滬科版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義

“金榜名師苑一對(duì)一輔導(dǎo)”內(nèi)部培訓(xùn)資料

八年級(jí)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義

（下冊(cè)）

主編：李啟勇

審定：金榜教育中學(xué)數(shù)學(xué)教研室

六安金榜輔導(dǎo)學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)教研室組編

2014年2月

第16章二次根式

【知識(shí)點(diǎn)1】二次根式的概念：一般地，我們把形如〃^0（心0）的式子叫做二次根式。

二次根式的實(shí)質(zhì)是一個(gè)非負(fù)數(shù)數(shù)a的算數(shù)平方根。

【注】二次根式的概念有兩個(gè)要點(diǎn)：一是從形式上看，應(yīng)含有二次根號(hào)；二是被開(kāi)方

數(shù)的取值范圍有限制：被開(kāi)方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

例1卜列各式1）2）V-5,3）-y/x2+2,4）V4,5）^（-^）2,6'）yJ\-a,l'）yJa2-2a+\,其中是二次

根式的是

（填序號(hào)）.

例2使市+、/專(zhuān)有意義的x的取值范圍是（）

A.x20B.xW2C.x>2D.x20且xW2.

例3若y=Jx-5+j5-x+2009,則x+y=

練習(xí)1使代數(shù)式正三有意義的x的取值范圍是（）

x-4

A、x>3B、x23C、x>4D、x23且xW4

練習(xí)2若燈-&二7=（x+?,則x—y的值為（）

A.-1B.1C.2D.3

例4右/_2|+Jz?-3=0,貝（Jci~—b—o

例5在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)分解因式：X4-4X2+4=

例6若a、b為正實(shí)數(shù)，下列等式中一定成立的是（）：

A、R；B、（aW）2=a2+b2；

C、-H\/b）Ja2+b2；D>yj（a—b）"=a—b；

【知識(shí)點(diǎn)2】二次根式的性質(zhì)：（1）二次根式的非負(fù)性，〃^（）（。20）的最小值是0;

也就是說(shuō)石（a>0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即石之0（a"）。

注：因?yàn)槎胃郊埃ā！埃┍硎綼的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0

的算術(shù)平方根是0,所以非負(fù)數(shù)（。之。）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即及之0（。之0）,

這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類(lèi)似。這個(gè)性質(zhì)在解

答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若點(diǎn)+而=0,則a=0,b=0；若點(diǎn)+圓=°,則a=0,b=0；若4+/=。,

則a=0,b=0o

（2）（而:a（?>0）

文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。

注：二次根式的性質(zhì)公式（6）2=。（。20）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的

公式也可以反過(guò)來(lái)應(yīng)用：若貝膽=（疝>如：2=（0匕5

々(白)0)

=W=<

(3)-a(a<CO)

文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。

注：1、化簡(jiǎn)療時(shí)一，一定要弄明白被開(kāi)方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0,

則等于a本身，即"=同=以。20）；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即

二|以|=一《（白<0）.

2、萬(wàn)中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a取何值，值一定有意義;

3、化簡(jiǎn)歷時(shí)，先將它化成同，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)。

（4）（疝，及右的異同點(diǎn)

不同點(diǎn)：（向2及"表示的意義是不同的，（疝2表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方,

而萬(wàn)表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在（向2中。之0,而歷中a可以是正

實(shí)數(shù)，0,負(fù)實(shí)數(shù)。但（疝2及萬(wàn)都是非負(fù)數(shù)，即（如匕°,后之0。因而它的運(yùn)算

的結(jié)果是有差別的，（而）=。g之°），而

相同點(diǎn)：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即。之0時(shí)，（而'6；。<0時(shí)，（向2無(wú)意義，而

4^=一乙

例7a、b、c為三角形的三條邊，則J（.+b-c）2,

例8把（2-x）、工的根號(hào)外的（2-x）適當(dāng)變形后移入根號(hào)內(nèi)，得（）

Vx-2_________________?

____________a___0

A、-xB、Jx-2C、—V2—xD、—Jx-2

例9若二次根式不有意義，化簡(jiǎn)|x-4|-|7-x|。

例10已知x、y是實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足yRx—676-x+1試求9x一2y的值

例11若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足R+a=0,則有（

A.a>0B.a20C.a<0D.aWO

例12下列命題中，正確的是（

A.若a>b,則/>y/bB.若,>a,貝!Ja>0

C.若|a|=（乖尸，則a=bD.若a2=b,則a是b的平方根

例13質(zhì)是整數(shù)，則正整數(shù)〃的最小值是（）

A、4；B、5；C、6；D、7.

