滬科版八年級下冊數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義

“金榜名師苑一對一輔導(dǎo)”內(nèi)部培訓(xùn)資料

八年級數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義

（下冊）

主編：李啟勇

審定：金榜教育中學(xué)數(shù)學(xué)教研室

六安金榜輔導(dǎo)學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)教研室組編

2014年2月

第16章二次根式

【知識點1】二次根式的概念：一般地，我們把形如〃^0（心0）的式子叫做二次根式。

二次根式的實質(zhì)是一個非負(fù)數(shù)數(shù)a的算數(shù)平方根。

【注】二次根式的概念有兩個要點：一是從形式上看，應(yīng)含有二次根號；二是被開方

數(shù)的取值范圍有限制：被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

例1卜列各式1）2）V-5,3）-y/x2+2,4）V4,5）^（-^）2,6'）yJ\-a,l'）yJa2-2a+\,其中是二次

根式的是

（填序號）.

例2使市+、/專有意義的x的取值范圍是（）

A.x20B.xW2C.x>2D.x20且xW2.

例3若y=Jx-5+j5-x+2009,則x+y=

練習(xí)1使代數(shù)式正三有意義的x的取值范圍是（）

x-4

A、x>3B、x23C、x>4D、x23且xW4

練習(xí)2若燈-&二7=（x+?,則x—y的值為（）

A.-1B.1C.2D.3

例4右/_2|+Jz?-3=0,貝（Jci~—b—o

例5在實數(shù)的范圍內(nèi)分解因式：X4-4X2+4=

例6若a、b為正實數(shù)，下列等式中一定成立的是（）：

A、R；B、（aW）2=a2+b2；

C、-H\/b）Ja2+b2；D>yj（a—b）"=a—b；

【知識點2】二次根式的性質(zhì)：（1）二次根式的非負(fù)性，〃^（）（。20）的最小值是0;

也就是說石（a>0）是一個非負(fù)數(shù)，即石之0（a"）。

注：因為二次根式及（?！埃┍硎綼的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0

的算術(shù)平方根是0,所以非負(fù)數(shù)（。之。）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即及之0（。之0）,

這個性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解

答題目時應(yīng)用較多，如若點+而=0,則a=0,b=0；若點+圓=°,則a=0,b=0；若4+/=。,

則a=0,b=0o

（2）（而:a（?>0）

文字語言敘述為：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)。

注：二次根式的性質(zhì)公式（6）2=。（。20）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的

公式也可以反過來應(yīng)用：若貝膽=（疝>如：2=（0匕5

々(白)0)

=W=<

(3)-a(a<CO)

文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。

注：1、化簡療時一，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0,

則等于a本身，即"=同=以。20）；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即

二|以|=一《（白<0）.

2、萬中的a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論a取何值，值一定有意義;

3、化簡歷時，先將它化成同，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡。

（4）（疝，及右的異同點

不同點：（向2及"表示的意義是不同的，（疝2表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方,

而萬表示一個實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在（向2中。之0,而歷中a可以是正

實數(shù)，0,負(fù)實數(shù)。但（疝2及萬都是非負(fù)數(shù)，即（如匕°,后之0。因而它的運(yùn)算

的結(jié)果是有差別的，（而）=。g之°），而

相同點：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即。之0時，（而'6；。<0時，（向2無意義，而

4^=一乙

例7a、b、c為三角形的三條邊，則J（.+b-c）2,

例8把（2-x）、工的根號外的（2-x）適當(dāng)變形后移入根號內(nèi)，得（）

Vx-2_________________?

____________a___0

A、-xB、Jx-2C、—V2—xD、—Jx-2

例9若二次根式不有意義，化簡|x-4|-|7-x|。

例10已知x、y是實數(shù)，且滿足yRx—676-x+1試求9x一2y的值

例11若實數(shù)a滿足R+a=0,則有（

A.a>0B.a20C.a<0D.aWO

例12下列命題中，正確的是（

A.若a>b,則/>y/bB.若,>a,貝!Ja>0

C.若|a|=（乖尸，則a=bD.若a2=b,則a是b的平方根

例13質(zhì)是整數(shù)，則正整數(shù)〃的最小值是（）

A、4；B、5；C、6；D、7.

