第13講 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 （2考點(diǎn)+11題型）2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（廣東專用）

第三章函數(shù)第13講二次函數(shù)的綜合應(yīng)用（8~12分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一：二次函數(shù)的應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一二次函數(shù)的應(yīng)用?題型01圖形問題?題型02拱橋問題?題型03最大利潤/銷量問題?題型04球類飛行軌跡?題型05噴泉問題?題型05增長率問題命題點(diǎn)二二次函數(shù)的綜合問題?題型01線段、周長問題?題型02面積問題?題型03角度問題?題型04特殊三角形問題?題型05特殊四邊形問題?題型06相似三角形與二次函數(shù)綜合05分層訓(xùn)練·鞏固提升基礎(chǔ)鞏固能力提升考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求考查頻次命題預(yù)測二次函數(shù)的應(yīng)用能用二次函數(shù)解決實(shí)際問題10年7考二次函數(shù)的應(yīng)用在中考中較為常見，其中，二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用多為小題，出題率不高，一般需要根據(jù)題意自行建議二次函數(shù)模型;而利用二次函數(shù)圖象解決實(shí)際問題和最值問題則多為解答題，此類問題需要多注意題意的理解，而且一般計算數(shù)據(jù)較大，還需根據(jù)實(shí)際情況判斷所求結(jié)果是否有合適，需要考生在做題過程中更為細(xì)心對待。用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟：1.審：仔細(xì)審題，理清題意；2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實(shí)際問題；5.檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.【注意】二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，如果頂點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論．利用二次函數(shù)解決利潤最值的方法：巧設(shè)未知數(shù)，根據(jù)利潤公式列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。利用二次函數(shù)解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題意找出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線解析式，最后根據(jù)圖象信息解決實(shí)際問題。利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關(guān)的圖形面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式，最后利用函數(shù)的最值解決面積最值問題。【注意】自變量的取決范圍。利用二次函數(shù)解決動點(diǎn)問題的方法：首先要明確動點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動，運(yùn)動速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動點(diǎn)有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計算．利用二次函數(shù)解決存在性問題的方法：一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．命題點(diǎn)一二次函數(shù)的應(yīng)用?題型01圖形問題1．（2024·廣東東莞·三模）如圖，有長為的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為），圍成中間隔有一道籬笆（平行于）的矩形花圃．設(shè)花圃的一邊為，面積為．(1)若要圍成面積為的花圃，則的長是多少？(2)求為何值時，使花圃面積最大，并求出花圃的最大面積．【答案】(1)AB的長為(2)AB為時，花圃面積最大，花圃的最大面積為【分析】本題考查了二次函數(shù)和一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題目的條件，合理地建立函數(shù)關(guān)系式，會判別函數(shù)關(guān)系式的類別，從而利用這種函數(shù)的性質(zhì)解題．（1）根據(jù)題意列出一元二次方程求解即可；（2）根據(jù)題意得到，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求函數(shù)最值．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，，解得，，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，不符合題意，舍去，∴當(dāng)?shù)拈L為時，花圃的面積為；（2）解：花圃的面積，而由題意：，即，∵，∴當(dāng)時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時面積最大，最大面積為．2．（2024·廣東·二模）（1）求邊長為的等邊三角形的面積；（2）小明將一根長為的繩子剪成2段，分別圍成兩個等邊三角形．問：如何剪才能夠使得這兩個等邊三角形的面積和最小？最小面積和為多少？【答案】（1）；（2）將繩子從中間剪開時，兩個等邊三角形的面積和最小，最小面積和為【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練的利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵；（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，則．再利用勾股定理求解，再利用面積公式即可得到答案；（2）設(shè)第一段繩子的長為，則第二段繩子的長為，其中．再建立面積函數(shù)關(guān)系式即可得到答案．【詳解】解：（1）如圖，在等邊三角形中，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，則．由勾股定理可得．等邊三角形的面積為．（2）設(shè)第一段繩子的長為，則第二段繩子的長為，其中．由（1）可知，第一個等邊三角形的面積為，第二個等邊三角形的面積為，兩個三角形的面積和為．當(dāng)時，取等號．當(dāng)，即將繩子從中間剪開時，兩個等邊三角形的面積和最小，最小面積和為．3．（2024·廣東佛山·二模）綜合應(yīng)用如圖，等邊三角形的邊長為a，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊，，上的動點(diǎn)，且滿足，連接，，．

(1)證明：；(2)設(shè)的長為x，的面積為y，求出y與x的函數(shù)表達(dá)式（用含a的式子表示）；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時，y有最小值，畫出y與x的函數(shù)圖象．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）由題意易得，，然后根據(jù)“”可進(jìn)行求證；（2）過F作于H，可證，得，，從而是等邊三角形，由是等邊三角形，看求出，即可得，，，故，然后根據(jù)即可求解；（3）先根據(jù)當(dāng)時，y有最小值，求出函數(shù)解析式，然后描點(diǎn)法畫出圖象即可．【詳解】（1）∵是邊長為4的等邊三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴；（2）過F作于H，如圖：

同（1）可證，∴，∴，∴是等邊三角形，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，，∴，∴，∴；∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為；（3）解：，∵當(dāng)時，y有最小值，∴，解得，∴，∴的圖象頂點(diǎn)為，過點(diǎn)，，，，畫出圖象如下：

【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形面積，全等三角形判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形面積與邊長的關(guān)系．?題型02拱橋問題4．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分和矩形的三邊，，組成，已知河底是水平的，，，拋物線的頂點(diǎn)C到的距離是，以所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．(1)根據(jù)題意，填空：①頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為；②點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2)求拋物線的解析式．(3)已知從某時刻開始的內(nèi)，水面與河底的距離l(單位：m)隨時間t(單位：h)的變化滿足函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)點(diǎn)C到水面的距離不大于時，需禁止船只通行，請通過計算說明，在這一時段內(nèi)，有多少小時禁止船只通行？【答案】(1)①；②；(2)；(3)．【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題是解題的關(guān)鍵．（1）求出、、的長即可解決問題．（2）根據(jù)拋物線特點(diǎn)設(shè)出二次函數(shù)解析式，把坐標(biāo)代入即可求解；（3）水面到頂點(diǎn)的距離不大于米時，即水面與河底的距離至多為，把代入所給二次函數(shù)關(guān)系式，求得的值，相減即可得到禁止船只通行的時間．【詳解】（1）解：由題意知，，，，∴，，故答案為：和；（2）解：由（1）知，，，設(shè)拋物線的解析式為：，把代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（3）解：水面到頂點(diǎn)的距離不大于米時，即水面與河底的距離至多為(米)，，，∴，解得：，，(小時)，∴需小時禁止船只通行．5．（2024·廣東·模擬預(yù)測）素材一：秦、漢時期是中國古代橋梁的創(chuàng)建發(fā)展時期，此時期創(chuàng)造了以磚石為材料主體的拱券結(jié)構(gòu)，為后來拱橋的出現(xiàn)創(chuàng)造了先決條件．如圖（1）是位于某市中心的一座大橋，已知該橋的橋拱呈拋物線形．在正常水位時測得橋拱處水面寬度為40米，橋拱最高點(diǎn)到水面的距離為10米．素材二：在正常水位時，一艘貨船在水面上航行，已知貨船的寬為16米，露出水面的高為7米．四邊形為矩形，．現(xiàn)以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以所在直線為x軸建立如圖（2）所示的平面直角坐標(biāo)系，將橋拱抽象為一條拋物線．(1)求此拋物線的解析式．(2)這艘貨船能否安全過橋？(3)受天氣影響，水位上升0.5米，若貨船露出水面的高度不變，此時該貨船能否安全過橋？【答案】(1)(2)該船能安全通過(3)此時該貨船能安全過橋【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，平移的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)經(jīng)過，設(shè)拋物線的解析式為，再把代入進(jìn)行計算，即可作答．（2）先求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，再代入，得出，即可作答．（3）依題意，得平移后拋物線的解析式為，把代入，進(jìn)行計算，即可作答．【詳解】（1）由題易知，，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)設(shè)拋物線的解析式為，將分別代入，得解得∴拋物線的解析式為；（2）由題易知，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，把代入，得∵，∴該船能安全通過．