專題04圖形的相似（難點(diǎn)）

專題04圖形的相似（難點(diǎn)）一、單選題1．下列說法不正確的是（）A．將一個(gè)矩形風(fēng)景畫的四周鑲上寬度相等的金邊后得到的新矩形與原矩形相似B．若線段a＝5cm，b＝2cm，則a：b＝5：2C．若線段AB＝cm，C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，則AC＝cmD．若兩個(gè)相似多邊形的面積比為16：9，那么這兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比是4：3【答案】A【分析】直接利用成比例線段以及相似多邊形的性質(zhì)、黃金分割的性質(zhì)分別判斷得出答案．【解析】解：A、將一個(gè)矩形風(fēng)景畫的四周鑲上寬度相等的金邊后得到的新矩形與原矩形不一定相似，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；B、若線段a=5cm，b=2cm，則a：b=5：2，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C、若線段AB＝cm，C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，則cm，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；D、若兩個(gè)相似多邊形的面積比為16：9，那么這兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比是4：3，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，成比例線段，黃金分割，掌握它們的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且，下列命題：，中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．【解析】∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞PB，∴根據(jù)線段黃金分割的定義得：AP2＝PB?AB，AP：AB＝PB：AP，∴只有②④正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．本題同時(shí)考查了乘積形式和比例形式的轉(zhuǎn)化，難度適中．3．如圖，在中，，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)，即可解答．【解析】，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)得到線段的比例關(guān)系．4．如圖，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是BC邊和AB邊上兩點(diǎn)，連接DE．將△BDE沿DE折疊，得到△B′DE，點(diǎn)B恰好落在AC的中點(diǎn)處，設(shè)DE與BB交于點(diǎn)F，則EF＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，過B′作B′H⊥AB與H，得到AH＝B′HAB′，求得AH＝B′H＝1，根據(jù)勾股定理得到BB′，由折疊的性質(zhì)得到BFBB′，DE⊥BB′，根據(jù)相似三角形即可得到結(jié)論．【解析】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，過B′作B′H⊥AB與H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′HAB′，∵AB′AC，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB′，∵將△BDE沿DE折疊，得到△B′DE，∴BFBB′，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴，∴，∴EF，故答案為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，G是弧上任意一點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)F，連接．若，則的直徑為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】（1）連接AC，由垂徑定理可得AC=AD，再根據(jù)圓周角定理推導(dǎo)出,得到△ACF∽△AGC，得AC2=,根據(jù)勾股定理求出AE，連接BD最后用△ADE∽△ABD即可得直徑AB；【解析】連接AC,BD弦于點(diǎn)EAC=AD,△ACF∽△AGCAC2=,AC=△ADE是直角三角形，∠AED＝90°，,,∠AED＝∠ADB=90°△ADE∽△ABD,故答案選：C【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理及推論、垂徑定理，相似三角形，解題關(guān)鍵是熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角，過圓心且垂直于弦的直線平分這條弦．滿足勾股定理的各邊關(guān)系，相似三角對(duì)應(yīng)邊成比例是重要等量關(guān)系．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，B點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，C點(diǎn)為該p拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．25 C．30 D．【答案】A【分析】連接OB，過C點(diǎn)作CM⊥OB于M點(diǎn)，過A點(diǎn)作AN⊥OB于N點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，先求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，繼而得出BD、OA、OD，在證明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，進(jìn)而可得3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，當(dāng)A、C、M三點(diǎn)共線，且三點(diǎn)連線垂直O(jiān)B時(shí)，AC+CM最小，根據(jù)求出AN，AC+CM最小值即為AN，則問題得解．