例14實(shí)數(shù)a、。在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么卜-4-J混的結(jié)果是什么？

例15已矢口已知a貝

aa

例16a^O時(shí)，行、心不、-行，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是

().

A.V?=J(_aA，-7?B.7^〉J(-aA

C.<->y(-?)2\[a^D.-)\[^=[(-a)。

例17若0cxVI,貝I],"—》2+4_J(x+32—4等于.................()

(A)-(B)--(C)一2才(D)2x

XX

【提示】(x—1)2+4=(.+與2,(X+_L)2_4=(X_J_)2.又???OVxVl,

XXXX

：.x+，>0,x--<0.【答案】D.

xX

【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式和二次根式的性質(zhì).(A)不正確是因?yàn)橛眯再|(zhì)時(shí)

沒(méi)有注意當(dāng)OVxVl時(shí)，^--<0.

X

練習(xí)3若|1—x|—NX?—8x+16=2x—5,則x的取值范圍是()

A.x>lB.x<4C.1WXW4D.以上都不對(duì)

練習(xí)4若時(shí)，則|1—?/乒=

練習(xí)5若<5?3d,則10x+2y的平方根為

練習(xí)6若無(wú)=-3,則卜一廂同等于()

A.1；B>—1；C>3；D>—3

練習(xí)7已知龍=g,化簡(jiǎn)J(X-2)2+=-4|的結(jié)果是.

練習(xí)8若五一3+J3->+2=y試求爐?的值。

練習(xí)9已知J2x-l+Jl-2x=2a+4,求a的值。

練習(xí)10若Jx_y+y2_4y+4=0,求孫的值

專(zhuān)題二二次根式的乘除

【知識(shí)點(diǎn)1】二次根式的乘法法則：^-4b=y[Zb(a>0,b>0)o得出：二次根式相乘，把

被開(kāi)方數(shù)相乘，而根號(hào)不變。將上面的公式逆向運(yùn)用可得：贏=??瓜—積

的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。

例1化簡(jiǎn)：（1），64村3a20,y20）=；

（2）+一一（心0,心0）=.

⑷（a-1）——-=____

Va—\

練習(xí)1化簡(jiǎn)二次根式斤所得（)

A.-573B.5GC.±5百D.30

例2下列各式中不成立的是（)

A.J(-4)(-/)=2|》B.V402-242=V64xl6=32

D.函+0)(遙-0)=4

練習(xí)2下列各式中化簡(jiǎn)正確的是()

A.yjab2=abB.—>/4x=-4x

24

；卜

C.JR2y=3*6D.\l5ab，+b“=bY5a+l

例3計(jì)算

例4若b>0,x<0,化簡(jiǎn)：-值

【知識(shí)點(diǎn)2］二次根式的除法：（1）一般地，對(duì)于二次根式的除法規(guī)定

噂=祗（。20法〉0）?商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根

即、口=g（aN0,b>0）.

【注】分母有理化二次根式的除法運(yùn)算，通常是采用化去分母中的根號(hào)的方法來(lái)進(jìn)行

的。分母有理化：

（1）定義：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化。

（2）關(guān)鍵:

把分子、分母都乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)氖阶?，化去分母中的根?hào)。

例53+6的有理化因式是；x-6的有理化因式是

-Jx+1-Ox-1的有理化因式是.

例6若,6-4板的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b。求a+?的值

練習(xí)3已知萬(wàn)-1的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,試求（而+扉。+1）的值

n>0)

(a>0)

【知識(shí)點(diǎn)3］同類(lèi)二次根式：（1）被開(kāi)放數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)放數(shù)中不含開(kāi)得盡

方的因數(shù)或因式。

例8下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）

(A)712(B)而(C)欄(D)歷^

例9已知孫〉0,化簡(jiǎn)二次根式六層的正確結(jié)果為

例10設(shè)b=2-V3,c=V5-2,貝ija、b、c的大小關(guān)系是

練習(xí)4如果甘（y>0）是二次根式，化為最簡(jiǎn)二次根式是（）.

