2023-2024學(xué)年湖北省襄陽市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省襄陽市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，故，?故選：C.2.已知向量，不共線，且向量與共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A.-2或-1 B.-2或1 C.-1或2 D.1或2〖答案〗B〖解析〗若向量與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，又因?yàn)橄蛄?，不共線，所以，解得或.故選：B.3.利用簡單隨機(jī)抽樣，從個個體中抽取一個容量為10的樣本.若抽完第一個個體后，余下的每個個體被抽到的機(jī)會為，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的機(jī)會為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得，故，所以每個個體被抽到的機(jī)會為.故選：D.4.《九章算術(shù)》問題十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．問積幾何（今譯：已知正四棱臺體建筑物（方亭）如圖，下底邊長丈，上底邊長丈．高丈．問它的體積是多少立方丈？（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.5.甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個，被乙、丙、丁三人搶完．若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“最佳手氣”(即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗6元分成整數(shù)元有3份，可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，第一個分法有3種，第二個分法有6種，第三個分法有1種，其中符合“最佳手氣”的有4種，故概率為．故選：D.6.水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選：B.7.已知，則的取值范圍是（）A.[0，1] B. C.[1，2] D.[0，2]〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，，所以，∴，，又，所以，又，則[0，2].故選：D.8.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，若球的表面積為，則三棱錐的側(cè)面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)球O得半徑為R，AB=x，AC=y，由4πR2=29π，得4R2=29．又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25，三棱錐A-BCD的側(cè)面積：S=S△ABD+S△ACD+S△ABC=，由x2+y2≥2xy，得xy≤，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得x+y≤5，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號，∴S≤5+=，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號，∴三棱錐A-BCD的側(cè)面積的最大值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.用一個平面去截一個幾何體，所得截面的形狀是正方形，則原來的幾何體可能是（）A.長方體 B.圓臺 C.四棱臺 D.正四面體〖答案〗ACD〖解析〗對于A：若長方體的底面為正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形狀是正方形，故A正確；對于B：圓臺的截面均不可能是正方形，故B錯誤；對于C：若四棱臺的底面是正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形狀是正方形，故C正確；對于D：如圖所示正四面體，將其放到正方體中，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，依次連接、、、，由正方體的性質(zhì)可知截面為正方形，故D正確.故選：ACD.10.疫情帶來生活方式和習(xí)慣的轉(zhuǎn)變，短視頻成為觀眾空閑時(shí)娛樂活動的首選．某電影藝術(shù)中心為了解短視頻平臺的觀眾年齡分布情況，向各大短視頻平臺的觀眾發(fā)放了線上調(diào)查問卷，共回收有效樣本份，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.圖中B.在份有效樣本中，短視頻觀眾年齡在歲的有人C.估計(jì)短視頻觀眾的平均年齡為歲D.估計(jì)短視頻觀眾年齡的分位數(shù)為歲〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，，A錯誤；對于B，由頻率分布直方圖知：短視頻觀眾年齡在歲的人對應(yīng)頻率為，短視頻觀眾年齡在歲的有人，B正確；對于C，平均年齡，C正確；對于D，設(shè)分位數(shù)為，則，解得：，D正確.故選：BCD.11.已知是等腰直角三角形，，用斜二測畫法畫出它的直觀圖，則的長可能是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗以BC為軸，畫出直觀圖，如圖2，此時(shí)，A正確；以BC為軸，則此時(shí)，則的長度范圍是，若以AB或AC為x軸，畫出直觀圖，如圖1，以AB為軸，則，此時(shí)過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)D，則，則，，由勾股定理得：，C正確；故選：AC.12.