2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章 第二講 排列與組合配套課件

第二講排列與組合2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第九章

計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布名稱定義區(qū)別排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列有序組合合成一組無序1.排列與組合的概念內(nèi)容排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù).用符號(hào)“A”表示從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)“C”表示2.排列數(shù)與組合數(shù)(續(xù)表)(續(xù)表)【名師點(diǎn)睛】(1)排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系：考點(diǎn)一排列問題[例1]有3名男生，2名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù).(1)全體排成一行，其中甲只能在正中間、最左側(cè)或最右側(cè)的位置，共____種排法；(2)全體排成一行，其中男生必須排在一起，共____種排法；(3)全體排成一行，男生不能排在一起，共____種排法；(4)全體排成一行，其中甲在乙的左側(cè)，乙在丙的左側(cè)，共___種排法；(5)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊，共___種排法；(6)若再加入一名女生，全體排成一行，男女各不相鄰，共___種排法；(7)排成前后兩排，前排3人，后排2人，共____種排法；(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有1人，共____種排法.答案：(1)72(2)36(3)12(4)20(5)78(6)72(7)120(8)36【題后反思】求解排列應(yīng)用問題的六種常用方法

【變式訓(xùn)練】

1.(2022年全國Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有()A.12種C.36種

B.24種D.48種∴甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有48－24＝24(種).故選B.答案：B

2.(2023年重慶市校級(jí)月考)醫(yī)院進(jìn)行年度體檢，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心電圖、血壓測(cè)量五個(gè)檢查項(xiàng)目.為了體檢數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，抽血必須作為第一個(gè)項(xiàng)目完成，而李老師決定腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)不連在一起檢查.則不同順序的檢查方案一共有()A.6種C.18種

B.12種D.24種

解析：根據(jù)題意，將心電圖、血壓測(cè)量?jī)身?xiàng)全排列，有A

＝2(種)情況，再將腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)安排在其空位中，有A＝6(種)情況，最后將抽血放在第一位，有1種情況，故有2×6＝12(種)不同順序的檢查方案.故選B.答案：B考點(diǎn)二組合問題[例2]某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？【題后反思】組合問題常有以下兩類題型變化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.

(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.

【變式訓(xùn)練】

(2023年全國Ⅱ卷)某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生.已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有()

解析：∵初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，∴人數(shù)比例為400∶200＝2∶1，則需要從初中部抽取40人，高中部抽種抽樣結(jié)果.故選D.取20人，則有答案：D

考點(diǎn)三排列與組合的綜合問題

考向1相鄰問題

[例3]某會(huì)議期間，有2位女性和3位男性共5位領(lǐng)導(dǎo)人站成一排照相，則女性領(lǐng)導(dǎo)人甲不在兩端，3位男性領(lǐng)導(dǎo)人中有且只有2位相鄰的站法有()A.12種B.24種C.48種D.96種

解析：從3位男性領(lǐng)導(dǎo)人中任取2人“捆”在一起記作A，A共有

＝6(種)不同排法，剩下1位男性領(lǐng)導(dǎo)人記作B，2位女性分別記作甲、乙；則女領(lǐng)導(dǎo)人甲必須在A，B之間，此時(shí)共有6×2＝12(種)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙，∴共有12×4＝48(種)不同排法.答案：C

考向2相間問題

[例4]某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72B.120C.144D.168

解析：安排小品類節(jié)目和相聲類節(jié)目的順序有三種，“小品1，小品2，相聲”“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”.對(duì)于第一種情況，形式為“□小品1歌舞1小品2相聲□”，有＝36(種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法，對(duì)于第二種情況，三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空，其形式為“□小品相聲12小品”，有

＝48(種)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(種)安排方法.答案：B

考向3特殊元素(位置)問題

[例5]某城市中關(guān)系要好的A，B，C，D四個(gè)家庭各有兩個(gè)孩子共8人，他們準(zhǔn)備乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4個(gè)孩子(乘同一輛車的4個(gè)孩子不考慮位置)，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個(gè)孩子恰有2個(gè)來自同一個(gè)家庭的乘坐方式共有()A.18種B.24種C.36種D.48種解析：根據(jù)題意，分兩種情況討論.

