第27章相似01講核心

考點1比例的概念及性質1.比例線段在四條線段中，如果其中兩條線段的比______另兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．如四條線段，，因此a、b、c、d四條線段成比例．【答案】等于【解析】【分析】根據比例線段的定義進行解答即可．【詳解】解：由題意得，在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．故答案為：等于【點睛】此題考查了成比例線段，熟練掌握成比例線段的定義是解題的關鍵．2.黃金分割如圖，若線段上一點C把線段分成兩條線段和()，且使是和的______，即，則稱線段被點C黃金分割，點C為黃金分割點，與的比叫黃金比，即．【答案】比例中項【解析】【分析】根據黃金分割的定義直接作答即可．【詳解】解：若線段上一點C把線段分成兩條線段和()，且使是和的比例中項，即，則稱線段被點C黃金分割，點C為黃金分割點，與的比叫黃金比，即．故答案為：比例中項．【點睛】本題主要考查了黃金分割的定義，掌握黃金分割的定義是解答本題的關鍵．3.比例的性質（1）基本性質：若______(，)．（2）合比性質：若______(，)．（3）等比性質：若(b·d·…·)，那么______．【答案】①.②.③.【解析】【分析】根據比例的基本性質即可作答．【詳解】解：（1）基本性質：若(，)．（2）合比性質：若(，)．（3）等比性質：若(b·d·…·)，那么．故答案：，，．【點睛】本題主要考查了比例的基本性質、合比性質和等比性質，掌握比例的基本性質、合比性質和等比性質的內容是解答本題的關鍵．考點2平行線分線段成比例4.平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線，如果在其中一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也______．【答案】相等【解析】【分析】根據平行線等分線段定理直接作答即可．【詳解】平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線，如果在其中一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等，故答案為：相等．【點睛】本題主要考查了平行線等分線段定理的內容，牢記平行線等分線段定理是解答本題的關鍵．5.基本事實：兩條線段被一組______所截，所得的對應線段成比例．如圖：如果，那么，，．【答案】平行線【解析】【分析】根據平行線分線段成比例定理解答即可．【詳解】基本事實：兩條線段被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，如圖，如果，那么，，．故答案為：平行線．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的知識，掌握性質定理是解題的關鍵．3.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊或(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例．如圖：，則，，．考點3相似圖形6.相似圖形：兩個圖形______相同，這兩個圖形稱為相似圖形．【答案】形狀【解析】【分析】根據相似圖形的概念即可作答．【詳解】兩個圖形形狀相同，這兩個圖形稱為相似圖形，故答案為：形狀．【點睛】本題屬于概念辨析的基礎題，掌握相似圖形的概念是解答本題的關鍵．7.各角分別相等，各邊_________的兩個多邊形叫做相似多邊形；相似多邊形對應邊的比叫做____________．【答案】①.對應成比例②.相似比【解析】8.相似多邊形的性質：（1）相似多邊形的對應角______，對應邊______．（2）相似多邊形的周長比等于______，面積比等于______．【答案】①.相等②.成比例③.相似比④.相似比的平方【解析】【分析】（1）根據相似多邊形的性質，求解即可；（2）根據相似多邊形的性質，求解即可．【詳解】解：（1）相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例；（2）相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方；故答案為：相等，成比例，相似比，相似比的平方．【點睛】此題考查了相似多邊形的性質，解題的關鍵是熟練掌握相似多邊形的性質．考點4相似三角形9.相似三角形的概念：對應角______，對應邊______的三角形叫做相似三角形．【答案】①.相等②.成比例【解析】【分析】根據相似三角形的定義解答即可．【詳解】對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形．故答案為：相等，成比例．【點睛】本題主要考查了相似三角形的定義，理解定義是解題的關鍵．10.如果和相似，且，那么這個比值k就叫做這兩個相似三角形的______．【答案】相似比【解析】【分析】根據相似比的定義，即可解答．【詳解】解：如果和相似，且，那么這個比值k就叫做這兩個相似三角形的相似比．故答案為：相似比．