專題4.1因式分解重難點(diǎn)題型8個(gè)（原卷版）

專題4.1因式分解重難點(diǎn)題型8個(gè)題型1因式分解概念及意義【解題技巧】把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，因式分解可稱為分解因式。1．（2022·遼寧·丹東市八年級(jí)期末）下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．2．（2022·山東·寧陽(yáng)縣八年級(jí)階段練習(xí)）下列式子中，是因式分解的（

）A．B．C．D．3．（2022·廣東·深圳八年級(jí)期中）下列從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）．A．B．C．D．4．（2022·山東中區(qū)·初二期中）已知多項(xiàng)式x2+ax﹣6因式分解的結(jié)果為（x+2）（x+b），則a+b的值為（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．45．（2022·重慶八中初二期中）若多項(xiàng)式可分解為，則的值為（）A． B． C． D．6．（2022·常德市淮陽(yáng)中學(xué)初一期中）若多項(xiàng)式可以因式分解成，那么a=_____．題型2提公因式法【解題技巧】如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那末就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種因式分解的方法叫做提公因式法挖掘隱含公因式：有時(shí)，公因式有顯性完全相同類型，也有隱性互為相反數(shù)的類型。提取公因數(shù)時(shí)，最好能一次性提取完。1．（2022·東平縣八年級(jí)月考）代數(shù)式，，中的公因式是（）A． B． C． D．2．（2022·陜西靖邊·八年級(jí)期末）用提公因式法分解因式時(shí)，提取的公因式是（）A． B． C． D．3．（2022·陜西碑林·）將﹣a2b﹣ab2提公因式﹣ab后，另一個(gè)因式是（）A．a(chǎn)+2b B．﹣a+2b C．﹣a﹣b D．a(chǎn)﹣2b4．（2022·山東單縣·初一期末）已知，則代數(shù)式的值為_(kāi)___________．5．（2022·上海市初一課時(shí)練習(xí)）因式分解：6．（2022·上海市靜安區(qū)初一課時(shí)練習(xí)）分解因式：題型3運(yùn)用公式法【解題技巧】若多項(xiàng)式各項(xiàng)沒(méi)有公因式,則根據(jù)多項(xiàng)式特點(diǎn),選用平方差公式或完全平方公式.平方差公式a2_b2=(a+b)(ab)完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2利用完全平方公式分解因式時(shí)，要求被分解的多項(xiàng)式的形式滿足完全平方公式的形式。首、末項(xiàng)必須是單項(xiàng)式平方的形式，準(zhǔn)確地找到中間項(xiàng)時(shí)正確分解的關(guān)鍵，中間項(xiàng)的符號(hào)決定了分解結(jié)果的運(yùn)算符號(hào)。1）平方差公式的應(yīng)用1．（2022·重慶九年級(jí)）分解因式：__．2．（2022·江西九江·七年級(jí)期末）若，且，則______．3．（2022·湖南益陽(yáng)·期末）下列各式中，哪項(xiàng)可以使用平方差公式分解因式（）A． B． C． D．4．（2022·濰坊美加實(shí)驗(yàn)學(xué)校其他）分解因式：___________．5．（2022·靜寧縣七年級(jí)期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：a2－2＝______.6．（2022·山東東平縣八年級(jí)月考）對(duì)于任何整數(shù)m，多項(xiàng)式都能被（）整除．A．8 B．m C． D．2）完全平方公式的應(yīng)用1．（2022·廣西興賓·）已知下列多項(xiàng)式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的有（）A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③3．（2022·廣東八年級(jí)專題練習(xí)）下列各式中能用完全平方公式法分解因式的是（）A． B． C． D．4．（2022·湖南漣源·七年級(jí)月考）因式分解______．5．（2022·湖南九年級(jí)月考）分解因式：______．6．（2022·四川內(nèi)江八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）分解因式：________．3）綜合應(yīng)用1．（2022·浙江上虞·）下列多項(xiàng)式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（）A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤2．（2022·廣東七年級(jí)專題練習(xí)）下列各式不能運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解的是（）A．B．C．D．3．（2022·山東茌平·七年級(jí)期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1；③a2+ab+b2；④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．（2022·遼寧燈塔·期末）分解因式題型4分組分解法【解題技巧】當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式既不能提公因式，又不能運(yùn)用公式分解，且這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)在4項(xiàng)或4項(xiàng)以上時(shí)，可以考慮將這個(gè)多項(xiàng)式分組，進(jìn)行合理的分組之后，則可以找到每一組各自的公因式，再分解。