福建省平和一中、南靖一中等四校2025屆數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

福建省平和一中、南靖一中等四校2025屆數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,集合,則().A. B.C. D.2.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.的展開式中的項的系數(shù)為()A.120 B.80 C.60 D.404.已知隨機變量滿足,,.若,則()A., B.,C., D.,5.正項等差數(shù)列的前和為,已知,則=()A.35 B.36 C.45 D.546.閱讀如圖的程序框圖,若輸出的值為25,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫的條件是()A. B. C. D.7.《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖,則它的外接球的表面積為()A.4π B.8π C. D.8.如圖,中,點D在BC上,,將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐,分別記,與平面ADC所成角為,,則,的大小關(guān)系是()A. B.C.,兩種情況都存在 D.存在某一位置使得9.集合的子集的個數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.810.已知實數(shù)滿足約束條件,則的最小值是A. B. C.1 D.411.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到的函數(shù)為偶函數(shù),則的值為()A. B. C. D.12.復(fù)數(shù)的虛部是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的各項均為正數(shù),記為的前n項和,若,,則________.14.實數(shù),滿足約束條件,則的最大值為__________.15.的展開式中的常數(shù)項為______.16.一個村子里一共有個人,其中一個人是謠言制造者,他編造了一條謠言并告訴了另一個人,這個人又把謠言告訴了第三個人,如此等等.在每一次謠言傳播時,謠言的接受者都是在其余個村民中隨機挑選的,當謠言傳播次之后,還沒有回到最初的造謠者的概率是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,點的極坐標為.(1)求的直角坐標方程和的直角坐標;(2)設(shè)與交于,兩點,線段的中點為,求.18.(12分)已知點和橢圓.直線與橢圓交于不同的兩點,.(1)當時,求的面積;(2)設(shè)直線與橢圓的另一個交點為,當為中點時,求的值.19.(12分)如圖,在正四棱柱中,已知,.(1)求異面直線與直線所成的角的大??;(2)求點到平面的距離.20.(12分)眼保健操是一種眼睛的保健體操,主要是通過按摩眼部穴位,調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán),調(diào)節(jié)肌肉,改善眼的疲勞,達到預(yù)防近視等眼部疾病的目的.某學(xué)校為了調(diào)查推廣眼保健操對改善學(xué)生視力的效果,在應(yīng)屆高三的全體800名學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生進行視力檢查,并得到如圖的頻率分布直方圖.(1)若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列,試估計全年級視力在5.0以上的人數(shù);(2)為了研究學(xué)生的視力與眼保健操是否有關(guān)系,對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學(xué)生進行了調(diào)查,得到下表中數(shù)據(jù),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關(guān)系?(3)在(2)中調(diào)查的100名學(xué)生中,按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取8人,進一步調(diào)查他們良好的護眼習(xí)慣,在這8人中任取2人,記堅持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87921.(12分)已知函數(shù),.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,且函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的值;(2)求證:(,且).22.(10分)已知直線與拋物線交于兩點.(1)當點的橫坐標之和為4時,求直線的斜率;(2)已知點,直線過點,記直線的斜率分別為,當取最大值時,求直線的方程.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

算出集合A、B及,再求補集即可.【詳解】由,得,所以,又,所以,故或.故選:A.【點睛】本題考查集合的交集、補集運算,考查學(xué)生的基本運算能力,是一道基礎(chǔ)題.2、B【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為,求出,再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】,,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為,位于第二象限.故選:B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

化簡得到,再利用二項式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項為.故選:【點睛】本題考查了二項式定理,意在考查學(xué)生的計算能力.4、B【解析】

根據(jù)二項分布的性質(zhì)可得:,再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為隨機變量滿足,,.所以服從二項分布,由二項分布的性質(zhì)可得:,因為,所以,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得:,在上單調(diào)遞減,所以.故選:B【點睛】本題主要考查二項分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.5、C【解析】

由等差數(shù)列通項公式得,求出,再利用等差數(shù)列前項和公式能求出.【詳解】正項等差數(shù)列的前項和,,,解得或(舍),,故選C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式,屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)()與前項和的關(guān)系.6、C【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,帶入依次計算可得輸出為25時的值,進而得判斷框內(nèi)容.【詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知,則,,,,,此時輸出,因而不符合條件框的內(nèi)容,但符合條件框內(nèi)容,結(jié)合選項可知C為正確選項,故選:C.【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡單應(yīng)用,完善程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

由三視圖判斷出原圖,將幾何體補形為長方體,由此計算出幾何體外接球的直徑,進而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形的斜邊為2,側(cè)棱長為2且與底面垂直,因為直三棱柱可以復(fù)原成一個長方體,該長方體外接球就是該三棱柱的外接球,長方體對角線就是外接球直徑,則,那么.故選:B【點睛】本小題主要考查三視圖還原原圖,考查幾何體外接球的有關(guān)計算,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)題意作出垂線段,表示出所要求得、角,分別表示出其正弦值進行比較大小,從而判斷出角的大小,即可得答案.【詳解】由題可得過點作交于點,過作的垂線,垂足為,則易得,.設(shè),則有,,,可得,.,,;,;,,,.綜上可得,.故選:.【點睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系,考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.9、D【解析】

先確定集合中元素的個數(shù),再得子集個數(shù).【詳解】由題意,有三個元素,其子集有8個.故選:D.【點睛】本題考查子集的個數(shù)問題,含有個元素的集合其子集有個,其中真子集有個.10、B【解析】

