（圓夢高考數(shù)學(xué)）專題8.1 空間幾何體的表面積和體積（含答案及解析）

專題8.1空間幾何體的表面積和體積題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征題型二斜二測畫法題型三最短路徑題型四空間幾何體的表面積題型五空間幾何體的體積題型六截面問題題型一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1．（2023·上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)?？寄M預(yù)測）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在長方體中，鱉臑的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列關(guān)于空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述錯誤的是（

）A．棱柱的側(cè)棱互相平行B．以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體不一定是圓錐C．正三棱錐的各個(gè)面都是正三角形D．棱臺各側(cè)棱所在直線會交于一點(diǎn)練習(xí)1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）一個(gè)幾何體由六個(gè)面組成，其中兩個(gè)面是互相平行且相似的四邊形，其余各面都是全等的等腰梯形，則這個(gè)幾何體是（

）A．三棱柱 B．三棱臺 C．四棱柱 D．四棱臺練習(xí)2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）下列說法正確的是（

）A．以三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．棱臺的側(cè)面都是等腰梯形C．底面半徑為r，母線長為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形D．棱柱的側(cè)棱長都相等，但側(cè)棱不一定都垂直于底面練習(xí)3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．等邊三角形繞其一條邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐B．球體的截面都是圓面C．正四棱臺的側(cè)面展開圖是一個(gè)等腰梯形D．正三棱錐的四個(gè)面都是等邊三角形練習(xí)4．（2023春·甘肅·高三校聯(lián)考期中）（多選）下列命題正確的是（

）A．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線B．兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形練習(xí)5．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）某兒童玩具的實(shí)物圖如圖1所示，從中抽象出的幾何模型如圖2所示，由OA，OB，OC，OD四條等長的線段組成，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是能使它任意拋至水平面后，總有一條線段所在的直線豎直向上，則=（

）

A． B． C． D．題型二 斜二測畫法例3．（2023春·河南·高三洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的直觀圖，則是（

）A．正三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．以上都有可能例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某幾何體底面的四邊形OABC直觀圖為如圖矩形，其中，，則該幾何體底面對角線AC的實(shí)際長度為（

）A．6 B． C． D．練習(xí)6．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）如圖等腰梯形，，，，，那么該梯形直觀圖的面積是______.練習(xí)7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，是的直觀圖，其中，，那么是一個(gè)（

）

A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定練習(xí)8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知在如圖所示的等腰梯形中，，，用斜二測畫法畫出該梯形的直觀圖，則該梯形的直觀圖的面積為__________.練習(xí)9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形是（

）

A．面積為的矩形 B．面積為的矩形C．面積為的菱形 D．面積為的菱形練習(xí)10．（2023春·河南周口·高三?？计谀┤鐖D，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的正方形，則原圖形的周長是（

）A．16 B．12 C． D．題型三 最短路徑例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，圓錐的底面圓直徑AB為2，母線長SA為4，若小蟲P從點(diǎn)A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點(diǎn)C，則小蟲爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．例6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，正三棱錐中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿三棱錐側(cè)面爬行到點(diǎn)，求：(1)該三棱錐的體積與表面積；(2)螞蟻爬行的最短路線長.練習(xí)11．（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為2km，山高為，是山坡上一點(diǎn)，且.現(xiàn)要建設(shè)一條從到的環(huán)山觀光公路，這條公路從出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長度最短時(shí)，下坡路段長為______.練習(xí)12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個(gè)圓錐的體積為（

）A． B． C． D．練習(xí)13．（2023·四川資陽·統(tǒng)考三模）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，，D在A1C上，E是A1B的中點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．練習(xí)14．（2023春·安徽·高三安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，若P為線段上的動點(diǎn)，則的最小值為______.練習(xí)15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）長方體ABCD－A1B1C1D1中，寬、長、高分別為3、4、5，現(xiàn)有一個(gè)小蟲從A出發(fā)沿長方體表面爬行到C1來獲取食物，則其路程的最小值為________．題型四 空間幾何體的表面積例7．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知某圓錐的底面半徑為2，其體積與半徑為1的球的體積相等，則該圓錐的母線長為（

）A．1 B．2 C． D．5例8．（2023春·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校┮阎獔A錐PO，其軸截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊長為6m，頂角為的等腰三角形，該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．練習(xí)16．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┩勇萜鹪从谖覈?，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．練習(xí)17．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？级＃ǘ噙x）一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．圓柱的側(cè)面積為B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．圓柱?圓錐?球的體積之比為練習(xí)18．（河北省2023屆高三模擬（六）數(shù)學(xué)試題）柷（zhù），是一種古代打擊樂器，迄今已有四千多年的歷史，柷的上方形狀猶如四方形木斗，上寬下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞擊其內(nèi)壁發(fā)聲，表示樂曲將開始.如圖，某柷（含底座）高，上口正方形邊長，下口正方形邊長，底座可近似地看作是底面邊長比下口邊長長，高為的正四棱柱，則該柷（含底座）的側(cè)面積約為（）（

