（圓夢(mèng)高考數(shù)學(xué)）專(zhuān)題2.3 一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式（含答案及解析）

專(zhuān)題2.3一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式題型一解不含參的一元二次不等式題型二分式不等式題型三絕對(duì)值不等式題型四指數(shù)，對(duì)數(shù)不等式題型五高次不等式題型六解含參的一元二次不等式題型七一元二次不等式的恒成立問(wèn)題題型八一元二次不等式的有解問(wèn)題題型九一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用題型一 解不含參的一元二次不等式例1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．例2．（2021秋·廣西桂林·高二?？计谥校┣笙铝胁坏仁降慕饧?1)；(2)練習(xí)1．（2022秋·浙江溫州·高一?？计谥校┎坏仁降慕饧癁椋?/p>

）A． B． C． D．練習(xí)2．（2023·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）不等式的解集是（

）A． B．C． D．練習(xí)3．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．或練習(xí)4．（2020秋·福建泉州·高一晉江市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．練習(xí)5．（河北省名校2023屆高三5月模擬數(shù)學(xué)試題）設(shè)全集為，集合，，則（

）A． B．C． D．題型二 分式不等式例3．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知，，則__________．例4．求關(guān)于的不等式的解集：(1)；(2)．練習(xí)6．已知全集，集合，，則______，______.練習(xí)7．（2023春·湖北·高一隨州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）全集，設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．練習(xí)8．（2022秋·云南昆明·高三統(tǒng)考期末）寫(xiě)出一個(gè)的充分條件________．練習(xí)9．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．練習(xí)10．已知集合，，求．題型三 絕對(duì)值不等式例5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．例6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則的非空真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．14 B．6 C．7 D．8練習(xí)11．（2021春·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或練習(xí)12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．練習(xí)13．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）若不等式，則x的取值范圍是____________．練習(xí)14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知全集，集合，集合，則等于（

）A． B． C． D．練習(xí)15．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．題型四 指數(shù)，對(duì)數(shù)不等式例7．（2023·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）若集合，，則（

）A． B． C． D．例8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，，則（

）A． B．C． D．練習(xí)16．（2022秋·浙江杭州·高三?？计谥校┎坏仁匠闪⒌囊粋€(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．練習(xí)17．（2021春·廣東·高三校聯(lián)考專(zhuān)題練習(xí)）已知全集，集合，，則（

）A． B．C． D．練習(xí)18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，或，則（

）．A．或 B．或C．或 D．練習(xí)19．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．練習(xí)20．（2023春·江西南昌·高三?？茧A段練習(xí)）已知集合，則（

）A． B． C． D．題型五 高次不等式例9．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是_______________.例10．（2019春·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是________．練習(xí)21．（2004·全國(guó)·高考真題）不等式的解集是___________．練習(xí)22．（2022秋·河北保定·高三?？茧A段練習(xí)）解下列不等式(1)(2)練習(xí)23．（2022秋·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）不等式的解集為_(kāi)______________．練習(xí)24．（2022秋·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．練習(xí)25．（2022秋·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谥校┎坏仁降慕饧癁開(kāi)_____.題型六 解含參的一元二次不等式例11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式例12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．練習(xí)26．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的不等式的解集．(2)若，求關(guān)于x的不等式的解集．練習(xí)27．（2023秋·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．關(guān)于x的不等式的解集為練習(xí)28．（2023春·重慶永川·高一重慶市永川北山中學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)(1)解關(guān)于x的不等式；(2)若關(guān)于x的不等式的解集為，求的最小值．練習(xí)29．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）若關(guān)于x的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)30．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）若，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi)_________.題型七 一元二次不等式的恒成立問(wèn)題例13．（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，q：任意，則p是q成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例14．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？计谥校┤?，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．練習(xí)31．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式在R上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.練習(xí)32．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）不等式（）恒成立的一個(gè)充分不必要條件是（