【點睛】本題考查了相似比的定義，熟練掌握和運用相似比的定義是解決本題的關鍵．11.相似三角形的判定：（1）平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或______)相交，截得的三角形與原三角形相似．（2）兩組角對應______，兩三角形相似．（3）兩邊對應成比例且______相等，兩三角形相似．（4）三邊對應______，兩三角形相似．【答案】①.兩邊的延長線；②.相等；③.夾角；④.成比例．【解析】【分析】根據相似三角形的判定方法直接作答即可．【詳解】（1）平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，截得的三角形與原三角形相似．（2）兩組角對應相等，兩三角形相似．（3）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．（4）三邊對應成比例，兩三角形相似．故答案為：兩邊的延長線，相等，夾角，成比例．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，牢記相似三角形的判定方法是解答本題的關鍵．12.相似三角形的性質：（1）相似三角形的對應角______．（2）相似三角形的對應線段(邊、高、中線、角平分線)成比例，且______相似比．（3）相似三角形的周長比等于______，面積比等于______．【答案】①.相等②.等于③.相似比④.相似比的平方【解析】【分析】根據相似三角形的性質直接作答即可．【詳解】解：相似三角形的性質：（1）相似三角形的對應角相等．（2）相似三角形的對應線段(邊、高、中線、角平分線)成比例，且等于相似比．（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．故答案為：相等，等于，相似比，相似比的平方．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，掌握相似三角形的性質是解答本題的關鍵．考點5利用相似三角形解應用題1.利用投影、平行線、標桿等構造相似三角形求解；2.測量底部可以到達的物體的高度；3.測量底部不可以到達的物體的高度；4.測量不可以到達的物體的寬度；考點6位似13.位似圖形的概念：如果兩個相似圖形，每組對應頂點的連線都交于______，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的______又稱為位似比．【答案】①.一點；②.相似比．【解析】【分析】根據位似圖形的概念即可作答．【詳解】位似圖形的概念：如果兩個相似圖形，每組對應頂點的連線都交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比，故答案為：一點，相似比．【點睛】本題屬于概念辨析的基礎題，牢記位似圖形的概念是解答本題的關鍵．14.位似圖形的性質（1）位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于______．（2）位似圖形______相似圖形，但相似圖形______位似圖形，位似圖形具有相似圖形的所有性質．（3）位似圖形的對應邊互相平行或______．（4）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于______．【答案】①.一點②.是③.不一定是④.共線⑤.相似比【解析】【分析】根據位似圖形的性質直接作答即可．【詳解】解：根據位似圖形的性質：（1）位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點．（2）位似圖形是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形具有相似圖形的所有性質．（3）位似圖形的對應邊互相平行或共線．（4）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比．故答案為：一點，是，不一定是，共線，相似比．【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質，掌握位似圖形的性質是解答本題的關鍵．比例線段的判定及應用1.比例線段的判定方法方法名稱方法步驟示例：a=12cm，b=4cm，c=21cm，d=7cm求比法計算較小的兩條線段的比，計算較大的兩線段的比，比相同就是比例線段,,,是比例線段求積法計算最小與最大兩條線段長度的乘積，計算中間兩條線段的乘積，乘積相同就是比例線段。,,,是比例線段2.比例線段的應用方法方法名稱方法步驟示例：已知，求的值參數法用參數K表示比值，再用K表示其它的字母，最后代入求值；設，則，，性質法利用比例的性質變形，注意等式的兩邊要進行同樣的操作．由得，【例題】15.下列四組線段中，不成比例的是（）A.3，9，2，6 B.1，，， C.1，2，4，8 D.1，2，3，9【答案】D【解析】【分析】四條線段成比例，根據線段的長短關系，從小到大排列，判斷中間兩項的積是否等于兩邊兩項的積，相等即成比例．【詳解】解：A．，不符合題意；B．，不符合題意；C．，不符合題意；D．