【解析】連接OB，過C點(diǎn)作CM⊥OB于M點(diǎn)，過A點(diǎn)作AN⊥OB于N點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，如圖，令y=0，得方程，解得x=0或者x=6，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0)，即OA=6，將配成頂點(diǎn)式得：，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4)，∴BD=4，OD=3，∵CM⊥OB，AN⊥OB，∴∠BMC=∠ANO=90°，根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的性質(zhì)可知BD⊥OA，∴∠BDO=90°，在Rt△BDO中，利用勾股定理得，∵∠OBD=∠CBM，∠BDO=90°=∠BMC∴△OBD∽△CBM，同理可證得△OBD∽△OAN，∴，，∴，即3BC=5MC，∴3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，∵當(dāng)A、C、M三點(diǎn)共線，且三點(diǎn)連線垂直O(jiān)B時(shí)，AC+CM最小，∴AC+CM最小值為AN，如圖所示，∵，∴，∴AC+CM最小值，∴即3BC+5AC=5(AC+CM)=24，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，利用三角形相似得出3BC=5MC，進(jìn)而得出3BC+5AC=5(AC+CM)是解答本題的關(guān)鍵．7．如圖，與的邊相切，切點(diǎn)為點(diǎn)，并分別與、邊相交于、點(diǎn)，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，若的半徑不變，則的最大值為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】由兩角對(duì)應(yīng)相等可判定，由此得到，變形得到，由勾股定理得到，可得，推斷出的最大值是直徑的平方，再由，點(diǎn)、在上，推出是的直徑，再根據(jù)勾股定理即可得解．【解析】解：連結(jié),，，，,又，，，，，，，在中，，，最大值是是直徑時(shí)，的最大值是直徑的平方，，，點(diǎn)、在上，是的直徑，，是直徑的平方，的最大值可表示為：，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，掌握上述基本性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，為銳角三角形，，，點(diǎn)O為的重心，D為中點(diǎn)，若固定邊，使頂點(diǎn)A在所在平面內(nèi)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，保持的大小不變，設(shè)的中點(diǎn)為D，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】如圖，作的外接圓，點(diǎn)為圓心，，根據(jù)重心定理，得出，根據(jù)圓周角定理，得出，進(jìn)而得出，再根據(jù)等角對(duì)等邊，得出，再根據(jù)勾股定理，得出，，當(dāng)時(shí)，最長(zhǎng)，可求此時(shí)最大值，由于，可得此時(shí)最小值，進(jìn)而可得的取值范圍．【解析】解：如圖，作的外接圓，點(diǎn)為圓心，，∵點(diǎn)O為的重心，∴，∵，∴，∴，∴，由勾股定理知，∴，∵當(dāng)時(shí)，最長(zhǎng)，∴最大值為，∵，∴，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓、重心定理、圓周角定理、等角對(duì)等邊、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握外接圓．重心定理：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍．該點(diǎn)叫做三角形的重心．9．如圖1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PD的長(zhǎng)度為x，PE與PC的長(zhǎng)度和為y，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中H是圖象上的最低點(diǎn)，則a＋b的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由A、C關(guān)于BD對(duì)稱，推出PA＝PC，推出PC＋PE＝PA＋PE，推出當(dāng)A、P、E共線時(shí)，PE＋PC的值最小，觀察圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，PE＋PC＝6，推出BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，分別求出PE＋PC的最小值，PD的長(zhǎng)即可解決問題．【解析】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝120°，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，∴易證AE⊥BC，∵A、C關(guān)于BD對(duì)稱，∴PA＝PC，∴PC＋PE＝PA＋PE，∴當(dāng)A、P、E共線時(shí)，PE＋PC的值最小，即AE的長(zhǎng)．觀察圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，PE＋PC＝6，∴BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，∴在Rt△AEB中，AE＝，∴PC＋PE的最小值為，∴點(diǎn)H的縱坐標(biāo)a＝，∵BC∥AD，∴，∵BD＝，∴PD＝，∴點(diǎn)H的橫坐標(biāo)b＝，∴a＋b＝；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接、，分別交、于點(diǎn)、，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，下列結(jié)論正確的有：（

