2025屆江蘇省蘇州市部分學(xué)校新高三暑期調(diào)研考試暨高考模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市部分學(xué)校2025屆新高三暑期調(diào)研考試暨高考模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，又終邊在第三象限，所在的象限為第三象限，故選：C．2.過原點(diǎn)的圓的圓心為，則原點(diǎn)處與圓相切的直線的傾斜角為（）A.3 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓心為，則，依題意，所以，又，所以直線的傾斜角為3．故選：A.3.已知函數(shù)的圖像如圖所示，則可能為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于，，與題圖不符，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)大于冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度，所以，與題圖不符，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，與題圖不符，故錯(cuò)誤；通過排除法，所以正確.故選：.4.已知正四棱錐的8條棱長(zhǎng)均相等，為頂點(diǎn)在底面的射影，則（）A.側(cè)棱與底面所成角的大小為B.設(shè)，為正方形邊上的兩點(diǎn)，則二面角的值大于C.側(cè)面與底面所成角的大小為D.設(shè)為正方形上的點(diǎn)，則直線與底面所成角的最大值為〖答案〗B〖解析〗依題意，平面，平面，則.，對(duì)于A，依題意可知是側(cè)棱與底面所成的角，，為銳角，且，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B，過作，垂足為，由于平面，則，由于平面，則平面，由于平面，則，則二面角的平面角為，由于平面，則，當(dāng)時(shí)，平面，則平面.平面，此時(shí)二面角為直角，當(dāng)時(shí)，，由于是正方形邊上的兩個(gè)點(diǎn)，則，則，則二面角的值大于.則B選項(xiàng)正確.對(duì)于C，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，側(cè)面與底面的交線為，則側(cè)面與底面所成角的平面角為，由于平面，則，，則，則側(cè)面與底面所成的角大于，則C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與底面所成角為，則D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.5.命題為的根，命題若，則，則命題為命題的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，由命題為的根，則，又，則，所以，故，故由推得出，所以充分性成立；若且，則，所以，即，所以為的根，故由推得出，即必要性成立；所以命題為命題的充分必要條件.故選：C.6.在實(shí)際生活中，我們會(huì)用鐵片焊接到鋼管上以保證管道正常使用．更極端地，我們可以用有限個(gè)鐵片焊接到鋼管上繞整個(gè)鋼管側(cè)面一周，其類似下面的數(shù)學(xué)概念．稱為緊致的，如果對(duì)任意滿足的開集族，都存在有限的，使得．稱一個(gè)集合為開集，如果對(duì)其中任意一個(gè)點(diǎn)，都存在一個(gè)，使得以為球心，為半徑的球的內(nèi)部包含于．則以下集合中，緊致的集合的個(gè)數(shù)為（）①，②，③.A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)〖答案〗A〖解析〗對(duì)非空有限集，用表示中的最大元素.由于，且都是開集.但對(duì)任意非空有限集（如果是空集，則不可能成立，后面兩種情況也類似），有.而不包含，故不是緊致的；由于，且都是開集.但對(duì)任意非空有限集，有.而不包含，故不是緊致的；由于，且都是開集.但對(duì)任意非空有限集，有.不包含，故不是緊致的.故選：A.7.奇函數(shù)于上連續(xù)，滿足當(dāng)時(shí)，，且，若對(duì)任意使得直線，垂直的正數(shù)，都有：，則的最大可能值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知可得在上二階可導(dǎo)，從而對(duì)，設(shè).則當(dāng)時(shí)，有.所以在上恒為定值，設(shè)為，則對(duì)有.這表明對(duì)任意，都有，所以不小于每一個(gè)負(fù)數(shù)，故.由于對(duì)，由知或，但在上二階可導(dǎo)，故和都連續(xù).所以連續(xù)，從而只可能恒有或恒有.若，設(shè)，則.所以在上恒為定值，但由于在上連續(xù)，故在上連續(xù)，從而在上恒為定值.而是奇函數(shù)，故，所以對(duì)有.這就得到，故.若，同理可得，但這就得到，矛盾.所以必有，再代入得.從而.由于對(duì)滿足，故在上單調(diào)遞增.而，，.故，從而對(duì)有，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故對(duì)任意實(shí)數(shù)都有.另外，兩直線，垂直，當(dāng)且僅當(dāng)，即.根據(jù)之前得到的，不等式等價(jià)于，即.因此問題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為：若對(duì)任意滿足的正數(shù)都有，求的最大值.一方面，若對(duì)任意滿足的正數(shù)都有，則特別地，我們可以取，，因?yàn)樗鼈兌际钦龜?shù)，且滿足.這就得到，從而；另一方面，若，則.從而對(duì)任意滿足的正數(shù)，我們有，所以，即，從而此時(shí)的滿足條件.綜上，原命題成立的充要條件是，這表明的最大值是.故選：D.8.考慮從到的所有正整數(shù)．我們作一個(gè)的數(shù)表，使得若為的倍數(shù)，則在位置填入，否則填為，則據(jù)數(shù)表中的數(shù)之和最接近的數(shù)為（）（已知）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則數(shù)表中的數(shù)之和為.設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，則對(duì)，在中有個(gè)的倍數(shù).所以，故數(shù)表中的數(shù)之和為.由于對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有.故.同時(shí)有.最后，設(shè)，則，所以對(duì)有，對(duì)有.故在上遞減，在上遞增，從而.所以對(duì)大于的正整數(shù)，由有，即；由有，即.所以有，.從而，且.而，，故，.因此，從而選項(xiàng)中最接近的是D選項(xiàng).故選：D二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，選對(duì)得6分，漏選得部分分，錯(cuò)選或不選得0分．9.1843年，Hamilton在愛爾蘭發(fā)現(xiàn)四元數(shù)．當(dāng)時(shí)他正研究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次（復(fù)數(shù)可視為平面上的點(diǎn)）．他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù)．根據(jù)哈密頓記述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家運(yùn)河上散步時(shí)突然想到的方程解．