，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了成比例線段的概念，熟練掌握知識點是解題的關鍵．16.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將變形為，將代入即可求解．【詳解】解：，．故選：A．【點睛】本題考查比例的性質，將變形為是解題的關鍵．17.已知點是線段的黃金分割點，且，，則的長為（）A. B. C. D.0.618【答案】B【解析】【分析】根據黃金分割的定義，知為較長線段，則，代入數據即可得出的值．【詳解】解：是線段的黃金分割點，且，為較長線段，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了黃金分割，用到的知識點是把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．【練經典】18.下列各組中的四條線段成比例的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】四條線段成比例，根據線段的長短關系，從小到大排列，判斷中間兩項的積是否等于兩邊兩項的積，相等即成比例．【詳解】A．從小到大排列，由于，所以不成比例，故此選項不符合題意；B．從小到大排列，由于，所以不成比例，故此選項不符合題意；C．從小到大排列，由于，所以不成比例，故此選項不符合題意；D．從小到大排列，由于，所以成比例，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷．19.如果則等于（）A. B. C. D.6【答案】A【解析】【分析】根據比例的性質進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，整理得：，∴，故選：A．【點睛】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解本題的關鍵．20.電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時，站在舞臺的黃金分割點處最自然得體，若舞臺從到的距離，那么舞臺長為_____．【答案】##【解析】【分析】根據黃金分割點的定義結合圖形的特征求解即可．【詳解】解：依題意，，即，解得（負值舍去），故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割點，掌握解題的關鍵是熟練掌握黃金分割的定義．【練易錯】易錯點：用比例的性質時，比例線段位置調整出錯而導致錯誤21.如果，那么的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據比例的性質即可得到結論，【詳解】解：∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．22.已知，那么______．【答案】【解析】【分析】利用比例的性質計算即可．【詳解】因為,所以．故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質，熟練掌握合比性質是解題的關鍵．平行線分線段性質的應用1.求線段長度方法一：利用平行線分線段的性質列出比例式→找出其中的三條線段的長度→代入求出未知線段的長度；方法二：利用平行線分線段的性質列出比例式→找出其中一條線段的長度和另兩條線段的比→代入求出未知線段的長度；2.證明線段之間的關系方法一：利用平行線分線段性質列出比例式→找出其中的兩條線段的比→代入得到未知線段的關系；方法二：利用平行線分線段的性質列出比例式→利用比例的性質對比例式進行變換→得到對應線段之間的關系；3.作圖：把一條線段按一定的比進行分割．【例題】23.如圖，直線，直線AC和DF被所截，如果，那么的長是（）A.2 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據平行線分線段成比例，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，解得：．故選：D【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵．24.如圖，在中，點分別是邊上的點，，且，則等于（）A.58 B.38 C. D.25【答案】C【解析】【分析】根據平行線分線段成比例推導即可．【詳解】∵，∴∵∴∴故選：C．【點睛】本題考查平行線分線段成比例，找準對應邊是解題的關鍵．【練經典】25.如圖，，直線、與這三條直線分別交于點、、和、、，若，，，則的長為（）A.4 B.6 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根據平行線分線段成比例定理得出，再求出的長度即可．【詳解】解：，，，，，，解得：，故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關鍵．26.已知，如圖在中，，，的延長線交的延長線于，則為_____．【答案】【解析】【分析】根據平行線解線段成比例即可．【詳解】解：，，，，，，，即．故答案為．