例14實數(shù)a、。在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么卜-4-J混的結(jié)果是什么？

例15已矢口已知a貝

aa

例16a^O時，行、心不、-行，比較它們的結(jié)果，下面四個選項中正確的是

().

A.V?=J(_aA，-7?B.7^〉J(-aA

C.<->y(-?)2\[a^D.-)\[^=[(-a)。

例17若0cxVI,貝I],"—》2+4_J(x+32—4等于.................()

(A)-(B)--(C)一2才(D)2x

XX

【提示】(x—1)2+4=(.+與2,(X+_L)2_4=(X_J_)2.又???OVxVl,

XXXX

：.x+，>0,x--<0.【答案】D.

xX

【點評】本題考查完全平方公式和二次根式的性質(zhì).(A)不正確是因為用性質(zhì)時

沒有注意當(dāng)OVxVl時，^--<0.

X

練習(xí)3若|1—x|—NX?—8x+16=2x—5,則x的取值范圍是()

A.x>lB.x<4C.1WXW4D.以上都不對

練習(xí)4若時，則|1—?/乒=

練習(xí)5若<5?3d,則10x+2y的平方根為

練習(xí)6若無=-3,則卜一廂同等于()

A.1；B>—1；C>3；D>—3

練習(xí)7已知龍=g,化簡J(X-2)2+=-4|的結(jié)果是.

練習(xí)8若五一3+J3->+2=y試求爐?的值。

練習(xí)9已知J2x-l+Jl-2x=2a+4,求a的值。

練習(xí)10若Jx_y+y2_4y+4=0,求孫的值

專題二二次根式的乘除

【知識點1】二次根式的乘法法則：^-4b=y[Zb(a>0,b>0)o得出：二次根式相乘，把

被開方數(shù)相乘，而根號不變。將上面的公式逆向運(yùn)用可得：贏=??瓜—積

的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。

例1化簡：（1），64村3a20,y20）=；

（2）+一一（心0,心0）=.

⑷（a-1）——-=____

Va—\

練習(xí)1化簡二次根式斤所得（)

A.-573B.5GC.±5百D.30

例2下列各式中不成立的是（)

A.J(-4)(-/)=2|》B.V402-242=V64xl6=32

D.函+0)(遙-0)=4

練習(xí)2下列各式中化簡正確的是()

A.yjab2=abB.—>/4x=-4x

24

；卜

C.JR2y=3*6D.\l5ab，+b“=bY5a+l

例3計算

例4若b>0,x<0,化簡：-值

【知識點2］二次根式的除法：（1）一般地，對于二次根式的除法規(guī)定

噂=祗（。20法〉0）?商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根

即、口=g（aN0,b>0）.

【注】分母有理化二次根式的除法運(yùn)算，通常是采用化去分母中的根號的方法來進(jìn)行

的。分母有理化：

（1）定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。

（2）關(guān)鍵:

把分子、分母都乘以一個適當(dāng)?shù)氖阶?，化去分母中的根號?/p>

例53+6的有理化因式是；x-6的有理化因式是

-Jx+1-Ox-1的有理化因式是.

例6若,6-4板的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b。求a+?的值

練習(xí)3已知萬-1的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,試求（而+扉。+1）的值

n>0)

(a>0)

【知識點3］同類二次根式：（1）被開放數(shù)不含分母；（2）被開放數(shù)中不含開得盡

方的因數(shù)或因式。

例8下列二次根式中，最簡二次根式是（）

(A)712(B)而(C)欄(D)歷^

例9已知孫〉0,化簡二次根式六層的正確結(jié)果為

例10設(shè)b=2-V3,c=V5-2,貝ija、b、c的大小關(guān)系是

練習(xí)4如果甘（y>0）是二次根式，化為最簡二次根式是（）.