（3）由題易知，水位上升米，相當(dāng)于將拋物線向下平移個單位長度，∴平移后拋物線的解析式為把代入，得．∵，∴此時該貨船能安全過橋6．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）拱橋造型優(yōu)美，是中國最常用的一種橋梁形式．現(xiàn)在某地，有一座拱橋，跨度為，拱頂C離地面高，拱橋的形狀是一條拋物線；(1)以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，請求出該拱橋所在拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)水面寬度小于或等于時，需要采取緊急措施．現(xiàn)在水面距離拱頂為，是否需要采取緊急措施；(3)某人在拱頂C處踢一足球，足球最高點(diǎn)位置距人水平距離為，豎直距離為，已知足球的運(yùn)動軌跡為一條拋物線，請問足球會落在橋上嗎？【答案】(1)(2)所以需要采取緊急措施(3)球會落在橋上【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）將代入求得，得到此時水面寬度為，與比較即可求解；（3）設(shè)足球軌跡拋物線表達(dá)式為：，再將代入，求得足球軌跡拋物線表達(dá)式，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知：，，，C點(diǎn)為頂點(diǎn)；設(shè)拱橋所在拋物線的表達(dá)式為：，代入，得：，解得：，∴拱橋所在拋物線的表達(dá)式為：；（2）解：將代入得：，解得：，所以此時水面寬度為，又，所以需要采取緊急措施；（3）解：若人朝軸正方向踢足球，則由題意可知，足球最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)也是足球軌跡拋物線的頂點(diǎn)，因此可設(shè)足球軌跡拋物線表達(dá)式為：，代入得：，解得：，，令，得，所以球會落在橋上．?題型03最大利潤/銷量問題7．（2025·廣東·模擬預(yù)測）廣東某鎮(zhèn)盛產(chǎn)的荔枝遠(yuǎn)近聞名，深受廣大消費(fèi)者喜愛，某超市每天購進(jìn)一批成本價為每千克元的該荔枝，以不低于成本價且不超過每千克元的價格銷售．當(dāng)每千克售價為元時，每天售出荔枝；當(dāng)每千克售價為元時，每天售出荔枝，通過分析銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：每天銷售荔枝的數(shù)量與每千克售價(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，(1)請直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式；(2)超市將該荔枝每千克售價定為多少元時，每天銷售該荔枝的利潤可達(dá)到元？(3)當(dāng)每千克售價定為多少元時，每天獲利最大？最大利潤為多少？【答案】(1)；(2)每千克售價定為元時，利潤可達(dá)到元；(3)當(dāng)每千克售價定為元時，每天獲利最大，最大利潤為元．【分析】（1）該函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，，利用待定系數(shù)法求出與的函數(shù)關(guān)系式即可；（2）設(shè)超市將該荔枝每千克售價定為元每千克時，利潤最大，根據(jù)利潤銷量單件利潤，列出關(guān)于的一元二次方程，解方程求出荔枝的售價，把不符合題意的解舍去；（3）設(shè)利潤為，可以列出關(guān)于的函數(shù)解析式為，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知拋物線開口向下，對稱軸為，可知當(dāng)時，所獲得的利潤最大，把代入函數(shù)解析式求出最大利潤．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知，該函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，，設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，將代入，得到：，解得：，與的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：設(shè)超市將該荔枝每千克售價定為元每千克時，利潤最大，根據(jù)題意可得：，，整理得：，分解因式得：，解得：，，售價不低于成本價且不超過每千克元，每千克售價定為元時，利潤可達(dá)到元；（3）解：設(shè)利潤為，，函數(shù)開口向下，當(dāng)時，隨的增大而增大，，當(dāng)時，有最大值，此時，當(dāng)每千克售價定為元時，每天獲利最大，最大利潤為元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出最大利潤．8．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的報道了多家預(yù)制菜制作不規(guī)范，存在使用未經(jīng)嚴(yán)格處理的槽頭肉來制作菜品，嚴(yán)重侵害了消費(fèi)者權(quán)益．某食品網(wǎng)店以此為警鐘，準(zhǔn)備從正規(guī)渠道購進(jìn)A、B兩種類型的速食餐進(jìn)行售賣．已知每份A類速食餐比每份B類速食餐進(jìn)價多5元，購進(jìn)40份A類速食餐與購進(jìn)60份B類速食餐的價格相等．(1)求A、B兩種速食餐的進(jìn)價分別是每份多少元？(2)該網(wǎng)店計劃購進(jìn)A類速食餐若干份．試銷時發(fā)現(xiàn)，A類速食餐銷售量y（份）與每份售價m（元）的關(guān)系為，若要求A類速食餐每份的利潤率不低于，那么該公司將A類速食餐售價為多少時，獲得的利潤為W最大？最大值為多少？【答案】(1)A、B兩種速食餐的進(jìn)價分別是每份10元和15元(2)W的最大值為10562.5元【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，正確列出二元一次方程組與二次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)每份A類速食餐的進(jìn)價是a元，每份B類速食餐的進(jìn)價是b元，根據(jù)每份A類速食餐比每份B類速食餐進(jìn)價多5元，購進(jìn)40份A類速食餐與購進(jìn)60份B類速食餐的價格相等，列出方程組，求解即可；（2）根據(jù)利潤=每份利潤×銷售量，列出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每份A類速食餐的進(jìn)價是a元，每份B類速食餐的進(jìn)價是b元，

依題意得：，解得，答：A、B兩種速食餐的進(jìn)價分別是每份10元和15元．（2）解：依題意：獲得的利潤，由于A類速食餐每份的利用率不低于，那么，∴，又∵，即，∴，∴，∵，∴當(dāng)時，W有最大值，最大值為10562.5，答：W的最大值為10562.5元．9．（2024·廣東廣州·三模）第135屆春季廣交會于2024年4月15日—5月5日在琶洲廣交會展館舉行．某公司用5萬元研發(fā)的一批文創(chuàng)產(chǎn)品，在本屆廣交會中參展銷售．已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本為3元/件，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)；銷售量y（萬件）與銷售價格x（元/件）的關(guān)系如圖所示，其中為反比例函數(shù)圖象的一部分，為一次函數(shù)圖象的一部分．設(shè)公司銷售這種文創(chuàng)產(chǎn)品的利潤為W（萬元）．(1)求出y（萬件）與銷售價格x（元/件）的函數(shù)解析式；(2)求出這種文創(chuàng)產(chǎn)品的利潤W（萬元）與x（元/件）的函數(shù)解析式，并求出當(dāng)售價定多少時，利潤最大？是多少？【答案】(1)(2)定價為7元時，利潤最大，最大為11萬元【分析】（1）分，兩種情形解答即可；（2）根據(jù)兩種解析式，分別計算利潤，比較大小后定結(jié)論即可．本題考查了待定系數(shù)法，反比例函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，熟練掌握待定系數(shù)法，構(gòu)造法求最值是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）當(dāng)時，設(shè)，代入，得，此時解析式為；當(dāng)時，設(shè)直線的解析式為，根據(jù)題意，得，解得，故解析式，綜上所述，．（2）當(dāng)時，根據(jù)題意，得：，當(dāng)時，W最大，此時（萬元）；當(dāng)時，根據(jù)題意，得：，當(dāng)時，W最大，此時（萬元）；，綜上所述，故定價為7元時，利潤最大，最大為11萬元．?題型04球類飛行軌跡10．（2024·廣東揭陽·模擬預(yù)測）如圖是一款固定在地面處的高度可調(diào)的羽毛球發(fā)球機(jī)，是其彈射出口，能將羽毛球以固定的方向和速度大小彈出羽毛球在不計空氣阻力的情況下，球的運(yùn)動路徑呈拋物線狀如圖所示設(shè)飛行過程中羽毛球與發(fā)球機(jī)的水平距離為（米）與地面的高度為（米），與的部分對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示．（米）（米）(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出羽毛球的落地點(diǎn)到發(fā)球機(jī)點(diǎn)的水平距離．(2)為了訓(xùn)練學(xué)員的后場應(yīng)對能力，需要改變球的落地點(diǎn)，可以通過調(diào)整彈射出口的高度來實(shí)現(xiàn)此過程中拋物線的形狀和對稱軸位置都不變，要使發(fā)射出的羽毛球落地點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離增加米，則發(fā)球機(jī)的彈射口高度應(yīng)調(diào)整為多少米？【答案】(1)，米(2)米【分析】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，由實(shí)際問題建立起二次函數(shù)的模型并將二次函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵．（1）由表格信息可知，拋物線的頂點(diǎn)為，可設(shè)拋物線的解析式為：，將點(diǎn)代入可求出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，令拋物線解析式的，即可求出羽毛球的落地點(diǎn)到發(fā)球機(jī)點(diǎn)的水平距離；（2）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為：，根據(jù)題意可知該拋物線過點(diǎn)，進(jìn)而求出拋物線解析式，將代入解析式計算，即可求解．【詳解】（1）解：由表格信息可知，拋物線的頂點(diǎn)為，可設(shè)拋物線的解析式為：，其圖像過點(diǎn)，，解得：，關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為：，當(dāng)時，，解得：，（舍去），故羽毛球的落地點(diǎn)到發(fā)球機(jī)點(diǎn)的水平距離為米；（2）拋物線的形狀和對稱軸位置都不變，可設(shè)拋物線的解析式為：，要使發(fā)射出的羽毛球落地點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離增加米，當(dāng)時，，，解得：，，當(dāng)時，，發(fā)球機(jī)的彈射口高度應(yīng)調(diào)整為米．11．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）愛思考的小芳在觀看女子排球比賽時發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：排球被墊起后，沿弧線運(yùn)動，運(yùn)動軌跡可以看作是拋物線的一部分，于是她和同學(xué)小華一起進(jìn)行了實(shí)踐探究．經(jīng)實(shí)地測量，可知排球場地長為18m，球網(wǎng)在場地中央且高度為2.24m．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，A為擊球點(diǎn)．記排球運(yùn)動過程中距地面的豎直高度為y（單位：m），距擊球點(diǎn)的水平距離為x（單位：m）．

