2025屆江西省宜春實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

2025屆江西省宜春實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)，則的（）A.最小正周期，最大值為 B.最小正周期為，最大值為C.最小正周期為，最大值為 D.最小正周期為，最大值為2．已知函數(shù)的圖象，給出以下四個(gè)論斷①的圖象關(guān)于直線對稱②圖象的一個(gè)對稱中心為③在區(qū)間上是減函數(shù)④可由向左平移個(gè)單位以上四個(gè)論斷中正確的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.2C.1 D.03．已知函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù)，則的解析式可能為（）A. B.C. D.4．若直線與直線垂直，則（）A.6 B.4C. D.5．對于實(shí)數(shù)x，“0＜x＜1”是“x＜2”的（）條件A.充要 B.既不充分也不必要C.必要不充分 D.充分不必要6．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)且時(shí).已知，若對恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7．下列四組函數(shù)中，定義域相同的一組是（）A.和 B.和C.和 D.和8．計(jì)算A.-2 B.-1C.0 D.19．直線l過點(diǎn)，且與以為端點(diǎn)的線段相交，則直線l的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.10．某集團(tuán)校為調(diào)查學(xué)生對學(xué)?！把訒r(shí)服務(wù)”的滿意率，想從全市3個(gè)分校區(qū)按學(xué)生數(shù)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本．已知3個(gè)校區(qū)學(xué)生數(shù)之比為，如果最多的一個(gè)校區(qū)抽出的個(gè)體數(shù)是60，那么這個(gè)樣本的容量為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．方程的解為__________12．冪函數(shù)的圖像在第___________象限.13．若向量，，且，則_____14．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則______.15．已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形的弧長為___________.16．已知，，則_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．近年來，我國大部分地區(qū)遭遇霧霾天氣，給人們的健康、交通安全等帶來了嚴(yán)重影響.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)工業(yè)廢氣等污染物排放是霧霾形成和持續(xù)的重要因素，污染治理刻不容緩.為此，某工廠新購置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，以降低對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量（單位：mg/L）與過濾時(shí)間（單位：h）間的關(guān)系為（，均為非零常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)），其中為時(shí)的污染物數(shù)量.若經(jīng)過5h過濾后還剩余90%的污染物.（1）求常數(shù)的值；（2）試計(jì)算污染物減少到40%至少需要多長時(shí)間.（精確到1h，參考數(shù)據(jù)：，，，，）18．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若為第二象限角且，求的值.19．求值：（1）（2）2log310＋log30.8120．設(shè)函數(shù)（1）若不等式解集，求、的值；（2）若，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】利用輔助角公式化簡得到，求出最小正周期和最大值.【詳解】所以最小正周期為,最大值為2.故選：B2、B【解析】利用代入檢驗(yàn)法可判斷①②③的正誤，利用圖象變換可判斷④的正誤.【詳解】，故的圖象關(guān)于直線對稱，故①正確.，故的圖象的對稱中心不是，故②錯(cuò)誤.，當(dāng)，，而在為減函數(shù)，故在為減函數(shù)，故③正確.向左平移個(gè)單位后所得圖象對應(yīng)的解析式為，當(dāng)時(shí)，此函數(shù)的函數(shù)值為，而，故與不是同一函數(shù)，故④錯(cuò)誤.故選：B.3、C【解析】根據(jù)條件可知當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，在在為增函數(shù)，且，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可【詳解】當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，且，A.在上為增函數(shù)，，故不符合條件；B.為減函數(shù)，故不符合條件；C.在上為增函數(shù)，，故符合條件；D.為減函數(shù)，故不符合條件．故選：C．4、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.5、D【解析】從充分性和必要性的定義，結(jié)合題意，即可容易判斷.【詳解】若，則一定有，故充分性滿足；若，不一定有，例如，滿足，但不滿足，故必要性不滿足；故“0＜x＜1”是“x＜2”的充分不必要條件.故選：.6、A【解析】由奇偶性分析條件可得在上單調(diào)遞增，所以，進(jìn)而得，結(jié)合角的范圍解不等式即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)且時(shí)，根據(jù)的任意性，即的任意性可判斷在上單調(diào)遞增，所以，若對恒成立，則，整理得，所以，由，可得，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，本題解題關(guān)鍵是利用，結(jié)合變量的任意性，可判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.7、C【解析】根據(jù)根式、分式、對數(shù)的性質(zhì)求各函數(shù)的定義域即可.