專(zhuān)題11圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型婆羅摩笈多（定理）模型（原卷版）

專(zhuān)題11圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（定理）模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專(zhuān)題就圓形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.阿基米德折弦模型【模型解讀】折弦:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱(chēng)之為該圖的一條折弦。一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。如圖1所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD。圖1圖2圖3圖4常見(jiàn)證明的方法：1）補(bǔ)短法：如圖2，如圖，延長(zhǎng)DB至F，使BF=BA；2）截長(zhǎng)法：如圖3，在CD上截取DG=DB；3）垂線法：如圖4，作MH⊥射線AB，垂足為H。1．（2023·山西·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱(chēng)為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中點(diǎn)，MF⊥AB于F，則AF＝FB+BC．如圖2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圓于E，連接EA，則∠EAC＝°．例2．（2023·廣東九年級(jí)期中如圖，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，若，，則CD的長(zhǎng)為（

）．A． B． C． D．例3．（2023·山東濟(jì)寧·校考二模）阿基米德是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱(chēng)為三大數(shù)學(xué)王子，在后世的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容．《阿基米德全集》的第一題就是阿基米德的折弦定理．【定理內(nèi)容】一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．【定理模型】如圖①，已知AB和BC是的兩條弦（即折線ABC是的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，那么從M向弦BC作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“補(bǔ)短法”證明的部分證明過(guò)程：如圖②，延長(zhǎng)DB至點(diǎn)F，使，連接MF，AB，MC，MA，AC，…【定理證明】按照上面思路，寫(xiě)出剩余部分的證明過(guò)程．【問(wèn)題解決】如圖③，內(nèi)接于，已知，D為上一點(diǎn)，連接AD，DC，，，求的周長(zhǎng)．例4．（2022上·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形．如圖1，線段、組成折線段．若點(diǎn)在折線段上，，則稱(chēng)點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．【理解應(yīng)用】（1）如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點(diǎn)，點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．若，則______；【定理證明】（2）阿基米德折弦定理：如圖3，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，從向作垂線，垂足為，求證：是折弦的中點(diǎn)；【變式探究】（3）如圖4，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，【定理證明】中的其他條件不變，則、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．【靈活應(yīng)用】（4）如圖5，是的直徑，點(diǎn)為上一定點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若，，則______________．例5．（2023·河南商丘·統(tǒng)考二模）閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對(duì)于了解古希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個(gè)科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱(chēng)之為該圓的一條折弦．一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．如圖1，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），．M是弧的中點(diǎn)，則從M向所作垂線之垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．小明認(rèn)為可以利用“截長(zhǎng)法”，如圖2：在線段上從C點(diǎn)截取一段線段，連接．小麗認(rèn)為可以利用“垂線法”，如圖3：過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，連接任務(wù)：(1)請(qǐng)你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書(shū)寫(xiě)出證明過(guò)程，(2)就圖3證明：．模型2.婆羅摩笈多（定理）模型【模型解讀】婆羅摩笈多（Brahmagupta）是七世紀(jì)時(shí)的印度數(shù)學(xué)家。婆羅摩笈多定理：如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直相交，那么從交點(diǎn)向某一邊所引垂線的反向延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)這條邊對(duì)邊的中點(diǎn)。圖1圖2圖3如圖1，ABCD為圓內(nèi)接四邊形，對(duì)角線AC和BD垂直相交，交點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線EF，延長(zhǎng)FE與AD交于點(diǎn)G；則點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)。如圖2，所示已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，作BH//AE交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，（1）S△ACD=S△ABE；（2）若AF⊥CD，則G為BE中點(diǎn)。2、如圖3，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，在AF的延長(zhǎng)線取點(diǎn)H，使得AF=FH；（1）S△ACD=S△ABE；（2）若F為CD中點(diǎn)，則AG⊥BE。例1．（2022·河南三門(mén)峽·?？家荒＃╅喿x下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱(chēng)“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊”．按圖寫(xiě)出這個(gè)定理的已知和求證，并完成這個(gè)定理的證明過(guò)程；已知：________________________________________________________________________________，求證：________________________________________________________________________________，證明：________________________________________________________________________________．例2．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱(chēng)“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊”．任務(wù)：（1）按圖（1）寫(xiě)出了這個(gè)定理的已知和求證，并完成這個(gè)定理的證明過(guò)程；已知：__________________求證：_________________證明：（2）如圖（2），在中，弦于M，連接分別是上的點(diǎn)，于于H，當(dāng)M是中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形是怎樣的特殊四邊形：__________．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023山東·?？级＃┌⒒椎抡巯叶ɡ恚喝鐖D1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．請(qǐng)應(yīng)用阿基米德折弦定理解決問(wèn)題：如圖2，已知等邊內(nèi)接于，，為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是．2．（2023.廣東.九年級(jí)期中）如圖，是劣弧，是的中點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)．自向弦引垂線，垂足為，求證：．3．（2023·浙江·九年級(jí)校聯(lián)考期中）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱(chēng)，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al﹣Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝AB+BD．小明同學(xué)運(yùn)用“截長(zhǎng)法”和三角形全等來(lái)證明CD＝AB+BD，過(guò)程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA＝MC，…(1)請(qǐng)按照上述思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；(2)如圖3，在⊙O中，BD=CD，DE⊥AC，若AB=4，AC=10，則AE的長(zhǎng)度為_(kāi)________；(3)如圖4，已知等邊ABC內(nèi)接于⊙O，AB=8，D為上一點(diǎn)，∠ABD=45°，AE⊥BD于點(diǎn)E，求BDC的周長(zhǎng)．4．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．阿基米德（，公元前287公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱(chēng)為三大數(shù)學(xué)王子．

阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），．M是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．這個(gè)定理有很多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作射線AB，垂足為點(diǎn)H，連接．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴．任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊三角形內(nèi)接于，D為上一點(diǎn)，．于點(diǎn)E，，連接，求的周長(zhǎng)．

5．（2023·山東濟(jì)寧·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？级＃┌⒒椎率怯惺芬詠?lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱(chēng)為三大數(shù)學(xué)王子．在后世的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容．前蘇聯(lián)在1964年根據(jù)阿爾·比魯尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．【定理內(nèi)容】一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．【定理模型】如圖①，已知和是的兩條弦（即折線是的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，那么從M向弦作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“補(bǔ)短法”證明的部分證明過(guò)程：如圖②，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接，…

【定理證明】(1)按照上面思路，寫(xiě)出剩余部分的證明過(guò)程．【問(wèn)題解決】(2)如圖③，內(nèi)接于，已知，D為上一點(diǎn)，連接，，，求的周長(zhǎng)．6．（2023·山東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．在《阿基米德全集》中記述了偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德提出的關(guān)于圓的一些問(wèn)題，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．其部分證明過(guò)程如下：證明：如圖2，在上截取，連接，，和．∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，……任務(wù)：(1)補(bǔ)全證明過(guò)程，(2)如圖3，在中，，，若，，，則到的距離是____________，到的距離是____________，的半徑是____________．7．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）閱讀材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．問(wèn)題背景：在《阿基米德全集》中記述了偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德提出的關(guān)于圓的一些問(wèn)題，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，AB和BC是的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即．(1)如圖2，牛牛同學(xué)嘗試運(yùn)用“截長(zhǎng)法”說(shuō)明“”，于是他在CD上截取，連接MA，MB，ME，MC．請(qǐng)根據(jù)牛牛的思路完成證明過(guò)程；(2)如圖3，在中，，，若，則AE的長(zhǎng)度為_(kāi)______．8．（2022·山東臨沂·統(tǒng)考一模）（1）如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC>AB，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，MD⊥BC，垂足為D．求證：CD＝DB+BA．（2）如圖2，BC是半⊙O的直徑，點(diǎn)A是半圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是半圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠DAC＝45°，若AB＝5，⊙O的半徑為6.5，①請(qǐng)?jiān)趫D2上作出D點(diǎn)，說(shuō)明理由；②結(jié)合（1）的結(jié)論，求AD的長(zhǎng)．9．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù)：婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹(shù)．他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱(chēng)為“古拉美古塔定理”，該定理的內(nèi)容及部分證明過(guò)程如下：古拉美古塔定理：如圖1，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線，垂足為點(diǎn)，直線，垂足為點(diǎn)，并且交直線于點(diǎn)，則．證明：∵，，∴∴，．∴．∵，∴．（依據(jù)）又∵，∴．∴．……任務(wù)：（1）上述證明過(guò)程中的依據(jù)是______；（2）將上述證明過(guò)程補(bǔ)充完整；（3）古拉美古塔定理的逆命題：如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線，垂足為點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則．請(qǐng)證明該命題．10．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個(gè)定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊．證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，由垂直關(guān)系得，，所以，由同弧所對(duì)的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為（填“真命題”，“假命題”）；【探究】（1）如圖2，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，過(guò)點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）如圖3，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．