【點睛】本題主要考查線段成比例求線段長度，能夠熟練利用平行線求線段比例是解題關鍵．【練易錯】易錯點：因對應線段找錯導致錯誤27.如圖，直線，直線AC和DF被、、所截，，，，則的長為（）A.12 B.3 C. D.5【答案】C【解析】【分析】直接根據平行線分線段成比例定理列式求解即可．【詳解】解：直線，，，，，，．故選C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．相似三角形的判定1.判定三角形相似的幾條思路：（1）條件中若有平行線，可采用預備定理，即平行出相似；（2）條件中若有一對等角，可再找一對等角或再找夾邊成比例，用AA或SAS進行判定；（3）條件中若有兩邊對應成比例，可找夾角相等，用SAS判定；（4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應成比例；（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個底角相等，也可找底和腰對應成比例．2.常見相似三角形的模型【例題】28.如圖，已知點D是的邊上的一點，根據下列條件，可以得到的是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據相似三角形的判定即可得到結論．【詳解】解：在和中，∵，∴只要，即，則，故選：C．【點睛】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．29.如圖，一副三角板，，頂點A重合，將繞其頂點A旋轉，在旋轉過程中，以下4個位置，不存在相似三角形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷可求解．【詳解】解：選項B，∵，∴，故選項B不合題意；選項C，如圖，設與交于點O，∵，∴，故選項C不合題意；選項D，∵，∴，，∴，∴，∴，又∵，∴，故選項D不合題意，故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．30.如圖所示，于點B，于點D，，點E在上移動，當以為頂點的三角形與相似時，求的長為__________．【答案】3或【解析】【分析】設，則．由題意可得出，即可分類討論：當時，；當時，，即可分別列出關于x的等式，解出x，即得出答案．【詳解】解：設，則．∵于點B，于點D，∴．分類討論：當時，，即=，解得：；當時，，即=，解得．綜上可知的長為3或．故答案為：3或．【點睛】本題考查三角形相似的判定和性質．利用分類討論的思想是解題關鍵．31.如圖，四邊形中，在邊上，，，．（1）求證：；（2）已知面積為3，求四邊形的面積．【答案】（1）證明見解析（2）四邊形的面積為21【解析】【分析】（1）利用，，得到，，即可證明；（2）已知，，根據相似三角形面積比等于相似比的平方，得到，再根據平行線間距離相等，得到，三個面積相加即可得到四邊形的面積·【小問1詳解】證明：，，，，，，在和中，，；【小問2詳解】，，，，，，，中邊上的高和中邊上的高相等，，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行線間距離相等，熟練掌握相似三角形面積比等于相似比的平方是解題關鍵．【練經典】32.已知，如圖，平行四邊形中，，且，那么_____．A.9 B.12 C.15 D.20【答案】D【解析】【分析】在平行四邊形中，有，，根據，可得，即有，根據，可得，即有，根據，可得，根據，可得，即有，問題隨之得解．【詳解】在平行四邊形中，有，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵行四邊形中，，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，相似三角形的性質與判定，證明，得到是解題的關鍵．33.如圖，AB、DE是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠ABC=20°，點D從點C出發(fā)沿順時針方向繞圓心O旋轉α°（0＜α＜180），當α=______時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．【答案】50、70或160【解析】【分析】分三種情況，當，，時，直徑DE在△ABC中截得的三角形都與△ABC相似，既如圖1，2，3，數形結合即可得出結果．【詳解】解：如圖1所示：當點D從點C出發(fā)沿順時針方向繞圓心O旋轉到時，DE交BC于點F，連接OC，是的直徑，故當時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．如圖2所示：當點D從點C出發(fā)沿順時針方向繞圓心O旋轉到時，DE與BC交于點F，連接OC，是的直徑，故當時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．如圖3所示：當點D從點C出發(fā)沿順時針方向繞圓心O旋轉到時，DE與AC交于點F，連接OC，是的直徑，故當時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．故答案為：50、70或160．