【詳解】A：定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，不合題設(shè)；B：定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，不合題設(shè)；C：、定義域均為，符合題設(shè)；D：定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，不合題設(shè)；故選：C.8、C【解析】.故選C.9、D【解析】作出圖形，并將直線l繞著點(diǎn)M進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使其與線段PQ相交，進(jìn)而得到l斜率的取值范圍.【詳解】∵直線l過點(diǎn)，且與以，為端點(diǎn)的線段相交，如圖所示：∴所求直線l的斜率k滿足或，，則或，∴，故選：D10、B【解析】利用分層抽樣比求解.【詳解】因?yàn)闃颖救萘繛椋?個(gè)校區(qū)學(xué)生數(shù)之比為，最多的一個(gè)校區(qū)抽出的個(gè)體數(shù)是60，所以，解得，故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】令，則解得：或即，∴故答案為12、【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域及對應(yīng)值域，即可確定圖像所在的象限.【詳解】由解析式知：定義域?yàn)椋抑涤?，∴函?shù)圖像在一、二象限.故答案為：一、二.13、6【解析】本題首先可通過題意得出向量以及向量的坐標(biāo)表示和向量與向量之間的關(guān)系，然后通過向量平行的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果。【詳解】因?yàn)?，，且，所以，解得?！军c(diǎn)睛】本題考查向量的相關(guān)性質(zhì)，主要考查向量平行的相關(guān)性質(zhì)，若向量，，，則有，鍛煉了學(xué)生對于向量公式的使用，是簡單題。14、【解析】結(jié)合冪函數(shù)定義，采用待定系數(shù)法可求得解析式，代入可得結(jié)果.【詳解】為冪函數(shù)，可設(shè)，，解得：，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)解析式和函數(shù)值的求解問題，關(guān)鍵是能夠明確冪函數(shù)的定義，采用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】由扇形的圓心角與面積求得半徑再利用弧長公式即可求弧長.【詳解】設(shè)扇形的半徑為r，由扇形的面積公式得：，解得，該扇形的弧長為.故答案為：.16、【解析】利用兩角差的正切公式可計(jì)算出的值.【詳解】由兩角差的正切公式得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角差的正切公式求值，解題的關(guān)鍵就是弄清角與角之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）42h【解析】（1）根據(jù)題意，得到，求解，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得到，由題意得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由已知得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.于是有，解得（或）.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，有，解得.故污染物減少到40%至少需要42h.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用，熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.18、(1);(2).【解析】（1）根據(jù)圖象可得周期，故．再根據(jù)圖象過點(diǎn)可得．最后根據(jù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)可求得，從而可得解析式．（2）由題意可得，進(jìn)而可求得和，再按照兩角和的正弦公式可求得的值試題解析：(1)由圖可知，周期，∴.又函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴∴,∵函數(shù)圖象過點(diǎn)，∴，∴，所以.（2）∵為第二象限角且，∴,∴，，∴點(diǎn)睛：已知圖象求函數(shù)解析式的方法（1）根據(jù)圖象得到函數(shù)的周期，再根據(jù)求得（2）可根據(jù)代點(diǎn)法求解，代點(diǎn)時(shí)一般將最值點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式；也可用“五點(diǎn)法”求解，用此法時(shí)需要先判斷出“第一點(diǎn)”的位置，再結(jié)合圖象中的點(diǎn)求出的值（3）在本題中運(yùn)用了代點(diǎn)的方法求得的值，一般情況下可通過觀察圖象得到的值19、（1）（2）4【解析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)運(yùn)算即可;(2)利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.試題解析：(1)，(2)2log310＋log30.81=20、（1），；（2）.【解析】（1）分析可知的兩根是、，利用韋達(dá)定理可求得實(shí)數(shù)、的值；（2）分析可知不等式在上恒成立，可得出，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由已知可知，方程的兩根是、且，所以，解得；（2），可得，，因?yàn)樵谏虾愠闪?，則在上恒成立，所以，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.21、（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）推導(dǎo)出AB∥A1B1，由此能證明AB∥平面A1B1C.（2）推導(dǎo)出BC⊥AB，BC⊥BB1，從而BC⊥平面ABB1A1，由此能證明平面ABB1A1⊥平面A1BC【詳解】證明：（1）在長方體ABCD-A1B