之后哈密頓立刻將此方程刻在BroughantBridge．對(duì)四元數(shù)，的單位，其運(yùn)算滿足：，，，，，，；記，，，定義，記所有四元數(shù)構(gòu)成的集合為，則以下說法中正確的有（）A.集合的元素按乘法得到一個(gè)八元集合B.若非零元，則有：C.若，則有：D.若非零元，則有：〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，由于，，，，故集合的元素按乘法可以得到集合，容易驗(yàn)證該集合中任意兩個(gè)元素的乘積還在該集合中，故集合的元素按乘法得到的集合是八元集合，故A正確；對(duì)于B，取，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，設(shè)，，則，故C正確；對(duì)于D，根據(jù)題目中的定義有，從而.所以，故D正確.故選：ACD.10.考慮函數(shù)，記函數(shù)，其中為的整數(shù)部分，定義為在上滿足的根的個(gè)數(shù)，則以下說法正確的有（）A.的值域?yàn)?B.C.為周期函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)為有理數(shù) D.對(duì)成立〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，顯然當(dāng)時(shí)有，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)定義，是方程在上的解的個(gè)數(shù).而，故意味著，即.由于是整數(shù)，故，從而是方程在上的解的個(gè)數(shù).又因?yàn)?，故該方程等價(jià)于或，這在上的全部解構(gòu)成的集合是，共個(gè)解，故B正確；對(duì)于C，由于（二者函數(shù)值相等或同時(shí)沒有定義），故和或者都是周期函數(shù)，或者都不是周期函數(shù).所以或者時(shí)不是周期函數(shù)，或者時(shí)是周期函數(shù)，無論哪種情況，都能導(dǎo)致C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，該選項(xiàng)等價(jià)于，對(duì)任意，方程在上都有解.而，故等價(jià)于或，即或.由于恒成立，故方程等價(jià)于或，即或..但當(dāng)時(shí)，有，；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有.從而原方程在上無解，從而，故D錯(cuò)誤.故選：B.11.在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)生活中，投資者在面對(duì)不確定性時(shí)往往表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)厭惡的特征．當(dāng)投資者的財(cái)富發(fā)生變化時(shí)，其用于投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的絕對(duì)量和相對(duì)量都將會(huì)發(fā)生變化．假設(shè)一名風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者的效用函數(shù)（，為一連續(xù)區(qū)間）是可導(dǎo)且其導(dǎo)函數(shù)也可導(dǎo)的．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則稱該投資者是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則稱該投資者是遞減相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的．則以下哪些效用函數(shù)對(duì)應(yīng)的投資者是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，但不是遞減相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的？（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)：，則，所以，在上單調(diào)遞增，所以不是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，，，所以在上單調(diào)遞減，所以是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，，在上單調(diào)遞增，所以不是遞減相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，則，，所以，，，所以，即單調(diào)遞減，所以是滿足遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，又，恒成立，即單調(diào)遞增，所以不是遞減相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，則，，所以，，即單調(diào)遞增，所以不是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的兩個(gè)空中，第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分．12.已知某工廠有三條流水線用于生產(chǎn)某產(chǎn)品，三條流水線的產(chǎn)量之比為2：1：2，根據(jù)抽樣，有：流水線1流水線2流水線3總計(jì)方差0.8250.6340.810均值9.09.49.2則流水線2的均值為__________，流水線3的標(biāo)準(zhǔn)差為__________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)三條流水線的產(chǎn)量為，流水線2的均值為m，則，解得，設(shè)流水線3的方差為，則，解得.13.數(shù)列滿足，其中，，．當(dāng)，時(shí)，該數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________，若該數(shù)列滿足對(duì)任意的正整數(shù)，都有：，當(dāng)時(shí)，符合條件的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為__________．其中為的最大公因數(shù)．〖答案〗〖解析〗①當(dāng)，時(shí)，有，，.設(shè)，則，，且.故具有相同的初值和遞推式，故，從而；②根據(jù)，，，知，.一方面，若，則，故.從而；另一方面，若，下面證明：.定義數(shù)列滿足，，.則用數(shù)學(xué)歸納法可證明，，直接利用公式計(jì)算可知，對(duì)，有.由于，，，故.從而如果，就有；如果，就有.定義序列如下：，且對(duì)非負(fù)整數(shù)，.則根據(jù)上面的結(jié)論，有，同時(shí)根據(jù)最大公因數(shù)的性質(zhì)，有.而若，則；若，則.綜上，總有.由于非負(fù)整數(shù)不能無限嚴(yán)格遞減下去，故存在非負(fù)整數(shù)，使得.考慮前面的不等號(hào)的取等條件，有，，或，.即存在非負(fù)整數(shù)，使得或.若，則；若，則.所以，而我們又有，，故.從而.綜上，的充要條件是.從而我們需要確定的是，當(dāng)時(shí)，滿足的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù).而在的情況下，有，故所求的的個(gè)數(shù)，就是中和互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù).由于，故中和互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從該集合中去掉的倍數(shù)后的元素個(gè)數(shù)，即等于.所以滿足條件的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，滿足若過點(diǎn)的直線交于，則有．在上有三點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，其中心的軌跡記為，則的軌跡方程為___________，試給出一圓，使得對(duì)上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的兩條切線分別交于不同于的點(diǎn)，則必為的切線：___________．〖答案〗（答出一種特殊情況即可）〖解析〗①設(shè)直線交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，據(jù)已知有，故.而點(diǎn)都在線段外，故重合，從而在的準(zhǔn)線上，所以的準(zhǔn)線是.這就得到，所以的方程是.設(shè)上的三個(gè)不同點(diǎn)，，構(gòu)成等邊三角形，設(shè)該三角形的重心為，則.所以的坐標(biāo)分別是.故，.得，.兩式分別相加，相減，得，.故可得方程組.展開即得.將第一式減去第二式的倍，得，從而.再由第二式得，兩式作差即有.所以，即所以或.若，則由知，所以重合，這不可能.故一定有，即.另一方面，若，則取方程的一根后，根據(jù)上面類似的計(jì)算知.取的坐標(biāo)為，則等邊三角形的頂點(diǎn)在上，且中心為.綜上，上的等邊三角形的中心的軌跡方程為.②我們?cè)O(shè)圓的方程為.則對(duì)上的點(diǎn)，設(shè)過該點(diǎn)的與圓相切，則根據(jù)距離公式有.從而，即設(shè)滿足條件的分別為，則，.同時(shí)，該直線與的另一個(gè)交點(diǎn)滿足，從而由韋達(dá)定理知.設(shè)，，則，.而直線的方程為，即，從而圓心到直線的距離.而，故，所以，得.且.故，得.從而，這就得到.所以直線到圓的距離恰等于其半徑，故是其切線.故〖答案〗為：，.四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.雙曲線，為兩焦點(diǎn)，為的頂點(diǎn)，為上不同于的一點(diǎn)．（1）證明：，的角平分線的交點(diǎn)的軌跡為一對(duì)平行直線的一部分，并求出這對(duì)平行線的方程；（2）若平面上僅有的曲線，沒有坐標(biāo)軸和坐標(biāo)原點(diǎn)，請(qǐng)給出確定的兩個(gè)焦點(diǎn)的位置的方法并給出作長(zhǎng)為的線段的方法．（敘述即可）（1）證明：設(shè)，的角平分線的交點(diǎn)為，則就是的內(nèi)心.設(shè)的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)分別為，則.所以由或，知或.而，故或者，或者.故或者和重合，或者和重合，而是在軸上的投影，故的橫坐標(biāo)是或.所以點(diǎn)必定在直線或上，結(jié)論得證.（2）解：任意作一對(duì)平行線，使得它們和都有兩個(gè)公共點(diǎn).那么兩直線分別將截得一條弦，取這兩條弦的中點(diǎn)，并設(shè)直線交于點(diǎn).取的中點(diǎn)，則是坐標(biāo)原點(diǎn).以為圓心，作一半徑足夠大的圓，使得該圓與有四個(gè)公共點(diǎn)，這四個(gè)公共點(diǎn)構(gòu)成矩形，過作該矩形兩條相鄰邊的平行線，則與有公共點(diǎn)的平行線是軸，與無公共點(diǎn)的平行線是軸，這就得到了兩個(gè)實(shí)軸的端點(diǎn)和.然后，在軸上方基于點(diǎn)作正方形，并以為圓心，以為半徑作圓，交軸正半軸于點(diǎn)，再過作軸垂線，在軸上方交于點(diǎn).則我們得到所求，.最后，以為圓心，以為半徑作圓，交軸正半軸于點(diǎn)，再以為圓心，以為半徑作圓，交軸于點(diǎn)，則就是的兩個(gè)焦點(diǎn).下面我們說明上面的作法是可行的，需要論證的地方有二：①坐標(biāo)原點(diǎn)的確定；②最后的確定.關(guān)于①，利用韋達(dá)定理，我們可以證明用斜率為的直線截雙曲線時(shí)，弦的中點(diǎn)總在一條過原點(diǎn)的直線上.事實(shí)上，兩方程聯(lián)立后可得到，從而兩交點(diǎn)和滿足，故.從而代入知弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，它總在直線上，這就證明了①；關(guān)于②，根據(jù)后續(xù)的作法不難看出，，設(shè)，則，，解得.從而，故，這就得到，這就證明了②.16.在高中課本中，我們研究導(dǎo)數(shù)是在實(shí)數(shù)上研究的．實(shí)際上，求導(dǎo)（微分）是一個(gè)局部性質(zhì)．那么我們能不能在某些范圍內(nèi)推廣導(dǎo)數(shù)這一種局部性質(zhì)．我們?cè)诟咧姓n本中講到：若在附近連續(xù)，且若存在，則為點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．我們能不能將概念推廣到復(fù)數(shù)域上呢？顯然，我們是可以做到的．此時(shí)考慮函數(shù)，若在附近連續(xù)（實(shí)際上可以考慮一個(gè)非常非常小的圓），且若存在，則為點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．（1）按此定義，驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)的除法公式在復(fù)函數(shù)求導(dǎo)下仍然成立．（2）更一般地，若在某個(gè)區(qū)域上均可導(dǎo)，我們稱為上〖解析〗的函數(shù)．考慮復(fù)函數(shù)，其中為一個(gè)模長(zhǎng)小于的復(fù)數(shù)，為一個(gè)模長(zhǎng)為的復(fù)數(shù)．證明：①該復(fù)函數(shù)將上的點(diǎn)映為上的點(diǎn)，且將上的點(diǎn)映為上的點(diǎn)．②為上的〖解析〗函數(shù)．（3）已知：（?。┤艉瘮?shù)為上的〖解析〗函數(shù)，且值域在中，滿足，則有：．（ⅱ）若函數(shù)，分別為，上的〖解析〗函數(shù)，則為上的〖解析〗函數(shù)．此時(shí)若為上的〖解析〗函數(shù)，且值域在中，滿足，證明：．解：（1）.（2）①由于，且.故.當(dāng)即時(shí)，有，從而；當(dāng)即時(shí)，有，從而.②直接由（1）可得，故是上的〖解析〗函數(shù).（3）取，則，由（ⅱ）的結(jié)論，知是的〖解析〗函數(shù).則取，就有是的〖解析〗函數(shù)，且.從而，據(jù)（?。┑慕Y(jié)論，知.而，故.直接計(jì)算可得，，故.所以，故.17.將全體定義在上的函數(shù)的集合記為．對(duì)，，定義上的函數(shù)之間的加法和數(shù)乘運(yùn)算：，．已知為一個(gè)滿足線性關(guān)系的映射，即，，這里，，且滿足對(duì)任意整數(shù)，有，數(shù)列，，其中．（1）求，的遞推公式；（不需要提供初值，遞推公式可以由，組成）（2）若滿足，，且為單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列：①求，的通項(xiàng)公式；②記，記為的前項(xiàng)和，證明：為定值，并求出該定值．解：（1）我們有，.這就得到，.所以，即.而，故.所以所求的遞推式為：，.（2）①設(shè)，，則，，.由，知.所以，從而存在實(shí)數(shù)，使得.