.又是的中點(diǎn)，在上，∴是的中點(diǎn).（2）取的中點(diǎn)，連接，，∵，為中點(diǎn)，∴，，∵，平面，∴平面，∵平面，∴.17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，又，所以，又，所以，即，又，所以，所以，又，所?（2）由題意知，又，所以，即，在中，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍），所以的周長(zhǎng)為.18.為了估計(jì)一批產(chǎn)品的質(zhì)量狀況，現(xiàn)對(duì)100個(gè)產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合評(píng)分（滿分100分），并制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評(píng)分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品.（1）求圖中a的值，并求綜合評(píng)分的平均數(shù)；（2）用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，按分層隨機(jī)抽樣的思想，先在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取5個(gè)產(chǎn)品，再?gòu)倪@5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)產(chǎn)品記錄有關(guān)數(shù)據(jù)，求這2個(gè)產(chǎn)品中最多有1個(gè)一等品的概率；（3）已知落在的平均綜合評(píng)分是54，方差是3，落在的平均綜合評(píng)分為63，方差是3，求落在的總平均綜合評(píng)分和總方差.解：（1）由頻率和為1，得，解得；設(shè)綜合評(píng)分的平均數(shù)為，則，所以綜合評(píng)分的平均數(shù)為81.（2）由題意，抽取5個(gè)產(chǎn)品，其中一等品有3個(gè)，非一等品有2個(gè)，一等品記為a、b、c，非一等品記為D、E；從這5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)，試驗(yàn)的樣本空間，；記事件“抽取的這2個(gè)產(chǎn)品中最多有1個(gè)一等品”，則，，所以所求的概率為.（3）由題意可知：落在的頻率為，落在的頻率為，所以，.19.如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)D，E分別為棱BC，的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線DF與平面ABF所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值．解：（1）在直三棱柱中，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以．在矩形中，，，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，所以，所以是等邊三角形，又點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面．（2）在平面BCE內(nèi)，過點(diǎn)D作BF的垂線，垂足為H，如圖所示，由（1）知平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，所以是直線DF與平面ABF所成角，在中，，，所以，又點(diǎn)D為棱BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫制矫?，所以，所以，，在中，由余弦定理得，所以，即直線DF與平面ABF所成角的正弦值為．（3）在平面內(nèi)，過點(diǎn)F作AC的垂線，垂足為O，在平面ABC內(nèi)，過O作AD的垂線，垂足為G，連接FG，如圖所示，因?yàn)槠矫?，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以為二面角的平面角，在中，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又易得，，所以，由等面積法可知，在中，，，，所以，所以，即二面角的余弦值為．黑龍江省哈爾濱市六校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則（）A B.10 C. D.20〖答案〗A〖解析〗．故選：A．2.設(shè)A，B是直線l上兩點(diǎn)，則“A，B到平面a的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，則A，B兩點(diǎn)到平面的距離相等，但反之不成立，因?yàn)楫?dāng)，分別在平面a的兩側(cè)，且滿足，到平面的距離相等時(shí)，直線l與平面相交．故選：B．3.已知一組數(shù)據(jù)：55，64，92，76，88，67，76，90，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）A.90 B.88 C.82 D.76〖答案〗A〖解析〗將數(shù)據(jù)從小到大排列：55，64，67，76，76，88，90，92，又，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是.故選：A.4.在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由余弦定理得，因?yàn)?，所?故選：C.5.已知非零向量滿足，且向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，且，所以，即夾角為.故選：C.6.已知某正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正六棱柱的性質(zhì)可得為其外接球的球心（如圖），，由于底面為正六邊形，所以為等邊三角形，故，所以，所以為外接球的半徑，故外接球表面積為.故選：D.7.用2，3，4這3個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則事件“這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)”發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗將2，3，4組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的情況有，共6種，其中偶數(shù)有，共4種，所以事件“這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)”發(fā)生的概率為．