2025屆青海省海東市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2025屆青海省海東市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A.5 B.10C.4 D.2．已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.3．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.4．“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”特別是當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)令人著迷的優(yōu)美恒等式，將數(shù)學(xué)中五個(gè)重要的數(shù)（自然對(duì)數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位和零元）聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“最完美的數(shù)學(xué)公式”.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)的虛部（）A. B.C. D.6．經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.7．連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對(duì)立事件是（）A.只有2次出現(xiàn)反面 B.至少2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面 D.有2次或3次出現(xiàn)反面8．已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.9．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則公差的值為（）A. B.2C.3 D.410．（5分）已知集合A={x|?2<x<4}，集合B={x|(x?6)(x+1)<0}，則A∩B=A.{x|1<x<4} B.{x|x<4或x>6}C.{x|?2<x<?1} D.{x|?1<x<4}11．在平行六面體中，點(diǎn)P在上，若，則（）A. B.C. D.12．已知，是雙曲線C：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為______14．如圖，已知正方形邊長(zhǎng)為，長(zhǎng)方形中，，平面與平面互相垂直，是線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為______15．已知數(shù)列中，，，則_______.16．日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的.隨著水的純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷増加.已知將噸水凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用（單位：元）為.則凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的___________倍，這說明，水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度越___________（填“快”或“慢”）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，為拋物線C上一點(diǎn)，且（1）求拋物線C的方程：（2）若以點(diǎn)為圓心，為半徑圓與C的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，若，證明直線DE過定點(diǎn)18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，.（1）證明：平面平面；（2）若，為棱的中點(diǎn)，，，求二面角的余弦值19．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并解答下列題目設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且______（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線上點(diǎn)都在軸及其右側(cè)，且曲線上的任一點(diǎn)到軸的距離比它到圓的圓心的距離小1（1）求曲線的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線交曲線于點(diǎn)，若,求面積21．（12分）北京、張家港2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件.（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？（2）為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到x元.公司擬投入萬作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).22．（10分）如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為．若存在，求出長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】由題有，則=5.故選：A2、A【解析】由直線斜率與方向向量的關(guān)系算出斜率，然后可得.【詳解】記直線的傾斜角為，由題知，又，所以，即.故選：A3、C【解析】根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】依題意，數(shù)列的前幾項(xiàng)為：；；；……則其通項(xiàng)公式.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查歸納推理，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】求出兩直線垂直的充要條件后再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由,得,即或所以,反之,則不然所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選:A5、D【解析】由歐拉公式的定義和復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.6、B【解析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)所求直線的方程為，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入求得，即可的解.【詳解】解：由，解得，即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)所求直線的方程為，則有，解得，所以所求直線方程為，即.故選：B.7、D【解析】根據(jù)對(duì)立事件的定義選擇【詳解】對(duì)立事件是指事件A和事件B必有一件發(fā)生，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，“至少2次出現(xiàn)正面”即有2次或3次出現(xiàn)正面，對(duì)立事件為“有2次或3次出現(xiàn)反面”故選：D8、B【解析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得，進(jìn)而得出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入直線方程求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可.