同理存在實(shí)數(shù)，使得.兩式作差就得到，故.從而具有形式，即.故.據(jù)已知有，遞減，故，從而，.由于，，故.代入，解得，所以，.②此時(shí).由于對(duì)，有.故.所以，即.整理得到，從而，得.而，故，所以.這就表明，所以.18.在中，，的外接圓圓心為，內(nèi)切圓的圓心為，垂心為，為的中點(diǎn)，在上的投影為，以為半徑作．（1）證明：，相切；（2）記，的切點(diǎn)為，直線交于點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，滿足，證明：直線和的交點(diǎn)在的外接圓上．（1）證明：建立平面直角坐標(biāo)系（注意不是坐標(biāo)原點(diǎn)），并不妨設(shè)，，再設(shè)，并不妨設(shè).設(shè)，則由得，解得，故.設(shè)，則由得，解得，故.所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)是.顯然，所以.這就得到的方程：.設(shè)內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)分別為，則.而，故.同理.所以.另一方面，的內(nèi)切圓半徑.故.從而和的半徑之差為，而.下面說明二者相等，即.設(shè)，，則我們要證明的就是.將兩個(gè)較大的平方式展開，合并同類項(xiàng)，得.再將展開，移項(xiàng)即得.顯然和不異號(hào)，而，故.所以上面的方程兩邊同號(hào)，故其等價(jià)于兩邊平方后的方程，即.此即.將右邊展開，合并同類項(xiàng)，得.而，.故，從而上面的方程等價(jià)于.此即.即.而.故命題最終等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明.而，，故.從而確有，這就證明了和的半徑之差等于.所以和相切.（2）解：先證明四個(gè)引理，注意引理的字母與原題中都可能不一致，僅單獨(dú)作為一個(gè)定理使用.引理1：設(shè)的外心為，垂心為，則的中點(diǎn)，往對(duì)邊各自的投影，以及各自的中點(diǎn)九點(diǎn)共圓，圓心為的中點(diǎn)，該圓稱為的“九點(diǎn)圓”.引理1的證明：將的外接圓記為，其半徑為，然后記關(guān)于的對(duì)徑點(diǎn)為.設(shè)的中點(diǎn)為，以為圓心作，使得的半徑為的一半，從而和關(guān)于點(diǎn)位似，且位似比為.則，且.其中為的三個(gè)內(nèi)角，其對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為.顯然和平行，故和的交點(diǎn)滿足，所以和重合，從而三點(diǎn)共線，且.從而根據(jù)和的位似關(guān)系，知在上，同理在上.直接根據(jù)的定義，及和的位似關(guān)系，知在上.設(shè)分別與交于不同于的點(diǎn).由于是直徑，故，從而和平行，而三點(diǎn)共線，且，故.從而根據(jù)和的位似關(guān)系，知在上，同理在上.至此我們就證明了引理1成立.引理2：設(shè)的內(nèi)切圓為，邊切點(diǎn)分別為，邊的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在邊上的投影為，的平分線交于，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交于不同于的點(diǎn)，則在的九點(diǎn)圓上，這里九點(diǎn)圓的定義如引理1所述.引理2的證明：不妨設(shè)，記的中點(diǎn)分別為，在線段上取點(diǎn)，使得.則根據(jù)對(duì)稱性，三點(diǎn)共線，且所在直線與相切于點(diǎn).記的中點(diǎn)為，則，而根據(jù)切線長(zhǎng)相等，知，故三點(diǎn)共線.由于分別是的中點(diǎn)，故，而根據(jù)切線長(zhǎng)相等有，故.由于，故四點(diǎn)共圓，所以.而，故相似于，所以，即.而直接根據(jù)圓冪定理，有，再結(jié)合，就有，所以四點(diǎn)共圓.故.而注意到是直角的斜邊，是其中點(diǎn)，故.再由知.所以四點(diǎn)共圓.根據(jù)引理1，的外接圓就是的九點(diǎn)圓，所以在的九點(diǎn)圓上，引理2得證.引理3：設(shè)的外心為，內(nèi)切圓的圓心為，在邊上的切點(diǎn)為，直線交的外接圓于，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則三點(diǎn)共線.引理3的證明：設(shè)的外接圓為，的外接圓為，并記直線和交于不同于的點(diǎn)，則由于平分，知是上的弧的中點(diǎn).所以，且.故，從而，同理有，故.以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，使得平行于軸，不妨設(shè)為軸正方向，在軸下方，且的半徑為.則的方程為，且，我們?cè)O(shè)，.此時(shí)由，可直接解出的外接圓圓心為，外接圓的方程為.由于，故在以為圓心，半徑為的圓上.而，故該圓的方程為.從而可設(shè)，則.記直線的斜率為，則的方程為，且.再將與的方程聯(lián)立，得.解得，故.由于直線的斜率，故直線的方程是.將與的方程聯(lián)立，得.解得，所以.從而.由的方程為，而，故關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，即.由于，故，所以.所以，且.設(shè)，則有，，，.所以，，以及.所以的斜率，且的斜率下面證明兩直線斜率相等，即.這即是要證明，即.由于，故這等價(jià)于證明.而，故我們就證明了，所以三點(diǎn)共線.這表明關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，所以關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上.這就得到了三點(diǎn)共線，引理3得證.引理4：設(shè)的外心為，內(nèi)切圓的圓心為，點(diǎn)在線段上，使得平分.過作的切線，其中一條切線是，設(shè)其切點(diǎn)為，另一條切線的切點(diǎn)記為.設(shè)的中點(diǎn)為，直線交于不同于的點(diǎn)，直線交的外接圓于不同于的點(diǎn)，則平分.引理4的證明：建立直角坐標(biāo)系（不是坐標(biāo)原點(diǎn)），使得對(duì)應(yīng)軸正方向.不妨設(shè)，的方程為，且，其中，則由在外部，知.設(shè)的方程是的切線，對(duì)應(yīng)切點(diǎn)，則據(jù)對(duì)稱性有.由于，故和的方程分別可設(shè)為和，二者的并集為，代入的方程，得.展開即，從而得到的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.所以.故.而，故的斜率滿足.結(jié)合，就知道的方程是.考慮的坐標(biāo)，將的方程代入的方程，就得到.展開即為.即，從而該方程的不同于的解是.所以，從而.這就得到了：.另外，和的方程分別為和，的方程是，解得，.先記，，則和的中垂線分別是和.聯(lián)立得方程組，解得.整理得.由于，，故.且.所以，且故.由于，，故.所以，且.將上面的結(jié)果簡(jiǎn)記為.再由，，以及之前得到的，知，.所以，且.所以.根據(jù)，就得到直線的斜率.所以直線的方程是.之前我們已經(jīng)得到的方程是，故的斜率.設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則由，知的斜率.從而和的斜率互為相反數(shù).由于是的切線，切點(diǎn)分別為，故關(guān)于對(duì)稱，而都是的平分線，故關(guān)于對(duì)稱.而直線與軸重合，故關(guān)于軸對(duì)稱.