小華第一次發(fā)球時，測得y與x的幾組數(shù)據(jù)如下表：水平距離x/m04681112豎直高度y/m22.712.82.712.242(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)，求排球運(yùn)動過程中距地面的豎直高度y與距擊球點(diǎn)的水平距離x滿足的函數(shù)表達(dá)式．(2)通過計算，判斷小華這次發(fā)球能否過網(wǎng)，并說明理由．(3)小華第二次發(fā)球時，假設(shè)她只改變擊球點(diǎn)高度，排球運(yùn)動軌跡的形狀及對稱軸位置不變，在點(diǎn)O處上方擊球，既要過球網(wǎng)，又不出邊界（排球壓線屬于沒出界）時，求小華的擊球點(diǎn)高度h（單位：m）的取值范圍．【答案】(1)(2)能，理由見解析(3)【分析】本題考查拋物線的應(yīng)用，熟練掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，將代入計算即可；（2）將代入拋物線解析式，求得值與2.24比較即可；（3）解：設(shè)只改變擊球點(diǎn)高度后拋物線的表達(dá)式為：．把，代入，解得．故．把代入，解得．把，代入，解得．故，再把代入，解得，則可以得到取值范圍．【詳解】（1）解：由表格，可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為；設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．將代入，得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，表格中其他數(shù)據(jù)也滿足上述關(guān)系．∴排球運(yùn)動過程中距地面的豎直高度y與距擊球點(diǎn)的水平距離滿足的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）解：能，理由如下：當(dāng)時，．∵，∴小華這次發(fā)球能過網(wǎng)；（3）解：設(shè)只改變擊球點(diǎn)高度后拋物線的表達(dá)式為：．把，代入，解得．∴．把代入，解得．把，代入，解得．∴．把代入，解得．∴小華的擊球點(diǎn)高度h的取值范圍是．12．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)活動：如何提高籃球運(yùn)動罰球命中率—以小華同學(xué)為例活動背景：某學(xué)校體育節(jié)進(jìn)行班級籃球比賽，在訓(xùn)練過程中發(fā)現(xiàn)小華同學(xué)罰球命中率較低，為幫助小華同學(xué)提高罰球命中率，該班數(shù)學(xué)小組拍攝了如下圖片并測量了相應(yīng)的數(shù)據(jù)（圖片標(biāo)注的是近似值）．(1)模型建立：如圖所示，直線AE是地平線，A為小華罰球時腳的位置，籃球在運(yùn)動過程中B、D、F為籃球的三個不同位置，B點(diǎn)為球出手時候的位置．已知，籃球運(yùn)動軌跡是拋物線的一部分，數(shù)學(xué)小組以A、B、C、D、E、F中的某一點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系，計算出籃球的運(yùn)動軌跡對應(yīng)的拋物線解析式為，根據(jù)解析式，請你判斷該數(shù)學(xué)小組是以點(diǎn)（填A(yù)、B、C、D、E、F中的一個）作為坐標(biāo)原點(diǎn)．(2)問題解決：已知籃球框與罰球線水平距離為4米，距離地面為3米，請問在（1）的情況下，小華的這次罰球能否罰進(jìn)？并說明理由．(3)模型應(yīng)用：如下圖所示為拋物線的一部分函數(shù)圖象，拋物線外一點(diǎn)，試通過計算說明在不改變拋物線形狀的情況下，把原拋物線向上平移多少個單位，能使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)P．【答案】(1)B(2)不能罰進(jìn)，理由見解析(3)個單位【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．（1）由拋物線解析式中常數(shù)項(xiàng)為0可得拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，計算出點(diǎn)D和點(diǎn)F的坐標(biāo)，判斷點(diǎn)D和點(diǎn)F是否在拋物線上即可，若不在，再假設(shè)點(diǎn)D或F為坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）先表示出籃球框所在位置的坐標(biāo)，再判斷該坐標(biāo)是否在拋物線上即可；（3）原拋物線向上平移m個單位后的解析式為，將代入求出m的值即可．【詳解】（1）解：拋物線解析式為，拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，B、D、F可能為坐標(biāo)原點(diǎn)，，當(dāng)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，即，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，點(diǎn)D和點(diǎn)F在拋物線上，該數(shù)學(xué)小組是以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，故答案為：B．（2）解：不能罰進(jìn)，理由如下：在（1）的情況下，籃球框所在位置的坐標(biāo)為，即，當(dāng)時，，點(diǎn)不在拋物線上，小華的這次罰球不能罰進(jìn)．（3）解：設(shè)原拋物線向上平移m個單位，能使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)P．則平移后的拋物線解析式為，將代入，得：，解得，即原拋物線向上平移個單位，能使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)P．?題型05噴泉問題13．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖1，一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為米．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口米，灌溉車到綠化帶的距離為米．(1)求上邊緣拋物線噴出水的最大射程；(2)求下邊緣拋物線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若米，灌溉車行駛時噴出的水______（填“能”或“不能”）澆灌到整個綠化帶，并說明理由．【答案】(1)上邊緣拋物線噴出水的最大射程為；(2)；(3)不能，理由見解析【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：（1）求得上邊緣的拋物線解析式，即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定平移的單位，求得下邊緣拋物線解析式，即可求解；（3）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷上邊緣拋物線能否經(jīng)過點(diǎn)即可；【詳解】（1）解：由題意可得：，且上邊緣拋物線的頂點(diǎn)為，故設(shè)拋物線解析式為：將代入可得：即上邊緣的拋物線為：將代入可得：解得：（舍去）或即上邊緣拋物線噴出水的最大射程為；（2）解：由（1）可得，上邊緣拋物線為：，可得對稱軸為：點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)為：下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，可得上邊緣拋物線向左平移個單位，得到下邊緣拋物線，即下邊緣的拋物線解析式為：將代入可得：解得：（舍去）或即點(diǎn)；（3）解：灌溉車行駛時噴出的水不能澆灌到整個綠化帶，理由如下；∵，∴綠化帶的左邊部分可以灌溉到，由題意可得：將代入到可得：因此灌溉車行駛時噴出的水不能澆灌到整個綠化帶．14．（2024·廣東深圳·三模）某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，若記水柱上某一位置與水管的水平距離為米，與湖面的垂直高度為米．（米）01234（米）根據(jù)上述信息，解決以下問題：(1)在如下網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示與函數(shù)關(guān)系的圖象；(2)若水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為米，則______；(3)現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項(xiàng)目，準(zhǔn)備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于米，已知游船頂棚寬度為米，頂棚到湖面的高度為米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求．（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【答案】(1)見解析(2)(3)公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）至少調(diào)節(jié)到米才能符合要求【分析】本題主要考查二次函數(shù)的運(yùn)用，掌握二次函數(shù)圖象的繪制方法，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖象平移的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)列表，描點(diǎn)，連線的方法作圖即可；（2）根據(jù)表格信息可得二次函數(shù)的最大值為時，的值最大，由此即可求解；（3）根據(jù)題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，根據(jù)表格可得二次函數(shù)解析式，根據(jù)游船通過的條件設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：，可得，由此即可求解．【詳解】（1）解：表格信息為：（米）01234（米）根據(jù)表格信息，描點(diǎn)，連線，作圖如下，（2）解：根據(jù)題意可知，該拋物線的對稱軸為直線，此時水柱離湖面最高，即，故答案為：；（3）解：根據(jù)圖象可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，將代入，得，∴拋物線的解析式為：，設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：，由題意可知，當(dāng)橫坐標(biāo)為時，縱坐標(biāo)的值不小于，∴，解得，，∴水管高度至少向上調(diào)節(jié)米，∴（米），∴公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）至少調(diào)節(jié)到米才能符合要求．15．（2024·河南平頂山·二模）圖是某廣場中的一個景觀噴泉，水從噴頭噴出后呈拋物線形狀先向上至最高點(diǎn)后落下．將中間立柱近似看作一條線，以其為軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，已知中間立柱頂端到水面的距離為，噴水頭恰好是立柱的中點(diǎn)，若水柱上升到最高點(diǎn)時，到水面的距離為，到中間立柱的距離為．(1)求圖中第一象限內(nèi)拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)為了使水落下后全部進(jìn)入水池中，請判斷圓形水池的直徑不能小于多少米？【答案】(1)(2)【分析】（）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式假設(shè)出拋物線的解析式，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入計算即可求解；（）利用（）中所得的二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，得出的長，根據(jù)即可求解；本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由題意可知，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入得，，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，即；（2）解：∵，∴當(dāng)時，有，解得，（不合，舍去），∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，此時有答：圓形水池的直徑不能小于．?題型05增長率問題16．