2024屆廣東省佛山市禪城實驗高級中學(xué)高考適應(yīng)性月考卷(四)數(shù)學(xué)試題_第1頁
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文檔簡介

2024屆廣東省佛山市禪城實驗高級中學(xué)高考適應(yīng)性月考卷(四)數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x<1},B={x|},則A. B.C. D.2.在中,點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn),,,則()A. B.-2 C. D.23.函數(shù)的大致圖像為()A. B.C. D.4.已知,且,則()A. B. C. D.5.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.6.下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是()A. B. C. D.7.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則m的值為()A. B. C.1 D.38.已知函數(shù),關(guān)于x的方程f(x)=a存在四個不同實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)9.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A. B. C.1 D.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是上一點(diǎn),是直線與拋物線的一個交點(diǎn),若,則()A. B.3 C. D.211.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,拋物線上任意一點(diǎn)P,且PQ⊥y軸交y軸于點(diǎn)Q,則的最小值為()A. B. C.l D.112.記集合和集合表示的平面區(qū)域分別是和,若在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在區(qū)域的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.滿足線性的約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最大值為________14.為激發(fā)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作,敢于拼搏,不言放棄的精神,某校高三5個班進(jìn)行班級間的拔河比賽.每兩班之間只比賽1場,目前(—)班已賽了4場,(二)班已賽了3場,(三)班已賽了2場,(四)班已賽了1場.則目前(五)班已經(jīng)參加比賽的場次為__________.15.若復(fù)數(shù)z滿足,其中i是虛數(shù)單位,則z的模是______.16.已知函數(shù),(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),若關(guān)于x的方程恰有5個相異的實根,則實數(shù)a的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于兩點(diǎn),求的值.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是菱形,∠,是邊長為2的正三角形,,為線段的中點(diǎn).(1)求證:平面平面;(2)若為線段上一點(diǎn),當(dāng)二面角的余弦值為時,求三棱錐的體積.19.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(1)求直線的極坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的面積.20.(12分)已知函數(shù)(),是的導(dǎo)數(shù).(1)當(dāng)時,令,為的導(dǎo)數(shù).證明:在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn);(2)已知函數(shù)在上單調(diào)遞減,求的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù),直線是曲線在處的切線.(1)求證:無論實數(shù)取何值,直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若直線經(jīng)過點(diǎn),試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)并證明.22.(10分)已知函數(shù),函數(shù).(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)若時,對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】∵集合∴∵集合∴,故選A2、A【解析】

設(shè),用表示出,求出的值即可得出答案.【詳解】設(shè)由,,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算,需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

通過取特殊值逐項排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為,當(dāng)時,,排除B和C;當(dāng)時,,排除A.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的判斷,取特殊值排除選項是基本手段,屬中檔題.4、B【解析】分析:首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合題中所給的角的范圍,求得的值,之后借助于倍角公式,將待求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子,代入從而求得結(jié)果.詳解:根據(jù)題中的條件,可得為銳角,根據(jù),可求得,而,故選B.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式的應(yīng)用,在解題的過程中,需要對已知真切求余弦的方法要明確,可以應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解,也可以結(jié)合三角函數(shù)的定義式求解.5、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,可得,然后利用復(fù)數(shù)模的概念,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:由,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考驗計算,屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】

分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性,然后對選項逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性,由此確定正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為,在上為減函數(shù).A選項,的定義域為,在上為增函數(shù),不符合.B選項,的定義域為,不符合.C選項,的定義域為,在上為減函數(shù),符合.D選項,的定義域為,不符合.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡,結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡可得,因為是純虛數(shù),所以,∴,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

原問題轉(zhuǎn)化為有四個不同的實根,換元處理令t,對g(t)進(jìn)行零點(diǎn)個數(shù)討論.【詳解】由題意,a>2,令t,則f(x)=a????.記g(t).當(dāng)t<2時,g(t)=2ln(﹣t)(t)單調(diào)遞減,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有兩個不等于2的不等根.則?,記h(t)(t>2且t≠2),則h′(t).令φ(t),則φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,則h(t)在(2,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減.由,可得,即a<2.∴實數(shù)a的取值范圍是(2,2).故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點(diǎn)問題,關(guān)鍵在于等價轉(zhuǎn)化,將問題轉(zhuǎn)化為通過導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.9、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足,利用復(fù)數(shù)的除法求得,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)z滿足,所以,所以z的虛部為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)拋物線的定義求得,由此求得的長.【詳解】過作,垂足為,設(shè)與軸的交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于,所以,所以,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解:設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),,,,當(dāng)時,取最小值,最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查學(xué)生的計算能力,是基礎(chǔ)題.12、C【解析】

