第二章有理數(shù)及其運算（知識歸納題型突破）（原卷版）

第二章有理數(shù)1.了解具有相反意義的量，正負(fù)數(shù)的概念；2.理解有理數(shù)、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的概念，能正確解題；3.理解數(shù)軸的概念，并能正確畫出數(shù)軸,，在數(shù)軸上表示數(shù)；4.理解有理數(shù)加法、減法、乘法、除法法則、；5.理解有理數(shù)乘方定義及運算；6.能掌握加法、減法的運算定律和運算技巧，熟練計算；能掌握乘法的運算定律和運算技巧，熟練計算；7.通過將減法轉(zhuǎn)化成加法和將除法轉(zhuǎn)化成乘法，初步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的歸一思想8.進一步掌握有理數(shù)的五則混合運算；9.理解科學(xué)記數(shù)法，了解近似數(shù)；10.能運用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù).知識點1正數(shù)和負(fù)數(shù)概念正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號“—”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。注：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。（不是帶“—”號的數(shù)都是負(fù)數(shù)，而是在正數(shù)前加“—”的數(shù)。）2.意義：在同一個問題上，用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量。知識點2：有理數(shù)概念整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。（有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。）注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)，負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)。2.分類：兩種⑴按正、負(fù)性質(zhì)分類：⑵按整數(shù)、分?jǐn)?shù)分類：正有理數(shù)正整數(shù)正整數(shù)有理數(shù)正分?jǐn)?shù)整數(shù)0零有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)知識點3：數(shù)軸1.概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。三要素：原點、正方向、單位長度2.對應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的點和有理數(shù)是一一對應(yīng)的。比較大小：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。3.應(yīng)用求兩點之間的距離：兩點在原點的同側(cè)作減法，在原點的兩側(cè)作加法。（注意不帶“+”“—”號）知識點3：相反數(shù)1.概念代數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)。（0的相反數(shù)是0）幾何：在數(shù)軸上，離原點的距離相等的兩個點所表示的數(shù)叫做相反數(shù)。2.性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，則a＋b=0，即a=b；反之，若a＋b=0，則a與b互為相反數(shù)。兩個符號：符號相同是正數(shù)，符號不同是負(fù)數(shù)。3.多重符號的化簡多個符號：三個或三個以上的符號的化簡，看負(fù)號的個數(shù)（注意：當(dāng)“—”號的個數(shù)是偶數(shù)個時，結(jié)果取正號當(dāng)“—”號的個數(shù)是奇數(shù)個時，結(jié)果取負(fù)號）知識點4:絕對值1.幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值。一個正數(shù)的絕對值是它的本身（若|a|＝|b|，則a＝b或a＝﹣b）2.代數(shù)意義一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)0的絕對值是03.代數(shù)符號意義：a＞0，|a|=a反之，|a|＝a，則a≥0，|a|＝﹣a，則a≦0a=0，|a|=0a＜0，|a|=‐注：非負(fù)數(shù)的絕對值是它本身，非正數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。4.性質(zhì)：絕對值是a(a＞0)的數(shù)有2個，他們互為相反數(shù)。即±a。5.非負(fù)性：任意一個有理數(shù)的絕對值都大于等于零，即|a|≥0。幾個非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個非負(fù)數(shù)都等于0。故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝01.數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。6.比較大小2.代數(shù)比較法：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。兩個負(fù)數(shù)比較大小時，絕對值大的反而小。知識點5：加法法則⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)相加得0。⑶一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。知識點6：加法運算定律（1）加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a＋b=b＋a加法結(jié)合律：在有理數(shù)加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知識點7：減法法則減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a－b=a＋（﹣）b知識點8：乘法法則（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。