A.工(y>0)B.再(丫>°)C.叵(y>0)

D.以上都不對

Jyy

練習(xí)5化簡二次根式生-安的結(jié)果是

A、J-a—2B、-J—ci—2C>-2D>~\la-2

練習(xí)6下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.B.7a2+1C.J4abD.Ja2b

專題三二次根式的加減

【知識點1】同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)

相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式。.

同類二次根式及同類項的異同：一.相同點：

1.兩者都是兩個代數(shù)式間的一種關(guān)系。同類項是兩個單項間的關(guān)系，字母及

相同字母的指數(shù)都相同的項；同類二次根式是兩個二次根式間的關(guān)系，指化成最

簡二次根式后被開方數(shù)相同的二次根式。

2.兩者都能合并，而且合并法則相同。我們?nèi)绻炎詈喍胃降母柌糠?/p>

看做是同類項的字母及指數(shù)部分，把根號外的因式看做是同類項的系數(shù)部分，那

么同類二次根式的合并法則及同類項的合并法則相同，即“同類二次根式（或同

類項）相加減，根式（字母）不變，系數(shù)相加減”。

二.不同點：

1.判斷準(zhǔn)則不同。

判斷兩個最簡二次根式是否為同類二次根式，其依據(jù)是“被開方數(shù)是否相同”，

及根號外的因式無關(guān)；而同類項的判斷依據(jù)是“字母因式及其指數(shù)是否對應(yīng)相同”，

及系數(shù)無關(guān)。

2.合并形式不同

例1在4、說、2歷、7125>2歷'、3屈、-2、口中,及島是同類二次根式

33av8

的有______

例2若最簡根式3弋垢+3b及根式,2必2+6/是同類二次根式,求a、b的值.

練習(xí)1下列二次根式中及后是同類二次根式的是（）.

A.V12B.C.D.V18

練習(xí)2若最簡二次根式:標(biāo)工及/炳二而是同類二次根式，求m、n的值.

【知識點2］二次根式的加減：二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡的二次

根式，再將被開放數(shù)相同的根式進(jìn)行合并。

例3(1)g—(屈+乎)+后(2)3A/90+^1-4^

(3)y[2x-4^+2^12xy2(x>O,y>Q)

例4已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求-(x?#一5x后)的值.

【知識點3］二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序及整式的混合運(yùn)算順序

一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的。

例5計算⑴⑵丁展邛*

⑶xG-yGyG+x6

Xy[y+y4xy\[x-Xy/y

例6若x,y為實數(shù)，且y=Vl-4x+J41+；.求區(qū)一2+?的值.

xNyx

仁圖你能求出”的值嗎?

【提示】要使y有意義，必須滿足什么條件？［

1

x=-

[

:2

x=-.當(dāng)x=-時，y--

442

2VL

yX

;時,

原式=*=&.【點評】解本題的關(guān)鍵是利用二次根式的意義求出X的值,

例7已知x=?羋，尸?二￡，求―^舉一『的值.

V3-V2V3+V2x4y+2x3y2+x2y3

【提示】先將已知條件化簡，再將分式化簡最后將已知條件代入求值.

【解】x=今卷=(6+0)2=5+2新，

V3-V2

y=乎二=(6—二)2=5—2L.

V3+Vf2

/.x-\-y=10,x—y=46，xy=52—(276)"=1.

【點評】本題將x、y化簡后，根據(jù)解題的需要，先分別求出“x+y”、“x-y”、

“燈”.從而使求值的過程更簡捷.

