2023-2024學(xué)年江蘇省南通市如皋市高一上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市如皋市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把〖答案〗填涂在答題卡相應(yīng)位置上.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，，所以.故選：C.2.若角終點(diǎn)上一點(diǎn)，且，則（）A. B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗由題意得：點(diǎn)在角的終邊上，且，所以：，解得：，（舍），故C項(xiàng)正確.故選：C.3.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，而，所以，所以，故選：D.4.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.5.求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，即，解得，由函數(shù)表示開口向下，且對(duì)稱軸為的拋物線，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.故選：A.6.已知函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以，即在上有且只有一個(gè)實(shí)根，所以與的函數(shù)圖象在時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，由于在單調(diào)遞減，所以，即.故選：D.7.在內(nèi)函數(shù)的定義域是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)，其中有意義，則滿足，其中，即，其中，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，則（）A.1 B.10 C.11 D.1024〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槎x在上的函數(shù)，滿足，所以令，得，所以，令，得，因?yàn)?，所以，所?故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把〖答案〗填涂在答題卡相應(yīng)位置上.）9.下列代數(shù)式的值為1的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：AD.10.下列命題正確的有（）A.存在正實(shí)數(shù)，，使得B.對(duì)任意的角，都有C.是與終邊在同一條直線上的充要條件D.函數(shù)為奇函數(shù)是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，由，可得，則可以取，此時(shí)滿足題意，故A正確；對(duì)于B，對(duì)任意的角，都有，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)與終邊在同一條直線上，故充分性成立，當(dāng)與終邊同在直線上時(shí)，不存在，故必要性不成立，故是與終邊在同一條直線上的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，用替換，得到，此時(shí)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，故充分性成立，若函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，用替換，得到，此時(shí)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，故必要性成立，所以函數(shù)為奇函數(shù)是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件，故D正確.故選：AD.11.已知實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等關(guān)系一定正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，，所以，則，故A正確；對(duì)于B，正負(fù)無(wú)法確定，取，則滿足，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，故C正確；對(duì)于D，由，得，又因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ACD.12.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的最大值為2C.的增區(qū)間為D.〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)周期為，故，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，函數(shù)周期為，所以的最大值為2，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在上為偶函數(shù)，任取，且，則，因?yàn)?，且，所以，，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，根據(jù)周期性可知，的增區(qū)間為，故C正確；對(duì)于D，取，則，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．請(qǐng)把〖答案〗填寫在答題卡相應(yīng)位置上.）13.已知扇形的面積為4，半徑為2，則扇形的圓心角為__________弧度.〖答案〗2〖解析〗設(shè)扇形的圓心角為，由題意得，，解得，所以扇形的圓心角為2弧度.故〖答案〗為：2.14.已知冪函數(shù)（其中，）為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的值為_______.〖答案〗1〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，又，所以或1或2，當(dāng)或2時(shí)，定義域?yàn)椋?，此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，且，此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)，符合題意；綜上所述，.故〖答案〗為：1.15.希羅平均數(shù)（Heronianmean）是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的一種平均，若，是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，則它們的希羅平均數(shù).記，，則從小到大的關(guān)系為______.（用“≤”連接）〖答案〗〖解析〗由基本不等式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以；綜上所述，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故〖答案〗為：.16.已知，則________，若，則________.〖答案〗〖解析〗由題意，得，所以，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，得，所以，得又因?yàn)椋?，，所以?故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.）17.已知，求，的值.解：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則；綜上所述，，或，.18.已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求的〖解析〗式；（2）求方程的解集.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以任取，則，此時(shí)，所以.（2）當(dāng)時(shí)，令，即，令，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)偶函數(shù)對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，符合題意的解為，，綜上，原方程的解集為.19.（1）證明：；（2）已知，求的值.解：（1）因?yàn)?，且，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所?20.某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家節(jié)水號(hào)召，決定對(duì)污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來(lái)水的使用量.經(jīng)測(cè)算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設(shè)備.這種凈水設(shè)備的購(gòu)置費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與設(shè)備的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2.預(yù)計(jì)安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與設(shè)備占地面積之間的函數(shù)關(guān)系為.將該企業(yè)的凈水設(shè)備購(gòu)置費(fèi)與安裝后4年需繳水費(fèi)之和合計(jì)為（單位：萬(wàn)元）.（1）要使不超過7.2萬(wàn)元，求設(shè)備占地面積的取值范圍；（2）設(shè)備占地面積為多少時(shí)，的值最??？解：（1）由題意得，要滿足題意，則，即，解得：.即設(shè)備占地面積的取值范圍為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以設(shè)備占地面積為時(shí)，的值最小.21.已知函數(shù)（其中），且.（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）解不等式：.