【點睛】本題主要考查了三角形相似的知識，涉及到圖形的旋轉，分三種情況討論，數形結合是解此題的關鍵．34.如圖，四邊形為平行四邊形，E為邊上一點，連接，它們相交于點F，且．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用平行四邊形的性質得到，則，然后證明，則利用相似三角形的性質得到結論；（2）先利用計算出，則，再由，利用平行線分線段成比例定理計算出，然后利用，根據相似比求出的長．【小問1詳解】證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】∵，且，∴，∴，∵，∴，即，解得，∵，∴，即，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，靈活運用相似三角形的性質表示線段之間的關系是解題的關鍵．相似圖形的性質1.對應角相等2.對應邊的比＝對應邊上的高的比＝對應邊上的中線的比＝對應角平分線的比＝周長的比＝相似比；面積的比＝相似比的平方．3.對應元素的尋找方法對應邊所對的角是對應角，對應角所對的邊是對應邊．【例題】35.若兩個相似三角形的對應邊之比為，則這兩個相似三角形的周長之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據相似三角形的性質定理：相似三角形的周長比等于相似比，即可得出答案；【詳解】解：相似三角形的周長比等于相似比；∴這兩個相似三角形的周長之比為故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的性質定理；熟練掌握該定理的具體內容是解題的關鍵．36.如圖所示，已知矩形的邊長為8cm，邊長為6cm，從中截去一個矩形（圖中陰影部分），如果所截矩形與原矩形相似，那么所截矩形的面積是（）A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2【答案】C【解析】【分析】矩形與矩形相似，得到，代入數值求得，即可求得所截矩形的面積．【詳解】解：∵矩形與矩形相似，∴，∴，∴，∴矩形的面積．故選：C．【點睛】此題主要考查了相似多邊形，熟練掌握相似多邊形的性質是解題的關鍵．【練經典】37.兩個相似多邊形的相似比為，已知一個多邊形的最短邊長為15，則另一個多邊形的最短邊長為（）A.15 B.9 C.25 D.25或9【答案】D【解析】【分析】根據相似多邊形的對應邊之比等于相似之比進行求解即可．【詳解】解：設另一個多邊形的最短邊長為x，∵兩個相似多邊形的相似比為，已知一個多邊形的最短邊長為15，∴或，解得或故選D．【點睛】本題主要考查了相似多邊形的性質，熟知相似多邊形對應邊之比等于相似比是解題的關鍵．38.圖中的兩個四邊形相似，則______．【答案】63【解析】【分析】根據相似圖形對應邊成比例，對應角相等進行求解即可．【詳解】解：∵兩個四邊形相似，∴，∴，∴，故答案為：63．【點睛】本題主要考查了相似圖形的性質，熟知相似圖形對應邊成比例，對應角相等是解題的關鍵．【練易錯】易錯點：忽略面積的比等于相似比的平方而致錯39.已知，它們的面積分別為4和9，且，則的長為（）A.12 B.15 C.18 D.20【答案】C【解析】【分析】根據相似三角形的周長比等于相似比解答．【詳解】解：∵和的周長分別為4和9，∴和的周長比為，∵，∴，即，解得：，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質進行解題．利用相似三角形解應用題1.利用太陽光平行構造相似三角形；2.利用標桿與被測物體平行構造相似三角形；3.利用物體固有的平行線構造相似三角形；4.添加平行線構造相似三角形；【例題】40.如圖是某風車示意圖，其相同的四個葉片均勻分布，水平地面上的點M在旋轉中心O的正下方，某一時刻，太陽光線恰好垂直照射葉片、，此時各葉片影子在點M右側成線段．測得，，垂直于地面的木棒與影子的比為．則點O、M之間的距離等于___________m；【答案】10【解析】【分析】連接交于點H，過點C作，通過證明，通過相似三角形對應邊成比例即可解答．【詳解】解：連接交于點H，過點C作，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：．設，，則，∵，∴，∴，即，解得：，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即：，解得：，∴，故答案為：10．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質和判定，解題的關鍵是畫出輔助線，構建相似三角形．41.小紅和小亮經常去學校圖書館里閱讀各種書籍，兩位同學想利用剛學過的測量知識來測量該圖書館的高度．某天，他們帶著測量工具來圖書館前，但由于校園整體規(guī)劃的原因，他們無法到達圖書館底部．于是小亮在地面上的點處放置了一個平面鏡，小紅從處出發(fā)沿著方向移動，當移動到點處時，剛好在平面鏡內看到圖書館的頂端的像，此時，測得米，小紅眼睛到地面的距離為1.6米；然后，小亮沿方向移動到點，用測量器測得圖書館頂端的仰角為45°，此時，測得，測量器的高度米．