2024高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第五節(jié)垂直關(guān)系教師文檔教案文北師大版

PAGE第五節(jié)垂直關(guān)系授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第135頁[基礎(chǔ)梳理]1．直線與平面垂直(1)定義：直線l與平面α內(nèi)的隨意一條直線都垂直，就說直線l與平面α相互垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，bα,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫作這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角．(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．3．平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念：①二面角：從一條直線動(dòng)身的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫作二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定義：兩個(gè)平面相交，假如所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面相互垂直．(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,lβ))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,lβ,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α1．判定定理的理解若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．a(chǎn)∥b，a⊥α?b⊥α.2．性質(zhì)定理性質(zhì)定理2假如兩個(gè)平面相互垂直，那么過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)且垂直于其次個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)α⊥β，P∈β，PQ⊥α?PQβ性質(zhì)定理3假如兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線必垂直于第三個(gè)平面α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ[四基自測(cè)]1．(基礎(chǔ)點(diǎn)：面面垂直性質(zhì))下列命題中不正確的是()A．假如平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面βB．假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)肯定存在直線平行于平面βC．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)肯定不存在直線垂直于平面βD．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案：A2．(基礎(chǔ)點(diǎn)：線面垂直性質(zhì))已知直線a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，則b與α的位置關(guān)系為()A．bα B．b∥αC．bα或b∥α D．b與α相交答案：C3．(基礎(chǔ)點(diǎn)：面面垂直的判定)一平面垂直于另一平面的一條平行線，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是________．答案：垂直4．(易錯(cuò)點(diǎn)：空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化與相識(shí))如圖所示，在三棱錐V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，則構(gòu)成三棱錐的四個(gè)三角形中直角三角形的個(gè)數(shù)為________．答案：4授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第136頁考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)挖掘線面垂直的判定與應(yīng)用/自主練透[例](1)(2024·河南商丘模擬)如圖所示，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E、F分別是A在PB、PC上的射影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確命題的序號(hào)是________．[解析]由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，可得PA⊥BC，又AB是圓O的直徑，C是圓O上一點(diǎn)，則有BC⊥AC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，又AF平面PAC，所以BC⊥AF，故③正確；因?yàn)锳F⊥PC，PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC，又PB平面PBC，所以AF⊥PB，故①正確；因?yàn)锳E⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF，又EF平面AEF，所以PB⊥EF，故②正確；由于AF⊥平面PBC，AF∩AE＝A，所以AE不與平面PBC垂直，故④錯(cuò)誤．綜上可知正確命題的序號(hào)為①②③.[答案]①②③(2)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．求證：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE.[證明]①在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.∵AE平面PAC，∴CD⊥AE.②由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，∵PD平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.(3)如圖，S是Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點(diǎn)．①求證：SD⊥平面ABC；②若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.[證明]①如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，連接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.②∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由①可知，SD⊥平面ABC，又BD平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.[破題技法]證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理：在平面內(nèi)找兩條相交直線與該直線垂直．(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”．(3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”．(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理：在平面內(nèi)找與兩平面交線垂直的直線．考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)[例](1)(2024·高考全國卷Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線[解析]如圖，取CD的中點(diǎn)F，DF的中點(diǎn)G，連接EF，F(xiàn)N，MG，GB.∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨設(shè)AB＝2，則FN＝1，EF＝eq\r(3)，∴EN＝eq\r(FN2＋EF2)＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF且MG＝eq\f(1,2)EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵M(jìn)G＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(3),2)，BG＝eq\r(CG2＋BC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋22)＝eq\f(5,2)，∴BM＝eq\r(MG2＋BG2)＝eq\r(7).∴BM≠EN.連接BD，BE，∵點(diǎn)N是正方形ABCD的中心，∴點(diǎn)N在BD上，且BN＝DN，∴BM，EN是△DBE的中線，∴BM，EN必相交．故選B.[答案]B(2)(2024·高考全國卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC＝2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為eq\r(3)，那么P到平面ABC的距離為________．[解析]如圖，過點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于O，則PO為P到平面ABC的距離．再過O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接PC，PE，PF，則PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝eq\r(3)，所以O(shè)E＝OF，所以CO為∠ACB的平分線，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝eq\r(3)，所以CE＝1，所以O(shè)E＝1，所以PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(（\r(3)）2－12)＝eq\r(2).[答案]eq\r(2)[破題技法]應(yīng)用線面垂直的判定與性質(zhì)定理的思維(1)證明兩個(gè)平面垂直，關(guān)鍵是選準(zhǔn)其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，證明該直線與另一個(gè)平面垂直．這必需結(jié)合條件中各種垂直關(guān)系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮．(2)已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．(3)求作空間點(diǎn)向平面引垂線(段)或者求幾何體的高，就利用面面垂直的性質(zhì)．考點(diǎn)三空間垂直關(guān)系的探究與轉(zhuǎn)化挖掘1探究條件(開放性問題)/自主練透[例1](1)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿意________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)[解析]如圖所示，連接AC，BD，則AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD.而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.[答案]DM⊥PC(或BM⊥PC等)(2)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為AD的中點(diǎn)．①求證：BG⊥平面PAD；②求證：AD⊥PB；③若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．[解析]①證明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點(diǎn)，所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD.②證明：如圖，連接PG，因?yàn)椤鱌AD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，所以PG⊥AD.由①知BG⊥AD，又PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB.因?yàn)镻B平面PGB，所以AD⊥PB.③當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿意平面DEF⊥平面ABCD.證明：取PC的中點(diǎn)F，連接DE、EF、DF.在△PBC中，F(xiàn)E∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.而FE平面DEF，DE平面DEF，EF∩DE＝E，PB平面PGB，GB平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB.因?yàn)锽G⊥平面PAD，PG平面PAD，所以BG⊥PG.又因?yàn)镻G⊥AD，AD∩BG＝G，所以PG⊥平面ABCD.又PG平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.挖掘2探究結(jié)論(創(chuàng)新問題)/自主練透[例2](1)如圖所示，一張A4紙的長、寬分別為2eq\r(2)a，2a，A，B，C，D分別是其四條邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得P1，P2，P3，P4四點(diǎn)重合為一點(diǎn)P，從而得到一個(gè)多面體．下列關(guān)于該多面體的命題，正確的是________．(寫出全部正確命題的序號(hào))①該多面體是三棱錐；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④該多面體外接球的表面積為5πa2.[解析]由題意得該多面體是一個(gè)三棱錐，故①正確；∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，∴AP⊥平面BCD，又∵AP平面ABD，∴平面BAD⊥平面BCD，故②正確；同理可證平面BAC⊥平面ACD，故③正確；通過構(gòu)造長方體可得該多面體的外接球半徑R＝eq\f(\r(5),2)a，所以該多面體外接球的表面積為5πa2，故④正確，綜上，正確命題的序號(hào)為①②③④.[答案]①②③④(2)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是AC1，A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在其表面上運(yùn)動(dòng)，則總能使MP與BN垂直的點(diǎn)P[解析]分別取BB1，CC1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE，EF，F(xiàn)D，則BN⊥平面AEFD，過點(diǎn)M作平面α，使α∥