如圖，已知均為等邊三角形，分別為的中點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)．，下列說法正確的是（）A.延長交于，則B.若，則為的重心C.若，則點(diǎn)的軌跡是一條線段D.的最小值是〖答案〗ABC〖解析〗A選項(xiàng)，因?yàn)橐阎鶠榈冗吶切危謩e為的中點(diǎn)，連接CD，AE，BF，延長BE交AC于點(diǎn)M，則，所以，則，，A正確；以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，垂直AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，延長AD交BC于點(diǎn)G，延長CF交AB于點(diǎn)N，由A選項(xiàng)可知：，設(shè)邊長為1，則，則直線，直線BM：，聯(lián)立直線CN與BM，求得：，所以，直線AG：，聯(lián)立直線AG與BM，求得：，所以，聯(lián)立直線AG與CN，求得：，所以，因?yàn)椋瑒t為的重心，則，即，而的重心為，即，故為的重心，B正確；設(shè)，，結(jié)合B選項(xiàng)中建立的坐標(biāo)系，可知：，即，解得：，若，則，整理得：，因?yàn)闉閮?nèi)一點(diǎn)(含邊界)，所以點(diǎn)的軌跡是一條線段，C正確；結(jié)合C選項(xiàng)，可知，其中，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直播帶貨已成為一種新的消費(fèi)方式，據(jù)某平臺統(tǒng)計(jì)，在直播帶貨銷量中，服裝鞋帽類占，食品飲料類占，家居生活類占19%，美妝護(hù)膚類占，其他占．為了解直播帶貨各品類的質(zhì)量情況，現(xiàn)按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個容量為的樣本．已知在抽取的樣本中，服裝鞋帽類有560件，則家居生活類有_____________件.〖答案〗380〖解析〗，故家具生活類件數(shù)為.故〖答案〗為：380.14.如圖，在四面體中，，，、分別為、的中點(diǎn)，，則異面直線與所成的角是_____________．〖答案〗〖解析〗取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以且，且，所以即為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，又，，，所以，，所以，所以，所以為等腰直角三角形，所以.故〖答案〗為：.15.如圖，在Rt中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，則___________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，由題意得，即，解得，此時(shí)，得.故〖答案〗為：.16.已知，且，實(shí)數(shù)滿足，且，則的最小值是___________．〖答案〗〖解析〗在平面直角坐標(biāo)系中，令，設(shè)，則，，解得，則，依題意，不妨令，，而，則，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即且時(shí)取“=”，所以當(dāng)，，時(shí)，取得最小值.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知向量滿足．（1）若，求||的值；（2）若，求的值．解：（1）∵，∴，∴，即.（2），∴，即，．18.如圖，已知在正三棱柱中，D為棱AC的中點(diǎn)，．（1）求正三棱柱的表面積；（2）求證：直線//平面．解：（1）．（2）取和交點(diǎn)M，連DM，∵D，M分別為AC，中點(diǎn)，故．平面，DM平面．∴//平面．19.如圖，四棱錐的底面四邊形為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為線段的中點(diǎn)是的中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）求過點(diǎn)的平面截該棱錐得到兩部分的體積之比．解：（1）由題，如圖，取PC中點(diǎn)F，連接EF、DF，則EF為的中位線，故，，故四邊形ODEF為平行四邊形，故，又平面PCD，平面PCD，故平面.（2）由（1）得，過點(diǎn)的截面為平面ADEF，截出的兩部分可看作四棱錐與三棱錐組合，以及三棱錐與三棱錐組合；由是的中點(diǎn)，易得，；由是的中點(diǎn)，易得；故過點(diǎn)的平面截該棱錐得到兩部分的體積之比為.20.在①，②，③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并求解．問題：如圖，在中，角所對的邊分別為是邊上一點(diǎn)，，，若_________，（1）求角A的值；（2）求的值．解：（1）選①：由題知；選②：，因?yàn)?，，所以；選③：由正弦定理邊化角可得：，同②可得；因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，，所以由，解得，所以，所以，記，則，即，因?yàn)椋?，所以，得，所以，因?yàn)?，所以，所?21.如圖，在正六邊形中，，為上一點(diǎn)，且交于點(diǎn)（1）當(dāng)時(shí)，試用表示；（2）求的取值范圍．解：（1）由正六邊形性質(zhì)可知，，因?yàn)?，所以，所?（2）記，，則，…①，將代入①整理得，因?yàn)镕、G、H共線，所以，即，又，，，所以，將代入上式整理可得，令，則，由對勾函數(shù)可知，當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值6；當(dāng)時(shí)，取得最小值4，所以的取值范圍為.22.某校有高中生2000人，其中男女生比例約為，為了獲得該校全體高中生的身高信息，采取了以下兩種方案：方案一：采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，抽收了樣本容量為的樣本，得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖.方案二：采用分層隨機(jī)抽樣方法，抽取了男、女生樣本量均為25的樣本，計(jì)算得到男生樣本的均值為170，方差為16，女生樣本的均值為160，方差為20.身高（單位：）頻數(shù)64（1）根據(jù)圖表信息，求，并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖，估計(jì)該校高中生的身高均值；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值為代表）（2）計(jì)算方案二中總樣本的均值及方差；（3）計(jì)算兩種方案總樣本均值的差，并說明用方案二總樣本的均值作為總體均值的估計(jì)合適嗎？為什么？解：（1）因?yàn)樯砀咴趨^(qū)間的頻率為，頻數(shù)為，所以樣本容量為，，，，所以身高在的頻率為，小矩形的高為，所以身高在的頻率為，小矩形的高為，由此補(bǔ)全頻率分布直方圖：由頻率分布直方圖可知：樣本的身高均值為：，所以由樣本估計(jì)總體可知，估計(jì)該校高中生身高均值為.（2）把男生樣本記為：，其均值為，方差為，把女生樣本記為：，其均值為，方差為，總體樣本均值記為，方差記為，所以，又因?yàn)?，所以，同理可得：，所?（3）兩種方案總樣本均值的差為，所以用方案二總體樣本均值作為總體均值的估計(jì)不合適，原因是沒有進(jìn)行等比例的分層抽樣，每個個體被抽到的可能性不同，因此代表性較差.湖北省襄陽市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，故，?故選：C.2.已知向量，不共線，且向量與共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A.-2或-1 B.-2或1 C.-1或2 D.1或2〖答案〗B〖解析〗若向量與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，又因?yàn)橄蛄浚还簿€，所以，解得或.故選：B.3.利用簡單隨機(jī)抽樣，從個個體中抽取一個容量為10的樣本.若抽完第一個個體后，余下的每個個體被抽到的機(jī)會為，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的機(jī)會為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得，故，所以每個個體被抽到的機(jī)會為.故選：D.4.《九章算術(shù)》問題十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．問積幾何（今譯：已知正四棱臺體建筑物（方亭）如圖，下底邊長丈，上底邊長丈．高丈．問它的體積是多少立方丈？（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.5.甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個，被乙、丙、丁三人搶完．若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“最佳手氣”(即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗6元分成整數(shù)元有3份，可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，第一個分法有3種，第二個分法有6種，第三個分法有1種，其中符合“最佳手氣”的有4種，故概率為．故選：D.6.水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選：B.7.已知，則的取值范圍是（）A.[0，1] B. C.[1，2] D.[0，2]〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，，所以，∴，，又，所以，又，則[0，2].故選：D.8.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，若球的表面積為，則三棱錐的側(cè)面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)球O得半徑為R，AB=x，AC=y，由4πR2=29π，得4R2=29．又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25，三棱錐A-BCD的側(cè)面積：S=S△ABD+S△ACD+S△ABC=，由x2+y2≥2xy，得xy≤，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得x+y≤5，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號，∴S≤5+=，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號，∴三棱錐A-BCD的側(cè)面積的最大值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.用一個平面去截一個幾何體，所得截面的形狀是正方形，則原來的幾何體可能是（）A.長方體 B.圓臺 C.四棱臺 D.正四面體〖答案〗ACD〖解析〗對于A：若長方體的底面為正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形狀是正方形，故A正確；對于B：圓臺的截面均不可能是正方形，故B錯誤；對于C：若四棱臺的底面是正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形狀是正方形，故C正確；對于D：如圖所示正四面體，將其放到正方體中，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，依次連接、、、，由正方體的性質(zhì)可知截面為正方形，故D正確.故選：ACD.10.疫情帶來生活方式和習(xí)慣的轉(zhuǎn)變，短視頻成為觀眾空閑時(shí)娛樂活動的首選．