2-7-無窮小量的比較

課前練習(xí)安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics1959ContinuityofFunction二、等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用一、無窮小量的比較§2.7無窮小量的比較一、無窮小量的比較1.1、問題的提出無窮小的和、差、積仍為無窮小.無窮小的商是什么？引例:趨向于零的“快慢”程度不同.結(jié)論:x10.50.10.010.001…→02x210.20.020.002…→0x210.250.010.00010.000001…→01.2、兩個(gè)無窮小的關(guān)系:一、無窮小量的比較定義：1.2、兩個(gè)無窮小的關(guān)系:一、無窮小量的比較引例中：一、無窮小量的比較例1解：1）高階同階但不等價(jià)例2解：一、無窮小量的比較一、無窮小量的比較例2解：證注意：若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積，則可對(duì)其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無窮小因子作等價(jià)無窮小代換，而不會(huì)改變?cè)降臉O限．2.1、等價(jià)無窮小因子替換法二、等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用替換方法：要么替換整個(gè)分子（分母），要么替換分子（分母）中的因子．二、等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用證:常用的幾個(gè)等價(jià)無窮小:二、等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用注意：等價(jià)無窮小中，可以對(duì)相應(yīng)的變量進(jìn)行置換二、等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用如：一般地，有：如果又如：例1解:二、等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用例2解:例3解：二、等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用例4解:此題用倒代換也可二、等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用例5解：例6解：此題用倒代換也可二、等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用例7解:二、等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用例8解:由題意知例9解1：二、等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用注：有些問題先恒等變形創(chuàng)造條件，再替換。例9解2：原極限=二、等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用例10解：方法1二、等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用方法2對(duì)數(shù)恒等式？？一、無窮小量的比較例11解：由題意知：而注意：不能濫用等價(jià)無窮小代換.無窮小代換原則：乘除可以替換，加減不能單項(xiàng)替換，只能總體代換!!二、等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用反例：解錯(cuò)解不能．例當(dāng)時(shí)都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當(dāng)時(shí),思考題比較：反映同過程,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.思考題任何兩個(gè)無窮小都可以比較階的高低嗎？第二章總結(jié)一、基本概念：什么時(shí)候解題要分別考慮單側(cè)極限？

（1）指數(shù)函數(shù)，絕對(duì)值函數(shù)以及偶次根式函數(shù)通常要分別考慮兩個(gè)單側(cè)極限是否存在；（2）如果是分段函數(shù)的分界點(diǎn)，而且在分界點(diǎn)的兩側(cè)函數(shù)表達(dá)式不同，則要分別考慮左極限與右極限。例如第二章總結(jié)4、無窮小量與無窮大量的概念與性質(zhì)5、連續(xù)函數(shù)的概念第二章總結(jié)7、函數(shù)有界,極限存在和連續(xù)的關(guān)系6、間斷點(diǎn)的概念與分類第二章總結(jié)二、極限的計(jì)算方法1、確定型極限的計(jì)算方法：⑴利用極限四則運(yùn)算法；⑵無窮小與有界變量的積仍為無窮小；⑶無窮大與無窮小的關(guān)系。2、未定型極限的計(jì)算方法：將未定型的極限轉(zhuǎn)化為確定型的極限;或者利用兩個(gè)重要極限.第二章總結(jié)羅比塔法則（第四章）三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第二章總結(jié)四、關(guān)于求極限的幾個(gè)要注意的問題第二章總結(jié)1.先判斷極限類型，根據(jù)不同類型采取不同的方法；2.求極限之前，要盡可能簡化極限表達(dá)式。常用方法有：(1)先“替換”等價(jià)無窮小的因子；(2)對(duì)極限為非零常數(shù)的因子，可以用其極限值進(jìn)行“置換”。例如：注意:第二章總結(jié)不是因子（如加減的情形），不能“置換”!!例如：第二章總結(jié)例1解：第二章總結(jié)例2解：第二章總結(jié)例3解：五、含參變量極限表示的函數(shù)第二章總結(jié)參變量：參與某種運(yùn)算的一個(gè)變量，簡稱參量。且當(dāng)參