A.工(y>0)B.再(丫>°)C.叵(y>0)

D.以上都不對(duì)

Jyy

練習(xí)5化簡(jiǎn)二次根式生-安的結(jié)果是

A、J-a—2B、-J—ci—2C>-2D>~\la-2

練習(xí)6下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）

A.B.7a2+1C.J4abD.Ja2b

專(zhuān)題三二次根式的加減

【知識(shí)點(diǎn)1】同類(lèi)二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)

相同，這樣的二次根式叫做同類(lèi)二次根式。.

同類(lèi)二次根式及同類(lèi)項(xiàng)的異同：一.相同點(diǎn)：

1.兩者都是兩個(gè)代數(shù)式間的一種關(guān)系。同類(lèi)項(xiàng)是兩個(gè)單項(xiàng)間的關(guān)系，字母及

相同字母的指數(shù)都相同的項(xiàng)；同類(lèi)二次根式是兩個(gè)二次根式間的關(guān)系，指化成最

簡(jiǎn)二次根式后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式。

2.兩者都能合并，而且合并法則相同。我們?nèi)绻炎詈?jiǎn)二次根式的根號(hào)部分

看做是同類(lèi)項(xiàng)的字母及指數(shù)部分，把根號(hào)外的因式看做是同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)部分，那

么同類(lèi)二次根式的合并法則及同類(lèi)項(xiàng)的合并法則相同，即“同類(lèi)二次根式（或同

類(lèi)項(xiàng)）相加減，根式（字母）不變，系數(shù)相加減”。

二.不同點(diǎn)：

1.判斷準(zhǔn)則不同。

判斷兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式是否為同類(lèi)二次根式，其依據(jù)是“被開(kāi)方數(shù)是否相同”，

及根號(hào)外的因式無(wú)關(guān)；而同類(lèi)項(xiàng)的判斷依據(jù)是“字母因式及其指數(shù)是否對(duì)應(yīng)相同”，

及系數(shù)無(wú)關(guān)。

2.合并形式不同

例1在4、說(shuō)、2歷、7125>2歷'、3屈、-2、口中,及島是同類(lèi)二次根式

33av8

的有______

例2若最簡(jiǎn)根式3弋垢+3b及根式,2必2+6/是同類(lèi)二次根式,求a、b的值.

練習(xí)1下列二次根式中及后是同類(lèi)二次根式的是（）.

A.V12B.C.D.V18

練習(xí)2若最簡(jiǎn)二次根式:標(biāo)工及/炳二而是同類(lèi)二次根式，求m、n的值.

【知識(shí)點(diǎn)2］二次根式的加減：二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡(jiǎn)的二次

根式，再將被開(kāi)放數(shù)相同的根式進(jìn)行合并。

例3(1)g—(屈+乎)+后(2)3A/90+^1-4^

(3)y[2x-4^+2^12xy2(x>O,y>Q)

例4已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求-(x?#一5x后)的值.

【知識(shí)點(diǎn)3］二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序及整式的混合運(yùn)算順序

一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的。

例5計(jì)算⑴⑵丁展邛*

⑶xG-yGyG+x6

Xy[y+y4xy\[x-Xy/y

例6若x,y為實(shí)數(shù)，且y=Vl-4x+J41+；.求區(qū)一2+?的值.

xNyx

仁圖你能求出”的值嗎?

【提示】要使y有意義，必須滿(mǎn)足什么條件？［

1

x=-

[

:2

x=-.當(dāng)x=-時(shí)，y--

442

2VL

yX

;時(shí),

原式=*=&.【點(diǎn)評(píng)】解本題的關(guān)鍵是利用二次根式的意義求出X的值,

例7已知x=?羋，尸?二￡，求―^舉一『的值.

V3-V2V3+V2x4y+2x3y2+x2y3

【提示】先將已知條件化簡(jiǎn)，再將分式化簡(jiǎn)最后將已知條件代入求值.

【解】x=今卷=(6+0)2=5+2新，

V3-V2

y=乎二=(6—二)2=5—2L.

V3+Vf2

/.x-\-y=10,x—y=46，xy=52—(276)"=1.

【點(diǎn)評(píng)】本題將x、y化簡(jiǎn)后，根據(jù)解題的需要，先分別求出“x+y”、“x-y”、

“燈”.從而使求值的過(guò)程更簡(jiǎn)捷.