同時(shí)由于都在上，而軸經(jīng)過的圓心，且和的斜率互為相反數(shù)，故也關(guān)于軸對(duì)稱.此即關(guān)于對(duì)稱，所以平分.根據(jù)引理3，我們有三點(diǎn)共線，所以平分，引理4得證.回到原題.我們使用同一法，記直線和的外接圓交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，然后在此條件下，我們證明，這同樣可以說明原結(jié)論成立.設(shè)的中點(diǎn)為，直線與交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交于不同于的點(diǎn).則根據(jù)引理2，我們知道點(diǎn)在的九點(diǎn)圓上.由于的圓心是的中點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)在邊上的投影，故根據(jù)引理1，知就是的九點(diǎn)圓，所以點(diǎn)在上.而根據(jù)（1）的結(jié)論，和相切，故它們的公共點(diǎn)一定是切點(diǎn)，從而和重合.換言之，點(diǎn)就是直線與的不同于的交點(diǎn)，根據(jù)引理4，我們知道平分.由于也平分，故，同理.從而，，這就得到，所以.根據(jù)同一法，原結(jié)論得證.19.設(shè)為空間直角坐標(biāo)系中的一個(gè)非空閉凸集，即，且若，則對(duì)任意有，且對(duì)任意的，都存在，使得，這里為線段的長(zhǎng)度．稱的下確界或最大下界為，定義為小于等于在中的所有數(shù)的最大實(shí)數(shù)，如果不存在這樣的實(shí)數(shù)，則記為．已知若為閉集，則為開集.（1）設(shè)點(diǎn)，，證明：為非空閉凸集，并求．（2）證明：對(duì)任意，存在唯一的一個(gè)，使得；（3）證明：對(duì)任意，存在非零向量以及實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，都有：．證明：（1）由于，故.由于對(duì)任意，有或或，故可取.則在時(shí)，首先有，，故：如果，就有，且.故，，所以，從而；如果，就有，且.故，，所以，從而.如果，就有，故.從而.綜上，有，故是閉集.由于對(duì)，，設(shè)，則.故只要，就有在上遞減，在上遞增，故，即.顯然，當(dāng)時(shí)，有.故無論如何都有.故若，，則，，.故，所以是凸集.綜上，是閉凸集.由于對(duì)，有，故.而對(duì)，有.故.（2）設(shè)，根據(jù)的定義，對(duì)任意正整數(shù)，不是的上界，從而可取，使得.那么，所以是有界序列.從而該序列一定有一個(gè)收斂子列，記，由于是閉集，故.在兩邊同時(shí)取極限就得到.根據(jù)的定義及有，所以.假設(shè)對(duì)不相等的有，由于互不相同，而三角形的中線長(zhǎng)一定小于與該中線具有公共端點(diǎn)的兩條邊中的較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度，故根據(jù)幾何意義有.而，這與的定義矛盾，所以這樣的是唯一的.（3）設(shè)如（2）所說，過作的法平面，如果存在，使得和在的同側(cè)（不包括本身），則到由和確定的直線上的投影滿足，而是凸集，故，這與的定義矛盾.所以中每個(gè)點(diǎn)都在上或在的不包含的一側(cè)，從而對(duì)任意，在上的投影不小于，從而有.所以取，，就有恒成立，即.江蘇省蘇州市部分學(xué)校2025屆新高三暑期調(diào)研考試暨高考模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，又終邊在第三象限，所在的象限為第三象限，故選：C．2.過原點(diǎn)的圓的圓心為，則原點(diǎn)處與圓相切的直線的傾斜角為（）A.3 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓心為，則，依題意，所以，又，所以直線的傾斜角為3．故選：A.3.已知函數(shù)的圖像如圖所示，則可能為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于，，與題圖不符，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)大于冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度，所以，與題圖不符，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，與題圖不符，故錯(cuò)誤；通過排除法，所以正確.故選：.4.已知正四棱錐的8條棱長(zhǎng)均相等，為頂點(diǎn)在底面的射影，則（）A.側(cè)棱與底面所成角的大小為B.設(shè)，為正方形邊上的兩點(diǎn)，則二面角的值大于C.側(cè)面與底面所成角的大小為D.設(shè)為正方形上的點(diǎn)，則直線與底面所成角的最大值為〖答案〗B〖解析〗依題意，平面，平面，則.，對(duì)于A，依題意可知是側(cè)棱與底面所成的角，，為銳角，且，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B，過作，垂足為，由于平面，則，由于平面，則平面，由于平面，則，則二面角的平面角為，由于平面，則，當(dāng)時(shí)，平面，則平面.平面，此時(shí)二面角為直角，當(dāng)時(shí)，，由于是正方形邊上的兩個(gè)點(diǎn)，則，則，則二面角的值大于.則B選項(xiàng)正確.對(duì)于C，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，側(cè)面與底面的交線為，則側(cè)面與底面所成角的平面角為，由于平面，則，，則，則側(cè)面與底面所成的角大于，則C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與底面所成角為，則D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.5.命題為的根，命題若，則，則命題為命題的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，由命題為的根，則，又，則，所以，故，故由推得出，所以充分性成立；若且，則，所以，即，所以為的根，故由推得出，即必要性成立；所以命題為命題的充分必要條件.故選：C.6.在實(shí)際生活中，我們會(huì)用鐵片焊接到鋼管上以保證管道正常使用．更極端地，我們可以用有限個(gè)鐵片焊接到鋼管上繞整個(gè)鋼管側(cè)面一周，其類似下面的數(shù)學(xué)概念．稱為緊致的，如果對(duì)任意滿足的開集族，都存在有限的，使得．稱一個(gè)集合為開集，如果對(duì)其中任意一個(gè)點(diǎn)，都存在一個(gè)，使得以為球心，為半徑的球的內(nèi)部包含于．則以下集合中，緊致的集合的個(gè)數(shù)為（）①，②，③.A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)〖答案〗A〖解析〗對(duì)非空有限集，用表示中的最大元素.由于，且都是開集.但對(duì)任意非空有限集（如果是空集，則不可能成立，后面兩種情況也類似），有.而不包含，故不是緊致的；由于，且都是開集.但對(duì)任意非空有限集，有.而不包含，故不是緊致的；由于，且都是開集.但對(duì)任意非空有限集，有.不包含，故不是緊致的.故選：A.7.奇函數(shù)于上連續(xù)，滿足當(dāng)時(shí)，，且，若對(duì)任意使得直線，垂直的正數(shù)，都有：，則的最大可能值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知可得在上二階可導(dǎo)，從而對(duì)，設(shè).則當(dāng)時(shí)，有.所以在上恒為定值，設(shè)為，則對(duì)有.