11．（2023·山西太原·九年級(jí)山西大附中?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹(shù)，特別是在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻(xiàn)．他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱(chēng)為“古拉美古塔定理”．該定理的內(nèi)容及部分證明過(guò)程如下：古拉美古塔定理：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為M，直線ME⊥BC，垂足為E，并且交直線AD于點(diǎn)F，則AF＝FD．證明：∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90°∴∠CBD＝∠CME∴，∠CME＝∠AMF∴∠CAD＝∠AMF∴AF＝MF…任務(wù)：（1）材料中劃?rùn)M線部分短缺的條件為：；（2）請(qǐng)用符號(hào)語(yǔ)言將下面“布拉美古塔定理”的逆命題補(bǔ)充完整，并證明該逆命題的正確性：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為M，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，直線FM交BC于點(diǎn)E，①．求證：②．證明：12．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考三模）探索應(yīng)用材料一：如圖1，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，∠B＝θ，用c和θ表示BC邊上的高為，用a．c和θ表示△ABC的面積為．材料二：如圖2，已知∠C＝∠P，求證：CF?BF＝QF?PF．材料三：蝴蝶定理（ButterflyTheorem）是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一，最早出現(xiàn)在1815年，由W．G．霍納提出證明，定理的圖形象一只蝴蝶．定理：如圖3，M為弦PQ的中點(diǎn)，過(guò)M作弦AB和CD，連結(jié)AD和BC交PQ分別于點(diǎn)E和F，則ME＝MF．證明：設(shè)∠A＝∠C＝α，∠B＝∠D＝β，∠DMP＝∠CMQ＝γ，∠AMP＝∠BMQ＝ρ，PM＝MQ＝a，ME＝x，MF＝y(tǒng)由即化簡(jiǎn)得：MF2?AE?ED＝ME2?CF?FB則有：,又∵CF?FB＝QF?FP，AE?ED＝PE?EQ，∴，即即，從而x＝y(tǒng)，ME＝MF．請(qǐng)運(yùn)用蝴蝶定理的證明方法解決下面的問(wèn)題：如圖4，B、C為線段PQ上的兩點(diǎn)，且BP＝CQ，A為PQ外一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠BAP＝∠CAQ，判斷△PAQ的形狀，并證明你的結(jié)論．13．（2022·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱(chēng)為西姆松線）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖1，已知內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在⊙O上（不與點(diǎn)A、B、C重合），過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上以下是他們的證明過(guò)程：如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點(diǎn)Q，連接QE，QF，則（依據(jù)1），∴E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓．∴（依據(jù)2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四點(diǎn)共圓．∴（依據(jù)3）．∵，∴（依據(jù)4）．∴點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．任務(wù)：(1)填空：①依據(jù)1指的的是中點(diǎn)的定義及______；②依據(jù)2指的是______；③依據(jù)3指的是______；④依據(jù)4指的是______．(2)善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，．請(qǐng)你利用圖2證明該結(jié)論的正確性．14．（2022·河南平頂山·統(tǒng)考二模）閱讀下面的材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：在1815年某雜志上刊登了這樣一個(gè)命題：如圖，圓O中的弦AB的中點(diǎn)為G，過(guò)點(diǎn)G任作兩弦CD，EF，弦FC，ED分別交AB于P，Q，則PG=QG．由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，故稱(chēng)“蝴蝶定理”、是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一．任務(wù)：(1)如圖1，AB為⊙O的任一弦．①若G為弦AB的中點(diǎn)，連接OG，則OG與AB的位置關(guān)系為_(kāi)_____；②若OG⊥AB，判斷AG與BG之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)下面是“蝴蝶定理”的證明過(guò)程（部分），請(qǐng)補(bǔ)充完整．證明：過(guò)O作OM⊥FC于點(diǎn)M，ON⊥DE于點(diǎn)N，連接OP，OQ，MG，NG，OG，由任務(wù)（1）可知：CF=2MC，ED=2NE，OG⊥AB且∠OMC=∠OGP=90°，∠ONQ=∠OGQ=90°，∵∠F=∠D，∠C=∠E，∴△FGC∽△DGE，即，又，取PO的中點(diǎn)O′，在四邊形MOGP中，∵∠OMC=∠OGP=90°，∴MO′=OO′=PO′，GO′=OO′=PO′，即：MO′=OO′=GO′=PO′，∴M，O，G，P四點(diǎn)在以O(shè)′為圓心的一個(gè)圓上，∴∠1=∠2（同弧所對(duì)的圓周角相等），同理：∠3=∠4，_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________15．（2022·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱(chēng)為西姆松線）．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該