）①；②；③若四邊形的面積為4，則該正方形的面積為36；④．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】連接OE、AF，①利用四點(diǎn)共圓證明∠AFP＝∠ABP＝45°即可；②設(shè)BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解決問題；③利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算求得正方形ABCD的面積為48；④利用相似三角形的性質(zhì)證明即可．【解析】解：如圖，連接OE、AF∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，故①正確，設(shè)，則由勾股定理可得：，，∴，即，故②正確，根據(jù)對(duì)稱性可知，，∴，∵，∴，∴∴，∴，∴，∴，故③錯(cuò)誤，∵∴，∴，∵，∴，故④正確，故選B【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)，并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．二、填空題11．如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，OD＝2，將BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到BE，交CD于點(diǎn)F，且使得DE⊥BD．若AC＝4DE，則CF＝．【答案】【分析】首先根據(jù)題目已知條件理清各邊之間的關(guān)系，根據(jù)勾股定理求出DE,AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出菱形邊長(zhǎng)，利用相似：△OBF∽△DBE得出OF的長(zhǎng)，再利用相似:△DEF∽△CMF得出CF的長(zhǎng)．【解析】設(shè)DE的長(zhǎng)為x，∵AC=4DE,∴AC=4x，∵四邊形ABCD為菱形，∴AO=，AC⊥BD,∴△AOD為直角三角形，∴，∵BC=AD,∴BC=,∵DE⊥BD，∴△DBE為直角三角形，∴BE=，又∵BE=BC,∴，解得x=2，∴DE=2，AC=8,AO=OC=4,BC=DC=,設(shè)BE與AC交點(diǎn)為M，∵DE⊥DB，AC⊥DB，∴DE∥AC，即DE∥OM，∵O為DB中點(diǎn)，∴,∴OM=1,又∵OC=4,∴MC=OCOM=3,∵DE∥CM,∴,∴,故填：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似，解題本題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出邊長(zhǎng)，再根據(jù)平行得出兩組相似三角形．12．如圖，點(diǎn)是平行四邊形邊上一點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在的角平分線上，若，，，則，．【答案】1【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，由角平分線性質(zhì)得，即為等邊三角形，即，有折疊性質(zhì)得，延長(zhǎng)AD交BG的延長(zhǎng)線于H，利用相似三角形的性質(zhì)，設(shè)AE=2x，構(gòu)建方程求解即可．【解析】解：如圖，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∵BG是的角平分線，∴，∴為等邊三角形，∴CG=BC=2，∴DG=DCCG=32=1，延長(zhǎng)AD交BG的延長(zhǎng)線于H，設(shè)AE=EF=2a，則BE=32a，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)BF=x，∴，解得或(舍)，∴；故答案為：1；．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，平行四邊形性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形，相似三角形判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)．13．用一張正方形紙片折成一個(gè)“小蝌蚪”圖案（如圖1）．如圖2，正方形的邊長(zhǎng)為2，等腰直角的斜邊過點(diǎn)D．點(diǎn)F為邊上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)G，將沿對(duì)稱得，與交于點(diǎn)H．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)G為的中點(diǎn)時(shí)，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)折疊性質(zhì)得到≌，從而推出，可判斷出A、C、共線，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出；延長(zhǎng)AG到，使，連接EK．說明，證明，推出，得到，推出，再利用勾股定理求出CE，可得CF．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形且邊長(zhǎng)為2，∴，，AC平分，．∴．∵是等腰直角三角形，∴．根據(jù)折疊性質(zhì)可知≌，∴，，，∵，，∴．∴．∴．∴A、C、共線．∴．∴．∴．延長(zhǎng)AG到，使，連接EK．∴．∴．∵是等腰直角三角形，AE為斜邊，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．又∵，∴．∴，．∴．∴．∴．∵G是CD中點(diǎn)，∴．∴．∴．∵，．∴．∴．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，題目比較新穎，難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)D形中的已知條件，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，得到線段之間的關(guān)系．14．如圖，是半圓O的直徑．點(diǎn)C在半徑上，過點(diǎn)C作交半圓O于點(diǎn)D．以為邊分別向左、下作正方形．過點(diǎn)B作的垂線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)I，M為的中點(diǎn)．記正方形，四邊形的面積分別為．（1）若，則的值為；（2）若D，O，M在同一條直線上，則的值為．【答案】【分析】設(shè)，，利用相似三角形的性質(zhì)求出即可解決問題；當(dāng)、、共線時(shí)，設(shè)，，由，推出，推出，，，由，推出，推出，整理得：，求出的值即可解決問題．【解析】解：如圖，連，．是直徑，，，，，，，，，，可以假設(shè)，，，；當(dāng)、、共線時(shí)，設(shè)，，，，，，，，，，整理得：，或（舍棄），，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段上一點(diǎn)，將沿直線翻折得到，點(diǎn)E落在反比例函數(shù)的圖像上，若，則k的值為．