分組分解法的分解原則是：分組之后的每組之間能夠再提公因式或能套用公式。1．（2022·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校）閱讀下面材料：分解因式：．因?yàn)?，設(shè)．比較系數(shù)得，．解得．所以．解答下面問(wèn)題：在有理數(shù)范圍內(nèi)，分解因式________．2．（2022·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）（______）（______）（______）（______）（______）；（2）（______）（______）（______）（______）（______）（______）（______）；（3）在多項(xiàng)式①；②；③；④中，能用分成三項(xiàng)一組和一項(xiàng)一組的方法分解因式的是（只寫(xiě)式子序號(hào)）________．3．（2022·四川渠縣·八年級(jí)期末）因式分解：．4．（2022·山西呂梁·八年級(jí)期末）閱讀以下材料，并解決問(wèn)題：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項(xiàng)式則不能直接用上述兩種方法進(jìn)行分解，比如多項(xiàng)式．．這樣我們就需要結(jié)合式子特點(diǎn)，探究新的分解方法．仔細(xì)觀察這個(gè)四項(xiàng)式，會(huì)發(fā)現(xiàn)：若把它的前兩項(xiàng)結(jié)合為一組符合平方差公式特點(diǎn)，把它的后兩項(xiàng)結(jié)合為一組可提取公因式，而且對(duì)前后兩組分別進(jìn)行因式分解后會(huì)出現(xiàn)新的公因式，提取新的公因式就可以完成對(duì)整個(gè)式子的因式分解．具體過(guò)程如下：例1：……分成兩組………………分別分解………提取公因式完成分解像這種將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，進(jìn)行分解因式的方法叫做分組分解法．分組分解法一般是針對(duì)四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，關(guān)鍵在恰當(dāng)分組，分組須有“預(yù)見(jiàn)性”，預(yù)見(jiàn)下一步能繼續(xù)分解，直到完成分解．(1)材料例1中，分組的目的是_________________．(2)若要將以下多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，怎樣分組比較合適？__________________；__________________．(3)利用分組分解法進(jìn)行因式分解：．5．（2022·新疆·八年級(jí)階段練習(xí)）我們已經(jīng)學(xué)過(guò)將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．①分組分解法：例如：＝(x﹣y﹣2)(x﹣y+2)．②拆項(xiàng)法：例如：＝(x+1﹣2)(x+1+2)＝(x﹣1)(x+3)③十字相乘法：例如：+6x﹣7解：原式=（x+7）（x﹣1）(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）；②（拆項(xiàng)法）﹣6x+8；③（十字相乘法）﹣5x+6＝______．(2)已知：a、b、c為△ABC的三條邊，﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周長(zhǎng)．6．（2022·重慶·八年級(jí)階段練習(xí)）因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．7．（2022·安徽馬鞍山·七年級(jí)期末）（1）將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：．①分解因式：；②若都是正整數(shù)且滿足，求的值；（2）若為實(shí)數(shù)且滿足，，求的最小值．題型5十字相乘法1．（2022·江西撫州·八年級(jí)期中）分解因式：___________．2．（2022·貴州銅仁·七年級(jí)期中）(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式分解因式呢？我們已經(jīng)知道：．反過(guò)來(lái)，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)的系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫(huà)十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，把常數(shù)項(xiàng)也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)，于是就可以分解為．請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解與應(yīng)用】請(qǐng)你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對(duì)下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究與拓展】對(duì)于形如的關(guān)于，的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來(lái)分解，如圖4．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問(wèn)題：①