①A家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上另外的兩個(gè)孩子要來自不同的家庭，可以在剩下的三個(gè)家庭中任選2個(gè)，再從每個(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來乘坐甲車，有＝12(種)乘坐方式；

②A家庭的孿生姐妹不在甲車上，需要在剩下的三個(gè)家庭中任選1個(gè)，讓其2個(gè)孩子都在甲車上，對(duì)于剩余的兩個(gè)家庭，從每個(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來乘坐甲車，

＝12(種)乘坐方式，故共有12＋12＝24(種)乘坐方式.答案：B【反思感悟】解排列、組合問題要遵循的兩個(gè)原則(1)按元素(位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類.(2)按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說，解排列、組合問題常以元素(位置)為主體，即先滿足特殊元素(位置)，再考慮其他元素(位置).【考法全練】

1.(考向1)把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種.

解析：將產(chǎn)品A與B捆綁在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進(jìn)行答案：36

2.(考向2)(2021年廣德市模擬)將《紅樓夢(mèng)》《西游記》《三國演義》《水滸傳》《唐詩三百首》《徐志摩詩集》和《戲曲論叢》7本書放成一排，下面結(jié)論成立的是(

)A.戲曲書放在中間的不同放法有7！種B.詩集相鄰的不同放法有2×6！種C.四大古典名著互不相鄰的不同放法有3！種D.四大古典名著不放在兩端的不同方法有A

種解析：對(duì)于A，戲曲書只有1本，所以其余6本書可以全排列，共有6！種不同排列方法，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，詩集共2本，把詩集當(dāng)成1本，不同放法有6！種，這兩本又可交換位置，所以不同放法總數(shù)為2×6！，B正確；

對(duì)于C，四大古典名著互不相鄰，那只能在這4本書的3個(gè)空隙中放置其他書，共有3！種放法，這4本書又可以全排列，所以不同放法總數(shù)為4！×3！，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，四大古典名著可以在第2位至第6位這5個(gè)位置上任選4個(gè)位置放置，共有A

種放法，這4本書放好后，其余3本書可以在剩下的3個(gè)位置上全排列，所以不同放法總數(shù)為A

×3！，D錯(cuò)誤.故選B.答案：B

3.(考向3)(2023年連云港市模擬)現(xiàn)要從A，B，C，D，E這5人中選出4人，安排在甲、乙、丙、丁4個(gè)崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，則安排的方法有()A.56種B.64種C.72種D.96種答案：D⊙排列組合中的分組與分配問題考向1不同元素的整體均分問題[例6]若將6名教師平均分配到3所學(xué)校去任教，有_______種不同的分法.答案：90

考向2不同元素的部分均分問題

[例7]將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人至少1本的不同分法共有________種(用數(shù)字作答).

解析：把6本不同的書分成4組，每組至少1本的分法有2種. ①有1組3本，其余3組每組1本，不同的分法共有②有2組每組2本，其余2組每組1本，不同的分法共有

所以不同的分組方法共有20＋45＝65(種).

然后把分好的4組書分給4個(gè)人，所以不同的分法共有65×A

＝1560(種).答案：1560考向3不同元素的不等分問題[例8]若將6名教師分配到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法.解析：將6名教師分組，分3步完成.故共有60×6＝360(種)不同的分法.答案：360考向4相同元素的分配問題[例9]把9個(gè)完全相同的口罩分給6名同學(xué)，每人至少一個(gè)，)不同的分配方法有( A.41種 C.156種

B.56種D.252種

解析：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為將9個(gè)完全相同的口罩排成一列，再分成6份，每份至少一個(gè)，求其方法數(shù).事實(shí)上，只需在上述9個(gè)完全相同的口罩所產(chǎn)生的8個(gè)“空當(dāng)”中選出5個(gè)“空當(dāng)”插入擋板，即產(chǎn)生符合要求的分配方法.故有C

＝56(種).答案：B【題后反思】分組與分配問題的解題思路(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組方法有三種：①完全均勻分組，每組元素的個(gè)數(shù)都相等；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.(2)分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種：①相同元素的分配