上海市普通高中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

上海市普通高中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.2．若直線l與橢圓交于點(diǎn)A、B,線段的中點(diǎn)為,則直線l的方程為()A. B.C. D.3．已知，則的最小值是（）A.3 B.8C.12 D.204．某公司要建造一個(gè)長(zhǎng)方體狀的無(wú)蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價(jià)為15元，箱壁每1m2造價(jià)為12元，則箱子的最低總造價(jià)為（）A.72元 B.300元C.512元 D.816元5．如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.6．若兩定點(diǎn)A，B的距離為3，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是（）A B.C. D.8．如圖，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，為正三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.9．已知，，，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.10．函數(shù)在上的最大值是A. B.C. D.11．在等比數(shù)列中，若，，則（）A. B.C. D.12．將點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(

)A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，，三點(diǎn)共線，則m的值為___________.14．已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.15．如果點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿足關(guān)系式，記滿足此條件的點(diǎn)M的軌跡為C，直線與C交于D，E，已知，則周長(zhǎng)的最大值為______16．已知數(shù)列滿足，，則_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為（1）若，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）若，，成等差數(shù)列，求q的值并證明：存在互不相同的正整數(shù)m，n，p，使得，，成等差數(shù)列；（3）若存在正整數(shù)，使得數(shù)列，，…，在刪去以后按原來(lái)的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列，求所有數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合，18．（12分）設(shè)曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為.（1）求a，b的值；（2）求證：；（3）當(dāng)，求a的取值范圍.19．（12分）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，也侵害木棉、錦葵等植物．為了防治蟲害，從根源上抑制害蟲數(shù)量．現(xiàn)研究紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度的關(guān)系，收集到7組溫度和產(chǎn)卵數(shù)的觀測(cè)數(shù)據(jù)于表Ⅰ中．根據(jù)繪制的散點(diǎn)圖決定從回歸模型①與回歸模型②中選擇一個(gè)來(lái)進(jìn)行擬合表Ⅰ溫度x/℃20222527293135產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212465114325（1）請(qǐng)借助表Ⅱ中的數(shù)據(jù)，求出回歸模型①的方程：表Ⅱ（注：表中）18956725.271627810611.06304041.86825.09（2）類似的，可以得到回歸模型②的方程為，試求兩種模型下溫度為時(shí)的殘差；（3）若求得回歸模型①的相關(guān)指數(shù)，回歸模型②的相關(guān)指數(shù)，請(qǐng)結(jié)合（2）說(shuō)明哪個(gè)模型的擬合效果更好參考數(shù)據(jù)：.附：回歸方程中，相關(guān)指數(shù).20．（12分）已知（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍21．（12分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求.22．（10分）已知橢圓左，右頂點(diǎn)分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點(diǎn)（1）若，證明：直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】函數(shù)，若，，可得，解得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.2、A【解析】用點(diǎn)差法即可獲解【詳解】設(shè).則兩式相減得即因?yàn)?線段AB的中點(diǎn)為,所以所以所以直線的方程為,即故選:A3、A【解析】利用基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：A4、D【解析】設(shè)這個(gè)箱子的箱底的長(zhǎng)為xm，則寬為m，設(shè)箱子總造價(jià)為f（x）元，則f(x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低總造價(jià)【詳解】設(shè)這個(gè)箱子的箱底的長(zhǎng)為xm，則寬為m，設(shè)箱子總造價(jià)為f(x)元，∴f(x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x＝4時(shí)，f（x）取最小值816元故選：D5、B【解析】利用插點(diǎn)的方法，將歸結(jié)到題目中基向量中去，注意中線向量的運(yùn)用.【詳解】.故選：B.6、D【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)M的軌跡方程即可計(jì)算得解.【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)并整理得：，于是得點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，其面積為，所以M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故選：D7、B【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，求出切線和橫截距a和縱截距b，面積為【詳解】由題意可得，所以，則所求切線方程為令，得；令，得故所求三角形的面積為故選：B8、D【解析】根據(jù)橢圓定義及正三角形的性質(zhì)可得到\，再在中運(yùn)用余弦定理得到、的關(guān)系，進(jìn)而求得橢圓的離心率【詳解】由橢圓的定義知，，則，因?yàn)檎切?，所以，在中，由余弦定理得，則，，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的求解，考查考生的邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于中等題.9、A【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及根式的運(yùn)算，確定的大小關(guān)系，則問(wèn)題得解.【詳解】因?yàn)椋?；又，?故選：A.10、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令可得，可得上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，函數(shù)在上的最大值是故選D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，是一道中檔題11、D【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，化簡(jiǎn)，代入數(shù)值求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，由題意，所以.故選：D12、A【解析】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化由點(diǎn)M的極坐標(biāo)，知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)三點(diǎn)共線與斜率的關(guān)系即可得出【詳解】由，，三點(diǎn)共線，可知所在的直線與所在的直線平行，又，由已知可得，解得故答案為：14、2n+1【解析】由計(jì)算，再計(jì)算可得結(jié)論【詳解】由題意時(shí)，，又適合上式，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由求通項(xiàng)公式，解題根據(jù)是，但要注意此式不含，15、8【解析】根據(jù)橢圓定義判斷出軌跡，分析條件結(jié)合橢圓定義可知當(dāng)直線x=m過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，三角形ADE周長(zhǎng)最大.