（2021·重慶沙坪壩·一模）中國新冠疫苗研發(fā)成功，舉世矚目，疫情得到有效控制，國內(nèi)旅游業(yè)也逐漸回溫，我市某酒店有A、B兩種房間，A種房間房價每天200元，B種房間房價每天300元，今年2月，該酒店登記入住了120間，總營業(yè)收入28000元．（1）求今年2月該酒店A種房間入住了多少間？（2）該酒店為提高房間入住量，增加營業(yè)收入，大力借助網(wǎng)絡(luò)平臺進(jìn)行宣傳，同時將A種房間房價調(diào)低2a元，將B種房間房價下調(diào)a%，由此，今年3月，該酒店吸引了大批游客入住，A、B兩種房間入住量都比2月增加了a%，總營業(yè)收入在2月的基礎(chǔ)上增加了a%，求a的值．【答案】（1）80；（2）20．【分析】（1）設(shè)A、B兩種房間入住分別為x、y間，然后根據(jù)題目已知條件列方程組進(jìn)行求解計算即可；（2）先根據(jù)已知條件算出A、B兩種房間的入住間數(shù)，然后算出總營業(yè)收入，然后根據(jù)算出對比與2月的增長率，列式計算即可得到答案．【詳解】解：（1）設(shè)A、B兩種房間入住分別為x、y間，由題意可知：把①×200得用②-③得：，解得把代入①中，解得故入住A房間的有80間．（2）由題意得：下調(diào)后A房間的房價=，B房間的房價=由題目已知條件和（1）中計算的結(jié)果知：下調(diào)后A房間的入住間數(shù)=，B房間的入住間數(shù)=故三月份的總收入=又∵三月份比二月份總營業(yè)收入增加了∴即解得：，（舍去）故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用問題，二次函數(shù)與增長率的問題，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)已知條件找到等量關(guān)系進(jìn)行列式計算．17．（2021·江蘇鹽城·一模）為積極響應(yīng)國家“舊房改造”工程，該市推出《加快推進(jìn)舊房改造工作的實(shí)施方案》推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．（1）根據(jù)方案該市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的3萬戶增長到2022年底的4.32萬戶，求該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率；（2）該市計劃對某小區(qū)進(jìn)行舊房改造，如果計劃改造300戶，計劃投入改造費(fèi)用平均20000元/戶，且計劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費(fèi)平均減少50元/戶，求舊房改造申報的最高投入費(fèi)用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）【分析】（1）設(shè)平均增長率為x，根據(jù)題意列式求解即可；（2）設(shè)多改造y戶，最高投入費(fèi)用為w元，根據(jù)題意列式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值．【詳解】解：（1）設(shè)平均增長率為x，則x>0，由題意得：，解得：x=0.2或x=-2.2（舍），答：該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率為20%；（2）設(shè)多改造a戶，最高投入費(fèi)用為w元，由題意得：，∵a=-50，拋物線開口向下，∴當(dāng)a-50=0，即a=50時，w最大，此時w=612500元，答：舊房改造申報的最高投入費(fèi)用為612500元．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確讀懂題意列出式子，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．18．（2019·山東東營·一模）為了打造“清潔能源示范城市”，東營市2016年投入資金2560萬元用于充電樁的安裝，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2018年在2016年的基礎(chǔ)上增加投入資金3200萬元.（1）從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為多少？（2）2019年東營市計劃再安裝A、B兩種型號的充電樁共200個.已知安裝一個A型充電樁需3.5萬元，安裝一個B型充電樁需4萬元，且A型充電樁的數(shù)量不多于B型充電樁的一半.求A、B兩種型號充電樁各安裝多少個時，所需資金最少，最少為多少？【答案】（1）從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為50%；（2）A、B兩種型號充電樁分別安裝66個，134個時所需資金最少，最少為767萬元【分析】(1)設(shè)從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為x，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，即可求解；(2)設(shè)安裝A型充電樁a個，則安裝B型充電樁個，所需資金為萬元，列不等式，求出a的范圍，再求出的函數(shù)解析式，進(jìn)而可求出答案.【詳解】（1）設(shè)從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為x，根據(jù)題意得：，解得:，（舍去）.答：從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為50%；（2）設(shè)安裝A型充電樁a個，則安裝B型充電樁個，所需資金為萬元.根據(jù)題意，得:，解得:，，∵，∴隨a的增大而減小.∵a為整數(shù)，∴當(dāng)時，最小，最小值為（萬元）.此時，.答：A、B兩種型號充電樁分別安裝66個，134個時，所需資金最少，最少為767萬元.【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)，二次函數(shù)以及一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，找到數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)解析式和一元一次不等式，是解題的關(guān)鍵.命題點(diǎn)二二次函數(shù)的綜合問題?題型01線段、周長問題19．（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，且對稱軸是直線．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線l下方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為C，交直線l于點(diǎn)D，求的最大值及此時P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，過點(diǎn)P作，垂足為M．求的最大值．【答案】(1)(2)的最大值是2，此時的P點(diǎn)坐標(biāo)是(3)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相關(guān)問題．（1）運(yùn)用待定系數(shù)法解答即可；（2）求出直線l的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，得，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）證明，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，拋物線的對稱軸為直線，．把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：設(shè)直線l的解析式為，把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得，解得：，直線l的解析式為；軸，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，．∴當(dāng)時，有最大值是2，當(dāng)時，，，的最大值是2，此時的P點(diǎn)坐標(biāo)是．（3）解：，，．∵在中，，．軸，，．在中，，．，．在中，，，，．此時最大，，的最大值是．20．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且，直線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)D在拋物線上，滿足，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為T，直線與拋物線交于點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），G為的中點(diǎn)，求的值．【答案】(1)；(2)或；(3)．【分析】（1）把代入得，求出，用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為；（2）求出，，，分兩種情況：①當(dāng)D在下方時，設(shè)延長線交x軸于K，證明，有，得，，即可求得直線解析式為，聯(lián)立可解得；②當(dāng)在上方時，設(shè)交x軸于W，過B作軸交直線于T，證明，可得，求出，，知，故直線的解析式為，聯(lián)立，解得；（3）求出拋物線頂點(diǎn)T坐標(biāo)，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，，，由G為的中點(diǎn)，知，故；根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得，即可得的值為．【詳解】（1）解：∵，C在y軸負(fù)半軸，∴，把代入得，∴，令得，∴，把，代入得：，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：在中，令得，解得或，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，①當(dāng)D在下方時，設(shè)延長線交x軸于K，如下圖，此時，∴，即，∴，∵，∴，∴，即，∴，，由，得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，∴；②當(dāng)在上方時，設(shè)交x軸于W，過B作軸交直線于T，如上圖，此時，，又，∴，∴，在中，令得，∴，，∴，，∴，由，得直線CW的解析式為，聯(lián)立，解得或，∴；綜上所述，D的坐標(biāo)為或；（3）解：由知拋物線頂點(diǎn)T坐標(biāo)為，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，，，∴，∵G為的中點(diǎn)，∴，∴；∵，∴，∴，∴，∴的值為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，兩點(diǎn)間距離公式等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．21．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測）如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B，A，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，其頂點(diǎn)為C．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)求的面積；(3)點(diǎn)P為直線上方拋物線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交直線于點(diǎn)D，求線段的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)3(3)2.25，【分析】（1）先求出，，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）由（1）可得：，求出直線的解析式為，得出與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由三角形面積公式計算即可得解；（3）設(shè)，則，，表示出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，解得，即，由題意得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式；（2）解：由（1）可得：，設(shè)直線的解析式為，將，代入可得，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時，，解得，∴；（3）解：∵點(diǎn)P為直線上方拋物線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交直線于點(diǎn)D，∴設(shè)，則，，∴，∴當(dāng)時，有最大值，為，此時，即．