）A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)＞1 C． D．a(chǎn)＞2練習(xí)33．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或練習(xí)34．（2022秋·湖南張家界·高三張家界市民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“”是“關(guān)于x的不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型八 一元二次不等式的有解問(wèn)題例16．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例17．（2022秋·安徽馬鞍山·高一安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校考期中）不等式對(duì)于恒成立，則的取值范圍是______．練習(xí)35．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若不等式對(duì)任意恒成立，實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____.練習(xí)36．（2022秋·上海金山·高三上海市金山中學(xué)?？计谀┤絷P(guān)于的不等式的解集非空，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.練習(xí)37．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，則（

）．A． B． C． D．練習(xí)38．（2022秋·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若存在，有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.練習(xí)39．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若不等式在上有解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)40．（2022秋·廣西桂林·高三?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則的取值范圍是_________.題型九 一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用例18．（2020秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）某種飼料原來(lái)每袋成本為10元，售價(jià)為15元，每月銷(xiāo)售8萬(wàn)袋．(1)若售價(jià)每袋提高1元，月銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少2000袋，要使月總利潤(rùn)不低于原來(lái)的月總利潤(rùn)（月總利潤(rùn)＝月銷(xiāo)售總收入－月總成本），該飼料每袋售價(jià)最多為多少元？(2)廠家決定下月進(jìn)行營(yíng)銷(xiāo)策略改革，計(jì)劃每袋售價(jià)元，并投入萬(wàn)元作為營(yíng)銷(xiāo)策略改革費(fèi)用．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若每袋售價(jià)每提高1元，月銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少萬(wàn)袋．則當(dāng)每袋售價(jià)為多少時(shí)，下月的月總利潤(rùn)最大？并求出下月最大總利潤(rùn)．例19．（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）某商場(chǎng)若將進(jìn)貨單價(jià)為元的商品按每件元出售，每天可銷(xiāo)售件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來(lái)增加利潤(rùn)．已知這種商品每件銷(xiāo)售價(jià)提高元，銷(xiāo)售量就要減少件．那么要保證每天所賺的利潤(rùn)在元以上，每件銷(xiāo)售價(jià)可能為（

）A．元 B．元 C．元 D．元練習(xí)41．（2022春·遼寧·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）剎車(chē)距離是分析交通事故的一個(gè)重要依據(jù)．在一條限速為30km/h的道路上，某汽車(chē)司機(jī)發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，緊急剎車(chē)，但還是發(fā)生了交通事故．經(jīng)現(xiàn)場(chǎng)勘查，測(cè)得汽車(chē)的剎車(chē)距離大于10m．已知該種車(chē)型的剎車(chē)距離（單位，m）與剎車(chē)前的車(chē)速v（單位km/h）之間有如下函數(shù)關(guān)系：，要判斷該汽車(chē)是否超速，需要求解的不等式是（

）．A． B．C． D．練習(xí)42．某旅店有200張床位，若每床每晚的租金為50元，則可全部出租，若將出租收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)每晚提高10的整數(shù)倍，則出租的床位會(huì)減少10的相應(yīng)倍數(shù)張，若要使該旅店每晚的收入超過(guò)15000元，則每個(gè)床位的出租價(jià)格應(yīng)定在什么范圍內(nèi)？（答案用集合表示）練習(xí)43．（2020秋·浙江溫州·高三?？茧A段練習(xí)）某種汽車(chē)在水泥路面上的剎車(chē)距離（單位：）和汽車(chē)剎車(chē)前的車(chē)速（單位：）之間有如下關(guān)系：，在一次交通事故中，測(cè)得這種車(chē)剎車(chē)距離大于40，則這輛汽車(chē)剎車(chē)前的車(chē)速至少為（