2

例8先化簡(jiǎn)，再求值：—x49x-2x.1^-+6xy^-,其中x=4。

3VxV4

例9已知。、人為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足a=g+g+2,求點(diǎn).、陛三的值。

Va+b

第17章一元二次方程

第18章勾股定理

一：勾股定理

(1)對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b,斜邊為c,那么一定

有/+。2=。2

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

(2)結(jié)論：

①有一個(gè)角是30°的直角三角形，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

②有一個(gè)角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半。

(3)勾股定理的驗(yàn)證

例題：

例1：已知直角三角形的兩邊，利用勾股定理求第三邊。

(1)在RtaABC中，ZC=90°

①若a=5,b=12,則c=；

②若a=15,c=25,則b=；

③若c=61,b=60,則a=；

④若a：b=3：4,c=10貝！JRtAABC的面積是=。

(2)如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為M—l,2n(n>l),那么它的斜邊長(zhǎng)是()

A、2nB、n+1C、n2—1D>n2+1

(3)在Rtz^ABC中，a,b,c為三邊長(zhǎng)，則下列關(guān)系中正確的是()

A.a1+b2=c2B.a2+c2=h2

C.c2+b2^a2D.以上都有可能

(4)已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4,則第三邊長(zhǎng)的平方是()

A、25B、14C、7D、7或25

例2：已知直角三角形的一邊以及另外兩邊的關(guān)系利用勾股定理求周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題。

(1)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,則它斜邊上的高為o

(2)已知RtAABC中，ZC=90°,若a+b=14cm,c=10cm,貝ljRtAABC的面積是()

AN24cm2B、36cm2C、48c/D、60c/

(3)已知x、y為正數(shù)，且|X2-4I+(y2-3)2=0,如果以x、y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)

直角三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為()

A、5B、25C、7D、15

例3：探索勾股定理的證明

有四個(gè)斜邊為c、兩直角邊長(zhǎng)為a,b的全等三角形，拼成如圖所示的五邊形，利

用這個(gè)圖形證明勾股定理。

二：勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系，/+從=02,那么這個(gè)

三角形是直角三角形。

(2)常見(jiàn)的勾股數(shù)：(3n,4n,5n),(5n,12n,13n),(8n,15n,17n),(7n,24n,25n),

(9n,40n,41n).(n為正整數(shù))

(3)直角三角形的判定方法：

222

①如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系，a+b=c,那么這個(gè)三角形是直角三角形。

②有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。

③兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形。

④如果一個(gè)三角形一邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

例題：

例1:勾股數(shù)的應(yīng)用

(1)下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形的是()

A.4,5,6B.2,3,4

C.11,12,13D.8,15,17

(2)若線(xiàn)段a,b,c組成直角三角形，則它們的比為()

A、2：3：4B、3：4：6C、5：12：13D、4：6：7

例2：利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀

(1)下面的三角形中：

①^ABC中，ZC=ZA-ZB；

②^ABC中，ZA：ZB：ZC=1：2：3；

③aABC中，a：b：c=3：4：5；

④aABC中，三邊長(zhǎng)分別為8,15,17.

其中是直角三角形的個(gè)數(shù)有().

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

(2)若三角形的三邊之比為立則這個(gè)三角形一定是()

2V2

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.不等邊三角形

(3)已知a,b,c為AABC三邊，且滿(mǎn)足匠一b9G+bZ—c?)=0,則它的形狀為()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

(4)將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形是()

A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

222

(5)若4ABC的三邊長(zhǎng)a,b,ca+b+c+200=12a+16b+20c.i^^lj?TAABC的形狀。

(6)AABC的兩邊分別為5,12,另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則c應(yīng)

為，此三角形為0

例3：求最大、最小角的問(wèn)題

(1)若三角形三條邊的長(zhǎng)分別是7,24,25,則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角是

度。

(2)已知三角形三邊的比為1：62,則其最小角為0

三：勾股定理的應(yīng)用

例題：

例1：面積問(wèn)題

(1)下圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直

角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、5、2、3,則最大正方形E的面積

是()

A.13B.26C.47D.94

(圖1)(圖2)(圖3)

(3)如圖，AABC為直角三角形，分別以AB,BC,AC為直徑向外作半圓，用勾股定

理說(shuō)明三個(gè)半圓的面積關(guān)系，可得()

A.S,+S2>S3B.S.+S2=S3C.S2+S3<S,D.以上都不是

(2)如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別是S、S2、

S3,則它們之間的關(guān)系是()