這表明對(duì)任意，都有，所以不小于每一個(gè)負(fù)數(shù)，故.由于對(duì)，由知或，但在上二階可導(dǎo)，故和都連續(xù).所以連續(xù)，從而只可能恒有或恒有.若，設(shè)，則.所以在上恒為定值，但由于在上連續(xù)，故在上連續(xù)，從而在上恒為定值.而是奇函數(shù)，故，所以對(duì)有.這就得到，故.若，同理可得，但這就得到，矛盾.所以必有，再代入得.從而.由于對(duì)滿足，故在上單調(diào)遞增.而，，.故，從而對(duì)有，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故對(duì)任意實(shí)數(shù)都有.另外，兩直線，垂直，當(dāng)且僅當(dāng)，即.根據(jù)之前得到的，不等式等價(jià)于，即.因此問題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為：若對(duì)任意滿足的正數(shù)都有，求的最大值.一方面，若對(duì)任意滿足的正數(shù)都有，則特別地，我們可以取，，因?yàn)樗鼈兌际钦龜?shù)，且滿足.這就得到，從而；另一方面，若，則.從而對(duì)任意滿足的正數(shù)，我們有，所以，即，從而此時(shí)的滿足條件.綜上，原命題成立的充要條件是，這表明的最大值是.故選：D.8.考慮從到的所有正整數(shù)．我們作一個(gè)的數(shù)表，使得若為的倍數(shù)，則在位置填入，否則填為，則據(jù)數(shù)表中的數(shù)之和最接近的數(shù)為（）（已知）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則數(shù)表中的數(shù)之和為.設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，則對(duì)，在中有個(gè)的倍數(shù).所以，故數(shù)表中的數(shù)之和為.由于對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有.故.同時(shí)有.最后，設(shè)，則，所以對(duì)有，對(duì)有.故在上遞減，在上遞增，從而.所以對(duì)大于的正整數(shù)，由有，即；由有，即.所以有，.從而，且.而，，故，.因此，從而選項(xiàng)中最接近的是D選項(xiàng).故選：D二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，選對(duì)得6分，漏選得部分分，錯(cuò)選或不選得0分．9.1843年，Hamilton在愛爾蘭發(fā)現(xiàn)四元數(shù)．當(dāng)時(shí)他正研究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次（復(fù)數(shù)可視為平面上的點(diǎn)）．他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù)．根據(jù)哈密頓記述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家運(yùn)河上散步時(shí)突然想到的方程解．之后哈密頓立刻將此方程刻在BroughantBridge．對(duì)四元數(shù)，的單位，其運(yùn)算滿足：，，，，，，；記，，，定義，記所有四元數(shù)構(gòu)成的集合為，則以下說法中正確的有（）A.集合的元素按乘法得到一個(gè)八元集合B.若非零元，則有：C.若，則有：D.若非零元，則有：〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，由于，，，，故集合的元素按乘法可以得到集合，容易驗(yàn)證該集合中任意兩個(gè)元素的乘積還在該集合中，故集合的元素按乘法得到的集合是八元集合，故A正確；對(duì)于B，取，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，設(shè)，，則，故C正確；對(duì)于D，根據(jù)題目中的定義有，從而.所以，故D正確.故選：ACD.10.考慮函數(shù)，記函數(shù)，其中為的整數(shù)部分，定義為在上滿足的根的個(gè)數(shù)，則以下說法正確的有（）A.的值域?yàn)?B.C.為周期函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)為有理數(shù) D.對(duì)成立〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，顯然當(dāng)時(shí)有，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)定義，是方程在上的解的個(gè)數(shù).而，故意味著，即.由于是整數(shù)，故，從而是方程在上的解的個(gè)數(shù).又因?yàn)?，故該方程等價(jià)于或，這在上的全部解構(gòu)成的集合是，共個(gè)解，故B正確；對(duì)于C，由于（二者函數(shù)值相等或同時(shí)沒有定義），故和或者都是周期函數(shù)，或者都不是周期函數(shù).所以或者時(shí)不是周期函數(shù)，或者時(shí)是周期函數(shù)，無論哪種情況，都能導(dǎo)致C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，該選項(xiàng)等價(jià)于，對(duì)任意，方程在上都有解.而，故等價(jià)于或，即或.由于恒成立，故方程等價(jià)于或，即或..但當(dāng)時(shí)，有，；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有.從而原方程在上無解，從而，故D錯(cuò)誤.故選：B.11.在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)生活中，投資者在面對(duì)不確定性時(shí)往往表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)厭惡的特征．當(dāng)投資者的財(cái)富發(fā)生變化時(shí)，其用于投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的絕對(duì)量和相對(duì)量都將會(huì)發(fā)生變化．假設(shè)一名風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者的效用函數(shù)（，為一連續(xù)區(qū)間）是可導(dǎo)且其導(dǎo)函數(shù)也可導(dǎo)的．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則稱該投資者是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則稱該投資者是遞減相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的．則以下哪些效用函數(shù)對(duì)應(yīng)的投資者是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，但不是遞減相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的？