）（精確到1）A．76 B．77 C．78 D．80練習(xí)44．（2022秋·廣東江門(mén)·高一江門(mén)市第二中學(xué)?？计谥校┠车貐^(qū)上年度電價(jià)為0.8元，年用電量為，本年度計(jì)劃將電價(jià)下降到0.55元至0.75元之間，而用戶期望的電價(jià)為0.4元．經(jīng)測(cè)算，下調(diào)電價(jià)后新增用電量和實(shí)際電價(jià)與用戶的期望電價(jià)的差成反比（比練習(xí)系數(shù)為k）．該地區(qū)的電力成本價(jià)為0.3元．(1)寫(xiě)出本年度電價(jià)下調(diào)后電力部門(mén)的收益y（單位：元）關(guān)于實(shí)際電價(jià)x（單位：元）的函數(shù)解析式．（收益=實(shí)際電量×（實(shí)際電價(jià)-成本價(jià)））(2)設(shè)，當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)，仍可保證電力部門(mén)的收益比上年至少增長(zhǎng)20%？練習(xí)45．（2022秋·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）某景區(qū)旅館共有200張床位，若每床每晚的定價(jià)為50元，則所有床位均有人入??；若將每床每晚的定價(jià)在50元的基礎(chǔ)上提高10的整數(shù)倍，則入住的床位數(shù)會(huì)減少10的相應(yīng)倍數(shù).若要使該旅館每晚的收入超過(guò)1.54萬(wàn)元，則每個(gè)床位的定價(jià)應(yīng)為_(kāi)_____（元）.