A.Si-S2=S3B.Si+S2=S:sC.S2+S3<SiD.S2-S3=Si

例2：求長(zhǎng)度問(wèn)題

(1)小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩

子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。

(2)在一棵樹(shù)10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹(shù)走到離樹(shù)20m處的池塘A處;

另外一只爬到樹(shù)頂D處后直接躍到A外，距離以直線(xiàn)計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距

離相等，試問(wèn)這棵樹(shù)有多高？

例3：最短路程問(wèn)題

（1）如圖L已知圓柱體底面圓的半徑為白，高為2,AB,CD分別是兩底面的直徑，

兀

AD,BC是母線(xiàn)，若一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路線(xiàn)

的長(zhǎng)度是o（結(jié)果保留根式）

（2）如圖2,有一個(gè)長(zhǎng)、寬、高為3米的封閉的正方體紙盒，一只昆蟲(chóng)從頂點(diǎn)A要爬

到頂點(diǎn)B,那么這只昆蟲(chóng)爬行的最短距離為o

（圖1）（圖2）

例4：航海問(wèn)題

（1）一輪船以16海里/時(shí)的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時(shí)以12海里/

時(shí)的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過(guò)1.5小時(shí)后，它們相距海里.

（2）（深圳）如圖1,某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東

方向的M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B

處，此時(shí)又測(cè)得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周?chē)?海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁,

若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無(wú)暗礁危險(xiǎn)？試說(shuō)明理由。

（圖1）（圖2）

（3）如圖2,某沿海開(kāi)放城市A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向260km的B處有一臺(tái)

風(fēng)中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD=100km,

那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都

將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離

才可脫離危險(xiǎn)？

例5：網(wǎng)格問(wèn)題

（1）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊

長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

(2)如圖，正方形網(wǎng)格中的aABC,若小方格邊長(zhǎng)為1,則AABC是()

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上答案都不對(duì)

(3)如圖，小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是()

A.25B.12.5C.9D.8.5

(圖1)(圖2)(圖3)

例6：圖形問(wèn)題

(1)如圖1,求該四邊形的面積

(2)如圖2,已知，在ABC中，//=45°,AO鏡，AB=木+1,則邊BC的長(zhǎng)

為?

(圖1)(圖2)

(3)某公司的大門(mén)如圖所示，其中四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，上部是以AD為直徑的

半圓，其中AB=2.3m,BC=2m,現(xiàn)有一輛裝滿(mǎn)貨物的卡車(chē)，高為2.5m,寬為1.6m,

問(wèn)這輛卡車(chē)能否通過(guò)公司的大門(mén)？并說(shuō)明你的理由

(4)(太原)將一根長(zhǎng)24cm的筷子置于地面直徑為5cm,高為12cm的圓柱形水杯中,

設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)為hem,則h的取值范圍。

【專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

1.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊/C=6cm、BC=8cm,

現(xiàn)將折疊，使點(diǎn)少及點(diǎn)/重合，折痕為龐，則廢的長(zhǎng)為

(A)4cm(B)5cm(C)6cm(D)10cm

2.如圖所示，在RtZid仇?中，NC=90°,ZA=30°,初是Nd%的平分線(xiàn)，繆=5

cm,求力〃的長(zhǎng).

3.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)

為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)三角形：

①使三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、&、V5（在圖甲中畫(huà)一個(gè)即可）；

②使三角形為鈍角三角形且面積為4（在圖乙中畫(huà)一個(gè)即可）.

4.下列四組線(xiàn)段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6

5.在AABC中，AB=6,AC=8,BC=10,則該三角形為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

6.已知△四。是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以的斜邊力。為直角邊，畫(huà)第二

個(gè)等腰徵，再以Rt△/⑺的斜邊4〃為直角邊，畫(huà)第三個(gè)等腰，…，

依此類(lèi)推，第〃個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是.

7.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,AABC的三邊凡瓦c的大小關(guān)系式：

（A）a<c<b（B）a<b<c（C）c<a<b（D）c<b<a

8.（本題滿(mǎn)分10分）

［問(wèn)題情境］

勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙

爽根據(jù)弦圖，利用面積法進(jìn)行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾

股定理）帶到其他星球，作為地球人及其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話(huà)”的語(yǔ)

言。

［定理表述］

請(qǐng)你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號(hào)語(yǔ)言敘述）；（3分）

［嘗試證明］

以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a為高的直角梯形

（如圖2）,請(qǐng)你利用圖2,驗(yàn)證勾股定理；（4分）

［知識(shí)拓展］

利用圖2中的直角梯形，我們可以證明生心〈夜.其證明步驟如下:

C

又?.?在直角梯形ABCD中有BCAD（填大小關(guān)系），即

第19章四邊形

知識(shí)脈絡(luò)：

1.四邊形的內(nèi)角和及外角和定等'

（1）四邊形的內(nèi)角和等于360；/；一\

DU

（2）四邊形的外角和等于360°.