2

例8先化簡，再求值：—x49x-2x.1^-+6xy^-,其中x=4。

3VxV4

例9已知。、人為實數(shù)，且滿足a=g+g+2,求點.、陛三的值。

Va+b

第17章一元二次方程

第18章勾股定理

一：勾股定理

(1)對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b,斜邊為c,那么一定

有/+。2=。2

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

(2)結(jié)論：

①有一個角是30°的直角三角形，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

②有一個角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。

(3)勾股定理的驗證

例題：

例1：已知直角三角形的兩邊，利用勾股定理求第三邊。

(1)在RtaABC中，ZC=90°

①若a=5,b=12,則c=；

②若a=15,c=25,則b=；

③若c=61,b=60,則a=；

④若a：b=3：4,c=10貝！JRtAABC的面積是=。

(2)如果直角三角形的兩直角邊長分別為M—l,2n(n>l),那么它的斜邊長是()

A、2nB、n+1C、n2—1D>n2+1

(3)在Rtz^ABC中，a,b,c為三邊長，則下列關(guān)系中正確的是()

A.a1+b2=c2B.a2+c2=h2

C.c2+b2^a2D.以上都有可能

(4)已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是()

A、25B、14C、7D、7或25

例2：已知直角三角形的一邊以及另外兩邊的關(guān)系利用勾股定理求周長、面積等問題。

(1)直角三角形兩直角邊長分別為5和12,則它斜邊上的高為o

(2)已知RtAABC中，ZC=90°,若a+b=14cm,c=10cm,貝ljRtAABC的面積是()

AN24cm2B、36cm2C、48c/D、60c/

(3)已知x、y為正數(shù)，且|X2-4I+(y2-3)2=0,如果以x、y的長為直角邊作一個

直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為()

A、5B、25C、7D、15

例3：探索勾股定理的證明

有四個斜邊為c、兩直角邊長為a,b的全等三角形，拼成如圖所示的五邊形，利

用這個圖形證明勾股定理。

二：勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有關(guān)系，/+從=02,那么這個

三角形是直角三角形。

(2)常見的勾股數(shù)：(3n,4n,5n),(5n,12n,13n),(8n,15n,17n),(7n,24n,25n),

(9n,40n,41n).(n為正整數(shù))

(3)直角三角形的判定方法：

222

①如果三角形的三邊長a,b,c有關(guān)系，a+b=c,那么這個三角形是直角三角形。

②有一個角是直角的三角形是直角三角形。

③兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形。

④如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

例題：

例1:勾股數(shù)的應(yīng)用

(1)下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是()

A.4,5,6B.2,3,4

C.11,12,13D.8,15,17

(2)若線段a,b,c組成直角三角形，則它們的比為()

A、2：3：4B、3：4：6C、5：12：13D、4：6：7

例2：利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀

(1)下面的三角形中：

①^ABC中，ZC=ZA-ZB；

②^ABC中，ZA：ZB：ZC=1：2：3；

③aABC中，a：b：c=3：4：5；

④aABC中，三邊長分別為8,15,17.

其中是直角三角形的個數(shù)有().

A.1個B.2個C.3個D.4個

(2)若三角形的三邊之比為立則這個三角形一定是()

2V2

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.不等邊三角形

(3)已知a,b,c為AABC三邊，且滿足匠一b9G+bZ—c?)=0,則它的形狀為()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

(4)將直角三角形的三條邊長同時擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形是()

A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

222

(5)若4ABC的三邊長a,b,ca+b+c+200=12a+16b+20c.i^^lj?TAABC的形狀。

(6)AABC的兩邊分別為5,12,另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則c應(yīng)

為，此三角形為0

例3：求最大、最小角的問題

(1)若三角形三條邊的長分別是7,24,25,則這個三角形的最大內(nèi)角是

度。

(2)已知三角形三邊的比為1：62,則其最小角為0

三：勾股定理的應(yīng)用

例題：

例1：面積問題

(1)下圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直

角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3,則最大正方形E的面積

是()

A.13B.26C.47D.94

(圖1)(圖2)(圖3)

