專題13正切正弦余弦（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)5種題型）（原卷版）

專題13正切、正弦、余弦（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)5種題型）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.正切的定義（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2.正弦、余弦的定義（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3.三角函數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)4.銳角三角函數(shù)的變化規(guī)律知識(shí)點(diǎn)5.銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系【方法二】實(shí)例探索法題型1.計(jì)算銳角的三角函數(shù)值題型2.構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值題型3.三角函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題題型4.三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題題型5.根據(jù)三角函數(shù)求邊長(zhǎng)【方法三】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解正切的概念，會(huì)求銳角的正切值。理解銳角正切值的變化規(guī)律，會(huì)用計(jì)算器求銳角的正切值。通過(guò)求銳角的正切值感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。理解銳角的正弦、余弦的概念，能準(zhǔn)確地用直角三角形兩邊的比表示三角函數(shù)。會(huì)利用計(jì)算器求一個(gè)銳角的正弦、余弦。了解銳角的正弦值隨銳角的增大而增大，余弦值隨銳角的增大而減小。體會(huì)直角三角形中邊角關(guān)系，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.正切的定義（重點(diǎn)）正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對(duì)邊除以∠A的鄰邊＝．【例1】．（2022秋?池州期末）如圖，△ABC在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的方格紙中，△ABC的頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)位置，那么∠ABC的正切值為．知識(shí)點(diǎn)2.正弦、余弦的定義（重點(diǎn)）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝∠A的對(duì)邊除以斜邊＝．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊＝．【例2】（2023秋·上海普陀·九年級(jí)校考期中）在中，，那么的值是（

）A．2 B． C． D．【變式】（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第二十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，則等于（

）

A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)3.三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對(duì)的邊BC記為a，叫做∠A的對(duì)邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對(duì)的邊AC記為b，叫做∠B的對(duì)邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對(duì)的邊AB記為c，叫做斜邊．

銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；．

注意：正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值．角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化．

(2)sinA，cosA，tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號(hào)，是一個(gè)整體，不能寫成，，，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時(shí)習(xí)慣上省略∠A的角的記號(hào)“∠”，但對(duì)三個(gè)大寫字母表示成的角(如∠ABC)，其正切應(yīng)寫成“tan∠ABC”，不能寫成“tanABC”；另外，、、常寫成、、．

(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在．

(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0°<∠A<90°間變化時(shí)，，，tanA＞0【例3】（2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正確的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝知識(shí)點(diǎn)4.銳角三角函數(shù)的變化規(guī)律（1）在0°－90°之間，銳角的正弦值隨角度的增大而增大；（2）在0°－90°之間，銳角的余弦值隨角度的增大而減??；（3）在0°－90°之間，銳角的正切值隨角度的增大而增大.【例4】（2022秋?興隆縣期中）如果∠α為銳角，且sinα＝0.6，那么α的取值范圍是（）A．0°＜α≤30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α≤90°【變式】（2022?五通橋區(qū)模擬）若銳角α滿足cosα＜且tanα＜，則α的范圍是（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°知識(shí)點(diǎn)5.銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余關(guān)系：，；

(2)平方關(guān)系：；

(3)倒數(shù)關(guān)系：或；

(4)商數(shù)關(guān)系：．【例5】（2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則tanA的值為（）A． B． C． D．8【變式】（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，則tanB等于（）A． B． C． D．【方法二】實(shí)例探索法題型1.計(jì)算銳角的三角函數(shù)值1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市光華中學(xué)校?？计谥校┰谥校?，，，則．2．（2023秋·上海青浦·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，，，則的余弦值為.3．（2023秋·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，于點(diǎn)D，則的值為．題型2.構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值4．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考三模）在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則的值為．5．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）如圖，中，，是邊上的中線，分別過(guò)點(diǎn)C，D作的平行線交于點(diǎn)E，且交于點(diǎn)O，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求的值．題型3.三角函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題6．（2023春?宣城月考）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，若坡比i＝1：2.5，則此斜坡的水平距離AC為（）A．75m B．50m C．45m D．30m7．（2022秋?金安區(qū)校級(jí)期末）河堤橫斷面如圖所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比為1：3，則AB的長(zhǎng)為（）A．12米 B．米 C．米 D．米題型4.三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題8．（2023秋·上海黃浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，是的角平分線，．將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如果點(diǎn)落在射線上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，那么的正切值為．

9．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）在平行四邊形中（頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，為銳角，且．(1)如圖1，求邊上的高的長(zhǎng)．(2)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)，求的長(zhǎng)．②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．題型5.根據(jù)三角函數(shù)求邊長(zhǎng)10．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，，則的長(zhǎng)為（

）A．10 B．24 C．5 D．1211．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)F，，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B．4 C． D．812．（2023·江蘇無(wú)錫·無(wú)錫市民辦輔仁中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，則．13．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為8的正方形，是邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，．點(diǎn)在該正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．

14．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，．求的大小和的長(zhǎng)．15．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在矩形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)求證；(2)求證：(3)若，，求的長(zhǎng)．【方法三】成果評(píng)定法一．選擇題（共8小題）1．（2021秋?淮陰區(qū)期末）中，，，，那么等于A． B． C． D．2．（2023秋?沛縣校級(jí)月考）在中，如果一條直角邊和斜邊的長(zhǎng)度都縮小至原來(lái)的，那么銳角的各個(gè)三角函數(shù)值A(chǔ)．都縮小 B．都不變 C．都擴(kuò)大5倍 D．無(wú)法確定3．（2023秋?惠山區(qū)期中）如圖，在中，，，，則的值是A． B． C． D．4．（2022秋?惠山區(qū)校級(jí)月考）為銳角，，則的值為A． B． C． D．5．（2023秋?惠山區(qū)期中）已知是銳角，且，那么銳角的取值范圍是A． B． C． D．6．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）在中，，，則的值為A． B． C． D．7．（2022秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）在中，，那么的值是A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．不能確定8．（2022秋?高新區(qū)期中）已知，則銳角的取值范圍是A． B． C． D．二．填空題（共4小題）9．（2023秋?淮陰區(qū)期中）如圖，中，，，，則的長(zhǎng)為．10．（2023?梁溪區(qū)一模）如圖，在中，，，，則．11．（2023?新北區(qū)校級(jí)二模）在中，斜邊，，則．12．（2023?亭湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在中，，，，，連接，則長(zhǎng)的最大值為．三．解答題（共4小題）13．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知，，是的三邊，，，滿足等式，且，求的值．14．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在中，，，，的平分線交邊于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，且，連接．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）求的面積．15．（2023春?寶應(yīng)縣月考）學(xué)習(xí)過(guò)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)．如圖，在中