（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)：，則，所以，在上單調(diào)遞增，所以不是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，，，所以在上單調(diào)遞減，所以是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，，在上單調(diào)遞增，所以不是遞減相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，則，，所以，，，所以，即單調(diào)遞減，所以是滿足遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，又，恒成立，即單調(diào)遞增，所以不是遞減相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，則，，所以，，即單調(diào)遞增，所以不是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的兩個(gè)空中，第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分．12.已知某工廠有三條流水線用于生產(chǎn)某產(chǎn)品，三條流水線的產(chǎn)量之比為2：1：2，根據(jù)抽樣，有：流水線1流水線2流水線3總計(jì)方差0.8250.6340.810均值9.09.49.2則流水線2的均值為__________，流水線3的標(biāo)準(zhǔn)差為__________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)三條流水線的產(chǎn)量為，流水線2的均值為m，則，解得，設(shè)流水線3的方差為，則，解得.13.數(shù)列滿足，其中，，．當(dāng)，時(shí)，該數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________，若該數(shù)列滿足對(duì)任意的正整數(shù)，都有：，當(dāng)時(shí)，符合條件的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為__________．其中為的最大公因數(shù)．〖答案〗〖解析〗①當(dāng)，時(shí)，有，，.設(shè)，則，，且.故具有相同的初值和遞推式，故，從而；②根據(jù)，，，知，.一方面，若，則，故.從而；另一方面，若，下面證明：.定義數(shù)列滿足，，.則用數(shù)學(xué)歸納法可證明，，直接利用公式計(jì)算可知，對(duì)，有.由于，，，故.從而如果，就有；如果，就有.定義序列如下：，且對(duì)非負(fù)整數(shù)，.則根據(jù)上面的結(jié)論，有，同時(shí)根據(jù)最大公因數(shù)的性質(zhì)，有.而若，則；若，則.綜上，總有.由于非負(fù)整數(shù)不能無限嚴(yán)格遞減下去，故存在非負(fù)整數(shù)，使得.考慮前面的不等號(hào)的取等條件，有，，或，.即存在非負(fù)整數(shù)，使得或.若，則；若，則.所以，而我們又有，，故.從而.綜上，的充要條件是.從而我們需要確定的是，當(dāng)時(shí)，滿足的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù).而在的情況下，有，故所求的的個(gè)數(shù)，就是中和互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù).由于，故中和互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從該集合中去掉的倍數(shù)后的元素個(gè)數(shù)，即等于.所以滿足條件的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，滿足若過點(diǎn)的直線交于，則有．在上有三點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，其中心的軌跡記為，則的軌跡方程為___________，試給出一圓，使得對(duì)上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的兩條切線分別交于不同于的點(diǎn)，則必為的切線：___________．〖答案〗（答出一種特殊情況即可）〖解析〗①設(shè)直線交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，據(jù)已知有，故.而點(diǎn)都在線段外，故重合，從而在的準(zhǔn)線上，所以的準(zhǔn)線是.這就得到，所以的方程是.設(shè)上的三個(gè)不同點(diǎn)，，構(gòu)成等邊三角形，設(shè)該三角形的重心為，則.所以的坐標(biāo)分別是.故，.得，.兩式分別相加，相減，得，.故可得方程組.展開即得.將第一式減去第二式的倍，得，從而.再由第二式得，兩式作差即有.所以，即所以或.若，則由知，所以重合，這不可能.故一定有，即.另一方面，若，則取方程的一根后，根據(jù)上面類似的計(jì)算知.取的坐標(biāo)為，則等邊三角形的頂點(diǎn)在上，且中心為.綜上，上的等邊三角形的中心的軌跡方程為.②我們?cè)O(shè)圓的方程為.則對(duì)上的點(diǎn)，設(shè)過該點(diǎn)的與圓相切，則根據(jù)距離公式有.從而，即設(shè)滿足條件的分別為，則，.同時(shí)，該直線與的另一個(gè)交點(diǎn)滿足，從而由韋達(dá)定理知.設(shè)，，則，.而直線的方程為，即，從而圓心到直線的距離.而，故，所以，得.且.故，得.從而，這就得到.所以直線到圓的距離恰等于其半徑，故是其切線.故〖答案〗為：，.四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.雙曲線，為兩焦點(diǎn)，為的頂點(diǎn)，為上不同于的一點(diǎn)．（1）證明：，的角平分線的交點(diǎn)的軌跡為一對(duì)平行直線的一部分，并求出這對(duì)平行線的方程；（2）若平面上僅有的曲線，沒有坐標(biāo)軸和坐標(biāo)原點(diǎn)，請(qǐng)給出確定的兩個(gè)焦點(diǎn)的位置的方法并給出作長(zhǎng)為的線段的方法．（敘述即可）（1）證明：設(shè)，的角平分線的交點(diǎn)為，則就是的內(nèi)心.設(shè)的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)分別為，則.所以由或，知或.而，故或者，或者.故或者和重合，或者和重合，而是在軸上的投影，故的橫坐標(biāo)是或.所以點(diǎn)必定在直線或上，結(jié)論得證.（2）解：任意作一對(duì)平行線，使得它們和都有兩個(gè)公共點(diǎn).那么兩直線分別將截得一條弦，取這兩條弦的中點(diǎn)，并設(shè)直線交于點(diǎn).取的中點(diǎn)，則是坐標(biāo)原點(diǎn).以為圓心，作一半徑足夠大的圓，使得該圓與有四個(gè)公共點(diǎn)，這四個(gè)公共點(diǎn)構(gòu)成矩形，過作該矩形兩條相鄰邊的平行線，則與有公共點(diǎn)的平行線是軸，與無公共點(diǎn)的平行線是軸，這就得到了兩個(gè)實(shí)軸的端點(diǎn)和.然后，在軸上方基于點(diǎn)作正方形，并以為圓心，以為半徑作圓，交軸正半軸于點(diǎn)，再過作軸垂線，在軸上方交于點(diǎn).則我們得到所求，.最后，以為圓心，以為半徑作圓，交軸正半軸于點(diǎn)，再以為圓心，以為半徑作圓，交軸于點(diǎn)，則就是的兩個(gè)焦點(diǎn).下面我們說明上面的作法是可行的，需要論證的地方有二：①坐標(biāo)原點(diǎn)的確定；②最后的確定.關(guān)于①，利用韋達(dá)定理，我們可以證明用斜率為的直線截雙曲線時(shí)，弦的中點(diǎn)總在一條過原點(diǎn)的直線上.事實(shí)上，兩方程聯(lián)立后可得到，從而兩交點(diǎn)和滿足，故.