2023-2024學(xué)年四川省成都市成華區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市成華區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B.2 C. D.1〖答案〗C〖解析〗，運(yùn)用純虛數(shù)概念，知，解得.故選：C.2.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)k等于（）A. B.4 C.0 D.〖答案〗A〖解析〗由向量，，可得，由，得.故選：A.3.已知m，n是兩條不同直線，，，是三個(gè)不同平面，則下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，若，則可以是平行，可以相交，也可以異面，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，若，則還可以平行，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)，可得，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，若，則還可以相交，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.4.如圖，在正方體中，點(diǎn)M，N分別為線段AC和線段的中點(diǎn)，求直線MN與平面所成角為（）A.60° B.45° C.30° D.75°〖答案〗B〖解析〗如圖，取的中點(diǎn)，連接，因是的中點(diǎn)，故，又因正方體中，平面，故平面，即是在平面上的射影，故即直線MN與平面所成角，因是的中點(diǎn)，故，易得，即直線MN與平面所成角為.故選：B.5.已知，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.6.設(shè)，為單位向量，在方向上的投影向量為，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋瑸閱挝幌蛄浚?，又在方向上的投影向量為，所以，所?故選：D.7.筒車(chē)亦稱(chēng)“水轉(zhuǎn)筒車(chē)”，一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具，如圖是某公園的筒車(chē)，假設(shè)在水流穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針?lè)较騽蛩賵A周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)有一半徑為2米的筒車(chē)，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，筒車(chē)上一盛水筒距離水面的高度（單位：米，記水筒在水面上方時(shí)高度為正值，在水面下方時(shí)高度為負(fù)值）與轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系式，，且時(shí)，盛水筒位于水面上方米處，當(dāng)筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)到第秒時(shí)，盛水筒距離水面的高度為（）米．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意可得，即，又，所以，所以，則當(dāng)時(shí)，即當(dāng)筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)到第秒時(shí)，盛水筒距離水面的高度為米.故選：B.8.已知角，滿足，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，因，代入可得，，則.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列命題正確的是（）A.B.為純虛數(shù)C.D.〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)，則，故，A正確；，當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)，B錯(cuò)誤；，則，C正確；，，故，則，D正確.故選：ACD.10.函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.是奇函數(shù)D.若在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〖答案〗BD〖解析〗，由圖知函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則得，解得，即，因，故得，，則有.對(duì)于A，因的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因時(shí)，，此時(shí)函數(shù)取到最大值，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，即B正確；對(duì)于C，，顯然這是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，作出在上的圖象如圖.依題意，需使，即，故D正確.故選：BD.11.設(shè)點(diǎn)D是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則D是BC邊上靠近B的三等分點(diǎn)B.若，（且），則直線AD經(jīng)過(guò)的垂心C.若，且x，，，則是面積的一半D.若平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿足，（且），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)的外心〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，由可得，，即得，故點(diǎn)D是BC邊上靠近B的三等分點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因，則，即，故直線AD經(jīng)過(guò)的垂心，即B正確；對(duì)于C，因，，則，設(shè)，則，因，故三點(diǎn)共線，如圖1所示，，故的邊上的高是的邊上的高的一半，故是面積的一半，即C正確；對(duì)于D，由可得，，如圖2，取，則有，以為兩鄰邊作，易知是菱形，故平分，且故得，，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為的平分線，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知平面向量，滿足，，，則向量，夾角的余弦值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，因，所以，則向量，夾角的余弦值為.故〖答案〗為：.13.