專(zhuān)題2.3一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式題型一解不含參的一元二次不等式題型二分式不等式題型三絕對(duì)值不等式題型四指數(shù)，對(duì)數(shù)不等式題型五高次不等式題型六解含參的一元二次不等式題型七一元二次不等式的恒成立問(wèn)題題型八一元二次不等式的有解問(wèn)題題型九一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用題型一 解不含參的一元二次不等式例1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先分別求出集合A,B,再根據(jù)并集的概念運(yùn)算可得.【詳解】因?yàn)椋?故選：C.例2．（2021秋·廣西桂林·高二?？计谥校┣笙铝胁坏仁降慕饧?1)；(2)【答案】(1)或(2)【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】（1）原不等式整理得，，即，解得或，原不等式的解集為或（2）原不等式整理得，，，原不等式的解集為.練習(xí)1．（2022秋·浙江溫州·高一校考期中）不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法即可求解.【詳解】∵不等式，又，∴不等式的解集為.故選：A.練習(xí)2．（2023·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)，解二次不等式.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集是.故選：B練習(xí)3．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】解不等式，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】解不等式可得或，因?yàn)榛?，故只有C選項(xiàng)中的條件才是“”的充分不必要條件.故選：C.練習(xí)4．（2020秋·福建泉州·高一晉江市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，利用被開(kāi)方數(shù)大于零化簡(jiǎn)集合，再利用交集的定義求解.【詳解】化簡(jiǎn)集合，，根據(jù)交集的定義，.故選：B練習(xí)5．（河北省名校2023屆高三5月模擬數(shù)學(xué)試題）設(shè)全集為，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算得出，然后求出交集，根據(jù)集合的補(bǔ)集運(yùn)算計(jì)算，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，，所以.故選：D.題型二 分式不等式例3．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知，，則__________．【答案】【分析】解不等式，再求交集.【詳解】等價(jià)于，解得，即.則.故答案為：例4．求關(guān)于的不等式的解集：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)【分析】（1）先通分，將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次不等式即可求解；【詳解】（1），即，等價(jià)于，解得或，故的解集為或；（2）不等式可化為，也即，所以，解得：，所以原不等式的解集為.練習(xí)6．已知全集，集合，，則______，______.【答案】或或【分析】先由分式不等式求法求解出集合,結(jié)合絕對(duì)值不等式解法求出集合,然后結(jié)合集合的交集與并集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由得,整理得,解得或,即或因?yàn)榛蚧蛩曰?或.故答案為：或;或.練習(xí)7．（2023春·湖北·高一隨州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）全集，設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解分式不等式與一元二次不等式求得集合A與集合B，運(yùn)用集合的補(bǔ)集、交集計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榛?，所以或，所以，又因?yàn)?，所以，所?故選：B.練習(xí)8．（2022秋·云南昆明·高三統(tǒng)考期末）寫(xiě)出一個(gè)的充分條件________．【答案】（答案不唯一）【分析】解不等式得，只要找的一個(gè)子集即可.【詳解】等價(jià)于，即，則，解得，所以的一個(gè)充分條件是，故答案為：（答案不唯一）.練習(xí)9．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可解出集合，，然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可．【詳解】集合，或；；則．故選：C練習(xí)10．已知集合，，求．【答案】.【分析】解含絕對(duì)值符號(hào)的不等式化簡(jiǎn)集合A，解分式不等式化簡(jiǎn)集合B，再利用交集的定義求解作答.【詳解】依題意，解不等式，得，解得，則，解不等式，得，解得，則，所以.題型三 絕對(duì)值不等式例5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】依題意得，，所以．故選：C．例6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則的非空真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．14 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)集合,進(jìn)而由集合的交補(bǔ)運(yùn)算即可化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】由可得或，故集合或，所以，所以，所以的非空真子集的個(gè)數(shù)為.故選：B.練習(xí)11．（2021春·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】由絕對(duì)值不等式的解法解原不等式即可得解.【詳解】由可得，解得，故原不等式的解集為.故選：A.練習(xí)12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別化簡(jiǎn)集合，由集合的交集運(yùn)算即可得出結(jié)論.【詳解】由題意可得，，則．故選：C.練習(xí)13．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）若不等式，則x的取值范圍是____________．【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義解不等式.【詳解】∵，則，解得，∴x的取值范圍是.故答案為：.練習(xí)14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知全集，集合，集合，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】計(jì)算，，再計(jì)算補(bǔ)集得到答案.【詳解】，，.故選：A練習(xí)15．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求集合，進(jìn)而求.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C.題型四 指數(shù)，對(duì)數(shù)不等式例7．（2023·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解絕對(duì)值不等式求出集合、再解指數(shù)不等式求出集合，最后根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由可得，解得，所以，由，可得，所以，即，所以.故選：B例8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由絕對(duì)值不等式及對(duì)數(shù)不等式求兩個(gè)集合，在用交集運(yùn)算即可.【詳解】由題意得或，，所以．故選：C．練習(xí)16．（2022秋·浙江杭州·高三?？计谥校┎坏仁匠闪⒌囊粋€(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解指數(shù)不等式，根據(jù)選項(xiàng)是條件的充分不必要條件來(lái)判斷即可.【詳解】不等式可以化簡(jiǎn)為：解得或，則或，所以滿足條件則選項(xiàng)為A.故選：A練習(xí)17．（2021春·廣東·高三校聯(lián)考專(zhuān)題練習(xí)）已知全集，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先化簡(jiǎn)集合和，再結(jié)合選項(xiàng)一一判斷即可．【詳解】由或，所以，，所以選項(xiàng)A，B都錯(cuò)；因?yàn)?，則，所以選項(xiàng)C正確；由，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)故選：C練習(xí)18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，或，則（