從而代入知弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，它總在直線上，這就證明了①；關(guān)于②，根據(jù)后續(xù)的作法不難看出，，設(shè)，則，，解得.從而，故，這就得到，這就證明了②.16.在高中課本中，我們研究導(dǎo)數(shù)是在實(shí)數(shù)上研究的．實(shí)際上，求導(dǎo)（微分）是一個(gè)局部性質(zhì)．那么我們能不能在某些范圍內(nèi)推廣導(dǎo)數(shù)這一種局部性質(zhì)．我們?cè)诟咧姓n本中講到：若在附近連續(xù)，且若存在，則為點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．我們能不能將概念推廣到復(fù)數(shù)域上呢？顯然，我們是可以做到的．此時(shí)考慮函數(shù)，若在附近連續(xù)（實(shí)際上可以考慮一個(gè)非常非常小的圓），且若存在，則為點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．（1）按此定義，驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)的除法公式在復(fù)函數(shù)求導(dǎo)下仍然成立．（2）更一般地，若在某個(gè)區(qū)域上均可導(dǎo)，我們稱為上〖解析〗的函數(shù)．考慮復(fù)函數(shù)，其中為一個(gè)模長(zhǎng)小于的復(fù)數(shù)，為一個(gè)模長(zhǎng)為的復(fù)數(shù)．證明：①該復(fù)函數(shù)將上的點(diǎn)映為上的點(diǎn)，且將上的點(diǎn)映為上的點(diǎn)．②為上的〖解析〗函數(shù)．（3）已知：（?。┤艉瘮?shù)為上的〖解析〗函數(shù)，且值域在中，滿足，則有：．（ⅱ）若函數(shù)，分別為，上的〖解析〗函數(shù)，則為上的〖解析〗函數(shù)．此時(shí)若為上的〖解析〗函數(shù)，且值域在中，滿足，證明：．解：（1）.（2）①由于，且.故.當(dāng)即時(shí)，有，從而；當(dāng)即時(shí)，有，從而.②直接由（1）可得，故是上的〖解析〗函數(shù).（3）取，則，由（ⅱ）的結(jié)論，知是的〖解析〗函數(shù).則取，就有是的〖解析〗函數(shù)，且.從而，據(jù)（?。┑慕Y(jié)論，知.而，故.直接計(jì)算可得，，故.所以，故.17.將全體定義在上的函數(shù)的集合記為．對(duì)，，定義上的函數(shù)之間的加法和數(shù)乘運(yùn)算：，．已知為一個(gè)滿足線性關(guān)系的映射，即，，這里，，且滿足對(duì)任意整數(shù)，有，數(shù)列，，其中．（1）求，的遞推公式；（不需要提供初值，遞推公式可以由，組成）（2）若滿足，，且為單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列：①求，的通項(xiàng)公式；②記，記為的前項(xiàng)和，證明：為定值，并求出該定值．解：（1）我們有，.這就得到，.所以，即.而，故.所以所求的遞推式為：，.（2）①設(shè)，，則，，.由，知.所以，從而存在實(shí)數(shù)，使得.同理存在實(shí)數(shù)，使得.兩式作差就得到，故.從而具有形式，即.故.據(jù)已知有，遞減，故，從而，.由于，，故.代入，解得，所以，.②此時(shí).由于對(duì)，有.故.所以，即.整理得到，從而，得.而，故，所以.這就表明，所以.18.在中，，的外接圓圓心為，內(nèi)切圓的圓心為，垂心為，為的中點(diǎn)，在上的投影為，以為半徑作．（1）證明：，相切；（2）記，的切點(diǎn)為，直線交于點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，滿足，證明：直線和的交點(diǎn)在的外接圓上．（1）證明：建立平面直角坐標(biāo)系（注意不是坐標(biāo)原點(diǎn)），并不妨設(shè)，，再設(shè)，并不妨設(shè).設(shè)，則由得，解得，故.設(shè)，則由得，解得，故.所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)是.顯然，所以.這就得到的方程：.設(shè)內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)分別為，則.而，故.同理.所以.另一方面，的內(nèi)切圓半徑.故.從而和的半徑之差為，而.下面說明二者相等，即.設(shè)，，則我們要證明的就是.將兩個(gè)較大的平方式展開，合并同類項(xiàng)，得.再將展開，移項(xiàng)即得.顯然和不異號(hào)，而，故.所以上面的方程兩邊同號(hào)，故其等價(jià)于兩邊平方后的方程，即.此即.將右邊展開，合并同類項(xiàng)，得.而，.故，從而上面的方程等價(jià)于.此即.即.而.故命題最終等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明.而，，故.從而確有，這就證明了和的半徑之差等于.所以和相切.（2）解：先證明四個(gè)引理，注意引理的字母與原題中都可能不一致，僅單獨(dú)作為一個(gè)定理使用.引理1：設(shè)的外心為，垂心為，則的中點(diǎn)，往對(duì)邊各自的投影，以及各自的中點(diǎn)九點(diǎn)共圓，圓心為的中點(diǎn)，該圓稱為的“九點(diǎn)圓”.引理1的證明：將的外接圓記為，其半徑為，然后記關(guān)于的對(duì)徑點(diǎn)為.設(shè)的中點(diǎn)為，以為圓心作，使得的半徑為的一半，從而和關(guān)于點(diǎn)位似，且位似比為.則，且.其中為的三個(gè)內(nèi)角，其對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為.顯然和平行，故和的交點(diǎn)滿足，所以和重合，從而三點(diǎn)共線，且.從而根據(jù)和的位似關(guān)系，知在上，同理在上.直接根據(jù)的定義，及和的位似關(guān)系，知在上.設(shè)分別與交于不同于的點(diǎn).由于是直徑，故，從而和平行，而三點(diǎn)共線，且，故.從而根據(jù)和的位似關(guān)系，知在上，同理在上.至此我們就證明了引理1成立.引理2：設(shè)的內(nèi)切圓為，邊切點(diǎn)分別為，邊的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在邊上的投影為，的平分線交于，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交于不同于的點(diǎn)，則在的九點(diǎn)圓上，這里九點(diǎn)圓的定義如引理1所述.引理2的證明：不妨設(shè)，記的中點(diǎn)分別為，在線段上取點(diǎn)，使得.則根據(jù)對(duì)稱性，三點(diǎn)共線，且所在直線與相切于點(diǎn).記的中點(diǎn)為，則，而根據(jù)切線長(zhǎng)相等，知，故三點(diǎn)共線.由于分別是的中點(diǎn)，故，而根據(jù)切線長(zhǎng)相等有，故.由于，故四點(diǎn)共圓，所以.而，故相似于，所以，即.而直接根據(jù)圓冪定理，有，再結(jié)合，就有，所以四點(diǎn)共圓.故.而注意到是直角的斜邊，是其中點(diǎn)，故.再由知.所以四點(diǎn)共圓.根據(jù)引理1，的外接圓就是的九點(diǎn)圓，所以在的九點(diǎn)圓上，引理2得證.引理3：設(shè)的外心為，內(nèi)切圓的圓心為，在邊上的切點(diǎn)為，直線交的外接圓于，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則三點(diǎn)共線.引理3的證明：設(shè)的外接圓為，的外接圓為，并記直線和交于不同于的點(diǎn)，則