【答案】128【分析】如圖：延長(zhǎng)交x軸于H，由題意可得，根據(jù)勾股定理可得，再證可得；由C是的中點(diǎn)可得，進(jìn)而得到；再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得可證可得，進(jìn)而得到，最后根據(jù)即可解答．【解析】解：如圖：延長(zhǎng)交x軸于H，∵點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵C是的中點(diǎn)，∴，∴，∵沿直線翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，∴，∵，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E落在反比例函數(shù)的圖像上，∴．

故答案為：128．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)k的幾何意義等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意求得、是解答本題的關(guān)鍵．16．如圖，已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，過作直線分別交軸正半軸和軸正半軸于點(diǎn)、交拋物線于點(diǎn)，且，過點(diǎn)作軸，垂足為，若的面積是的2倍，則的值為．

【答案】【分析】根據(jù)題意，先得到，作PE⊥x軸，垂足為E，作PD平行x軸，交GC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，然后由相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，把點(diǎn)C代入拋物線方程，即可求出m的值．【解析】解：根據(jù)題意，則∵△ACG與△PCG是同高，且底邊在同一條直線上，又∵，∴，∴，作PE⊥x軸，垂足為E，作PD平行x軸，交GC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如圖：

∴PE∥CG，∴△ACG∽△APE，∴；在拋物線中，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，代入，則，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，9m）；∴，，∴，∵PD∥x軸，∴△ACG∽△PCD，∴，∴；∵，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（，），把點(diǎn)C代入拋物線的方程，則，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及解一元二次方程的步驟，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的作出圖形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題．17．已知半徑為的是矩形的外接圓，點(diǎn)是弧上的一點(diǎn)，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，其中．如圖甲，當(dāng)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)時(shí)，（用的代數(shù)式表示）；如圖乙，當(dāng)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)時(shí)，且，的值為．【答案】【分析】（1）連接OE交AB于G，如圖1，由垂徑定理可得OE⊥AB，AG=BG，進(jìn)一步可得EG和OG分別是△ABF和△ABC的中位線，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的中位線定理即可求出AF；（2）連接CE，過點(diǎn)A作AM⊥BF于點(diǎn)M，如圖2，根據(jù)已知條件和圓周角定理的推論可得△AFB是等腰直角三角形，可得AM=BF，BA=AF，由△AEF的面積為10可得，連接BD，易證△FAE∽△FBD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于AD的一元二次方程，解方程即可求出AF，即為CD，再根據(jù)勾股定理即可求出答案．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=3，F(xiàn)A⊥AB，∠ABC=90°，∴AC是的直徑，連接OE交AB于G，如圖1，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴OE⊥AB，AG=BG，∴OG∥DF，∴BE=FE，∴EG=AF，∵AG=BG，AO=CO，∴OG=BC=，∴EG=OE－OG=r－，∴AF=2EG=；（2）連接CE，過點(diǎn)A作AM⊥BF于點(diǎn)M，如圖2，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，AC是的直徑，∴∠AEC=90°，∠EAC=∠ECA=45°，∴∠FBA=∠ACE=45°，∵∠FAB=90°，∴∠F=∠ABF=45°，∴△AFB是等腰直角三角形，∴AM=BF，BA=AF，∵S△AEF=，∴，連接BD，則∠AEF=∠ADB，又∵∠F=∠F，∴△FAE∽△FBD，∴FA：FE=FB：FD，∴，∴，解得AF=5或AF=﹣8（舍去），∴CD=BA=AF=5，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：，∴的半徑r=．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程的解法等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)、具有相當(dāng)?shù)碾y度，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．在矩形中，點(diǎn)P是矩形邊上一點(diǎn)，連接，將分別沿翻折，得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則稱P為邊上的“優(yōu)疊點(diǎn)”（如圖1）．（1）若，則此時(shí)的長(zhǎng)度為；（2）如圖2，若將矩形置于平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)A在原點(diǎn)，B，D分別在x軸與y軸上，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是和邊上的動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過程中始終保持．當(dāng)點(diǎn)P是邊上唯一的“優(yōu)疊點(diǎn)”時(shí)，連接交于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)N，則的最大值為．