若時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．〖答案〗8〖解析〗作出函數(shù)與的圖象：所以曲線與的交點(diǎn)有8個(gè)．故〖答案〗為：8．14.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，．將沿著對(duì)角線AC折起至，連結(jié)．設(shè)二面角的大小為，當(dāng)時(shí)，則四面體的外接球的表面積為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗連接交于點(diǎn)，由題意，點(diǎn)為中點(diǎn)，且，則即二面角的平面角.如圖，設(shè)分別是和的外心，分別過(guò)點(diǎn)作平面，過(guò)點(diǎn)作平面，，則點(diǎn)為四面體的外接球球心.由，平面，故得平面，又平面，平面，故得，平面平面，平面平面，故四點(diǎn)共面.由可知，，故四面體的外接球的半徑為：，于是四面體的外接球的表面積為.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15設(shè)向量與不共線．（1）若，，若，，，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若，，，求證：A，B，C三點(diǎn)共線．解：（1）由題設(shè)，，∵，∴，得，解得．（2）∵，，∴，且兩向量有公共點(diǎn)A，∴A、B、C三點(diǎn)共線．16.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.解：（1），由，，則函數(shù)遞增區(qū)間為，.（2）由，得，則，則，即值域?yàn)?17.如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).（1）求和的長(zhǎng)度；（2）求.解：（1）是高，，在Rt中，，所以.是中線，，，，.（2），，，.另解：過(guò)D作交于，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線，是的中位線，，.18.如圖，正四棱錐，，，P為側(cè)棱上的點(diǎn)，且，（1）求正四棱錐的表面積；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)E，使得平面.若存在，求的值；若不存在，試說(shuō)明理由.解：（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，則，且，所以，正四棱錐的表面積為.（2）連接交于點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為的正方形，則，故是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，因?yàn)椋瑒t為、的中點(diǎn)，所以，且，，因?yàn)?，則，由余弦定理可得，所以，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，、平面，所以平面，因此，點(diǎn)到平面的距離為.（3）在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使平面，滿足，理由如下：取的中點(diǎn)為，因?yàn)?，則，過(guò)作的平行線交于，連接、.在中，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，由，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，而，、平面，故面面，又面，則平面，此時(shí).19.如圖1，由射線PA、PB、PC構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，類(lèi)比于平面三角形中的余弦定理，我們得到三維空間中的三面角余弦定理：．（1）如圖2，在三棱錐中，點(diǎn)M是點(diǎn)B在平面APC中的投影，，連接MD，，，，，．①求平面APC與平面BPC所成的角的正弦值；②求三棱錐體積的最大值；（2）當(dāng)、、時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1的基礎(chǔ)上，試證明三面角余弦定理．解：（1）由題意得：①∵，，∴；②，因，，則，∵點(diǎn)M是點(diǎn)B在面ABC上的投影，∴面PAC，∴，故當(dāng)時(shí)，的最大值為.（2）過(guò)射線PC上一點(diǎn)H在面PAC作交PA于點(diǎn)M，在面PBC內(nèi)作交PB于點(diǎn)N，連接MN，則是二面角的平面角，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，兩式相減得：，則：，兩邊同除以，得，得證.四川省成都市成華區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B.2 C. D.1〖答案〗C〖解析〗，運(yùn)用純虛數(shù)概念，知，解得.故選：C.2.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)k等于（）A. B.4 C.0 D.〖答案〗A〖解析〗由向量，，可得，由，得.故選：A.3.已知m，n是兩條不同直線，，，是三個(gè)不同平面，則下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，若，則可以是平行，可以相交，也可以異面，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，若，則還可以平行，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)，可得，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，若，則還可以相交，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.4.如圖，在正方體中，點(diǎn)M，N分別為線段AC和線段的中點(diǎn)，求直線MN與平面所成角為（）A.60° B.45° C.30° D.75°〖答案〗B〖解析〗如圖，取的中點(diǎn)，連接，因是的中點(diǎn)，故，又因正方體中，平面，故平面，即是在平面上的射影，故即直線MN與平面所成角，因是的中點(diǎn)，故，易得，即直線MN與平面所成角為.故選：B.5.已知，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.6.設(shè)，為單位向量，在方向上的投影向量為，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋瑸閱挝幌蛄?，所以，又在方向上的投影向量為，所以，所?故選：D.7.