【詳解】，到定點(diǎn)，的距離和等于常數(shù)，點(diǎn)軌跡C為橢圓，且故其方程為，則為左焦點(diǎn)，因?yàn)橹本€與C交于D，E，則，不妨設(shè)D在軸上方，E在軸下方，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為A'，連接DA'，EA'，因?yàn)镈A'＋EA'≥DE，所以DA＋EA＋DA'＋EA'≥DA＋EA＋DE，即4a≥DA＋EA＋DE，所以△ADE的周長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)取得最大值8，故答案為：816、【解析】由題設(shè)可得，應(yīng)用累加法有，結(jié)合已知即可求.【詳解】由題設(shè)，，所以，又，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）,證明見解析.（3）不存在，【解析】（1）數(shù)列為首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得出結(jié)果；（2），，成等差數(shù)列，則+=2，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算可解得，進(jìn)而計(jì)算可得，即可判斷結(jié)果；（3）由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來(lái)的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列,則，解方程組可得無(wú)解，則所有數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合為.【小問(wèn)1詳解】，，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，，數(shù)列為，數(shù)列為首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問(wèn)2詳解】，，成等差數(shù)列，+=2，當(dāng)時(shí),+=,2,不符題意舍去，當(dāng)時(shí)，.,即，，，（舍）或即，存在互不相同的正整數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，，，.【小問(wèn)3詳解】由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來(lái)的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列,則，,即，解得：方程組無(wú)解.即符合條件的不存在，所有數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合為.18、（1）（2）證明見解析（3）【解析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，令x=1處的切線的斜率等1，結(jié)合，即可求得a和b的值；（2）利用（1）的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，求求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求出最小值即可證明；（3）根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求出其導(dǎo)數(shù)，分類討論導(dǎo)數(shù)的值的情況，根據(jù)單調(diào)性，判斷函數(shù)的最小值情況，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意知：，因?yàn)榍€在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為，故，即；【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）知：，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也即最小值，最小值為，故，即成立；【小問(wèn)3詳解】當(dāng)，即，（），設(shè)，（），則，當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)，此時(shí)在時(shí)單調(diào)遞增，，適合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在時(shí)單調(diào)遞增，，適合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)在時(shí)單調(diào)遞增，，適合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在內(nèi)，，在內(nèi)，，故，顯然時(shí)，，不滿足當(dāng)恒成立，綜上述：.19、（1）（或）（2）模型①：1.54；模型②：65.54（3）模型①【解析】（1）利用兩邊取自然對(duì)數(shù)，利用表中的數(shù)據(jù)即可求解；（2）分別計(jì)算模型①、②在時(shí)殘差；（3）根據(jù)相關(guān)指數(shù)的大小判斷摸型①、②的殘差平方和，再得出那個(gè)模型的擬合效果更好.【小問(wèn)1詳解】由，得，令，得，由表Ⅱ數(shù)據(jù)可得，，，所以，所以回歸方程為（或）.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，模型①在時(shí)殘差為，模型②在時(shí)殘差為.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，即模型①的相關(guān)指數(shù)大于模型②的相關(guān)指數(shù)，由相關(guān)指數(shù)公式知，模型①的殘差平方和小于模型②的殘差平方和，因此模型①得到的數(shù)據(jù)更接近真實(shí)數(shù)據(jù)，所以模型①的擬合效果更好.20、（1）答案見解析；（2）.【解析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，按a值的正負(fù)分析討論導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)計(jì)算作答.(2)求出函數(shù)的解析式并求導(dǎo)，再按在值的正負(fù)分段討論推理作答.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，若，即時(shí)，，則有在R上單調(diào)遞增，若，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則有在，上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則有在，上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】依題意，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，使得，而在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，若，即時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，若，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，綜上可知，當(dāng)時(shí)，在有1個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意得，，再結(jié)合即可求得答案.（2）設(shè)，，直接聯(lián)立方程得，再結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到線的距離公式得，點(diǎn)M到直線的距離，進(jìn)而可得.【詳解】解：（1）由題意得，，結(jié)合，解得所以橢圓的方程為：.（2）由得即，經(jīng)驗(yàn)證.設(shè)，.所以，，故因?yàn)辄c(diǎn)M到直線的距離，所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系，橢圓的方程，弦長(zhǎng)公式等，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進(jìn)而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點(diǎn)，即可證明直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；根據(jù)條件可求出直線MN過(guò)定點(diǎn)，從而可得到過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得到點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)