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)綜合—線段問題，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．?題型02面積問題22．（2024·廣東珠?！つM預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且．(1)求拋物線的解析式；(2)在第一象限內(nèi)拋物線上是否存在點(diǎn)M，使，如果存在，求M點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，說明理由；(3)若D是拋物線第二象限上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A、B、D的圓與交于E點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)(2)存在，(3)【分析】（1）根據(jù)題意得到，，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）判斷是等腰直角三角形，可求出，設(shè)交x軸于點(diǎn)D，則，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，聯(lián)立方程組，求出公共解即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)；（3）記過點(diǎn)A、B、D的圓的圓心為點(diǎn)G，設(shè)，根據(jù)，可得出①，由點(diǎn)D在拋物線上，可得出②，將②代入①得求出，根據(jù)三角形面積公式求出，然后整體代入計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，把，代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：在第一象限內(nèi)拋物線上存在點(diǎn)M，使，理由如下：如圖，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，設(shè)交x軸于點(diǎn)D，則，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴，聯(lián)立，解得，（舍）∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，（3）解：把代入，得，解得或，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴AB=6，設(shè)過點(diǎn)A、B、D得圓的圓心為點(diǎn)G，∵，∴點(diǎn)G在線段的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)G在線段的垂直平分線上，∵軸于點(diǎn)F，∴設(shè)，則，∴，∵，∴，整理得①，∵點(diǎn)D在拋物線上，∴，得②，將②代入①得，，∵，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2024·廣西南寧·二模）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且自變量的部分取值與對應(yīng)函數(shù)值如下表：012303430(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，連接，在直線上方拋物線上是否存在一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，的面積最大？求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)和的最大面積．

(3)將線段先向右平移1個單位，再向上平移6個單位，得到線段，若拋物線與線段只有一個公共點(diǎn)，請直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)存在，，(3)或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）由表格求出，設(shè)，連接，求得的面積的面積的面積的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答；（3）由題意可得，利用配方法得到拋物線的頂點(diǎn)為，當(dāng)時；當(dāng)時，，分兩種情況：當(dāng)時，且，得；當(dāng)時，且，得；當(dāng)時，只有一個公共點(diǎn)，；由此得到或或．【詳解】（1）將代入，得，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）由表格可知，當(dāng)時，或；當(dāng)時，，∴，設(shè)，連接，

的面積的面積的面積的面積∴當(dāng)時，的面積的面積最大，最大值是；（3）由題意可得，∴拋物線的頂點(diǎn)為，當(dāng)時；當(dāng)時，，當(dāng)時，只有一個公共點(diǎn)，∴；當(dāng)時，開口向下，則且，得；當(dāng)時，開口向上，則且，得；綜上，或或．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程的關(guān)系，圖形面積的計算，分類討論等知識思想是解題的關(guān)鍵．24．（2024·廣東東莞·一模）如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，矩形的點(diǎn)A，D在x軸上，B，C在拋物線上，．(1)求該拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；(3)如圖2，垂直于的直線m從底邊出發(fā)，以每秒的速度沿方向勻速平移，分別交折線，，于M，N，H，當(dāng)直線m到達(dá)點(diǎn)E時，停止運(yùn)動，連接，，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，的面積記為y，請用t表示y，寫出t的相應(yīng)的取值范圍，并求y的最大值．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：(2)點(diǎn)，(3)，y的最大值為【分析】（1）將，代入中，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．（2）設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m，由，得，則點(diǎn)．將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式中求出m的值，則可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性可得C的坐標(biāo)．（3）當(dāng)時，可得，，由，即可得出y與t的關(guān)系式，并求出y的最大值；當(dāng)時，先求得的表達(dá)式為，由可得，則可得N點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為，由可得y與t的關(guān)系式，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求出y的最大值．最終可得函數(shù)y的最大值為．【詳解】（1）將，代入中，得：，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：；（2）（2）設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m，，則，則點(diǎn)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式得：，解得：(舍去),，∴，則點(diǎn)，∵拋物線的對稱軸為：，，∴點(diǎn)；（3）（3）當(dāng)時，此時，，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，如下圖：此時，設(shè)直線的表達(dá)式為：則，解得，直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時，即，則，即點(diǎn)，設(shè)直線的表達(dá)式為：，則，解得，直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時，即，則，可得：點(diǎn)，則，，故函數(shù)y有最大值，當(dāng)時，函數(shù)y的最大值為，∵，故y的最大值為，即，y的最大值為．【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)與幾何的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)及分類討論的方法和數(shù)形結(jié)合法是解題的關(guān)鍵．?題型03角度問題25．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，，頂點(diǎn)為D(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)P為直線上方拋物線上一點(diǎn)，求面積最大值及P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)P為第四象限拋物線上一點(diǎn)，且，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】(1)(2)最大值為，(3)【分析】（1）先求得，設(shè)二次函數(shù)解析式為，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線的解析式為：，設(shè)，則，求出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案；（3）過點(diǎn)C作，取一點(diǎn)E使，過點(diǎn)C作軸，作，先證明，可得，從而求出，由P為以為直徑的圓與拋物線的交點(diǎn)的中點(diǎn)F，可得，設(shè)可求得，再求解即可．【詳解】（1），，設(shè)二次函數(shù)解析式為，將代入得：，故二次函數(shù)解析式為；（2）如圖，連接，過點(diǎn)P作，設(shè)直線的解析式為：，將，代入直線的解析式得：，解得，直線的解析式為：，設(shè)，則，，，由此可得，當(dāng)，最大為，當(dāng)時，，；（3）如圖，過點(diǎn)C作，取一點(diǎn)E使，過點(diǎn)C作軸，作，，，，，，，，，P為以為直徑的圓與拋物線的交點(diǎn)的中點(diǎn)F，，，設(shè)解得：，將代入得：，【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．26．（2024·廣東東莞·三模）如圖，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是直線上方拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交直線于點(diǎn)E，作軸交直線于點(diǎn)F，求E，F(xiàn)兩點(diǎn)間距離的最大值；(3)如圖2，連接，在拋物線上存在點(diǎn)Q，使，請直接寫出符合題意的點(diǎn)Q坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）由已知易得是等腰直角三角形，則；求出直線的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，進(jìn)而可表示出，求出的最大值即可得E，F(xiàn)兩點(diǎn)間距離的最大值；（3）分兩種情況：點(diǎn)Q在下方時，設(shè)交y軸于點(diǎn)H，由題意得，從而其正切值相等，即，從而求得點(diǎn)H的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式，與拋物線表達(dá)式聯(lián)立即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；點(diǎn)Q在上方時，過點(diǎn)A作軸，使，連接，在線段上截取，連接，易得四邊形是矩形，則，；接著用證明，則有，進(jìn)而得，最后求得點(diǎn)N的坐標(biāo)；則可求得直線的表達(dá)式，聯(lián)立拋物線表達(dá)式即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；綜合即可得結(jié)果．