）

A． B． C． D．練習(xí)19．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)校考模擬預(yù)測）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體（semi-regularsolid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，它是由正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐得到.已知，若該半正多面體的表面積為，體積為，則為（

）

A． B． C．2 D．練習(xí)20．（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預(yù)測）（多選）已知半徑為R的球與圓臺的上下底面和側(cè)面都相切.若圓臺上下底面半徑分別為r1和r2，母線長為l，球的表面積與體積分別為S1和V1，圓臺的表面積與體積分別為S2和V2.則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的最大值為題型五 空間幾何體的體積例9．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）樂高積木是由丹麥的克里斯琴森發(fā)明的一種塑料積木，由它可以拼插出變化無窮的造型，組件多為組合體．某樂高拼插組件為底面邊長為、高為的正四棱柱，中間挖去以底面正方形中心為底面圓的圓心、直徑為、高為的圓柱，則該組件的體積為（

）．（單位：）A． B． C． D．例10．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？级＃┰谥?，，，，將繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周，所得到幾何體的體積為_________.練習(xí)21．（2023·北京海淀·校考三模）公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，開創(chuàng)了秦朝統(tǒng)一度量衡的先河.如圖，升體是長方體，手柄近似空心的圓柱.已知銅方升總長是，內(nèi)口長，寬，高（忽略壁的厚度，取圓周率），若手柄的底面半徑為，體積為，則銅方升的容積約為（小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字）（

）

A． B． C． D．練習(xí)22．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是某烘焙店家烘焙蛋糕時(shí)所用的圓臺狀模具，它的高為8cm，下底部直徑為12cm，上面開口圓的直徑為20cm，現(xiàn)用此模具烘焙一個(gè)跟模具完全一樣的兒童蛋糕，若蛋糕膨脹成型后的體積會變?yōu)樵瓉硪簯B(tài)狀態(tài)下體積的2倍（模具不發(fā)生變化），若用直徑為10cm的圓柱形容量器取液態(tài)原料（不考慮損耗），則圓柱中需要注入液態(tài)原料的高度約為（

）（單位：cm）A．2.26 B．10.45 C．4.12 D．4.61練習(xí)23．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測）如圖，某圓柱體的高為，是該圓柱體的軸截面.已知從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面到點(diǎn)的路徑中，最短路徑的長度為，則該圓柱體的體積是（

）

A．3 B． C． D．練習(xí)24．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測）如圖是一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若扇形的兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且，則該圓臺的體積為（

）

A． B． C． D．練習(xí)25．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為______.

題型六 截面問題例11．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知在長方體中，，點(diǎn)，，分別在棱，和上，且，，，則平面截長方體所得的截面形狀為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形例12．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）正方體的棱長為2，，分別為棱，的中點(diǎn)，過，，做該正方體的截面，則截面形狀為______，周長為______．練習(xí)26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）作出平面與四棱錐的截面，截面多邊形的邊數(shù)為______．練習(xí)27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）用一個(gè)平面去截正方體，則截面可能是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．正方形 D．正六邊形練習(xí)28．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┱襟w的棱長為2，P為中點(diǎn)，過A，P，三點(diǎn)的平面截正方體為兩部分，則截面圖形的面積為（

）A． B． C． D．練習(xí)29．（2023春·江蘇鹽城·高三江蘇省響水中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正方體中，的中點(diǎn)為Q，過A，Q，三點(diǎn)的截面是（

）

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形練習(xí)30．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為2，E是側(cè)棱的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面圖形的周長是________.

專題8.1空間幾何體的表面積和體積題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征題型二斜二測畫法題型三最短路徑題型四空間幾何體的表面積題型五空間幾何體的體積題型六截面問題題型一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1．（2023·上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)?？寄M預(yù)測）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在長方體中，鱉臑的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】每個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)個(gè)鱉臑，所以個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)個(gè)鱉臑．但每個(gè)鱉臑都重復(fù)一次，再除，即可得解.【詳解】在正方體中，當(dāng)頂點(diǎn)為時(shí)，三棱錐、、、、、均為鱉臑．所以個(gè)頂點(diǎn)為個(gè)．但每個(gè)鱉臑都重復(fù)一次，所以，鱉臑的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B．

例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列關(guān)于空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述錯誤的是（