AA

2.多邊形的內(nèi)角和及外角和定理Z一

BC

（1）n邊形的內(nèi)角和等于（n等于80°；

（2）任意多邊形的外角和等于360°.

3.平行四邊形的性質(zhì)：

ki）兩組對(duì)邊分別平行；

DC

（2）兩組對(duì)邊分別相等；/^――

因?yàn)锳BCD是平行四邊形，⑶兩組對(duì)角分別相等；/

（4）對(duì)角線(xiàn)互相平分；A^—一

（5）鄰角互補(bǔ).

4.平行四邊形的判定:

⑴兩組對(duì)邊分別平行

Dc

(2)兩組對(duì)邊分別相等

⑶兩組對(duì)角分別相等ABCD是平行四邊形.

(4)一組對(duì)邊平行且相等

(5)對(duì)角線(xiàn)互相平分

5.矩形的性質(zhì)：

(1)具有平行四邊形的所有通性;

因?yàn)锳BCD是矩形(2)四個(gè)角都是直角；

(3)對(duì)角線(xiàn)相等.

6.矩形的判定:

(1)平行四邊形+一個(gè)直角'

(2)三個(gè)角都是直角四邊形ABCD是矩形.

(3)對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形

7.菱形的性質(zhì)：

因?yàn)锳BCD是菱形

(1)具有平行四邊形的所有通性;

<(2)四個(gè)邊都相等；

(3)對(duì)角線(xiàn)垂直且平分對(duì)角.

8.菱形的判定：

⑴平行四邊形+一組鄰邊等

(2)四個(gè)邊都相等

(3)對(duì)角線(xiàn)垂直的平行四邊形

9.正方形的性質(zhì):

因?yàn)锳BCD是正方形

(1)具有平行四邊形的所有通性；

(2)四個(gè)邊都相等，四個(gè)角都是直角;

(3)對(duì)角線(xiàn)相等垂直且平分對(duì)角.

AB(2)(3)

(I)平行四邊形+一組鄰邊等+一個(gè)直角

(2)菱形+一個(gè)直角四邊形ABCD是正方形.

(3)矩形+一組鄰邊等

⑶???ABCD是矩形

又?.?AD=AB

...四邊形ABCD是正方形

11.等腰梯形的性質(zhì)：

(1)兩底平行，兩腰相等;

因?yàn)锳BCD是等腰梯形，⑵同一底上的底角相等;

(3)對(duì)角線(xiàn)相等.

12.等腰梯形的判定:

(1)梯形+兩腰相等

(2)梯形+底角相等四邊形ABCD是等腰梯形

(3)梯形+對(duì)角線(xiàn)相等

AD(3)VABCD是梯形且AD〃BC

VAC=BD

AABCD四邊形是等腰梯形

14.三角形中位線(xiàn)定理：

三角形的中位線(xiàn)平行第三邊，并

且等于它的一半.

15.梯形中位線(xiàn)定理：

梯形的中位線(xiàn)平行于兩底，并且

等于兩底和的一半.

一基本概念：四邊形，四邊形的內(nèi)角，四邊形的外角，多邊形，平行線(xiàn)間的距離，

平行四邊形，矩形，菱形，正方形，中心對(duì)稱(chēng)，中心對(duì)稱(chēng)圖形，梯形，等腰梯形,

直角梯形，三角形中位線(xiàn)，梯形中位線(xiàn).

二定理：中心對(duì)稱(chēng)的有關(guān)定理

派1.關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形.

派2.關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平分.

X3.如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形

關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

三公式:

1.S菱形=lab=ch.（a.b為菱形的對(duì)角線(xiàn)“為菱形的邊長(zhǎng),h為c邊上的高）

2.S平行四邊形=ah.a為平行四邊形的邊，h為a上的高）

3.S梯形=1（a+b）h=Lh.（a.b為梯形的底，h為梯形的高,L為梯形的中位線(xiàn)）

四常識(shí)：

※上若n是多邊形的邊數(shù)，則對(duì)角線(xiàn)條數(shù)公式是:

2.規(guī)則圖形折疊一般“出一對(duì)全等，一對(duì)相似”.

