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文檔簡介
山西省臨汾市第一中學等五校2025屆高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研試題注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知向量a→=(1,1,k),A. B.C. D.2.等比數(shù)列的公比為,則“”是“對于任意正整數(shù)n,都有”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3.與的等差中項是()A. B.C. D.4.《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,第九章“勾股”,講述了“勾股定理”及一些應用,直角三角形的兩直角邊與斜邊的長分別稱“勾”“股”“弦”,且“”.設分別是雙曲線的左、右焦點,直線交雙曲線左、右兩支于兩點,若恰好是的“勾”“股”,則此雙曲線的離心率為()A. B.C.2 D.5.如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象,下列結論中正確的是()A.在上是增函數(shù) B.當時,取得最小值C.當時,取得極大值 D.在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)6.已知拋物線,過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有()條A.0 B.1C.2 D.37.已知命題p:函數(shù)在(0,1)內(nèi)恰有一個零點;命題q:函數(shù)在上是減函數(shù),若p且為真命題,則實數(shù)的取值范圍是A. B.2C.1<≤2 D.≤l或>28.已知集合,,則中元素的個數(shù)為()A.3 B.2C.1 D.09.已知圓的圓心在x軸上,半徑為1,且過點,圓:,則圓,的公共弦長為A. B.C. D.210.若將雙曲線繞其對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象,且該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值,則雙曲線C的離心率為()A. B.C.2 D.11.直線的傾斜角為()A.60° B.30°C.120° D.150°12.“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知曲線與曲線有相同的切線,則________14.曲線圍成的圖形的面積為___________.15.如圖所示,在直二面角D-AB-E中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中,則點D到平面ACE的距離為________16.沈陽市某高中有高一學生600人,高二學生500人,高三學生550人,現(xiàn)對學生關于消防安全知識了解情況進行分層抽樣調(diào)查,若抽取了一個容量為n的樣本,其中高三學生有11人,則n的值等于________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和.18.(12分)在平面直角坐標系xOy中,點A(2,4),直線l:,設圓C的半徑為1,圓心在直線l上,圓心也在直線上.(1)求圓C的方程;(2)過點A作圓C的切線,求切線的方程.19.(12分)已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為,且,,成等比數(shù)列,且.(1)求的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前n項和.20.(12分)已知等差數(shù)列的前項和為,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求的最大值及相應的的值.21.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,,點是的中點.(1)求證:;(2)求證:平面.22.(10分)已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列中,,.(1)求數(shù)列通項公式;(2)設,求數(shù)列的前n項和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)向量的坐標運算和向量垂直數(shù)量積為0可解.【詳解】解:根據(jù)題意,易得a→∵與兩向量互相垂直,∴0+2+k+2=0,解得.故選:D2、D【解析】結合等比數(shù)列的單調(diào)性,根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】若,,則,,充分性不成立;反過來,若,,則時,必要性不成立;因此“”是“對于任意正整數(shù)n,都有”的既不充分也不必要條件.故選:D3、A【解析】代入等差中項公式即可解決.【詳解】與的等差中項是故選:A4、A【解析】根據(jù)雙曲線的定義及直角三角形斜邊的中線定理,再結合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】如圖所示由題意可知,根據(jù)雙曲線的定義知,是的中點且.在中,是的中點,所以,因為直線的斜率為,所以,所以.所以是等邊三角形,.在中,.由雙曲線的定義,得,所以雙曲線的離心率為.故選:A.5、D【解析】根據(jù)導函數(shù)的圖象判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值,由此確定正確選項.【詳解】根據(jù)圖象知:當,時,函數(shù)單調(diào)遞減;當,時,函數(shù)單調(diào)遞增.