(3)如圖，AABC為直角三角形，分別以AB,BC,AC為直徑向外作半圓，用勾股定

理說明三個半圓的面積關(guān)系，可得()

A.S,+S2>S3B.S.+S2=S3C.S2+S3<S,D.以上都不是

(2)如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個正三角形，其面積分別是S、S2、

S3,則它們之間的關(guān)系是()

A.Si-S2=S3B.Si+S2=S:sC.S2+S3<SiD.S2-S3=Si

例2：求長度問題

(1)小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩

子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。

(2)在一棵樹10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20m處的池塘A處;

另外一只爬到樹頂D處后直接躍到A外，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距

離相等，試問這棵樹有多高？

例3：最短路程問題

（1）如圖L已知圓柱體底面圓的半徑為白，高為2,AB,CD分別是兩底面的直徑，

兀

AD,BC是母線，若一只小蟲從A點出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點，則小蟲爬行的最短路線

的長度是o（結(jié)果保留根式）

（2）如圖2,有一個長、寬、高為3米的封閉的正方體紙盒，一只昆蟲從頂點A要爬

到頂點B,那么這只昆蟲爬行的最短距離為o

（圖1）（圖2）

例4：航海問題

（1）一輪船以16海里/時的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時以12海里/

時的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過1.5小時后，它們相距海里.

（2）（深圳）如圖1,某貨船以24海里/時的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東

方向的M處，在點A處測得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B

處，此時又測得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁,

若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險？試說明理由。

（圖1）（圖2）

（3）如圖2,某沿海開放城市A接到臺風(fēng)警報，在該市正南方向260km的B處有一臺

風(fēng)中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=100km,

那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都

將有受到臺風(fēng)的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離

才可脫離危險？

例5：網(wǎng)格問題

（1）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊

長為無理數(shù)的邊數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

(2)如圖，正方形網(wǎng)格中的aABC,若小方格邊長為1,則AABC是()

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上答案都不對

(3)如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是()

A.25B.12.5C.9D.8.5

(圖1)(圖2)(圖3)

例6：圖形問題

(1)如圖1,求該四邊形的面積

(2)如圖2,已知，在ABC中，//=45°,AO鏡，AB=木+1,則邊BC的長

為?

(圖1)(圖2)

(3)某公司的大門如圖所示，其中四邊形ABCD是長方形，上部是以AD為直徑的

半圓，其中AB=2.3m,BC=2m,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車，高為2.5m,寬為1.6m,

問這輛卡車能否通過公司的大門？并說明你的理由

(4)(太原)將一根長24cm的筷子置于地面直徑為5cm,高為12cm的圓柱形水杯中,

設(shè)筷子露在杯子外面的長為hem,則h的取值范圍。

【專項訓(xùn)練】

1.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊/C=6cm、BC=8cm,

現(xiàn)將折疊，使點少及點/重合，折痕為龐，則廢的長為

(A)4cm(B)5cm(C)6cm(D)10cm

2.如圖所示，在RtZid仇?中，NC=90°,ZA=30°,初是Nd%的平分線，繆=5

cm,求力〃的長.

3.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1,每個小格的頂點叫格點，以格點

為頂點分別按下列要求畫三角形：

①使三角形的三邊長分別為3、&、V5（在圖甲中畫一個即可）；

②使三角形為鈍角三角形且面積為4（在圖乙中畫一個即可）.

4.下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6

5.在AABC中，AB=6,AC=8,BC=10,則該三角形為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

6.已知△四。是邊長為1的等腰直角三角形，以的斜邊力。為直角邊，畫第二

個等腰徵，再以Rt△/⑺的斜邊4〃為直角邊，畫第三個等腰，…，

依此類推，第〃個等腰直角三角形的斜邊長是.