作出該不等式組表示的平面區(qū)域,如下圖中陰影部分所示,設(shè),則,易知當直線經(jīng)過點時,z取得最小值,由,解得,所以,所以,故選B.11、D【解析】

利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù),所以,解得,因為,當時,,故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換,合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】因為,所以的虛部是,故選C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、127【解析】

已知條件化簡可化為,等式兩邊同時除以,則有,通過求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【詳解】由..故答案為:.【點睛】本題考查通過遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.14、10【解析】

畫出可行域,根據(jù)目標函數(shù)截距可求.【詳解】解:作出可行域如下:由得,平移直線,當經(jīng)過點時,截距最小,最大解得的最大值為10故答案為:10【點睛】考查可行域的畫法及目標函數(shù)最大值的求法,基礎(chǔ)題.15、160【解析】

先求的展開式中通項,令的指數(shù)為3即可求解結(jié)論.【詳解】解:因為的展開式的通項公式為:;令,可得;的展開式中的常數(shù)項為:.故答案為:160.【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是熟記二項展開式的通項,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用相互獨立事件概率的乘法公式即可求解.【詳解】第1次傳播,謠言一定不會回到最初的人;從第2次傳播開始,每1次謠言傳播,第一個制造謠言的人被選中的概率都是,沒有被選中的概率是.次傳播是相互獨立的,故為故答案為:【點睛】本題考查了相互獨立事件概率的乘法公式,考查了考生的分析能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),(2)【解析】

(1)利用互化公式把曲線C化成直角坐標方程,把點P的極坐標化成直角坐標;(2)把直線l的參數(shù)方程的標準形式代入曲線C的直角坐標方程,根據(jù)韋達定理以及參數(shù)t的幾何意義可得.【詳解】(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,將ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標方程為y2=1,設(shè)點P的直角坐標為(x,y),因為P的極坐標為(,),所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,所以點P的直角坐標為(1,1).(2)將代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,因為△=1102﹣4×41×25=8000>0,故可設(shè)方程的兩根為t1,t2,則t1,t2為A,B對應(yīng)的參數(shù),且t1+t2,依題意,點M對應(yīng)的參數(shù)為,所以|PM|=||.【點睛】本題考查了簡單曲線的極坐標方程,屬中檔題.18、(1);(2)或【解析】

(1)聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,求得交點的橫坐標,由此求得三角形的面積.(2)法一:根據(jù)的坐標求得的坐標,將的坐標都代入橢圓方程,化簡后求得的坐標,進而求得的值.法二:設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,化簡后寫出根與系數(shù)關(guān)系,結(jié)合求得點的坐標,進而求得的值.【詳解】(1)設(shè),,若,則直線的方程為,由,得,解得,,設(shè)直線與軸交于點,則且.(2)法一:設(shè)點因為,,所以又點,都在橢圓上,所以解得或所以或.法二:設(shè)顯然直線有斜率,設(shè)直線的方程為由,得所以又解得或所以或所以或.【點睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查橢圓中三角形面積的求法,考查運算求解能力,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】

(1)建立空間坐標系,通過求向量與向量的夾角,轉(zhuǎn)化為異面直線與直線所成的角的大小;(2)先求出面的一個法向量,再用點到面的距離公式算出即可.【詳解】以為原點,所在直線分別為軸建系,設(shè)所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為,異面直線與直線所成的角的大小為.(2)因為,,設(shè)是面的一個法向量,所以有即,令,,故,又,所以點到平面的距離為.【點睛】本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點到面的距離,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運算能力.20、(1)(2)能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關(guān)系(3)詳見解析【解析】

(1)由題意可計算后三組的頻數(shù)的總數(shù),由其成等差數(shù)列可得后三組頻數(shù),可得視力在5.0以上的頻率,可得全年級視力在5.0以上的的人數(shù);(2)由題中數(shù)據(jù)計算的值,對照臨界值表可得答案;(3)由題意可計算出這8人中不做眼保健操和堅持做眼保健操的分別有2人和6人,可得X可取0,1,2,分別計算出其概率,列出分布列,可得其數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)由圖可知,第一組有3人,第二組7人,第三組27人,因為后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列,共有(人)所以后三組頻數(shù)依次為24,21,18,所以視力在5.0以上的頻率為0.18,故全年級視力在5.0以上的的人數(shù)約為人(2),因此能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關(guān)系.(3)調(diào)查的100名學(xué)生中不近視的共有24人,從中抽取8人,抽樣比為,這8人中不做眼保健操和堅持做眼保健操的分別有2人和6人,X可取0,1,2,,X的分布列X012PX的數(shù)學(xué)期望.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖,獨立性檢測及離散型隨機變量的期望與方差等相關(guān)知識,考查學(xué)生分析數(shù)據(jù)與處理數(shù)據(jù)的能力,屬于中檔題.21、(1)1;(2)見解析【解析】

(1)分別求得與的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求得的值;(2)由(1)可知當時,,當時,,因而,構(gòu)造,由對數(shù)運算及不等式放縮可證明,從而不等式可證明.【詳解】(1)∵函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴,即在上恒成立,∴,又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴,即在上恒成立,,∴綜上可知,.(2)證明:由(1)知,當時,函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),而,∴當時,,當時,.∴∴即,∴.【

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