所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故選項A不正確,選項D正確;故當時,取得極小值,選項C不正確;當時,不是取得最小值,選項B不正確;故選:D.6、D【解析】設出過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程,再與的方程聯(lián)立借助判別式計算、判斷作答.【詳解】拋物線的對稱軸為y軸,直線過點P且與y軸平行,它與拋物線C只有一個公共點,設過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程為:,由消去y并整理得:,則,解得或,因此,過點與拋物線C相切的直線有兩條,相交且只有一個公共點的直線有一條,所以過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有3條.故選:D7、C【解析】命題p為真時:;命題q為真時:,因為p且為真命題,所以命題p為真,命題q為假,即,選C考點:命題真假8、B【解析】集合中的元素為點集,由題意,可知集合A表示以為圓心,為半徑的單位圓上所有點組成的集合,集合B表示直線上所有的點組成的集合,又圓與直線相交于兩點,,則中有2個元素.故選B.【名師點睛】求集合的基本運算時,要認清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合,這是正確求解集合運算的兩個先決條件.集合中元素的三個特性中的互異性對解題影響較大,特別是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.9、A【解析】根據(jù)題意設圓方程為:,代點即可求出,進而求出方程,兩圓方程做差即可求得公共弦所在直線方程,再利用垂徑定理去求弦長.【詳解】設圓的圓心為,則其標準方程為:,將點代入方程,解得,故方程為:,兩圓,方程作差得其公共弦所在直線方程為:,圓心到該直線的距離為,因此公共弦長為,故選:A.【點睛】本題綜合考查圓的方程及直線與圓,圓與圓位置關系,屬于中檔題.一般遇見直線與圓相交問題時,常利用垂徑定理解決問題.10、C【解析】由題意,可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°,再確定參數(shù)的正負即可求解.【詳解】雙曲線,令,則,顯然,則一條漸近線方程為,繞其對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象,則漸近線就需要旋轉(zhuǎn)到與坐標軸重合,故漸近線方程的傾斜角為120°,即,該函數(shù)在區(qū)間上存在最小值,可知,所以,所以.故選:C11、C【解析】求出斜率,根據(jù)斜率與傾斜角的關系,即可求解.【詳解】解:,即,直線的斜率為,即直線的傾斜角為120°.故選:C.12、B【解析】因但二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、0【解析】設切點分別為,.利用導數(shù)的幾何意義可得,則.由,,計算可得,進而求得點坐標代入方程即可求得結果.【詳解】設切點分別為,由題意可得,則,即因為,,所以,即,解得,所以,則,解得故答案為:014、##【解析】曲線圍成圖形關于軸,軸對稱,故只需要求出第一象限的面積即可.【詳解】將或代入方程,方程不發(fā)生改變,故曲線關于軸,軸對稱,因此只需求出第一象限的面積即可.當,時,曲線可化為:,表示的圖形為一個半圓,圍成的面積為,故曲線圍成的圖形的面積為.故答案:.15、【解析】建立合適空間直角坐標系,分別表示出點的坐標,然后求解出平面的一個法向量,利用公式求解出點到平面的距離.【詳解】以AB的中點O為坐標原點,分別以OE,OB所在的直線為x軸、y軸,過垂直于平面的方向為軸,建立如下圖所示的空間直角坐標系,則,,設平面ACE的法向量,則,即,令,∴故點D到平面ACE的距離.故答案:.16、33【解析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為抽取了一個容量為n的樣本,其中高三學生有11人,所以有,故答案為:33三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)題意,通過解方程求出公比,即可求解;(2)根據(jù)題意,求出,結合組合法求和,即可求解.小問1詳解】根據(jù)題意,設公比為,且,∵,,∴,解得或(舍),∴.【小問2詳解】根據(jù)題意,得,故,因此.18、(1)(2)或【解析】(1)直接求出圓心的坐標,寫出圓的方程;(2)分斜率存在和斜率不存在進行分類討論,利用幾何法列方程,即可求解.【小問1詳解】由圓心C在直線l:上可設:點,又C也在直線上,∴,∴又圓C的半徑為1,∴圓C的方程為.【小問2詳解】當直線垂直于x軸時,與圓C相切,此時直線方程為.當直線與x軸不垂直時,設過A點的切線方程為,即,則,解得.此時切線方程,.綜上所述,所求切線為或19、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和等比中項,可得,再根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式,即可求出,,進而求出結果;(2)由(1)得,結合等比數(shù)列前項和公式和對數(shù)運算性質(zhì),利用分組求和,即可求出結果.【小問1詳解】解:設的公差為,由,,成等比數(shù)列可知,即,化簡得.由可得,所以.將代入,得,,所以.小問2詳解】解:由(1)得,所以.20、(1)(2)當或時,有最大值是20【解析】(1)用等差數(shù)列的通項公式即可.(2)用等差數(shù)列的求和公式即可.【小問1詳解】在等差數(shù)列中,∵,∴,解得,∴;【小問2詳解】∵,∴,∴當或時,有最大值是2021、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】(1)由直棱柱的性質(zhì)可得,由勾股定理可得,由線面垂直判定定理即可得結果;(2)取的中點,連結和,通過線線平行得到面面,進而得結果.【詳解】(1)∵直三棱柱,∴面,∴,又∵,,,
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