7.如圖，每個小正方形的邊長為1,AABC的三邊凡瓦c的大小關(guān)系式：

（A）a<c<b（B）a<b<c（C）c<a<b（D）c<b<a

8.（本題滿分10分）

［問題情境］

勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學(xué)家趙

爽根據(jù)弦圖，利用面積法進(jìn)行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾

股定理）帶到其他星球，作為地球人及其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話”的語

言。

［定理表述］

請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；（3分）

［嘗試證明］

以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a為高的直角梯形

（如圖2）,請你利用圖2,驗證勾股定理；（4分）

［知識拓展］

利用圖2中的直角梯形，我們可以證明生心〈夜.其證明步驟如下:

C

又?.?在直角梯形ABCD中有BCAD（填大小關(guān)系），即

第19章四邊形

知識脈絡(luò)：

1.四邊形的內(nèi)角和及外角和定等'

（1）四邊形的內(nèi)角和等于360；/；一\

DU

（2）四邊形的外角和等于360°.

AA

2.多邊形的內(nèi)角和及外角和定理Z一

BC

（1）n邊形的內(nèi)角和等于（n等于80°；

（2）任意多邊形的外角和等于360°.

3.平行四邊形的性質(zhì)：

ki）兩組對邊分別平行；

DC

（2）兩組對邊分別相等；/^――

因為ABCD是平行四邊形，⑶兩組對角分別相等；/

（4）對角線互相平分；A^—一

（5）鄰角互補(bǔ).

4.平行四邊形的判定:

⑴兩組對邊分別平行

Dc

(2)兩組對邊分別相等

⑶兩組對角分別相等ABCD是平行四邊形.

(4)一組對邊平行且相等

(5)對角線互相平分

5.矩形的性質(zhì)：

(1)具有平行四邊形的所有通性;

因為ABCD是矩形(2)四個角都是直角；

(3)對角線相等.

6.矩形的判定:

(1)平行四邊形+一個直角'

(2)三個角都是直角四邊形ABCD是矩形.

(3)對角線相等的平行四邊形

7.菱形的性質(zhì)：

因為ABCD是菱形

(1)具有平行四邊形的所有通性;

<(2)四個邊都相等；

(3)對角線垂直且平分對角.

8.菱形的判定：

⑴平行四邊形+一組鄰邊等

(2)四個邊都相等

(3)對角線垂直的平行四邊形

9.正方形的性質(zhì):

因為ABCD是正方形

(1)具有平行四邊形的所有通性；

(2)四個邊都相等，四個角都是直角;

(3)對角線相等垂直且平分對角.

AB(2)(3)

(I)平行四邊形+一組鄰邊等+一個直角

(2)菱形+一個直角四邊形ABCD是正方形.

(3)矩形+一組鄰邊等

⑶???ABCD是矩形

又?.?AD=AB

...四邊形ABCD是正方形

11.等腰梯形的性質(zhì)：

(1)兩底平行，兩腰相等;

因為ABCD是等腰梯形，⑵同一底上的底角相等;

(3)對角線相等.

12.等腰梯形的判定:

(1)梯形+兩腰相等

(2)梯形+底角相等四邊形ABCD是等腰梯形

(3)梯形+對角線相等

AD(3)VABCD是梯形且AD〃BC

VAC=BD

AABCD四邊形是等腰梯形

14.三角形中位線定理：

三角形的中位線平行第三邊，并

且等于它的一半.

15.梯形中位線定理：

梯形的中位線平行于兩底，并且

等于兩底和的一半.

一基本概念：四邊形，四邊形的內(nèi)角，四邊形的外角，多邊形，平行線間的距離，

平行四邊形，矩形，菱形，正方形，中心對稱，中心對稱圖形，梯形，等腰梯形,

直角梯形，三角形中位線，梯形中位線.

二定理：中心對稱的有關(guān)定理

派1.關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形.

派2.關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.

X3.如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形

關(guān)于這一點對稱.