據(jù)題意可知,是與面積有關(guān)的幾何概率,要求落在區(qū)域內(nèi)的概率,只要求、所表示區(qū)域的面積,然后代入概率公式,計算即可得答案.【詳解】根據(jù)題意可得集合所表示的區(qū)域即為如圖所表示:的圓及內(nèi)部的平面區(qū)域,面積為,集合,,表示的平面區(qū)域即為圖中的,,根據(jù)幾何概率的計算公式可得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概率的計算,本題是與面積有關(guān)的幾何概率模型.解決本題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確求出兩區(qū)域的面積.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域,將直線進(jìn)行平移,利用的幾何意義,可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值。【詳解】由,得,作出可行域,如圖所示:平移直線,由圖像知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時,截距最小,此時取得最大值。由,解得,代入直線,得?!军c(diǎn)睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題的解法——平移法。14、2【解析】

根據(jù)比賽場次,分析,畫出圖象,計算結(jié)果.【詳解】畫圖所示,可知目前(五)班已經(jīng)賽了2場.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查推理,計數(shù)原理的圖形表示,意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】

先求得復(fù)數(shù),再由復(fù)數(shù)模的計算公式即得.【詳解】,,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和求復(fù)數(shù)的模,是基礎(chǔ)題.16、【解析】

作出圖象,求出方程的根,分類討論的正負(fù),數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】當(dāng)時,令,解得,所以當(dāng)時,,則單調(diào)遞增,當(dāng)時,,則單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞減,且,作出函數(shù)的圖象如圖:(1)當(dāng)時,方程整理得,只有2個根,不滿足條件;(2)若,則當(dāng)時,方程整理得,則,,此時各有1解,故當(dāng)時,方程整理得,有1解同時有2解,即需,,因為(2),故此時滿足題意;或有2解同時有1解,則需,由(1)可知不成立;或有3解同時有0解,根據(jù)圖象不存在此種情況,或有0解同時有3解,則,解得,故,(3)若,顯然當(dāng)時,和均無解,當(dāng)時,和無解,不符合題意.綜上:的范圍是,故答案為:,【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)直線普通方程:,曲線直角坐標(biāo)方程:;(2).【解析】

(1)消去直線參數(shù)方程中的參數(shù)即可得到其普通方程;將曲線極坐標(biāo)方程化為,根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化原則可得其直角坐標(biāo)方程;(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知,利用韋達(dá)定理求得結(jié)果.【詳解】(1)由直線參數(shù)方程消去可得普通方程為:曲線極坐標(biāo)方程可化為:則曲線的直角坐標(biāo)方程為:,即(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,整理可得:設(shè)兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為:,則,【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用;求解距離之和的關(guān)鍵是能夠明確直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,利用韋達(dá)定理來進(jìn)行求解.18、(1)見解析;(2).【解析】

(1)先證明,可證平面,再由可證平面,即得證;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),求解面的法向量,面的法向量,利用二面角的余弦值為,可求解,轉(zhuǎn)化即得解.【詳解】(1)證明:因為是正三角形,為線段的中點(diǎn),所以.因為是菱形,所以.因為,所以是正三角形,所以,所以平面.又,所以平面.因為平面,所以平面平面.(2)由(1)知平面,所以,.而,所以,.又,所以平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則.于是,,.設(shè)面的一個法向量,由得令,則,即.設(shè),易得,.設(shè)面的一個法向量,由得令,則,,即.依題意,即,令,則,即,即.所以.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合,考查了面面垂直的判斷,二面角的向量求解,三棱錐的體積等知識點(diǎn),考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】

(1)先消去參數(shù),化為直角坐標(biāo)方程,再利用求解.(2)直線與曲線方程聯(lián)立,得,求得弦長和點(diǎn)到直線的距離,再求的面積.【詳解】(1)由已知消去得,則,所以,所以直線的極坐標(biāo)方程為.(2)由,得,設(shè),兩點(diǎn)對應(yīng)的極分別為,,則,,所以,又點(diǎn)到直線的距離所以【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線與曲線的位置關(guān)系,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20、(1)見解析;(2)【解析】

(1)設(shè),,注意到在上單增,再利用零點(diǎn)存在性定理即可解決;(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在恒成立,即在上恒成立,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)討論的最值即可.【詳解】(1)由已知,,所以,設(shè),,當(dāng)時,單調(diào)遞增,而,,且在上圖象連續(xù)不斷.所以在上有唯一零點(diǎn),當(dāng)時,;當(dāng)時,;∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn),即在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn);(2)設(shè),,,∴在單調(diào)遞增,,即,從而,因為函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴在上恒成立,令,∵,∴,在上單調(diào)遞減,,當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減,,符合題意.當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,所以一定存在,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,與題意不符,舍去.綜上,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、不等式恒成立問題,在處理恒成立問題時,通常是構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值來處理,本題是一道較難的題.21、(1)見解析,(2)函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【解析】

(1)首先求出導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線斜率,利用點(diǎn)斜式即可求出切線方程,根據(jù)方程即可求出定點(diǎn).(2)由(1)求出函數(shù),令方程可轉(zhuǎn)化為記,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增,根據(jù),由零點(diǎn)存在性定理即可求出零點(diǎn)個數(shù).【詳解】所以直線方程為即,恒過點(diǎn)將代入直線方程,得考慮方程即,等價于記,則于是函數(shù)在上單調(diào)遞增,又所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),即函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線過定點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理,屬于難題.22、(1)故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2).【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意得到的解析式和定義域

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