數(shù)學(xué)學(xué)案：第二章§排序不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§2排序不等式1．了解排序不等式的基本形式，會(huì)運(yùn)用排序不等式分析解決一些簡單問題．2．體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般思想方法．1．定理1設(shè)a，b和c,d都是實(shí)數(shù)，如果a≥b，c≥d,那么______≥ad＋bc,此式當(dāng)且僅當(dāng)______(或c＝d)時(shí)取“＝”號．【做一做1】若0＜a1＜a2,0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1,則下列代數(shù)式中最大的是（)．A．a(chǎn)1b1＋a2b2B．a(chǎn)1a2＋b1b2C．a(chǎn)1b2＋a2b1D．eq\f（1，2)2．(1）順序和、亂序和、逆序和:設(shè)實(shí)數(shù)a1,a2,a3，b1,b2，b3滿足a1≥a2≥a3,b1≥b2≥b3，則a1b1＋a2b2＋a3b3≥a1bj1＋a2bj2＋a3bj3≥______________，其中j1,j2，j3是1，2,3的任一排列方式．上式當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝a3（或b1＝b2＝b3）時(shí)取“＝”號．通常稱a1b1＋a2b2＋a3b3為__________，a1bj1＋a2bj2＋a3bj3為________,a1b3＋a2b2＋a3b1為________（倒序和）．(2）定理2（排序不等式）：設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn,則(順序和)__________≥（亂序和）__________________≥（逆序和）________________．其中j1，j2，…,jn是1，2，3，…，n的任一排列方式．上式當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an（或b1＝b2＝…＝bn)時(shí)取“＝”號．【做一做2】設(shè)a1，a2，…，an是n個(gè)互不相等的正整數(shù),求證：eq\f（1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f（1,n）≤a1＋eq\f（a2，22)＋eq\f(a3，32）＋…＋eq\f(an,n2)．答案：1．a(chǎn)c＋bda＝b【做一做1】A∵a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1＝（a1＋a2）（b1＋b2)＝1,a1b1＋a2b2－a1b2－a2b1＝（a1－a2）(b1－b2）＞0，∴a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1，且a1b1＋a2b2＞eq\f(1，2）＞a1b2＋a2b1．又∵1＝a1＋a2≥2eq\r（a1a2），∴a1a2≤eq\f(1,4）．∵0＜a1＜a2，∴a1a2＜eq\f（1，4)．同理b1b2＜eq\f(1，4),∴a1a2＋b1b2＜eq\f（1，4)＋eq\f（1，4)＝eq\f（1,2），∴a1b1＋a2b2＞eq\f(1，2)＞a1a2＋b1b2，∴a1b1＋a2b2最大．2．（1)a1b3＋a2b2＋a3b1順序和亂序和逆序和(2)a1b1＋a2b2＋…＋anbna1bj1＋a2bj2＋…＋anbjna1bn＋a2bn－1＋…＋anb1【做一做2】分析：利用排序不等式來證明．證明：設(shè)b1，b2，…，bn為a1，a2，…，an的一個(gè)排列，且b1＜b2＜…＜bn,因?yàn)閎1，b2,…，bn是n個(gè)互不相等的正整數(shù),故b1≥1,b2≥2，…，bn≥n．又∵1＞eq\f(1,22)＞eq\f(1，32）＞…＞eq\f(1，n2),由排序不等式,得a1＋eq\f（a2,22)＋eq\f(a3,32)＋…＋eq\f(an，n2）≥b1＋eq\f(b2，22)＋…＋eq\f（bn,n2）≥1×1＋2×eq\f（1，22）＋…＋n×eq\f(1,n2）＝1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,n),∴eq\f(1，2)＋eq\f（1,3)＋…＋eq\f（1,n)≤a1＋eq\f(a2,22）＋eq\f（a3,32）＋…＋eq\f（an,n2)．1．對排序不等式的證明的理解剖析：對排序不等式的證明中,用到了“探究—猜想—檢驗(yàn)—證明”的思維方法,這是探索新知識、新問題常用到的基本方法,對于數(shù)組涉及的“排序”及“乘積"的問題,又使用了“一一搭配”這樣的描述，這實(shí)質(zhì)上也是使用最接近生活常識的處理問題的方法,所以可以結(jié)合像平時(shí)班級排隊(duì)等一些常識的事例來理解．對于出現(xiàn)的“逐步調(diào)整比較法”，則要引起注意，研究數(shù)組這種帶“順序”的乘積的和的問題時(shí)，這種方法對理解相關(guān)問題是比較簡單易懂的．2．排序原理的思想剖析：在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常涉及一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序,那么在解答問題時(shí)，我們可以利用排序原理的思想方法，將它們按一定順序排列起來，繼而利用不等關(guān)系來解題．因此，對于排序原理,我們要記住的是處理問題的這種思想及方法,同時(shí)要學(xué)會(huì)善于利用這種比較經(jīng)典的結(jié)論來處理實(shí)際問題．題型一所含字母大小順序已確定的不等式的證明【例1】已知a，b,c為正數(shù)，a≥b≥c，求證:（1)eq\f（1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f（1,ab)；（2）eq\f（a5，b3c3)＋eq\f（b5，c3a3)＋eq\f(c5,a3b3）≥eq\f(1，a）＋eq\f（1,b）＋eq\f（1,c）．