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)，，，，，為等腰直角三角形，則，∵軸，軸，，，是等腰直角三角形，，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得：直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，，故有最大值，當(dāng)時，的最大值為：，則的最大值為：；（3）解：當(dāng)點(diǎn)Q在下方時，如圖，設(shè)交y軸于點(diǎn)H，，，，∴，即，，故；設(shè)直線的表達(dá)式為，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入得：，得，故直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：，解得：（舍去）或，則點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)Q在上方時，如圖，過點(diǎn)A作軸，使，連接，在線段上截取，連接，，，，∴四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是矩形，則，；，，，，，，；，；設(shè)直線解析式為，則有，解得：，∴直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：，解得：（舍去）或，則點(diǎn)；綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與幾何的綜合；考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，正切函數(shù)，解一元二次方程等知識，綜合性強(qiáng)，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．27．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測）綜合探究如圖，在中，，經(jīng)過點(diǎn)C的直線交x軸正半軸于點(diǎn)，一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，頂點(diǎn)為D，對稱軸交x軸于點(diǎn)E．(1)求拋物線及直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)G是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，求使面積達(dá)到最大時點(diǎn)G的坐標(biāo)，并求出此時面積的最大值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上對稱軸右側(cè)一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線上一點(diǎn)，試探究是否存在以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的，滿足．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)最大值為4，點(diǎn)G坐標(biāo)為(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【分析】（1）求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式即可；（2）過點(diǎn)G作軸，交直線于點(diǎn)F，，設(shè)點(diǎn)G坐標(biāo)為，點(diǎn)F坐標(biāo)為，用e表示出的面積為，得出當(dāng)時，面積取得最大值，最大值為4，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（3）分別過點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，垂足分別為N、M，，證，利用對應(yīng)邊成比例可以解題．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為，∵，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，又∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得，∴拋物線的表達(dá)式為．將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入直線得：，解得，∴直線BC的表達(dá)式為．（2）解：如圖，過點(diǎn)G作軸，交直線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)G坐標(biāo)為，點(diǎn)F坐標(biāo)為，則，故，∴當(dāng)時，面積取得最大值，最大值為4，此時點(diǎn)G坐標(biāo)為．（3）解：存在．∵拋物線的對稱軸為直線，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為、點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則，，，，①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的左側(cè)時，如圖，分別過點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，垂足分別為N、M，∴，由題意得：，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，解得（舍去負(fù)值），當(dāng)時，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)時，如圖，分別過點(diǎn)P、Q作拋物線對稱軸的垂線，垂足分別為N、M，則，，，，同理可得：∽，∴，∴，解得（舍去負(fù)值），∴當(dāng)時，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，包括解直角三角形、直角三角形存在性問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)知識，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用相似三角形的判定與性質(zhì)表示出其他點(diǎn)的坐標(biāo)，列出方程．?題型04特殊三角形問題28．（2024·廣東·模擬預(yù)測）綜合探究如圖（1）所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知菱形的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，頂點(diǎn)B，C，D在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上，且軸，與y軸交于點(diǎn)E，．(1)求的長．(2)求a的值．(3)如圖（2）所示，F(xiàn)是射線上的一動點(diǎn)，點(diǎn)C，D同時繞點(diǎn)F按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，當(dāng)是直角三角形時，求的長．【答案】(1)1(2)1(3)或【分析】（1）由菱形可得，根據(jù)二次函數(shù)對稱性可得，再根據(jù)求解即可；（2）設(shè)則代入計算即可；（3）過點(diǎn)C作于點(diǎn)N，設(shè)直線交射線與點(diǎn)M，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)及解三角形得出，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分三種情況討論：①當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時，②當(dāng)以A為直角頂點(diǎn)時，③當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時，分別利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及解一元二次方程求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是菱形，∴，，∵軸，∴，∵二次函數(shù)對稱軸為軸，B，C，D在二次函數(shù)的圖象上，，；（2）解：由（1）可得，，，設(shè)則代入得，解得，∴；（3）解：如圖2，過點(diǎn)C作于點(diǎn)N，設(shè)直線交射線與點(diǎn)M，連接，在菱形中，，，，，，∴在中，，，∵點(diǎn)C，D同時繞點(diǎn)F按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，則繞點(diǎn)F逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，∵，，，由是直角三角形，可知需分三種情況討論：①當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時，如圖，∵，∴點(diǎn)落在的延長線上，且與點(diǎn)M重合，∵，∴，∴點(diǎn)F與點(diǎn)N重合，∴，∴；②當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時，如圖，，∴點(diǎn)落在的延長線上，且與點(diǎn)M重合，，，，在中，，，；③當(dāng)以A為直角頂點(diǎn)時，如圖，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，，，，，，，，，，，化簡得，，無解，不存在此種情況，不符合題意，綜上所述，當(dāng)是直角三角形時，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，三角形相似的判定與性質(zhì)，解一元二次方程，解直角三角形等知識，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．29．（2024·廣東·模擬預(yù)測）綜合運(yùn)用如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A．C(點(diǎn)A在點(diǎn)C的右側(cè))．與y軸交于點(diǎn)B．直線經(jīng)過點(diǎn)A，B．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式．(2)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交直線于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．的長為L．①求L與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍；②若與交于點(diǎn)D，求m的值．(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，問在y軸上是否存在一點(diǎn)N，使得為直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①②(3)存在，或或或【分析】（1）令，求出值，令，求出的值，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（2）①求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求出的解析式，根據(jù)點(diǎn)在第二象限，寫出m的取值范圍即可；②證明，得到，進(jìn)行求解即可；（3）分別以為直角頂點(diǎn)，為直角頂點(diǎn)和為直角頂點(diǎn)三種情況，進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得：，∴，∵直線經(jīng)過點(diǎn)A，B∴，解得：，∴；（2）①∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴，∴，∵P是第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，∴；∴；②∵軸，與交于點(diǎn)D，∴，，∴，∴，∴，∴，∴（舍去）或，∴；（3）存在，設(shè)點(diǎn)，∵，∴，∵，∴；①當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時：，解得：，∴；②當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時，，解得：，∴；③當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時：，解得：或，∴或；綜上：或或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．