【答案】4【分析】（1）由題意可得，設(shè)，利用勾股定理建立方程即可求解；（2）由（1）知，則當(dāng)點(diǎn)P是邊上唯一的“優(yōu)疊點(diǎn)”時(shí)，以為直徑的與相切，此時(shí)點(diǎn)P為的中點(diǎn)；從而易得四邊形、四邊形都是正方形，則可得；證明，則得；過點(diǎn)P作于點(diǎn)T，取的中點(diǎn)J，連接，則，，從而當(dāng)最小時(shí)，最大，此時(shí)重合；由可求得的長(zhǎng)，從而求得的最大值．【解析】解：（1）∵四邊形是矩形，∴，；∵點(diǎn)P為邊上的“優(yōu)疊點(diǎn)”，∴，∵，∴，即；設(shè)，則，分別在中，由勾股定理得：，，∴，解得：；故答案為：4；（2）作以為直徑的，如圖，當(dāng)與相切于點(diǎn)P時(shí)，點(diǎn)P為邊上的唯一“優(yōu)疊點(diǎn)”，∵四邊形為矩形，，∴點(diǎn)P為的中點(diǎn)，四邊形、四邊形都是正方形，∴，；∵，，∴，又，∴，∴，∴；過點(diǎn)P作于點(diǎn)T，取的中點(diǎn)J，連接，則，即；由勾股定理得，∵，∴當(dāng)最小時(shí)，最大，此時(shí)重合；∵，，∴，∴，∴，的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合，考查了折疊的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓的相切等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出最大時(shí)，點(diǎn)T與G重合．三、解答題19．如圖，在中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，過點(diǎn)E分別作、，垂足分別為M、N，，連接，．

(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)；(3)若，，點(diǎn)P、Q分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出的最小值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）連接，證明，得出，根據(jù)角平分線的判定即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)四邊內(nèi)角和求出，根據(jù)，得出，求出，根據(jù)，得出即可；（3）證明，得出，求出，過點(diǎn)M作于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，證明四邊形為矩形，得出，證明，得出，根據(jù)勾股定理求出，求出，作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出，根據(jù)垂線段最短得出，即可得出，求出結(jié)果即可．【解析】（1）證明：連接，如圖所示：

∵、，∴∵D為的中點(diǎn)，，∴∴，∴，∴平分；（2）解：∵、，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；

（3）解：∵平分，、，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，解得：，即，過點(diǎn)M作于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，如圖所示：

∵，∴四邊形為矩形，∴，∵、，∴，∴，∴，∴，∴，∴設(shè)，則，，在中根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，（舍去），則，∴，作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，如圖所示：∵為的平分線，∴點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)一定在上，根據(jù)對(duì)稱性可知，，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴，∵垂線段最短，∴，∴，∴的最小值為的長(zhǎng)，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，垂線段最短，兩點(diǎn)之間線段最短，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．20．如圖①所示，已知是的直徑，點(diǎn)C在半徑上，點(diǎn)D，點(diǎn)F是圓上的點(diǎn)，，點(diǎn)E是半徑的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)G，連接，．

(1)如果，連接OD，如圖②所示：①則的度數(shù)為___________°；②若，求線段的長(zhǎng)；(2)若，求的值．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①根據(jù)已知可判定出為等腰直角三角形，即可得出結(jié)果；②設(shè)，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再結(jié)合平行線性質(zhì)可得到，進(jìn)而根據(jù)求出結(jié)果；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，連接，交于點(diǎn)M，設(shè)，．則，，根據(jù)平行線分線段成比例推出結(jié)果即可．【解析】（1）解：①，，，，，為等腰直角三角形，，故答案為：；②設(shè)．∵E是中點(diǎn)，∴，，∵，∴在中，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，解得：，（舍去），∴線段的長(zhǎng)為；（2）

如圖：延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，連接，交于點(diǎn)M，設(shè)，．則，，∵，∴，∵，∴，同：∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，，∴，，，，∴，∴，，∴，又∵，∴，∴即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．21．【基礎(chǔ)鞏固】

（1）如圖1，在中，D為上一點(diǎn)，．求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在平行四邊形中，E為上一點(diǎn)，F(xiàn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．若，，求的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）如圖3，在菱形中，E是上一點(diǎn)，F(xiàn)是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，，則菱形的邊長(zhǎng)為______．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）證明，得出，則可得出結(jié)論；（2）證明，得出比例線段，則，求出，則可求出．（3）分別延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)G，證得四邊形為平行四邊形，得出，，，證明，得出比例線段，則，可求出，則答案可求出．【解析】解：（1）證明：∵，，∴．∴．∴；（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵，∴．又∵，∴．∴．∴．∴，∴；（3）如圖，分別延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)G，

∵四邊形是菱形，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，，，∵，∴．∴．又∵，∴．∴．∴．又∵，∴．∴．又∵，∴∴則菱形的邊長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】此題考查相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．22．如圖，矩形（）與矩形全等，點(diǎn)，，在同一條直線上，的頂點(diǎn)在線段上移動(dòng)．