某電影藝術(shù)中心為了解短視頻平臺的觀眾年齡分布情況，向各大短視頻平臺的觀眾發(fā)放了線上調(diào)查問卷，共回收有效樣本份，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.圖中B.在份有效樣本中，短視頻觀眾年齡在歲的有人C.估計(jì)短視頻觀眾的平均年齡為歲D.估計(jì)短視頻觀眾年齡的分位數(shù)為歲〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，，A錯誤；對于B，由頻率分布直方圖知：短視頻觀眾年齡在歲的人對應(yīng)頻率為，短視頻觀眾年齡在歲的有人，B正確；對于C，平均年齡，C正確；對于D，設(shè)分位數(shù)為，則，解得：，D正確.故選：BCD.11.已知是等腰直角三角形，，用斜二測畫法畫出它的直觀圖，則的長可能是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗以BC為軸，畫出直觀圖，如圖2，此時(shí)，A正確；以BC為軸，則此時(shí)，則的長度范圍是，若以AB或AC為x軸，畫出直觀圖，如圖1，以AB為軸，則，此時(shí)過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)D，則，則，，由勾股定理得：，C正確；故選：AC.12.如圖，已知均為等邊三角形，分別為的中點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)．，下列說法正確的是（）A.延長交于，則B.若，則為的重心C.若，則點(diǎn)的軌跡是一條線段D.的最小值是〖答案〗ABC〖解析〗A選項(xiàng)，因?yàn)橐阎鶠榈冗吶切危謩e為的中點(diǎn)，連接CD，AE，BF，延長BE交AC于點(diǎn)M，則，所以，則，，A正確；以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，垂直AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，延長AD交BC于點(diǎn)G，延長CF交AB于點(diǎn)N，由A選項(xiàng)可知：，設(shè)邊長為1，則，則直線，直線BM：，聯(lián)立直線CN與BM，求得：，所以，直線AG：，聯(lián)立直線AG與BM，求得：，所以，聯(lián)立直線AG與CN，求得：，所以，因?yàn)椋瑒t為的重心，則，即，而的重心為，即，故為的重心，B正確；設(shè)，，結(jié)合B選項(xiàng)中建立的坐標(biāo)系，可知：，即，解得：，若，則，整理得：，因?yàn)闉閮?nèi)一點(diǎn)(含邊界)，所以點(diǎn)的軌跡是一條線段，C正確；結(jié)合C選項(xiàng)，可知，其中，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直播帶貨已成為一種新的消費(fèi)方式，據(jù)某平臺統(tǒng)計(jì)，在直播帶貨銷量中，服裝鞋帽類占，食品飲料類占，家居生活類占19%，美妝護(hù)膚類占，其他占．為了解直播帶貨各品類的質(zhì)量情況，現(xiàn)按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個容量為的樣本．已知在抽取的樣本中，服裝鞋帽類有560件，則家居生活類有_____________件.〖答案〗380〖解析〗，故家具生活類件數(shù)為.故〖答案〗為：380.14.如圖，在四面體中，，，、分別為、的中點(diǎn)，，則異面直線與所成的角是_____________．〖答案〗〖解析〗取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以且，且，所以即為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，又，，，所以，，所以，所以，所以為等腰直角三角形，所以.故〖答案〗為：.15.如圖，在Rt中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，則___________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，由題意得，即，解得，此時(shí)，得.故〖答案〗為：.16.已知，且，實(shí)數(shù)滿足，且，則的最小值是___________．〖答案〗〖解析〗在平面直角坐標(biāo)系中，令，設(shè)，則，，解得，則，依題意，不妨令，，而，則，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即且時(shí)取“=”，所以當(dāng)，，時(shí)，取得最小值.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知向量滿足．（1）若，求||的值；（2）若，求的值．解：（1）∵，∴，∴，即.（2），∴，即，．18.如圖，已知在正三棱柱中，D為棱AC的中點(diǎn)，．（1）求正三棱柱的表面積；（2）求證：直線//平面．解：（1）．（2）取和交點(diǎn)M，連DM，∵D，M分別為AC，中點(diǎn)，故．平面，DM平面．∴//平面．19.如圖，四棱錐的底面四邊形為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為線段的中點(diǎn)是的中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）求過點(diǎn)的平面截該棱錐得到兩部分的體積之比．解：（1）由題，如圖，取PC中點(diǎn)F，連接EF、DF，則EF為的中位線，故，，故四邊形ODEF為平行四邊形，故，又平面PCD，平面PCD，故平面.（2）由（1）得，過點(diǎn)的截面為平面ADEF，截出的兩部分可看作四棱錐與三棱錐組合，以及三棱錐與三棱錐組合；由是的中點(diǎn)，易得，；由是的中點(diǎn)，易得；故過點(diǎn)的平面截該棱錐得到兩部分的體積之比為.20.在①，②，③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并求解．問題：如圖，在中，角所對的邊分別為是邊上一點(diǎn)