筒車(chē)亦稱(chēng)“水轉(zhuǎn)筒車(chē)”，一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具，如圖是某公園的筒車(chē)，假設(shè)在水流穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針?lè)较騽蛩賵A周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)有一半徑為2米的筒車(chē)，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，筒車(chē)上一盛水筒距離水面的高度（單位：米，記水筒在水面上方時(shí)高度為正值，在水面下方時(shí)高度為負(fù)值）與轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系式，，且時(shí)，盛水筒位于水面上方米處，當(dāng)筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)到第秒時(shí)，盛水筒距離水面的高度為（）米．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意可得，即，又，所以，所以，則當(dāng)時(shí)，即當(dāng)筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)到第秒時(shí)，盛水筒距離水面的高度為米.故選：B.8.已知角，滿足，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，因，代入可得，，則.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列命題正確的是（）A.B.為純虛數(shù)C.D.〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)，則，故，A正確；，當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)，B錯(cuò)誤；，則，C正確；，，故，則，D正確.故選：ACD.10.函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.是奇函數(shù)D.若在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〖答案〗BD〖解析〗，由圖知函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則得，解得，即，因，故得，，則有.對(duì)于A，因的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因時(shí)，，此時(shí)函數(shù)取到最大值，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，即B正確；對(duì)于C，，顯然這是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，作出在上的圖象如圖.依題意，需使，即，故D正確.故選：BD.11.設(shè)點(diǎn)D是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則D是BC邊上靠近B的三等分點(diǎn)B.若，（且），則直線AD經(jīng)過(guò)的垂心C.若，且x，，，則是面積的一半D.若平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿足，（且），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)的外心〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，由可得，，即得，故點(diǎn)D是BC邊上靠近B的三等分點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因，則，即，故直線AD經(jīng)過(guò)的垂心，即B正確；對(duì)于C，因，，則，設(shè)，則，因，故三點(diǎn)共線，如圖1所示，，故的邊上的高是的邊上的高的一半，故是面積的一半，即C正確；對(duì)于D，由可得，，如圖2，取，則有，以為兩鄰邊作，易知是菱形，故平分，且故得，，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為的平分線，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知平面向量，滿足，，，則向量，夾角的余弦值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，因，所以，則向量，夾角的余弦值為.故〖答案〗為：.13.若時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．〖答案〗8〖解析〗作出函數(shù)與的圖象：所以曲線與的交點(diǎn)有8個(gè)．故〖答案〗為：8．14.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，．將沿著對(duì)角線AC折起至，連結(jié)．設(shè)二面角的大小為，當(dāng)時(shí)，則四面體的外接球的表面積為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗連接交于點(diǎn)，由題意，點(diǎn)為中點(diǎn)，且，則即二面角的平面角.如圖，設(shè)分別是和的外心，分別過(guò)點(diǎn)作平面，過(guò)點(diǎn)作平面，，則點(diǎn)為四面體的外接球球心.由，平面，故得平面，又平面，平面，故得，平面平面，平面平面，故四點(diǎn)共面.由可知，，故四面體的外接球的半徑為：，于是四面體的外接球的表面積為.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15設(shè)向量與不共線．（1）若，，若，，，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若，，，求證：A，B，C三點(diǎn)共線．解：（1）由題設(shè)，，∵，∴，得，解得．（2）∵，，∴，且兩向量有公共點(diǎn)A，∴A、B、C三點(diǎn)共線．16.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.解：（1），由，，則函數(shù)遞增區(qū)間為，.（2）由，得，則，則，即值域?yàn)?17.如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).（1）求和的長(zhǎng)度；（2）求.解：（1）是高，，在Rt中，，所以.是中線，，，，.（2），，，.另解：過(guò)D作交于，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線，是的中位線，，.18.如圖，正四棱錐，，，P為側(cè)棱上的點(diǎn)，且，（1）求正四棱錐的表面積；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)E，使得平面