已知點、、、在同一水平直線上，且、、均垂直于，求該圖書館的高度．【答案】米【解析】【分析】作關于地面的鏡像點，連接，根據鏡像的原理得到點在一條直線上，通過，證得，得到，再根據四邊形是平行四邊形得到，再根據得到，從而得到，再根據建立關于的方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：如下圖所示，作關于地面的鏡像點，連接，作交于點∵在點剛好可以看到點，故點在一條直線上，∵，∴，∵∴∴，∴，∵點是點的鏡像點，∴∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得米．【點睛】本題考查相似三角形的性質，解題的關鍵是將測量得到的數據與相似三角形的知識相結合建立方程．【練經典】42.甲乙兩位同學利用燈光下的影子來測量一路燈A的高度，如圖，當甲走到點C處時，乙測得甲直立身高CD與其影子長CE正好相等，接著甲沿BC方向繼續(xù)向前走，走到點E處時，甲直立身高EF與影子恰好是線段EG，并測得EG=2.5m，已知甲直立時的身高為1.5m，求路燈的高AB的長.【答案】3.75m【解析】【分析】根據，，，得到，從而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形對應邊的比相等列出比例式求解即可．【詳解】解：如圖，設AB=x，由題意知，，，CD=CE，∴，∠CED=45°，∴BE=AB=x，∴△ABG∽△FEG，∴，即，∴x=3.75m答：路燈高AB約為3.75m．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質和判定，理解題意，運用相似三角形的性質得出關系式是解題關鍵．43.如圖，一路燈與墻相距20米，當身高米的小亮在離墻17米的D處時，影長為1米．（1）求路燈B的高度；（2）若點P為路燈，請畫出小亮位于N處時，在路燈P下的影子NF（用粗線段表示出來）【答案】（1）米（2）見解析【解析】【分析】（1）通過證明即可求出路燈的高度；（2）連接PM并延長，交BO于點F．【小問1詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵米，米，米，∴米，米，∴，解得：．∴路燈高米．【小問2詳解】如圖所示：【點睛】本題主要考查了用相似三角形測高，解題的關鍵是根據題意和圖形找出相似三角形，根據對應邊成比例列出方程求解．位似圖形的判定和性質1.先判定相似，再尋找位似中心找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是位似中心．2．畫位似圖形的步驟：(1)確定位似中心；(2)確定原圖形的關鍵點；(3)確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數；(4)作出原圖形中各關鍵點的對應點；(5)按原圖形的連接順序連接所作的各個對應點．3.位似圖形的性質（1）位似圖形具有相似圖形的性質；（2）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比；（3）位似中心是原點，對應點的橫坐標的絕對值的比＝縱坐標的絕對值的比＝位似比；【例題】44.在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為，，．以坐標原點為位似中心，作與的位似比為的位似圖形，則點的對應點的坐標為（）A. B.或C. D.或【答案】B【解析】【分析】根據位似圖形的定義可知，位似比為，將點的橫坐標分別乘以或即可求解．【詳解】解：將點的橫坐標分別乘以或，∴的坐標是或，故選：．【點睛】本題主要考查位似，掌握位似的性質是解題的關鍵．45.如圖，以點O為位似中心，作四邊形的位似圖形，已知，四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（）A.4 B.6 C.8 D.18【答案】D【解析】【分析】根據從而得出位似圖形的面積比，進而求解即可．【詳解】解：∵四邊形和四邊形關于點O位似，，∴，∵四邊形的面積是2，∴四邊形的面積是18．故選：D．【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質，解題的關鍵是熟練掌握位似是特殊的相似，位似圖形的面積比等于相似比的平方．46.如圖，格點圖形中每一個最小正方形的邊長為1單位長度，的頂點都在格點上．（1）在圖中建立平面直角坐標系，使得原點為點O，點坐標分別為；（2）以點O為位似中心，畫出的位似三角形，使得與相似比為；（3）在邊上求作兩點，使得將△ABC面積三等分．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）根據點坐標得出其對稱軸的位置即可；（2）根據位似的性質以及相似比為畫出圖形即可；（3）以點為位似中心，位似比分別為作的位似圖形，然后找出的三等分點，連接點與兩個三等分點與交于兩點，連接，則可將原三角形三等分．【小問1詳解】解：如圖，坐標系即為所求；【小問2詳解】如圖：即為所求；【小問3詳解】如圖，點即為所求．【點睛】本題考查了坐標與圖形，作圖－位似變換，相似三角形的性質，位似圖形的性質，熟練掌握位似的性質是解本題的關鍵．