(1)如圖1，用直尺和圓規(guī)在上求作點(diǎn)，使是直角；(2)若，，在上是否一定存在點(diǎn)，使得，且是直角，若存在直接寫出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)設(shè)，，試通過計(jì)算說明（1）中的點(diǎn)一定有兩個(gè)；(4)過、、三點(diǎn)作交于另一點(diǎn)，連接、，若，求的值．【答案】(1)詳見解析(2)存在，，詳見解析(3)詳見解析(4),詳見解析【分析】（1）由的頂點(diǎn)P在線段上移動(dòng)，且為直角，得點(diǎn)P也在以為直徑的的圓上運(yùn)動(dòng)；所以以為直徑作與的交點(diǎn)即為所求；（2）利用，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而求出的值，即可得出答案；（3）要判斷直角頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)，只要判定以為直徑的圓與線段的位置關(guān)系即可，相交時(shí)有2個(gè)點(diǎn)，相切時(shí)有1個(gè)，外離時(shí)有0個(gè)，不會(huì)出現(xiàn)更多的點(diǎn)；（4）連，作，先證，再證，進(jìn)而可得線段之間的比值關(guān)系．【解析】（1）∵點(diǎn)在一條直線上，的頂點(diǎn)P在線段上移動(dòng)，為直角，∴點(diǎn)P在以為直徑的的圓上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P就是與的交點(diǎn)，如圖所示，即為所求；

．（2）在上存在點(diǎn)P使，且為直角，此時(shí)，理由如下：∵點(diǎn)在一條直線上，的頂點(diǎn)P在線段上移動(dòng)，為直角，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故在存在點(diǎn)P使，且為直角，此時(shí)．（3）

連接，延長(zhǎng)交于Q，如圖在中，根據(jù)勾股定理可得：；過的中點(diǎn)M作于點(diǎn)N，則是梯形的中位線，則；以為直徑的圓，半徑是，，而只有是等號(hào)才成立，因而，即圓與直線相交，則直角頂點(diǎn)P的位置有兩個(gè)．（4）

設(shè)，連，作于N，由已知得，，∴，∴,∴,∴為等腰直角三角形，過的圓的圓心為的中點(diǎn)，∴，∴是梯形的中位線，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，直線和圓的位置關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．23．如圖，平面內(nèi)的兩條直線、，點(diǎn)，在直線上，點(diǎn)，在直線上，過，兩點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為，，我們把線段叫做線段在直線上的正投影，其長(zhǎng)度可記作或，特別地線段在直線上的正投影就是線段．請(qǐng)依據(jù)上述定義解決如下問題：(1)如圖1，在銳角中，，，則______；(2)如圖2，在中，，，，求的面積；(3)如圖3，在鈍角中，點(diǎn)在邊上，，，，，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如圖1中，作于點(diǎn)，由正投影的定義可求解；（2）如圖2中，作于點(diǎn)，由正投影的定義可求，，通過證明，可得可求的長(zhǎng)，由面積公式可求解；（3）如圖3中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由正投影的定義可求，，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性質(zhì)求出，，即可求解．【解析】（1）解：如圖1，作于點(diǎn)，

，，，，，故答案為：；（2）如圖2，作于點(diǎn)，

，，，，，，，，，，，，，；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積公式，勾股定理，理解并運(yùn)用正投影的定義是本題的關(guān)鍵．24．如圖，、均為的直徑，，交于點(diǎn)，且，與的交點(diǎn)為．

(1)求證：；(2)連接，若，求證：是的切線；(3)在（）的條件下，連接，交于點(diǎn)，求的值．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（）連接，由圓周角定理可得，可證垂直平分，可得；（）連接，通過證明，可得，即可得結(jié)論；（）由平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解.【解析】（1）證明：如圖，連接，

∵是直徑，∴，∵,，∴垂直平分，∴，∴；（2）證明：如圖，連接，

∵、均為的直徑，，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，∵，，∴，，∴，∴，∴，，∴∵，∴，∴，∵是半徑，∴是的切線；（3）連接，交于點(diǎn)，

∵，∴，∴，∴，∵，∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．25．如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)C是該拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)C坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若為直角三角形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為H，點(diǎn)D是對(duì)稱軸上的一點(diǎn)（在所在直線上方），點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接．若，，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物