30．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連接，已知，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖2，拋物線的對稱軸與x軸相交于點(diǎn)P，與線段相交于點(diǎn)Q，點(diǎn)N是拋物線的對稱軸上的點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．(3)如圖3，連接，點(diǎn)D是線段上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接．當(dāng)面積最大時，求此時點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)題意得到，結(jié)合利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出，分點(diǎn)N在x軸上方和下方兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)推出，則由等腰三形判定得，最后由勾股定理即可求解；當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時，由對稱性即可求解；（3）如圖，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)H，設(shè)，求出，進(jìn)而求出，解直角三角形得到，，從而求出在中，，，，，證明，求出，證明，由，得到關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：，，，，，，解得：，拋物線的解析式為：；（2）解：，，∴，，如圖，點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上，，當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時，∴，∴，∵，∴，∴，拋物線的對稱軸為，，，，，，，在中，由勾股定理可得：，∴，∴，；當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時，由對稱性得：；綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或；（3）解：如圖，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)H，設(shè)，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)時，，，，，在中，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，當(dāng)時，最大，此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合問題，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象及最大值，二次函數(shù)與特殊三角形問題，二次函數(shù)與相似三角形問題，涉及分類討論思想及方程思想，有一定的難度和運(yùn)算量．?題型05特殊四邊形問題31．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知直線過點(diǎn)，．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)在上，拋物線G：與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），與軸交于點(diǎn)．①當(dāng)時，試用含的代數(shù)式表示四邊形的面積；②當(dāng)，，中有兩點(diǎn)與點(diǎn)，圍成的四邊形是平行四邊形時，求的函數(shù)解析式．【答案】(1)(2)①或或②或或【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）①分，，三種情況進(jìn)行討論求解即可；②分與兩點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形，且點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，與兩點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形，且點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，以及當(dāng)與兩點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線的函數(shù)解析式為，把，代入，得：，解得：，∴；（2）①∵點(diǎn)在上，∴，∵，∴當(dāng)時，，令，則，解得：，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，∵，∴當(dāng)時，，∴，當(dāng)，即時，，則：四邊形的面積；當(dāng)時，則：四邊形的面積；當(dāng)，即：時，則：四邊形的面積；綜上：四邊形的面積為或或；②當(dāng)與兩點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形，且點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)時，如圖，則：，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，兩點(diǎn)中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∴兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴，∴，∴，∴，把代入，得：∴，即：；當(dāng)與兩點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形且點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)時，如圖，則：，同理可得：，，∴，∴，把，代入，得：，∴，即：；當(dāng)與兩點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形時，如圖，則：，同理可得：，，∴，∴，∴，把，代入，得：，∴，即：；綜上：或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)問題，平行四邊形的性質(zhì)，等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于壓軸題，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．32．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，，．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)為直線下方拋物線上一點(diǎn)，，當(dāng)線段的長度最大時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將沿直線平移，平移后的三角形為（其中點(diǎn)與點(diǎn)不重合），點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為、、或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，設(shè)，，則，當(dāng)時，最大，此時最大，即可求解；（3）根據(jù)題意可設(shè)，得到，，，分三種情況討論：①，②，③，即可求解．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為，拋物線過，，，此拋物線解析式為；（2）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如下圖所示，設(shè)直線的解析式為，，，，解得：，直線的解析式為，設(shè)，，則，，，當(dāng)時，最大，此時最大，；（3）根據(jù)題意可設(shè)，，，，，，①，即，，，，，②，即，，，，③，即，（不合題意，舍去），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)有、、或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)知識．33．（2024·廣東汕頭·模擬預(yù)測）綜合運(yùn)用．如圖，在中，，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后，得到，且點(diǎn)，，剛好在拋物線的圖圖象上，連接并延長交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)若與關(guān)于軸對稱，連接，，猜想四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由；(3)把拋物線沿射線的方向平移個單位長度后得到新拋物線，，分別是兩拋物線的頂點(diǎn)，為直線上的一動點(diǎn)．當(dāng)是直角三角形時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)四邊形是平行四邊形．理由見解析(3)當(dāng)是直角三角形時，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，，進(jìn)而得到，，，，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）連接，，求出直線的解析式，結(jié)合拋物線的解析式求出，得到，推出，由與關(guān)于軸對稱，，可得到，即可求解；（3）根據(jù)題意可求出，根據(jù)平移可得新拋物線的解析式為，得到，求出直線的解析式為，推出，分兩種情況：①當(dāng)時，連接，，；②當(dāng)時，連接，；根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，，，點(diǎn)，，在拋物線的圖象上，，解得：，拋物線的解析式是；（2）四邊形是平行四邊形．理由如下：如圖所示，連接，，設(shè)直線的解析式為：，，，，解得：，直線的解析式為，是射線與拋物線的交點(diǎn)，，解得：，，，，，，，又與關(guān)于軸對稱，，，，，四邊形是平行四邊形；（3），，，，，，，新拋物線可由原拋物線沿軸負(fù)方向平移個單位長度，沿軸正方向平移個單位長度得到，新拋物線的解析式為，，又，設(shè)直線的解析式為，，解得：，直線的解析式為，又直線的解析式為，，①當(dāng)時，如圖，連接，，，則，由，，的坐標(biāo)易得，，，是等腰直角三角形，，，，，，，與重合，；②當(dāng)時，如圖，連接，，由①可知，，可得四邊形是正方形，得，，，，，，，；綜上所述，當(dāng)是直角三角形時，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識．?題型06相似三角形與二次函數(shù)綜合34．（2024·廣東河源·一模）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線在第一象限內(nèi)的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為．(1)求該拋物線的解析式；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)點(diǎn)N是x軸上的一點(diǎn)，當(dāng)與相似時，求n的值．【答案】(1)(2)等腰三角形，見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意列方程組，即可得到結(jié)論；（2）點(diǎn)是拋物線在第一象限內(nèi)的一動點(diǎn)，于是得到，求得，根據(jù)勾股定理得到，，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到是等腰三角形；（3）根據(jù)是等腰三角形，當(dāng)與相似時，得到是等腰三角形，求得或，當(dāng)時，過作軸于，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，延長交于，求得，解方程得到；當(dāng)時，如圖，同理；于是得到結(jié)論．【詳解】（1）拋物線與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，，，該拋物線的解析式為；（2）是等腰三角形，理由：點(diǎn)是拋物線在第一象限內(nèi)的一動點(diǎn)，，，過點(diǎn)作軸的平行線，交軸于點(diǎn)，，，，，是等腰三角形；（3）過點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)，，是等腰三角形，當(dāng)與相似時，是等腰三角形，或，當(dāng)時，過作軸于，，，∴，，，延長交于，，，，，，或（不合題意舍去），；當(dāng)時，如圖，同理；綜上所述，當(dāng)與相似時，的值為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，正確地求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．35．（2024·廣東惠州·一模）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過A，C兩點(diǎn)且與x軸的正半軸交于點(diǎn)B．