【練經典】47.如圖，與是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為，若，則點C的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據位似圖形的性質，若以原點為位似中心，且都在同一側的兩個位似圖形，其坐標比等于相似比，相似比為，則對應的坐標比也為，即可解得點C的坐標．【詳解】解：∵與是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為，點的坐標為，∴點C的坐標為，即，故選：D．【點睛】本題主要考查位似圖形的性質，注意位似比與坐標比的關系是解題的關鍵．48.如圖，與位似，位似中心為點O，與的周長之比為，則的比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據位似圖形的概念得到，，根據相似三角形的周長比等于相似比解答即可．【詳解】解：∵與位似，∴，，∴，∴，∵與的周長之比為，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查的是位似圖形的概念，掌握位似圖形的對應邊平行、相似三角形的性質是解題的關鍵．49.如圖，四邊形的四個頂點的坐標分別是（1）以原點O為位似中心，相似比為2：1，將圖形反向放大，在第三象限畫出符合要求的位似四邊形；（2）在（1）的前提下，如果四邊形內部一點M的坐標為，寫出M的對應點的坐標（，）；（3）如果一個小正方形的邊長為1，則四邊形的面積是____________．【答案】（1）見解析（2），（3）2.5【解析】【分析】（1）先根據題意確定的坐標，然后順次連接即可；（2）根據對應點坐標坐標為相似比的負2倍進行求解即可；（3）用四邊形所在的長方形面積減去三個三角形面積再減去一個正方形面積即可得到答案【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】解：∵四邊形與四邊形位似，位似比為，四邊形內部一點M的坐標為，∴M的對應點的坐標為，故答案為：，；【小問3詳解】解：；【點睛】本題主要考查了畫位似圖形，位似圖形的性質，坐標與圖形，熟知相關知識是解題的關鍵．【新定義小練】50.在平面直角坐標系中，已知點和，對于點定義如下：以點為對稱中心作點的對稱點，再將對稱點繞點逆時針旋轉90°，得到點，稱點為點的反轉點．已知的半徑為1．（1）如圖，點，，點在上，點為點的反轉點．①當點的坐標為時，在圖中畫出點；②當點在上運動時，求線段長的最大值；（2）已知點是上一點，點和是外兩個點，點為點的反轉點．若點在第一象限內，點在第四象限內，當點在上運動時，直接寫出線段長的最大值和最小值的差．【答案】（1）①見解析，②（2）4【解析】【分析】（1）①根據新定義畫出的點，即可，②根據定義，將作點關于的對稱點為，將點，繞點,逆時針旋轉得到，以為圓心，1為半徑作圓，結合圖形可知的最大值為，根據點到圓的距離即可求解．（2）根據位似變換的性質，旋轉的性質，找到點的軌跡，根據點到圓的距離即可求解．【小問1詳解】解：①如圖，點即為所求，②如圖，點，，作點關于的對稱點為，將點，繞點,逆時針旋轉得到，以為圓心，1為半徑作圓，則當點在上運動時，點的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，∴線段長的最大值為；∴，∴最大值為；【小問2詳解】如圖，依題意，作出點關于點的對稱點，，∵點在上運動，所以是以為位似中心，位似比為的位似圖形，∴的半徑為,根據題意，點在第四象限，作點的反轉點，即將繞點逆時針旋轉，根據旋轉的性質可得的半徑不變，為，∴線段長的最大值為，最小值為，∴最大值和最小值的差為．【點睛】本題考查了位似變換，旋轉的性質，根據題意畫出圖形是解題的關鍵．【閱讀探究材料類小練】51.古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G將一線段分為兩線段，使得其中較長的一段是全長與較短的段的比例中項，即滿足，后人把這個數稱為“黃金分制”數．把點G稱為線段的“黃金分割”點．如圖，在中，D是邊的“黃金分割”點，若，且，則的長度是____________．【答案】##【解析】【分析】如圖，過作于再根據黃金分割點的含義求解結合等腰三角形的性質求解再利用勾股定理進行計算即可．【詳解】解：如圖，過作于∵為的黃金分割點，∴∴∵∴∴∴而∴故答案為：【點睛】本題考查的是黃金分割點的含義，等腰三角形的性質，勾股定理分應用，二次根式的混合運算，熟練的利用勾股定理進行計算是解本題的關鍵．52.矩形ABCD中，＝（k＞1），點E是邊BC的中點，連接AE，過點E作AE的垂線EF，與矩形的外角平分線CF交于點F．（1）【特例證明】如圖（1），當k＝2時，求證：AE＝EF；小明不完整的證明過程如下，請你幫他補充完整．證明：如圖，在BA上截取BH＝BE，連接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3＝∠DCG＝45°．∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答題卡對應區(qū)域寫出剩余證明過程）（2）【類比探究】如圖（2），當k≠2時，求的值（用含k的式子表示）；（3）【拓展運用】如圖（3），當k＝3時，P為邊CD上一點，連接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的長．【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）證明△AHE≌△ECF（ASA）即可；（2）在BA上截取BH=BE，連接EH．證明△AHE∽△ECF，即可求解；（3）以A為旋轉中心，△ADP繞A點旋轉90°到△AP'H，設AB=3a，則BC=2a，連接P'E，HE，延長P'H交CD于點G，連接EG，證明△AEP'≌△AEP（SAS），△PEG≌△P'EH（AAS），可得四邊形APEP'是正方形，再證明△APD≌△PEC（AAS），由（2）得△AHE∽△ECF，過點P作PK⊥AE交于K，進而證明四邊形PKEF是矩形，則有PF==a，即可求出BC=．【小問1詳解】證明：如圖，在BA上截取BH=BE，連接EH．∵k=2，∴AB=BC．∵∠B=90°，BH=BE，∴∠1=∠2=45°，∴∠AHE=180°∠1=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠3=∠DCG=45°，∴∠ECF=∠3+∠4=135°，∵AE⊥EF，∴∠6+∠AEB=90°，∵∠5+∠AEB=90°，∴∠5=∠6，∵AB=BC，BH=BE，∴AH=EC，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；【小問2詳解】解：在BA上截取BH=BE，連接EH．∵∠B=90°，BH=BE，∴∠BHE=∠BEH=45°，∴∠AHE=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠DCF=∠DCG=45°．∴∠ECF=135°，∵AE⊥EF，∴∠FEC+∠AEB=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△AHE∽△ECF，∴，∵，E是BC邊的中點，∴EC=HB=BC，∴AH=ABBC=BC，∴；【小問3詳解】解：以A為旋轉中心，△ADP繞A點旋轉90°到△AP'H，∵k=3，∴，設AB=3a，則BC=2a，∵∠PAE=45°，∴∠P'AP=90°，連接P'E，HE，延長P'H交CD于點M，連接EM，∵AH=AD=2a，∴BH=a，∵E是BC的中點，∴BE=a，∴HE=a，∠BHE=45°，∴∠P'HE=135°，∵CG=EC=a，∴∠MEC=45°，∴∠PME=135°，∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，∴△AEP'≌△AEP（SAS），∴PE=P'E，∴△PEM≌△P'EH（AAS），∴∠PEG=∠P'EH，∵∠HEG=∠EGH=45°，∴∠HEG=90°，∴∠PEP'=90°，∴∠AEP=∠AEP'=45°，∴∠APE=∠AP'E=90°，∴四邊形APEP'正方形，∴AP=PE，∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，∴∠DAP=∠EPC，∵AP=PE，∴△APD≌△PEC（AAS），∴AD=PC=2a，PD=ED=a，∴PE=a，由（2）得△AHE∽△ECF，∴，∵∴，∵∠HEM=∠AEF=90°，∴∠HEA=∠MEF，∵∠PEM=∠P'EH，∴∠PEF=∠P'EH=45°，過點P作PK⊥AE交于K，∵EF⊥AE，∴PKEF，∵，∴PK=EF，∴四邊形PKEF是矩形，∴PF=KE，∵，∴，∴∴．【點睛】本題考查四邊形的綜合應用，熟練掌握矩形的性質，全等三角形的判定及性質，相似三角形是判定及性質，正方形的判定及性質，等腰直角三角形的判定及性質是解題的關鍵．【動態(tài)問題小練】53.如圖，在中，已知，，，動點D從點A出發(fā)沿射線方向以每秒2個單位的速度運動，點E是邊的中點，連結．設點D運動的時間為t秒．求當t取何值時，與相似？寫出所有的情況．【答案】當或或或時，與相似【解析】【分析】分D點在的左邊和D點在的右邊兩種情況討論即可求解．【詳解】解：∵點E是邊的中點，，∴，①當D點在的左邊時，當時，則，∴，∴，當時，則，∴，∴，②當D點在BC的右邊時，當時，則，∴，∴，當時，則，∴，∴，綜上，當或或或時，與相似．【點睛】考查了相似三角形的判定和性質：兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；注意分情況討論求解．54.已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點C運動，設運動的時間為t秒．（1）如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；（2）如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當t為何值時，四邊形QPCP′為菱形？【答案】（1）當t＝2時，PQ⊥BC（2）當t的值為時，四邊形QPCP′為菱形【解析】【分析】（1）根據勾股定理求出，根據相