分解因式__________；②

若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求的值．3．（2022·廣東·揭西縣寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解．例如：將式子x2＋3x＋2因式分解．分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)2＝1×2，一次項(xiàng)系數(shù)3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問(wèn)題：(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；(2)填空：若x2＋px－8可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；4．（2022·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)期末）閱讀理解題由多項(xiàng)式乘法：，將該式從右到左使用，即可進(jìn)行因式分解的公式：．示例：分解因式：．分解因式：．多項(xiàng)式的特征是二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為兩數(shù)之積，一次項(xiàng)系數(shù)為這兩數(shù)之和．（1）嘗試：分解因式：（______）（______）；（2）應(yīng)用：請(qǐng)用上述方法將多項(xiàng)式：、進(jìn)行因式分解．5．（2022·湖南雨花外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，還有分組分解法，拆項(xiàng)法，配方法等．一般情況下，我們需要綜合運(yùn)用多種方法才能解決問(wèn)題．例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步驟：解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6第1步：拆項(xiàng)法，將﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分組分解法，通過(guò)添括號(hào)進(jìn)行分組；＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整體）；＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后結(jié)果分解徹底．（1）請(qǐng)你試一試分解因式x3﹣7x+6．（2）請(qǐng)你試一試在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式x4﹣5x2+6．6．（2022·湖南廣益實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二月考）閱讀下面材料，解答后面的問(wèn)題：“十字相乘法”能將二次三項(xiàng)式分解因式，對(duì)于形如的關(guān)于，的二次三項(xiàng)式來(lái)說(shuō)，方法的關(guān)鍵是將項(xiàng)系數(shù)分解成兩個(gè)因數(shù)，的積，即，將項(xiàng)系數(shù)分解成兩個(gè)因式，的積，即，并使正好等于項(xiàng)的系數(shù)，那么可以直接寫(xiě)成結(jié)果：例：分解因式：解：如圖1，其中，，而所以而對(duì)于形如的關(guān)于，的二元二次式也可以用十字相乘法來(lái)分解．如圖2．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式例：分解因式解：如圖3，其中，，而，，所以請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)閱讀上述材料，完成下列問(wèn)題：（1）分解因式：①．②．（2）若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求的值．題型6利用因式分解判斷三角形1．（2022·廣東河源·八年級(jí)期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多項(xiàng)式只用上述方法就無(wú)法分解，如，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了．過(guò)程為：．這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種方法解決下列問(wèn)題：(1)分解因式；(2)已知：，．求：的值．(3)三邊a，b，c滿足，判斷的形狀．2．（2021·河北滄州·七年級(jí)期末）閱讀下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式僅用上述方法就無(wú)法分解，如．我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前三項(xiàng)符合完全平方公式，進(jìn)行變形后可以與第四項(xiàng)結(jié)合再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解．過(guò)程如下：．這種因式分解的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法解決下列問(wèn)題：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)△ABC三邊a、b、c滿足，判斷△ABC的形狀并說(shuō)明理由．3．（2022·湖南天元·初一開(kāi)學(xué)考試）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項(xiàng)式只用上述方法就無(wú)法分解，如，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了。過(guò)程為：；這種分解因式的方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問(wèn)題：（1）分解因式：；（2）三邊a，b，c滿足，判斷的形狀.4．（2022·河北河間·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多項(xiàng)式只用上述方法就無(wú)法分解,如,我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn),前兩項(xiàng)符合平方差公式,后兩項(xiàng)可提取公因式,前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式,然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了,過(guò)程為：，這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問(wèn)題．(1)分解因式：；(2)△ABC三邊a、b、c滿足，判斷△ABC的形狀．5．（2022·山東章丘·初二期末）閱讀下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項(xiàng)式只用上述方法無(wú)法分解．如x2－4y2－2x＋4y，細(xì)心觀察這個(gè)式子，會(huì)發(fā)現(xiàn)前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公園式，前、后兩部分分別分解因式后又出現(xiàn)新的公因式，提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式．具體過(guò)程如下：x2－4y2－2x＋4y＝(x2－4y2)－(2x－4y)＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．像這種將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，進(jìn)行分解因式的方法叫做分組分解法．利用分組分解法解決下面的問(wèn)題：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2－ab－ac＋bc＝0，判斷△ABC的形狀并說(shuō)明理由．6．（2022·廣東龍崗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多項(xiàng)式只單純用上述方法就無(wú)法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子，會(huì)發(fā)現(xiàn)，前三項(xiàng)符合完全平方公式，進(jìn)行變形后可以與第四項(xiàng)結(jié)合，再應(yīng)用平方差公式進(jìn)行分解．過(guò)程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法解決下列問(wèn)題：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分別是△ABC三邊的長(zhǎng)且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．題型7利用因式分解求值1．（2022·廣東·平洲一中八年級(jí)階段練習(xí)）已知，則代數(shù)式的值為（

）A．2020 B．2024 C．2021 D．20342．（2022·甘肅·臨澤二中八年級(jí)期末）已知a?b=3，ab=2，則的值為_(kāi)___________．3．（2022·貴州·仁懷市周林學(xué)校八年級(jí)期末）若，，則___．4．（2022·張家界市民族中學(xué)初一期末）甲、乙兩個(gè)同學(xué)分解因式x2+ax+b時(shí)，甲看錯(cuò)了b，分解結(jié)果為(x+2)(x+4)；乙看錯(cuò)了a，分解結(jié)果為(x+1)(x+9)，則ab的值是__________．5．（2022·山西陽(yáng)泉·初二期末）請(qǐng)閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù)．任務(wù):（1）利用上述方法推導(dǎo)立方和公式(從左往右推導(dǎo))；（2）已知,求的值．6.（2022?鯉城區(qū)校級(jí)期末）已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．（1）求5b﹣5c+7的值：（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．題型8因式分解的應(yīng)用解題技巧：因式分解知識(shí)方法應(yīng)用與人們?nèi)粘Ｉ罹o密聯(lián)系，解決應(yīng)用型問(wèn)題，常用提公因式法、運(yùn)用公式法等，并且我們要注意需符合實(shí)際要求。1．（2022·江蘇南京·初一期中）如圖，正方形紙片甲、丙的邊長(zhǎng)分別是a、b，長(zhǎng)方形紙片乙的長(zhǎng)和寬分別為a和b（a＞b）．現(xiàn)有這三種紙片各6張，取其中的若干張（三種圖形都要取到）拼成一個(gè)新的正方形，拼成的不同正方形的個(gè)數(shù)為_(kāi)____．2.（2022?乳山市期中）【閱讀材料】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再將“A”還原，原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．【問(wèn)題解決】（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；（3）證明：若n為正整數(shù)，則代數(shù)式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．3．（2022·山東平陰·）王老師安排喜歡探究問(wèn)題的小明同學(xué)解決某個(gè)問(wèn)題前，先讓小明看了一個(gè)有解答過(guò)程的例題．例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．即：（m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．為什么要對(duì)2n2進(jìn)行了拆項(xiàng)呢？聰明的小明理解了例題解決問(wèn)題的方法，很快解決了下面兩個(gè)問(wèn)題．相信你也能很好的解決下面的這兩個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)寫(xiě)出你的解題過(guò)程．（1）若x2－4xy＋