（2）任何數(shù)同0相乘，都得0。（3）多個不為0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負(fù)數(shù)，即先確定符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。（4）多個數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0，則積等于0；反之，若積為0，則至少有一個因數(shù)是0。知識點9：除法法則（1）除以一個（不等于0）的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。（2）兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。（3）0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。知識點10：倒數(shù)（1）定義：的兩個數(shù)互為倒數(shù)。（2）性質(zhì)：負(fù)數(shù)的倒數(shù)還是負(fù)數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)。注意：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)為.知識點11：乘法運算定律（1）乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即a×b＝ba（2）乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，在把積相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。知識點12：乘方法則運算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0知識點13：混合運算（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級運算，從左到右的順序進行。（3）如有括號，先算括號內(nèi)的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。在進行有理數(shù)的運算時，要分兩步走：先確定符號，再求值。知識點14：科學(xué)計數(shù)法1.科學(xué)記數(shù)法概念：把一個大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n為正整數(shù)）。這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一個n為數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10n－12.近似數(shù)的精確度：兩種形式（1）精確到某位或精確到小數(shù)點后某位。（2）保留幾個有效數(shù)字注：對于較大的數(shù)取近似數(shù)時，結(jié)果一般用科學(xué)記數(shù)法來表示例如：256000（精確到萬位）的結(jié)果是2.6×105有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個非0數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)。注：（1）用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時，只看乘號前面的數(shù)字。例如：3.0×104的有效數(shù)字是3。（2）帶有記數(shù)單位的近似數(shù)的有效數(shù)字，看記數(shù)單位前面的數(shù)字。例如：2.605萬的有效數(shù)字是2，6，0，5?！绢}型1正負(fù)數(shù)表示的意義】1．（2023?荔灣區(qū)一模）中國是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量的國家，如果將“收入60元”記作“+60元”，那么“支出40元”記作（）A．+40元 B．﹣40元 C．+20元 D．20元2．（2023?滕州市校級開學(xué)）在一條東西走向的道路上，若向東走3m記作+3m，那么向西走7m應(yīng)記作（）A．7m B．﹣7m C．﹣10m D．4m3．（2022秋?白云區(qū)期末）某藥品說明書上標(biāo)明藥品保存的溫度是（20±2）℃，則該藥品保存的溫度范圍是（）A．20～22℃ B．18～20℃ C．18～22℃ D．20～24℃4．（2023?上城區(qū)開學(xué)）如果+5分表示比平均分高5分，那么﹣9分表示（）A．比平均分低9分 B．比平均分高9分 C．和平均分相等 D．無法確定5．（2022秋?姜堰區(qū)期末）2022世界杯足球比賽在卡塔爾舉行，本次世界杯揭幕戰(zhàn)于當(dāng)?shù)貢r間11月20日19時進行，由東道主卡塔爾對陣厄瓜多爾．已知中國北京是在東八區(qū)時區(qū)，卡塔爾是東三區(qū)時區(qū)，卡搭爾當(dāng)?shù)貢r間比北京時間晚5小時，則揭幕戰(zhàn)是北京時間（）A．11月20日14時 B．11月20日19時 C．11月21日19時 D．11月21日0時6．（2023春?魯?shù)榭h校級期末）一種面粉的質(zhì)量標(biāo)識為“25±0.25千克”，則下列面粉中合格的有（）A．25.28千克 B．25.18千克 C．24.69千克 D．24.25千克7．（2023?巧家縣校級二模）中老鐵路是與中國鐵路網(wǎng)直接連通的國際鐵路，線路北起中國西南地區(qū)的昆明市，南向到達(dá)老撾首都萬象市，是“一帶一路”上最成功的樣板工程．從長期看將會使老撾每年的總收入提升21%，若+21%表示提升21%，則﹣10%表示（）A．提升10% B．提升31% C．下降10% D．下降﹣10%【題型2有理數(shù)的相關(guān)概念】8．（2023春?松北區(qū)校級月考）已知下列各數(shù)：﹣8，2.57，6，，﹣0.25，，，0，其中非負(fù)數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個9．