解：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：因?yàn)?，所以，所以，任取，且，則，因?yàn)?，且，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.（2）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以不等式，即，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，，所以，即，則，則，所以或，即不等式的解集為.22.已知函數(shù)，.（1）求的最大值；（2）若對(duì)任意，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得的最大值.（2）因?yàn)閷?duì)任意，，不等式恒成立，且，所以對(duì)任意，恒成立，由題意得，，令，則不等式可化為，即對(duì)任意恒成立，令，則函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸，當(dāng)，即時(shí)，，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，即，不等式無(wú)解，該情況舍去；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，解得，不符合題意，該情況舍去.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.江蘇省南通市如皋市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把〖答案〗填涂在答題卡相應(yīng)位置上.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，，所以.故選：C.2.若角終點(diǎn)上一點(diǎn)，且，則（）A. B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗由題意得：點(diǎn)在角的終邊上，且，所以：，解得：，（舍），故C項(xiàng)正確.故選：C.3.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，而，所以，所以，故選：D.4.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.5.求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，即，解得，由函數(shù)表示開口向下，且對(duì)稱軸為的拋物線，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.故選：A.6.已知函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以，即在上有且只有一個(gè)實(shí)根，所以與的函數(shù)圖象在時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，由于在單調(diào)遞減，所以，即.故選：D.7.在內(nèi)函數(shù)的定義域是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)，其中有意義，則滿足，其中，即，其中，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，則（）A.1 B.10 C.11 D.1024〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槎x在上的函數(shù)，滿足，所以令，得，所以，令，得，因?yàn)?，所以，所?故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把〖答案〗填涂在答題卡相應(yīng)位置上.）9.下列代數(shù)式的值為1的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：AD.10.下列命題正確的有（）A.存在正實(shí)數(shù)，，使得B.對(duì)任意的角，都有C.是與終邊在同一條直線上的充要條件D.函數(shù)為奇函數(shù)是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，由，可得，則可以取，此時(shí)滿足題意，故A正確；對(duì)于B，對(duì)任意的角，都有，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)與終邊在同一條直線上，故充分性成立，當(dāng)與終邊同在直線上時(shí)，不存在，故必要性不成立，故是與終邊在同一條直線上的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，用替換，得到，此時(shí)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，故充分性成立，若函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，用替換，得到，此時(shí)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，故必要性成立，所以函數(shù)為奇函數(shù)是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件，故D正確.故選：AD.11.已知實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等關(guān)系一定正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，，所以，則，故A正確；對(duì)于B，正負(fù)無(wú)法確定，取，則滿足，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，故C正確；對(duì)于D，由，得，又因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ACD.12.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的最大值為2C.的增區(qū)間為D.〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)周期為，故，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，函數(shù)周期為，所以的最大值為2，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在上為偶函數(shù)，任取，且，則，因?yàn)?，且，所以，，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，根據(jù)周期性可知，的增區(qū)間為，故C正確；對(duì)于D，取，則，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．請(qǐng)把〖答案〗填寫在答題卡相應(yīng)位置上.）13.已知扇形的面積為4，半徑為2，則扇形的圓心角為__________弧度.〖答案〗2〖解析〗設(shè)扇形的圓心角為，由題意得，，解得，所以扇形的圓心角為2弧度.故〖答案〗為：2.14.已知冪函數(shù)（其中，）為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的值為_______.〖答案〗1〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，又，所以或1或2，當(dāng)或2時(shí)，定義域?yàn)?，且，此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，且，此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)，符合題意；綜上所述，.故〖答案〗為：1.15.希羅平均數(shù)（Heronianmean）是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的一種平均，若，是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，則它們的希羅平均數(shù).記，，則從小到大的關(guān)系為______.（用“≤”連接）〖答案〗〖解析〗由基本不等式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以；綜上所述，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故〖答案〗為：.16.已知，則________，若，則________.〖答案〗〖解析〗由題意，得，所以，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，得，所以，得又因?yàn)?，所以，，所以?故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.）17.已知，求，的值.解：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則；綜上所述，，或，.18.已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求的〖解析〗式；（2）求方程的解集.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以任取，則，此時(shí)，所以.（2）當(dāng)時(shí)，令，即，令，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)偶函數(shù)對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，符合題意的解為，，綜上，原方程的解集為.19.（1）證明：；（2）已知，求的值.解：（1）因?yàn)椋?，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?20.某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家節(jié)水號(hào)召，決定對(duì)污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來(lái)水的使用量.經(jīng)測(cè)算，企業(yè)擬安裝一種使用