(1)求k的值及拋物線的解析式．(2)如圖1，若點(diǎn)D為直線上方拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)時，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，若是線段的上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂直于軸交直線和拋物線分別于點(diǎn)、，連接．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)為何值時，線段有最大值，并寫出最大值為多少；②是否存在以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)的坐標(biāo)為(3)①當(dāng)時，線段有最大值為4；②存在，當(dāng)?shù)闹禐榛驎r，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入直線解析式可得出的值；再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將，的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可得出結(jié)論；（2）由（1）可得，則，所以，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則，設(shè)，可表達(dá)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式即可得出結(jié)論；（3）①由點(diǎn)，坐標(biāo)可得出直線的解析式，由此可表達(dá)點(diǎn)，的坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)的長度，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；②根據(jù)題意需要分兩種情況，當(dāng)時，當(dāng)時，分別求出的值即可．【詳解】（1）解：直線與軸交于點(diǎn)，，，直線的表達(dá)式為；當(dāng)時，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，得：，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：如圖，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，

軸，，，，，，，，，設(shè)，∴的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式可得，，解得或（舍去）∴的坐標(biāo)為；（3）解：①由（1）可知，直線的解析式為：，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)線段的長度為，則，當(dāng)時，線段有最大值為4；②存在，理由如下：由圖形可知，若與相似，則需要分兩種情況，當(dāng)時，由（2）可知，，此時；當(dāng)時，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，

令，解得（舍或，即此時綜上，當(dāng)?shù)闹禐榛驎r，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查的是待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是第（3）問中需分兩種情況討論．36．（2024·廣東汕頭·三模）如圖1，拋物線和直線交于A，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)，同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒．以為邊作矩形，使點(diǎn)在直線上．①當(dāng)為何值時，矩形的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e；②直接寫出當(dāng)為何值時，恰好有矩形的頂點(diǎn)落在拋物線上．【答案】(1)(2)①當(dāng)時，矩形的面積最?。?；②、或2.【分析】本題屬于二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題、相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)求最值等知識點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，然后確定點(diǎn)、，進(jìn)而說明是等腰直角三角形，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解答；（2）①如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)題意可得、、，再聯(lián)立和可得，秒時點(diǎn)坐標(biāo)為、點(diǎn)坐標(biāo)為，即；再證明可得，即,進(jìn)而得到再結(jié)合可得，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；②由（1）點(diǎn)坐標(biāo)為、、；由①證得可得，進(jìn)而說明、，然后討論M、N、Q的位置情況并分別求出t值即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，，∴是等腰直角三角形，，；（2）解：①如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

，點(diǎn)速度為每秒個單位長度，點(diǎn)的速度為每秒2個單位長度，，，，聯(lián)立和可得，，，秒時點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，矩形，，，，，又，，，矩形的面積，，，當(dāng)時，矩形的面積最?。?；②當(dāng)、或2時，矩形的頂點(diǎn)落在拋物線上．由（1）點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，矩形對邊平行且相等，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)在拋物線上時，則有，解得：，當(dāng)點(diǎn)到時，在拋物線上，此時，當(dāng)在拋物線上時，，重合：，解得：，綜上所述，當(dāng)、或2時，矩形的頂點(diǎn)落在拋物線上．基礎(chǔ)鞏固1．（2024·廣東汕頭·一模）某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品，每件成本是50元，為了合理定價，投入市場進(jìn)行式銷，據(jù)調(diào)查，銷售單價是100元時，每天銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本，設(shè)銷售單價元，銷售利潤元．(1)求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？(2)該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，求出銷售單價的取值范圍？【答案】(1)時，有最大值，最大值為4500元(2)【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．（1）根據(jù)題意可得，將其化為頂點(diǎn)式即可；（2）當(dāng)時，求出相應(yīng)的的值即可．【詳解】（1）解：依題意得∵，拋物線開口向下∴時，有最大值，最大值為4500元；（2）當(dāng)時，解得∴當(dāng)時，每天的銷售利潤不低于4000元．2．（2023·浙江湖州·中考真題）某水產(chǎn)經(jīng)銷商以每千克30元的價格購進(jìn)一批某品種淡水魚，由銷售經(jīng)驗(yàn)可知，這種淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）存在一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：銷售價格x（元/千克）5040日銷售量y（千克）100200(1)試求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(2)設(shè)該經(jīng)銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當(dāng)銷售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？【答案】(1)(2)銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，由表中數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)每日總利潤=每千克利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為．將和分別代入，得：，解得：，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是：；（2）解：，∵，∴當(dāng)時，在的范圍內(nèi)，W取到最大值，最大值是2250．答：銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系寫出函數(shù)解析式．3．（2022·廣東茂名·二模）我市某工藝廠設(shè)計了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進(jìn)行試銷．經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售單價為30元/件時，每天的銷售量為500件；銷售單價為40元/件時，每天的銷售量400件．設(shè)銷售單價為x元/件，每天的銷售量為y件．(1)已知x、y的值滿足一次函數(shù)關(guān)系，請求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)物價部門規(guī)定，該工藝品銷售單價最高不能超過45元/件．銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為(2)銷售單價定為45元時，每天獲得利潤最大，最大利潤為8750元【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出關(guān)系式即可；（2）根據(jù)，整理為二次函數(shù)關(guān)系式，再配方并結(jié)合自變量的取值范圍討論極值即可．【詳解】（1）解：設(shè)對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，由題意得：，解得：對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為；（2）設(shè)每天獲得的利潤為元，由題意得：．當(dāng)時，有最大值，且當(dāng)時，隨的增大而增大，每天的單價不能超過45元，當(dāng)時，有最大值元．答：銷售單價定為45元時，每天獲得利潤最大，最大利潤為8750元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)關(guān)系式，求二次函數(shù)的極值等，討論二次函數(shù)最值時要結(jié)合自變量取值范圍，不能落解或錯解．4．（2023·廣東廣州·一模）古往今來，橋給人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交