（2022秋?太平區(qū)校級期末）在﹣2，3.14，，0.1414，0.101001000…中，有理數(shù)的個數(shù)是（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個10．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）下列分?jǐn)?shù)中不能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)是（）A．1 B． C． D．11．（2023春?閔行區(qū)期中）有理數(shù)分為（）A．正數(shù)和負(fù)數(shù) B．素數(shù)和合數(shù) C．整數(shù)和分?jǐn)?shù) D．偶數(shù)和奇數(shù)12．（2022秋?吉安期末）我們知道，無限循環(huán)小數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，例如：將0.＝x，則x＝0.3+x，解得x＝，即0.＝，仿此方法，將0.化成分?jǐn)?shù)是（）A． B． C． D．13．（2023春?惠陽區(qū)校級月考）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號內(nèi)：+8，0.35，0，﹣1.04，200%，π，，﹣，﹣2020．整數(shù)集合{}；正數(shù)集合{}；正分?jǐn)?shù)集合{}．【題型3利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】14．（2022秋?茌平區(qū)校級期末）如圖，點A和B表示的數(shù)分別為a和b，下列式子中，不正確的是（）A．a(chǎn)＞﹣b B．a(chǎn)b＜0 C．a(chǎn)﹣b＞0 D．a(chǎn)+b＞015．（2023?番禺區(qū)一模）如圖，若點A，B，C所對應(yīng)的數(shù)為a，b，c，則下列大小關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)＜b＜﹣c B．b＜﹣c＜a C．﹣a＜c＜b D．a(chǎn)＜c＜﹣b16．（2023?白山模擬）把有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示，如圖所示，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)﹣b＜0 B．a(chǎn)＞﹣b C．＞1 D．＜﹣117．（2022秋?裕華區(qū)校級期末）a、b兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，將a、b、﹣a、﹣b用“＜”連接，正確的是（）A．﹣b＜a＜﹣a＜bB．a(chǎn)＜﹣b＜﹣a＜bC．a(chǎn)＜b＜﹣a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b18．（2022秋?濱海新區(qū)校級期末）已知數(shù)a，b，c的大小關(guān)系如圖所示，則下列各式：①abc＞0；②a+b﹣c＞0；③bc﹣a＞0；④|a﹣b|﹣|c+a|+|b﹣c|＝﹣2a，其中正確個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．419．（2022秋?豐都縣期末）若m、n是有理數(shù)，滿足|m|＞|n|，且m＞0，n＜0，則下列選項中，正確的是（）A．n＜﹣m＜m＜﹣nB．﹣m＜n＜﹣n＜mC．﹣n＜﹣m＜n＜m D．﹣m＜﹣n＜n＜m【題型4絕對值非負(fù)性的運用】20．（2022秋?封開縣期末）若|x﹣2|+|2y﹣6|＝0，則x+y的值為（）A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣621．（2022秋?墊江縣期末）如果|a+2|+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2022的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣2022 D．202222．（2022秋?泗陽縣期中）式子|x﹣2|+1的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．323．（2022秋?海林市期末）已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，則m﹣n的值是（）A．﹣10 B．﹣2 C．﹣2或﹣10 D．224．（2022秋?洛寧縣期中）已知|a|＝2，|b|＝3，且在數(shù)軸上表示有理數(shù)b的點在a的左邊，則a﹣b的值為（）A．﹣1 B．﹣5 C．﹣1或﹣5 D．1或525．（2022秋?依安縣期中）如果|m+n|＝|m|+|n|，則（）A．m、n同號 B．m、n異號 C．m、n為任意有理數(shù) D．m、n同號或m、n中至少一個為零26．（2022秋?利州區(qū)校級期末）若|a﹣1|與|b﹣2|互為相反數(shù)，則a+b的值為．【題型5化簡絕對值】27．（2022秋?營口期中）已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：則代數(shù)式|a|+|a+b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|的值等于（）A．﹣3a B．2c﹣a C．2a﹣2b D．b28．（2021秋?宣化區(qū)期末）若a＜0，b＞0，則|a|+|a﹣b|＝（）A．b﹣2a B．a(chǎn)﹣2b C．2a+b D．﹣2a﹣b29．（2022秋?鄞州區(qū)期中）若abc≠0，則++的值為（）A．±3或±1 B．±3或0或±1 C．±3或0 D．0或±130．（2022秋?河池期末）若x＞0，|x﹣2|+|x+4|＝8，則x＝．31．（2023春?松江區(qū)期中）如果a＜1，化簡：|2﹣a|﹣|a﹣1|＝．32．（2022秋?吉安期末）已知有理數(shù)m，n滿足mn≠0，則＝．33．（2022秋?蓮湖區(qū)期末）若x為任意實數(shù)，則|x+4|+|x﹣2|的最小值是．34．（2022秋?福清市校級期末）如果|m|＝|﹣3|，那么m＝．35．（2022秋?