分析：由于題目條件中已明確a≥b≥c,故可以直接構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組．反思：要利用排序原理解答相關(guān)問題，必須構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)組,并且要排列出大小順序，因此比較出數(shù)組中的數(shù)的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵和基礎(chǔ)．題型二對所證不等式中的字母的大小先作出假設(shè)再證明【例2】設(shè)a，b，c為正數(shù),求證：eq\f(a，b＋c）＋eq\f（b，c＋a)＋eq\f(c,a＋b）≥eq\f（3,2）．分析:題目中沒有給出a，b，c的大小關(guān)系，且a，b，c在不等式中的地位是對等的，要先設(shè)出a，b，c的大小順序，再利用排序不等式加以證明．反思：當(dāng)假設(shè)了a≥b≥c后，所用的兩個(gè)數(shù)組可以完全確定了,但必須注意成立的前提是a，b，c三者的地位是對等的．題型三不等式中的字母的大小需討論【例3】設(shè)x＞0，求證：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn．分析:題中只給出了x＞0，但是對于x≥1，x＜1并不確定，因此,我們需要分類討論．反思：分類討論的目的在于明確兩個(gè)序列的大小順序關(guān)系．答案：【例1】證明:(1)∵a≥b＞0，于是eq\f（1,a）≤eq\f(1，b），又∵c＞0，∴eq\f（1,c）＞0．從而eq\f（1，bc）≥eq\f（1,ca)．同理，∵b≥c＞0，于是eq\f（1，b)≤eq\f(1，c),又∵a＞0,∴eq\f(1,a）＞0．于是得eq\f（1,ca）≥eq\f(1，ab)．從而eq\f(1，bc)≥eq\f（1，ca)≥eq\f（1，ab）．（2）由(1）eq\f（1,bc)≥eq\f(1，ca)≥eq\f（1,ab)，和順序和≥亂序和，得eq\f(a5，b3c3)＋eq\f（b5，c3a3）＋eq\f（c5,a3b3）≥eq\f(b5,b3c3)＋eq\f(c5,c3a3)＋eq\f(a5，a3b3)＝eq\f（b2,c3）＋eq\f（c2,a3)＋eq\f(a2,b3）．又∵a2≥b2≥c2，eq\f(1，c3）≥eq\f(1,b3）≥eq\f（1，a3），∴eq\f(b2，c3）＋eq\f(c2，a3）＋eq\f（a2,b3)≥eq\f（c2,c3)＋eq\f（a2,a3)＋eq\f(b2,b3）＝eq\f(1,c）＋eq\f（1，a)＋eq\f（1，b)．綜上,原不等式成立．【例2】證明：設(shè)a≥b≥c＞0?a＋b≥c＋a≥c＋b．∵a≥b≥c＞0，∴eq\f（1,b＋c)≥eq\f（1，a＋c)≥eq\f（1，a＋b）．由排序不等式：順序和≥亂序和，得eq\f(a，b＋c）＋eq\f（b，a＋c)＋eq\f（c，b＋a）≥eq\f（b，b＋c）＋eq\f(c，a＋c)＋eq\f(a，b＋a），eq\f（a,b＋c)＋eq\f(b，c＋a）＋eq\f(c,a＋b)≥eq\f（c,b＋c）＋eq\f(a,a＋c）＋eq\f（b,b＋a）．將上面兩個(gè)不等式相加再除以2，得eq\f（a,b＋c）＋eq\f（b,c＋a)＋eq\f(c，a＋b)≥eq\f(3,2）．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”號．【例3】證明：(1）當(dāng)x≥1時(shí)，1≤x≤x2≤…≤xn，由排序不等式：順序和≥逆序和，得1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn．①又因?yàn)閤,x2，…，xn,1為序列1，x,x2，…，xn的一個(gè)排列，于是再次由排序不等式：亂序和≥逆序和,得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥（n＋1）xn．②將①和②相加，得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn．③（2）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，1＞x＞x2＞…＞xn．①②仍然成立，于是③也成立．綜合(1）(2），原不等式成立．1已知a，b，c∈R，則a3＋b3＋c3與a2b＋b2c＋c2A．a(chǎn)3＋b3＋c3＞a2b＋b2c＋c2aB．a(chǎn)3＋b3＋c3≥a2b＋b2cC．a(chǎn)3＋b3＋c3＜a2b＋b2c＋c2aD．a(chǎn)3＋b3＋c3≤a2b＋b2c2設(shè)a，b，c都是正數(shù),M＝eq\f(bc,a）＋eq\f(ca，b）＋eq\f(ab,c），N＝a＋b＋c，則M，N的大小關(guān)系是（)．A．M≥NB．M＜NC．M＝ND．M≤N3已知a，b，x，y∈R＋，且eq\f(1，a）＞eq\f（1,b)，x＞y，則eq\f(x,x＋a)_______eq\f（y，y＋b)（填“＞"或“＜”)．4已知a，b,c為正數(shù)，求證：eq\f(b2c2＋c2a2＋a2b2,a＋b＋c)≥abc．答案：1．B根據(jù)排序不等式,取兩組數(shù)a，b，c和a2，b2,c2．不妨設(shè)a≥b≥c，所以a2≥b2≥c2．所以a2×a＋b2×b＋c2×c≥a2b＋b2c＋c2a．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2．A由題意不妨設(shè)a≥b≥c＞0，則ab≥ac≥bc,eq\f（1,c)≥eq\f(1,b）≥eq\f(1,a）．由排序不等式,知ab×eq\f（1，c)＋ac×eq\f（1，b)＋bc×eq\f(1,a）≥ab×eq\f(1，b）＋ac×eq\f(1，a）＋bc×eq\f（1,c)，即M≥N．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號成立．3．＞∵eq\f（1,a）＞eq\f（1,b），∴b＞a＞0，又x＞y＞0，由排序不等式,知bx＞ay．∴eq\f（x，x＋a）－eq\f(y，y＋b）＝eq\f(bx－ay,x＋ay＋b)＞0，∴eq\f（x，x＋a）＞eq\f(y，y＋b）．4．證明：根據(jù)所證明的不等式中a，b,c的“位