【詳解】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點(diǎn)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，所以中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，即線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B9、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：C10、D【解析】由(x?6)(x+1)<0，得?1<x<6，從而有B={x|?1<x<6}，所以A∩B={x|?1<x<4}，故選D11、C【解析】利用空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的法則進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以有，因此，故選：C12、B【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意不妨設(shè)，，當(dāng)時(shí)，由，不妨設(shè)，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以有，或舍去，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)已知可設(shè)，，，根據(jù)已知條件求出、、的值，將向量用坐標(biāo)加以表示，利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)椤⑹强臻g內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，所以，，因?yàn)?，則，不妨設(shè)，，設(shè)，則，，解得，則，因?yàn)椋傻?，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為.故答案為：.14、【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出，后可求異面直線所成角的余弦值.【詳解】長(zhǎng)方形可得，因?yàn)槠矫媾c平面互相垂直，平面平面，平面，故平面，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，故.故答案為：15、【解析】根據(jù)遞推公式一一計(jì)算即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，故答案為?6、①.②.快【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可知凈化所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率即為函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，即先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后將和代入進(jìn)行計(jì)算，再求，即可得到結(jié)果，進(jìn)而能夠判斷水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度的快慢【詳解】由題意，可知凈化所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率為，所以，，所以，所以凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的倍；因?yàn)?，可知水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度越快.故答案為：，快.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）解方程和即得解；（2）設(shè)，，將與圓P方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理，再寫出直線的方程即得解.【小問1詳解】解：因?yàn)闉閽佄锞€C上一點(diǎn)，且，所以到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為2則，，則，所以，故拋物線C的方程為【小問2詳解】證明：由（1）知，則圓P的方程為設(shè)，，將與圓P的方程聯(lián)立，可得，則，當(dāng)時(shí)，，不妨令，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，直線DE的斜率為，則直線DE的方程為，即，即，令且，得，直線過點(diǎn)；綜上，直線DE過定點(diǎn)18、（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）由四邊形為矩形，可得，再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)一步得到，再由，利用線面垂直的判定定理可得面，即可證得平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題得，解得.進(jìn)而求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（2）設(shè)BC中點(diǎn)為,連接，，又面面，且面面，所以面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，設(shè)，可得所以由題得，解得.所以設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.則，所以二面角的余弦值為.點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.19、（1）；（2）.【解析】（1）選擇不同的條件，再通過構(gòu)造數(shù)列以及累乘法即可求得對(duì)應(yīng)情況下的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，再利用錯(cuò)位相減法求其前項(xiàng)和即可.【小問1詳解】選①：∵，即，∴.即，∴數(shù)列是常數(shù)列，∴，故；選②：∵，∴時(shí)，，則，即∴，∴；當(dāng)時(shí)，也滿足，∴；選③：得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1則，∴.【小問2詳解】由（1）知當(dāng)時(shí)，，∴又∵時(shí)，，符合上式，∴∴∴而相減得∴.20、（1）（2）【解析】（1）由題意直接列或根據(jù)拋物線的定義求軌跡方程（2）待定系數(shù)法設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)拋物線的定義，利用韋達(dá)定理解出直線方程，再求面積【小問1詳解】解法1：配方法可得圓的方程為，即圓的圓心為，設(shè)的坐標(biāo)為，由已知可得，化簡(jiǎn)得，曲線的方程為解法2：配方可得圓的方程為，即圓的圓心為，由題意可得上任意一點(diǎn)到直線的距離等于該點(diǎn)到圓心的距離，由拋物線的定義可得知，點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，所以曲線的方程為【小問2詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由，可得的斜率存在，設(shè)為，，過的直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可得，設(shè)，的橫坐標(biāo)分別為，，可得，，由拋物線的定義可得，解得，即直線的方程為，可得到直線的距離為，，所以的面積為21、（1）40；（2）a至少達(dá)到10.2萬件時(shí),才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.【解析】（1）設(shè)每件定價(jià)為x元,可得提高價(jià)格后的銷售量，根據(jù)銷售的總收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價(jià)；（2）依題意，x>25時(shí)，不等式有解，等價(jià)于x>25時(shí),有解,利用基本不等式,可以求得a.【詳解】（1）設(shè)每件定價(jià)為t元,依題意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使銷售的總收入不低于原收入,每件定價(jià)最多為40元.（2）依題意知：當(dāng)x>25時(shí),不等式有解，等價(jià)于x>25時(shí),有解.由于,當(dāng)且僅當(dāng),即x=30時(shí)等號(hào)成立,所以a≥10.2.當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少達(dá)到10.2萬件時(shí),才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.22、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)題意分別由已知條件計(jì)算出的面積和的面積，利用求解，（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后求出平面與平面的法向量，利用向量平夾