）．A．或 B．或C．或 D．【答案】B【分析】解法一利用對(duì)數(shù)不等式及絕對(duì)值不等式的解法，結(jié)合交集的定義即可求解.解法二利用特殊值及交集的定義即可求解.【詳解】解法一：由題可得或，或，所以或.解法二：由題可得，所以，故排除A，D；又且，所以，故排除C．故選：B．練習(xí)19．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先解對(duì)數(shù)不等式及一元二次不等式，求出集合、，再根據(jù)交集的定義計(jì)算，即可判斷.【詳解】由，即，所以，所以，由，得，所以，解得，所以，所以．故選：A．練習(xí)20．（2023春·江西南昌·高三?？茧A段練習(xí)）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解集合中的不等式，得到集合，再求兩個(gè)集合的交集.【詳解】不等式解得，∴，不等式即，解得，∴，則故選：B題型五 高次不等式例9．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是_______________.【答案】【分析】根據(jù)圖像判斷出的關(guān)系，進(jìn)而求得不等式的解集.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖像可知：，即，不等式可化為，即，解得或，所以不等式的解集是.故答案為：例10．（2019春·安徽蕪湖·高一蕪湖一中校考階段練習(xí)）不等式的解集是________．【答案】或【分析】將該不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，從而利用數(shù)軸標(biāo)根法即可得解.【詳解】不等式可化為，故等價(jià)于，利用數(shù)軸標(biāo)根法解得或，即不等式的解集是或.故答案為：或.練習(xí)21．（2004·全國(guó)·高考真題）不等式的解集是___________．【答案】【分析】原不等式化為，即得解.【詳解】原不等式可以化為，因?yàn)椋?所以不等式的解集為.故答案為：練習(xí)22．（2022秋·河北保定·高三?？茧A段練習(xí)）解下列不等式(1)(2)【答案】(1)或，(2)無(wú)解【分析】（1）將原不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組，然后解不等式組即可得答案，（2）先對(duì)不等式變形，得，然后通過(guò)求判別式結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得結(jié)果.（1）由，得或，得或，由，解得或，由，解得，綜上，或，所以原不等式的解集為或，（2）由，得，因?yàn)?，拋物線的開(kāi)口向上，所以，所以原不等式無(wú)解.練習(xí)23．（2022秋·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）不等式的解集為_(kāi)______________．【答案】【分析】由題知，再根據(jù)穿根法求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋裕驗(yàn)榈母鶠?，，，，所以如圖，根據(jù)穿根法可得可得不等式的解集為故答案為：練習(xí)24．（2022秋·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】原式可化為，解不等式即可．【詳解】解：原式可化為，即或，解得：或．∴不等式解集為：．故選：D．練習(xí)25．（2022秋·上海徐匯·高一上海中學(xué)校考期中）不等式的解集為_(kāi)_____.【答案】【分析】將不等式變形為，利用數(shù)軸標(biāo)根法得到不等式的解集.【詳解】解：不等式，即，方程的根有（2重根），，，，（2重根），按照數(shù)軸標(biāo)根法可得不等式的解集為.故答案為：題型六 解含參的一元二次不等式例11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式【答案】答案見(jiàn)解析【分析】討論大小關(guān)系求一元二次不等式的解集.【詳解】由，可得或，則：當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；例12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．【答案】【分析】根據(jù)原不等式中參數(shù)的范圍判斷其對(duì)應(yīng)一元二次方程根的大小，進(jìn)而確定不等式的解集即可.【詳解】依題意，且，所以，且，解得，所以原不等式的解集為．練習(xí)26．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的不等式的解集．(2)若，求關(guān)于x的不等式的解集．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；（2）不等式因式分解得到，分，與三種情況，求出不等式的解集.【詳解】（1）時(shí)，，解得：，故解集為；（2）時(shí)，，變形為，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上：當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為.練習(xí)27．（2023秋·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．關(guān)于x的不等式的解集為【答案】BC【分析】根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程根的關(guān)系，即可由根與系數(shù)的關(guān)系得，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】由不等式的解集為，所以和1是方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得，故A錯(cuò)誤，B正確，，故C正確，不等式變?yōu)椋獾?