3.如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關(guān)系.

4.常見(jiàn)圖形中，僅是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等

腰梯形……；僅是中心對(duì)稱(chēng)圖形的有：平行四邊形……；是雙對(duì)稱(chēng)圖形的有:

線(xiàn)段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、圓…….注意：線(xiàn)段有兩條對(duì)稱(chēng)軸.

X5.梯形中常見(jiàn)的輔助線(xiàn)：

E

〃邊形的的性質(zhì)：

(1)〃邊形的內(nèi)角和等于5-2)/80。；(2)任意多邊形的外角和等于360。；

(3)〃邊形共有妁S條對(duì)角線(xiàn)；

2

(4)在平面內(nèi)，內(nèi)角都相等且邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

(5)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角等于竺遜電2

n

四邊形：

四邊形的內(nèi)角和等于360°,外角和等于360°

1、四邊形內(nèi)角中最多有三個(gè)鈍角，四個(gè)直角，三個(gè)銳角；

2、四邊形外角中最妥有三個(gè)鈍角、四個(gè)直角、三個(gè)銳角，

最少?zèng)]有鈍角,沒(méi)有直角，沒(méi)有銳角；

3、四邊形內(nèi)角及同一個(gè)頂點(diǎn)的一個(gè)外角互為鄰補(bǔ)角.

平行四邊形的性質(zhì)：

⑴平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等.

⑵平行四邊形的對(duì)邊平行且相等.

(3)夾在兩條平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等.

⑷平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分.

⑸中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)。

(6)若一直線(xiàn)過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，則這直線(xiàn)被一組對(duì)邊截下的線(xiàn)段以對(duì)角線(xiàn)

的交點(diǎn)為中點(diǎn)，且這條直線(xiàn)二等分四邊形的面積.

平行四邊形的判定：

⑴定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

⑵定理1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.

(3)定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

⑷定理3：對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形.

⑸定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

兩條平行線(xiàn)的距離

兩條平行線(xiàn)中，一條直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離，叫做這兩條平行線(xiàn)的距

離.平行線(xiàn)間的距離處處相等

平行四邊形的面積：

SOABCD=BC?AE=CD?BF

同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.

矩形的性質(zhì)：

(1)對(duì)邊平行且相等。

(2)矩形的四個(gè)角都是直角.

(3)矩形的對(duì)角線(xiàn)相等.

(4)矩形是軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)圖形.

(5)矩形面積=長(zhǎng)乂寬

矩形的判定：

(1)定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

(2)定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

(3)定理2：對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形.

菱形的性質(zhì)

(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì).

(2)菱形的四條邊都相等.

(3)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角.

(4)菱形是軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)圖形.

(5)菱形面積=底義高=對(duì)角線(xiàn)乘積的一半

菱形的判定

(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

(2)定理1：四邊都相等的四邊形是菱形.

(3)定理2：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.

正方形的性質(zhì)

(1)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

(2)正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等.

(3)正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角.

(4)正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有4條對(duì)稱(chēng)軸.

(5)正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對(duì)角線(xiàn)把

正方形分成四個(gè)小的全等的等腰直角三角形.

(6)正方形一條對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)和另一條對(duì)角線(xiàn)的兩端距離相等.

(7)正方形的面積：若正方形的邊長(zhǎng)為a,對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為"貝iJs=/=!

正方形的判定：

(1)判定一個(gè)四邊形為正方形主要根據(jù)定義，途徑有兩種：

①先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等.

②先證它是菱形，再證它有一個(gè)角為直角.

(2)判定正方形的一般順序：

①先證明它是平行四邊形；

②再證明它是菱形(或矩形)；

③最后證明它是矩形(或菱形).

梯形的判定：

(1)定義法：判定四邊形中①一組對(duì)邊平行；②另一組對(duì)邊不平行.

(2)有一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形是梯形.

注意：此判定可由梯形定義和一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出

等腰梯形的性質(zhì)

(1)等腰梯形兩腰相等、兩底平行.

(2)等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等.

(3)等腰梯形的對(duì)角線(xiàn)相等.

(4)等腰梯形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它只有一條對(duì)稱(chēng)軸，一底的垂直平分線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸.

等腰梯形的判定

(1)兩腰相等的梯形是等腰梯形.

(2)在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形.

(