數(shù)理統(tǒng)計：方差分析

方差分析方差分析的基本概念

當(dāng)兩個總體方差相等時，可用t

檢驗來檢驗兩個總體均值間的差異性；當(dāng)總體是三個或三個以上時如何檢驗?zāi)?？就要用本章的方差分析。它是在二十世紀20年代由英國著名統(tǒng)計學(xué)家R.Ａ.Fisher首先應(yīng)用到農(nóng)業(yè)試驗中的。

方差分析的作用：從方差的角度分析試驗數(shù)據(jù)、判斷各因素各狀態(tài)對試驗結(jié)果影響大小。方差分析的方法也有所不同。本章重點介紹單、雙因素方差分析。方差分析的幾個概念

例1

檢驗?zāi)撤N激素對羊羔增重的效應(yīng)。選用3個劑量進行試驗，加上對照（不用激素）在內(nèi)，每次試驗要用4只羊羔，若進行4次重復(fù)，則共需要16只羊羔。研究激素用量對羊羔增重的影響是否顯著。羊羔的增重（kg/每頭/每200日）

處理重復(fù)1(對照)234147505754252545365362676974451575759

試驗中，我們所關(guān)心的指標，即羊羔的增重數(shù)量，稱為試驗指標或響應(yīng)值；影響增重數(shù)量（響應(yīng)值）的指標是激素，稱為因素；激素用量（因素的狀態(tài)）稱為因素的水平或簡稱水平。本例中有1個因素，4個水平，故稱為單因素試驗。

在方差分析中，通常取1-3個因素進行研究。因素的每一個狀態(tài)稱為一個水平，水平可以是數(shù)量化的，也可以是定性的。

例1為單因素四水平試驗。也就是四個總體的比較問題。

本例中有一因素(激素,記為A)四個不同水平(分別記為A1,A2,A3,A4)?？烧J為一個激素水平的增重量就是一個總體，在方差分析中總假定各總體獨立地服從同方差的正態(tài)分布，即第j個激素水平的增重量是一個隨機變量，它服從分布N(

j,

2)i=1,2,3,4.

要檢驗假設(shè)

若拒絕H0，我們就認為這四個激素水平的平均增重量之間有顯著差異；反之，就認為各激素水平間增重量的不同是由隨機因素引起的。

方差分析是檢驗同方差的若干正態(tài)母體均值是否相等的一種統(tǒng)計分析方法。基本概念

1、指標：試驗中所考慮的量

2、因素：影響試驗指標的條件

3、水平：因素所處的狀態(tài)

第一講單因素方差分析

如果一項試驗中只有一個因素在改變稱為單因素試驗,如果多于一個因素在改變稱為多因素試驗.例1考察溫度對某要得率的影響，選了五種不同的溫度，在同一溫度下各做了四次試驗，結(jié)果如下表。試問溫度的不同是否影響該藥的得率？

溫度得率606570758018680837696289839081933918894849549084858294合計8983.758880.7594.50得率差異的原因：1.受試驗中隨機因數(shù)的影響2.由于溫度不同（即所考察的因素或處理水平不同）前者是不可避免的試驗誤差，而后者可能確實存在，也可能不存在，換言之，就是一個因素的不同水平可能對試驗的結(jié)果的影響有顯著意義，也可能沒有顯著意義。設(shè)分別表示在溫度60，65，70，75，80下的某藥的得率，顯然它們都是隨機變量，代表五個總體，且假定設(shè)每一個觀察記為xij,則問題即是作如下的假設(shè)檢驗一般地，設(shè)單因素試驗中，因素A有k個水平(總體)，記為A1，A2，…，Ak，相應(yīng)的響應(yīng)值（試驗結(jié)果）X1，X2，…，Xk

是k個相互獨立的總體，且Xj~N(

j,

2)（

j=1,2,…,k）。今對第j個總體進行nj次重復(fù)觀測，得到nj個觀測數(shù)據(jù)xij（i=1,2,…,nj），這可以看成是取自Xj的一個容量為nj的樣本。這里，并不要求n1,n2,…,nk完全相同。觀測數(shù)據(jù)及計算列表如下。問題：幾個符號說明組內(nèi)平均值（水平Aj下的樣本平均值）樣本總平均值，其中n=n1+n2+…+nk組內(nèi)和（水平Aj下的樣本和）總離差平方和組內(nèi)離差平方和組間離差平方和符號的統(tǒng)計意義總離差平方和

事實上可以看到總離差平方和是樣本方差S2

的(n-1)倍，所以它反映的是整批數(shù)據(jù)的波動程度。造成這種波動的因素主要有兩個：一個是隨機因素造成的，一個是由于水平間的差異所造成。若假設(shè)H0為真，則這一種波動主要是由隨機因素引起的差異，若H0為假，則這種差異除了隨機因素的差異，主要是由水平間的差異所造成?；舅枷耄喊芽傠x差平方和分離成隨機因素部分和因素水平部分，尋找適合的統(tǒng)計量進行度量，若因素水平引起的差異過大的，則拒絕H0。離差平方和間的關(guān)系離差平方和間的關(guān)系證：該項求和為0的自由度為n-1的自由度為n-k的自由度為k-1

一般,當(dāng)F>F0.01時,稱因子的影響高度顯著,記為“**”;當(dāng)F≥F0.05時,稱因子的影響顯著,記為“*”;當(dāng)F＜F0.05時,稱因子無顯著影響,即認為因子各水平間無差異.拒絕域：方差分析的解題步驟1.建立原假設(shè)H02.在H0成立的前提下，由試驗結(jié)果數(shù)據(jù)表，計算檢驗統(tǒng)計量的F值，計算過程如下：先利用計算器先計算全部數(shù)據(jù)的樣本均值，樣本方差S2和各組的樣本均值樣本方差，再利用公式計算先利用計算器先計算全部數(shù)據(jù)的樣本均值，樣本方差S2和各組的樣本均值樣本方差，再利用公式計算先利用計算器先計算全部數(shù)據(jù)的樣本均值，樣本方差S2和各組的樣本均值樣本方差，再利用公式計算3.查臨界值4.給出統(tǒng)計判斷。拒絕H0續(xù)上例1.設(shè)立原假設(shè)2.計算統(tǒng)計量拒絕H0，即認為溫度對得率有顯著的影響。4.比較3.查表第二節(jié)兩兩間的多重比較一、T法（T.W.Tukey）

設(shè)因素A共有k個水平，每個水平均作m次試驗，經(jīng)方差分析判明各水平間存在顯著性差異后，為比較兩兩均值間差異是否顯著，可用T值進行判斷。T值計算公式為：為組內(nèi)均方.m為試驗試驗.其中可由附表14查得.

一般的，假如第i組與第j組的均值之差的絕對值大于T值，即就判斷ui與uj之間差異顯著；否則判斷差異不顯著。T法優(yōu)點：與統(tǒng)一的T值比較，簡化計算過程，計算量較少。T法缺點：要求各試驗組的試驗次數(shù)相同。

一般的，假如第i組與第j組的均值之差的絕對值大于T值，即就判斷ui與uj之間差異顯著；否則判斷差異不顯著。例2：續(xù)上例.由題設(shè)：從而計算T值為：二、S法(H.Scheffe)

因素A有k個水平(總體