故選：C．8.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，由余弦定理得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以的最大值是．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A.B.復(fù)數(shù)的虛部為5C.若復(fù)數(shù)滿足，則D.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為3〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，復(fù)數(shù)的虛部為-5，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，而，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以的最大值?，故D正確.故選：AD.10.在中，角的對(duì)邊分別為，則下列對(duì)的個(gè)數(shù)的判斷正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，有兩解B.當(dāng)時(shí)，有一解C.當(dāng)時(shí)，無(wú)解D.當(dāng)時(shí)，有兩解〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，由正弦定理得，即，所以，又因?yàn)?，所以或，有兩解，故A正確；對(duì)于B，由正弦定理得，無(wú)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由正弦定理得，無(wú)解，故C正確；對(duì)于D，由正弦定理得，又，所以為銳角，此三角形只有一解，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，在直三棱柱中，，，，是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，B，D作截面交于點(diǎn)E，則（）A. B.平面平面C.平面 D.點(diǎn)到截面的距離為〖答案〗ABD〖解析〗如圖，在直三棱柱中，，平面，平面，則有平面，平面，平面平面，可得，故A正確；∵是的中點(diǎn)，，，∴，又，∴，∴，則，∴，∵，，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，故B正確；因?yàn)椋矫?，所以與平面不平行，故C錯(cuò)誤；設(shè)與交于點(diǎn)，則平面，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到截面的距離等于點(diǎn)到截面的距離，在中，，由等面積法可得，所以點(diǎn)到截面的距離為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若事件與互斥，且，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭录c互斥，且，所以.故〖答案〗為：.13.如圖，用無(wú)人機(jī)測(cè)量一座小山的海拔與該山最高處的古塔的塔高，無(wú)人機(jī)的航線與塔在同一鉛直平面內(nèi)，無(wú)人機(jī)飛行的海拔高度為，在處測(cè)得塔底（即小山的最高處）的俯角為，塔頂?shù)母┙菫椋蛏巾敺较蜓厮骄€飛行到達(dá)處時(shí)，測(cè)得塔底的俯角為，則該座小山的海拔為_______；古塔的塔高為_______．〖答案〗〖解析〗如圖，在，，由正弦定理，又，所以，即，延長(zhǎng)交于，則，又無(wú)人機(jī)飛行的海拔高度為，所以該座小山的海拔為，在中，，又，由正弦定理有，得到.故〖答案〗為：.14.已知中，為上一點(diǎn)，且，垂足為，則_______．〖答案〗〖解析〗如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以直線為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，則，又，過作于，易知，所以，得到，設(shè)，則，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量．（1）若三點(diǎn)共線，求的值；（2）若四邊形為矩形，求的值．解：（1）因?yàn)椋?，，又三點(diǎn)共線，所以，所以，解得．（2）由，若四邊形為矩形，則．即，解得，由，得解得．所以．16.如圖，在三棱錐中，是線段的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn).（1）若平面，試確定在上位置，并說明理由；（2）若，證明：.解：（1）是的中點(diǎn)，理由如下：若平面，由平面，平面平面，得.又是的中點(diǎn)，在上，∴是的中點(diǎn).（2）取的中點(diǎn)，連接，，∵，為中點(diǎn)，∴，，∵，平面，∴平面，∵平面，∴.17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）若，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又，所以，又，所以，即，又，所以，所以，又，所?（2）由題意知，又，所以，即，在中，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍），所以的周長(zhǎng)為.18.為了估計(jì)一批產(chǎn)品的質(zhì)量狀況，現(xiàn)對(duì)100個(gè)產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合評(píng)分（滿分100分），并制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評(píng)分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品.（1）求圖中a的值，并求綜合評(píng)分的平均數(shù)；（2）用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，按分層隨機(jī)抽樣的思想，先在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取5個(gè)產(chǎn)品，再?gòu)倪@5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)產(chǎn)品記錄有關(guān)數(shù)據(jù)，求這2個(gè)產(chǎn)品中最多有1個(gè)一等品的概率；（3）已知落在的平均綜合評(píng)分是54，方差是3，落在的平均綜合評(píng)分為63，方差是3，求落