，故D錯(cuò)誤，故選：BC練習(xí)28．（2023春·重慶永川·高一重慶市永川北山中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)(1)解關(guān)于x的不等式；(2)若關(guān)于x的不等式的解集為，求的最小值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)36【分析】（1）分類(lèi)討論參數(shù)范圍，根據(jù)一元二次不等式的解法得出答案；（2）根據(jù)一元二次不等式的解集結(jié)合韋達(dá)定理確定參數(shù)范圍和、與參數(shù)關(guān)系，構(gòu)造求出其值，結(jié)合基本不等式中常數(shù)的妙用解出答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即．?dāng)時(shí)，不等式的解集為．當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．（2）由題意，關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的正根，由韋達(dá)定理知解得．則，，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，符合條件，則．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值36．練習(xí)29．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）若關(guān)于x的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分討論解不等式，根據(jù)只有一個(gè)整數(shù)解建立不等關(guān)系求解即可.【詳解】不等式化為，即，當(dāng)時(shí)，不等式化為，得，有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由關(guān)于x的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，可知，不等式的解為，由題意，，解得；當(dāng)時(shí)，不等式的解為或，有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不符合題意．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C練習(xí)30．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）若，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi)_________.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，由交集的定義可知不等式的解集為的子集即可滿足題意.【詳解】因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，才有可能使得，當(dāng)?shù)膬筛鶆偤檬菚r(shí)，即，此時(shí)的解集為剛好滿足，所以，所以實(shí)數(shù)的一個(gè)取值可以為.故答案為:題型七 一元二次不等式的恒成立問(wèn)題例13．（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，q：任意，則p是q成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式恒成立解得：，結(jié)合充分、必要條件的概念即可求解.【詳解】命題：一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，當(dāng)時(shí)，,符合題意；當(dāng)時(shí)，有，即，解為，∴：．又：，設(shè)，則是的真子集，所以p是q成立的充分非必要條件，故選：A．例14．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？计谥校┤簦沟貌坏仁匠闪?，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為，使成立，求的最小值即可.【詳解】因?yàn)?，使得不等式成立，所以，使得不等式成立，令，，因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為，，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.練習(xí)31．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式在R上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.【答案】．【分析】利用換元法把目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和最值情況可得答案.【詳解】令因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以因此要使在區(qū)間上恒成立，應(yīng)有，即所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故答案為：.練習(xí)32．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）不等式（）恒成立的一個(gè)充分不必要條件是（

