2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 第六講 雙曲線配套課件

第六講雙曲線2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第七章

平面解析幾何1.雙曲線的概念

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2

的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當(dāng)a<c

時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)a＝c時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)a>c時(shí)，點(diǎn)M不存在.項(xiàng)目圖形2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)項(xiàng)目性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線(續(xù)表)項(xiàng)目性質(zhì)離心率實(shí)、虛軸實(shí)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；虛軸B1B2的長(zhǎng)為2ba，b，c

的關(guān)系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)(續(xù)表)

3.等軸雙曲線

實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為

【名師點(diǎn)睛】雙曲線中的幾個(gè)常用結(jié)論 (1)焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.設(shè)漸近線與實(shí)軸的夾角為θ，則雙曲線的離心率為考點(diǎn)一雙曲線的定義答案：C

2.已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M與圓C1及圓C2

均外切，則點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)___________.

解析：如圖D77所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1

和圓C2

分別外切于A，B兩點(diǎn). 根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|. 因?yàn)閨MA|＝|MB|，|AC1|＝1，|BC2|＝3，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，圖D77即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2，C1

的距離的差是2，且2<|C1C2|＝6.又根據(jù)雙曲線的定義，且|MC2|>|MC1|，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支，其中2a＝2，c＝3，則a2＝1，b2＝8.答案：9【題后反思】(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程.

(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案：D答案：D3.(2023年商丘市三模)我們通常稱離心率為的雙曲線為“黃金雙曲線”.寫出一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上、對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的“黃金雙曲線”C的標(biāo)準(zhǔn)方程________________.【題后反思】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，由雙曲線定義，確定2a，2b或2c，從而求出a2，b2，寫出雙曲線方程. (2)待定系數(shù)法：先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2

的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位求λ的值.

注意：①雙曲線與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程均可記為mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中當(dāng)m>0，n>0，且m≠n時(shí)表示橢圓；當(dāng)mn<0時(shí)表示雙曲線，合理使用這種形式可避免討論.②常見(jiàn)雙曲線設(shè)法(ⅰ)已知a＝b的雙曲線可設(shè)為x2－y2＝λ(λ≠0)；(ⅱ)已知過(guò)兩點(diǎn)的雙曲線可設(shè)為Ax2－By2＝1(AB>0)；λ(λ≠0).考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)考向1求雙曲線的漸近線方程解析：由題意知，雙曲線如圖7-6-1所示.設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn).圖7-6-1由Rt△MOF1∽R(shí)t△F2PF1，答案：A答案：D考向2雙曲線的離心率通性通法：求雙曲線的離心率或其范圍的方法如圖7-6-2，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為N，PN＝n，BN＝m－1，AN＝m＋1.圖7-6-2因?yàn)镻N//MB，所以∠BPN＝∠PBM.又∠PAB＝∠PBM，所以∠BPN＝∠PAN.所以Rt△BPN∽R(shí)t△PAN.答案：A答案：B

【考法全練】若M位于第一象限，如圖D78(1)，則(2)圖D78(1)若M位于第四象限，如圖D78(2)，則故選AB.答案：AB可得c2＋2a2－3ac＝0，e2＋2－3e＝0，因?yàn)閑＞1，圖D79所以解得e＝2.故選B.答案：B⊙與雙曲線有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題答