三公式:

1.S菱形=lab=ch.（a.b為菱形的對角線“為菱形的邊長,h為c邊上的高）

2.S平行四邊形=ah.a為平行四邊形的邊，h為a上的高）

3.S梯形=1（a+b）h=Lh.（a.b為梯形的底，h為梯形的高,L為梯形的中位線）

四常識：

※上若n是多邊形的邊數(shù)，則對角線條數(shù)公式是:

2.規(guī)則圖形折疊一般“出一對全等，一對相似”.

3.如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關(guān)系.

4.常見圖形中，僅是軸對稱圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等

腰梯形……；僅是中心對稱圖形的有：平行四邊形……；是雙對稱圖形的有:

線段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、圓…….注意：線段有兩條對稱軸.

X5.梯形中常見的輔助線：

E

〃邊形的的性質(zhì)：

(1)〃邊形的內(nèi)角和等于5-2)/80。；(2)任意多邊形的外角和等于360。；

(3)〃邊形共有妁S條對角線；

2

(4)在平面內(nèi)，內(nèi)角都相等且邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

(5)正多邊形的每個內(nèi)角等于竺遜電2

n

四邊形：

四邊形的內(nèi)角和等于360°,外角和等于360°

1、四邊形內(nèi)角中最多有三個鈍角，四個直角，三個銳角；

2、四邊形外角中最妥有三個鈍角、四個直角、三個銳角，

最少沒有鈍角,沒有直角，沒有銳角；

3、四邊形內(nèi)角及同一個頂點的一個外角互為鄰補(bǔ)角.

平行四邊形的性質(zhì)：

⑴平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對角相等.

⑵平行四邊形的對邊平行且相等.

(3)夾在兩條平行線間的平行線段相等.

⑷平行四邊形的對角線互相平分.

⑸中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。

(6)若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這直線被一組對邊截下的線段以對角線

的交點為中點，且這條直線二等分四邊形的面積.

平行四邊形的判定：

⑴定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

⑵定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

(3)定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

⑷定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

⑸定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

兩條平行線的距離

兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距

離.平行線間的距離處處相等

平行四邊形的面積：

SOABCD=BC?AE=CD?BF

同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.

矩形的性質(zhì)：

(1)對邊平行且相等。

(2)矩形的四個角都是直角.

(3)矩形的對角線相等.

(4)矩形是軸對稱、中心對稱圖形.

(5)矩形面積=長乂寬

矩形的判定：

(1)定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

(2)定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形.

(3)定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形.

菱形的性質(zhì)

(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì).

(2)菱形的四條邊都相等.

(3)菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

(4)菱形是軸對稱、中心對稱圖形.

(5)菱形面積=底義高=對角線乘積的一半

菱形的判定

(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

(2)定理1：四邊都相等的四邊形是菱形.

(3)定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

正方形的性質(zhì)

(1)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

(2)正方形的四個角都是直角，四條邊都相等.

(3)正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.

(4)正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸.

(5)正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把

正方形分成四個小的全等的等腰直角三角形.

(6)正方形一條對角線上一點和另一條對角線的兩端距離相等.

(7)正方形的面積：若正方形的邊長為a,對角線長為"貝iJs=/=!

正方形的判定：

(1)判定一個四邊形為正方形主要根據(jù)定義，途徑有兩種：

①先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等.

②先證它是菱形，再證它有一個角為直角.

(2)判定正方形的一般順序：

①先證明它是平行四邊形；

②再證明它是菱形(或矩形)；

③最后證明它是矩形(或菱形).

梯形的判定：

(1)定義法：判定四邊形中①一組對邊平行；②另一組對邊不平行.

(2)有一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形.

注意：此判定可由梯形定義和一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出

等腰梯形的性質(zhì)

(1)等腰梯形兩腰相等、兩底平行.

(2)等腰梯形在同一底上的兩個角相等.

(3)等腰梯形的對角線相等.

(4)等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，一底的垂直平分線是它的對稱軸.

等腰梯形的判定

(1)兩腰相等的梯形是等腰梯形.

(2)在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形.

(