農(nóng)安縣期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|＝|b|，化簡|c﹣a|+|c﹣b|+|a+b|．36．（2022秋?富縣期中）已知|x|＝2，|y﹣1|＝5，且x＞y，求2（x﹣y）的值．37．（2022秋?南安市期中）若|a|＝5，|b|＝3，（1）若ab＞0，求a+b的值；（2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．38．（2022春?龍鳳區(qū)期末）已知a、b、c三個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點如圖，其中O為原點，化簡|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|．【題型6有理數(shù)的混合運算】39．（2023?香坊區(qū)校級開學(xué)）計算：（1）4+（﹣2）2×5﹣（﹣8）÷4；（2）．40．（2023?光澤縣校級開學(xué)）計算下列各題：（1）；（2）；（3）；（4）（﹣3）×2+|﹣4|﹣（﹣2）3．41．（2022秋?曲阜市期末）計算題（1）（﹣2）﹣（﹣3）+（+7）﹣（+11）；（2）；（3）﹣12022+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|．42．（2022秋?海門市期末）計算：（1）﹣2.4﹣（+3.3）﹣（﹣4.4）+（﹣5.7）；（2）；（3）（﹣3）3+3×[（﹣3）2+2]；（4）．43．（2022秋?市中區(qū)校級期末）計算：（1）（﹣5）﹣（﹣6）+（﹣7）﹣（﹣4）；（2）（﹣1）2021+（﹣18）×|﹣|﹣4÷（﹣2）．【題型7倒數(shù)的運用】44．（2023?泗洪縣模擬）﹣2023的倒數(shù)是（）A．﹣2023 B．2023 C．﹣ D．45．（2022秋?梁山縣期末）下面各組數(shù)中互為倒數(shù)的是（）A．3.1和1.3 B．0.5和2 C．0.25和0.52 D．和46．（2022?包頭）若a，b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4，則3a+3b﹣4c的值為（）A．﹣8 B．﹣5 C．﹣1 D．1647．（2023?九江一模）若m、n互為相反數(shù)，p、q互為倒數(shù)，則?2023m+?2023n的值是．48．（2022秋?林州市期中）已知：有理數(shù)m所表示的點與﹣1表示的點距離4個單位，a，b互為相反數(shù)，且都不為零，c，d互為倒數(shù)．求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值．【題型8科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)】49．（2023?羅山縣校級開學(xué)）2021年10月16，我國的神舟十三號載人飛船搭載著翟志剛、王亞平、葉光富三名宇航員成功飛天，開啟了歷時六個月的太空任務(wù)．載人飛船在太空的飛行速度可達(dá)28440km/h．將28440用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．2.844×104 B．28.44×103 C．2.844×103 D．0.2844×10550．（2022秋?管城區(qū)校級期末）“中國疫苗，助力全球戰(zhàn)疫”．據(jù)法國《費加羅報》網(wǎng)站10月15日報道，預(yù)計到今年年底，全球新冠疫苗產(chǎn)量將超過120億劑，其中一半將來自中國制造商，這是歐盟計劃在2021年生產(chǎn)的30億劑新冠疫苗數(shù)量的兩倍．中國已經(jīng)向全球100多個國家提供了疫苗，數(shù)據(jù)120億劑用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.12×1011劑 B．1.2×1010劑 C．12×109劑 D．120×108劑【題型9計算“24”點】51．（2022秋?源城區(qū)校級期末）做數(shù)學(xué)“24點”游戲時，抽到的數(shù)是：﹣2，3，4，﹣6；你列出算式是：（四個數(shù)都必須用上，而且每個數(shù)只能用一次．可以用加、減、乘、除、乘方運算，也可以加括號，列一個綜合算式，使它的結(jié)果為24或﹣24）．52．（2022秋?海城市期中）“24點游戲”指的是將一副撲克牌中任意抽出四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行加減乘除混合運算（每張牌只能使用一次），使得運算結(jié)果是24或者是﹣24，現(xiàn)抽出的牌所對的數(shù)字是4，﹣5，3，﹣1，請你寫出剛好湊成24的算式．53．（2022秋?蓬萊區(qū)期中）你會玩“24點”游戲嗎？共一副撲克牌（去掉“大王”、“小王”）中任意抽4張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行混合運算（每張牌只能用一次），使得運算結(jié)果為24．其中J，Q，K分別代表11，12，13．如小明抽到了3，3，7，7，可用算式7×（3+3÷7）得到24；如圖是小剛抽到的四張牌，請用算式得到24：．54．（2022秋?惠東縣期中）有一種“24點”的游戲，規(guī)則為：將4個給定的有理數(shù)進行加減乘除四則運算（每個數(shù)只能用一次），使其結(jié)果為24．例如1，2，3，4可做如下運算：（1+2+3）×4＝24．（1）現(xiàn)有4個有理數(shù)：﹣6，3，4，10，運用上述規(guī)則，寫出一個算式，使其結(jié)果為24：（2）現(xiàn)有4個有理數(shù)：1，2，4，﹣8，在上述規(guī)則的基礎(chǔ)上，再多給你一種乘方運算，請你寫出一個含乘方的算式，使其結(jié)果為24．【題型10有理數(shù)應(yīng)用綜合】55．（2023?光澤縣校級開學(xué)）某校七年級（1）班學(xué)生在勞動課上采摘成熟的白蘿卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，相等的千克數(shù)記作0，不足的千克數(shù)記作負(fù)數(shù)，稱重后記錄如下：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩﹣2.51.5﹣30﹣0.51﹣2﹣2﹣1.52回答下面問題：（1）以每筐