）A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)＞1 C． D．a(chǎn)＞2【答案】D【分析】先求得不等式（）恒成立的充要條件，再找其充分不必要條件.【詳解】不等式（）恒成立，顯然不成立，故應(yīng)滿足，解得，所以不等式（）恒成立的充要條件是，A、C選項(xiàng)不能推出，B選項(xiàng)是它的充要條件，可以推出，但反之不成立，故是的充分不必要條件.故選：D練習(xí)33．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】由對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分成，討論進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，①時(shí)，恒成立，②時(shí)，，解得，綜上可得，.故選：A.練習(xí)34．（2022秋·湖南張家界·高三張家界市民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“”是“關(guān)于x的不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】先根據(jù)關(guān)于x的不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立得出，再根據(jù)取值范圍的關(guān)系判斷即可得出答案.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式可化為恒成立；當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，則有解得：；綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為：，若成立，則不一定成立；反之也不成立，所以“”是“關(guān)于x的不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立”的既不充分也不必要條件，故選：.題型八 一元二次不等式的有解問(wèn)題例16．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用判別式即可研究不等式的解的情況.【詳解】若關(guān)于的不等式有解,則，解得.故選：C.例17．（2022秋·安徽馬鞍山·高一安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)?？计谥校┎坏仁綄?duì)于恒成立，則的取值范圍是______．【答案】【分析】由題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得對(duì)于恒成立，設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.【詳解】由得，得，即對(duì)于恒成立，設(shè)，顯然開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值0，則，即a的取值范圍為.故答案為：.練習(xí)35．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若不等式對(duì)任意恒成立，實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____.【答案】【分析】把題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，由一次函數(shù)的單調(diào)性列不等式組，即可求解.【詳解】可轉(zhuǎn)化為.設(shè)，則是關(guān)于m的一次型函數(shù).要使恒成立，只需，解得.故答案為：練習(xí)36．（2022秋·上海金山·高三上海市金山中學(xué)?？计谀┤絷P(guān)于的不等式的解集非空，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】運(yùn)用判別式求解.【詳解】由題意知，解得或，∴b的取值范圍是；故答案為：.練習(xí)37．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由題得，解出的范圍，再根據(jù)交集含義即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以或，所以或，所以．故選：D.練習(xí)38．（2022秋·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若存在，有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.【答案】【分析】參數(shù)分離可得，設(shè)，將存在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，求出函數(shù)的最大值，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：將原不等式參數(shù)分離可得，設(shè)，已知存在，有成立，則，令，則，，由對(duì)勾函數(shù)知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，所以，即，故答案為：.練習(xí)39．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若不等式在上有解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得在區(qū)間上有解，求出在區(qū)間上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上有解，設(shè)，，其中在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以有最小值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．練習(xí)40．（2022秋·廣西桂林·高三?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則的取值范圍是_________.【答案】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)有解，從而求得的最大值即可得解.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)有解，所以在區(qū)間內(nèi)有解，令，則開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故，所以，即.故答案為：.題型九 一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用例18．（2020秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習(xí)）某種飼料原來(lái)每袋成本為10元，售價(jià)為15元，每月銷(xiāo)售8萬(wàn)袋．(1)若售價(jià)每袋提高1元，月銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少2000袋，要使月總利潤(rùn)不低于原來(lái)的月總利潤(rùn)（月總利潤(rùn)＝月銷(xiāo)售總收入－月總成本），該飼料每袋售價(jià)最多為多少元？(2)廠家決定下月進(jìn)行營(yíng)銷(xiāo)策略改革，計(jì)劃每袋售價(jià)元，并投入萬(wàn)元作為營(yíng)銷(xiāo)策略改革費(fèi)用．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若每袋售價(jià)每提高1元，月銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少萬(wàn)袋．則當(dāng)每袋售價(jià)為多少時(shí)，下月的月總利潤(rùn)最大？并求出下月最大總利潤(rùn)．【答案】(1)(2)當(dāng)售價(jià)為時(shí)有最大利潤(rùn)為【分析】（1）設(shè)飼料每袋售價(jià)為元，則，解得答案.（2）設(shè)月總利潤(rùn)為，，利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）設(shè)飼料每袋售價(jià)為元，則，解得，故飼料每袋售價(jià)最多為元（2）設(shè)月總利潤(rùn)為，則，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)故當(dāng)售價(jià)為時(shí)有最大利潤(rùn)為.例19．（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）某商場(chǎng)若將進(jìn)貨單價(jià)為元的商品按每件元出售，每天可銷(xiāo)售件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來(lái)增加利潤(rùn)．已知這種商品每件銷(xiāo)售價(jià)提高元，銷(xiāo)售量就要減少件．那么要保證每天所賺的利潤(rùn)在元以上，每件銷(xiāo)售價(jià)可能為（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】AB【分析】確定每件商品的利潤(rùn)、銷(xiāo)售量，根據(jù)利潤(rùn)=每件利潤(rùn)×銷(xiāo)售量，得出銷(xiāo)售利潤(rùn)y（元）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系，解不等式可得答案.【詳解】設(shè)銷(xiāo)售價(jià)定為每件x元，利潤(rùn)為y元，則，依題意有，即，解得，所以每件銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)為12元到16元之間，故每件銷(xiāo)售價(jià)可能為13元或15元，故選︰AB．練習(xí)41．（2022春·遼寧·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）剎車(chē)距離是分析交通事故的一個(gè)重要依據(jù)．在一條限速為30km/h的道路上，某汽車(chē)司機(jī)發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，緊急剎車(chē)，但還是發(fā)生了交通事故．經(jīng)現(xiàn)場(chǎng)勘查，測(cè)得汽車(chē)的剎車(chē)距離大于10m．已知該種車(chē)型的剎車(chē)距離（單位，m）與剎車(chē)前的車(chē)速v