）A．棱柱的側(cè)棱互相平行B．以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體不一定是圓錐C．正三棱錐的各個(gè)面都是正三角形D．棱臺各側(cè)棱所在直線會交于一點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)相應(yīng)幾何體的定義和性質(zhì)判斷即可.【詳解】根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知A正確；當(dāng)以直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，所得幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體，故B正確；正三棱錐的底面是正三角形，其余側(cè)面是全等的等腰三角形，故C錯誤；棱臺是用平行于底面的平面截棱錐而得，故側(cè)棱所在直線必交于一點(diǎn)，D正確.故選：C練習(xí)1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）一個(gè)幾何體由六個(gè)面組成，其中兩個(gè)面是互相平行且相似的四邊形，其余各面都是全等的等腰梯形，則這個(gè)幾何體是（

）A．三棱柱 B．三棱臺 C．四棱柱 D．四棱臺【答案】D【分析】根據(jù)條件，分別對題目中四個(gè)選項(xiàng)分析推理.【詳解】不妨假定兩個(gè)平行的面是上下底面，并且必須是6個(gè)面，顯然三棱柱和三棱臺不滿足要求，四棱柱要求各側(cè)面均為平行四邊形，上下兩個(gè)平面為全等的四邊形，不滿足要求，四棱臺上下兩個(gè)底面相互平行，其余各面都是梯形，故滿足條件的幾何體是四棱臺.故選：D.練習(xí)2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）下列說法正確的是（

）A．以三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．棱臺的側(cè)面都是等腰梯形C．底面半徑為r，母線長為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形D．棱柱的側(cè)棱長都相等，但側(cè)棱不一定都垂直于底面【答案】CD【分析】根據(jù)圓錐、棱臺、棱柱的定義及結(jié)構(gòu)特征逐一判斷即可.【詳解】圓錐是以直角三角形的某一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體，當(dāng)繞斜邊旋轉(zhuǎn)時(shí)，不是棱錐，故A錯誤；棱臺的側(cè)面都是梯形，但棱臺的側(cè)棱不一定都相等，故B錯誤；圓錐的軸截面是等腰三角形，其腰長為2r，又底面半徑為r，故等腰三角形的底邊為2r，即該圓錐的軸截面為等邊三角形，故C正確；棱柱的側(cè)面都為平行四邊形，所以側(cè)棱都相等，棱柱包含直棱柱與斜棱柱，故側(cè)棱不一定都垂直于底面，故D正確.故選：CD.練習(xí)3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．等邊三角形繞其一條邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐B．球體的截面都是圓面C．正四棱臺的側(cè)面展開圖是一個(gè)等腰梯形D．正三棱錐的四個(gè)面都是等邊三角形【答案】B【分析】根據(jù)幾何體的特征依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A：等邊三角形繞其一條邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是兩個(gè)圓錐的組合體，錯誤；對選項(xiàng)B：球體的截面都是圓面，正確；對選項(xiàng)C：正四棱臺的側(cè)面是一個(gè)等腰梯形，側(cè)面展開圖不是，錯誤；對選項(xiàng)D：正三棱錐的側(cè)面可能不是等邊三角形，錯誤.故選：B練習(xí)4．（2023春·甘肅·高三校聯(lián)考期中）（多選）下列命題正確的是（

）A．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線B．兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐母線的定義可判斷A，根據(jù)棱臺的定義可判斷B，根據(jù)圓臺的定義可判斷C，根據(jù)平面與圓柱底面的位置關(guān)可判斷D.【詳解】對于A，根據(jù)圓錐的母線的定義，可知A正確；對于B，把梯形的腰延長后有可能不交于一點(diǎn)，此時(shí)得到幾何體就不是棱臺，故B錯誤；對于C，根據(jù)圓臺的定義，可知C正確；對于D，當(dāng)平面不與圓柱的底面平行且不垂直于底面時(shí)，得到的截面不是圓和矩形，故D錯誤.故選：AC練習(xí)5．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）某兒童玩具的實(shí)物圖如圖1所示，從中抽象出的幾何模型如圖2所示，由OA，OB，OC，OD四條等長的線段組成，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是能使它任意拋至水平面后，總有一條線段所在的直線豎直向上，則=（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正四面體的外接球相關(guān)性質(zhì)，解三角形即可.【詳解】如圖，連接AB，AC，AD、BC，CD，BD，得到正四面體ABCD，則點(diǎn)O為正四面體ABCD外接球的球心，延長AO交底面BCD于G，則G為的中心.設(shè)，外接球的半徑為R，連接BG，在正三角形中，易得，則，故在中有：，解得，則，所以，故選：A.

題型二 斜二測畫法例3．（2023春·河南·高三洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的直觀圖，則是（

）A．正三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．以上都有可能【答案】C【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，化簡的直觀圖，結(jié)合圖形，即可求解.【詳解】因?yàn)?，則線段與軸必相交，令交點(diǎn)為，如圖（1）所以，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上，可得，點(diǎn)C在y軸上，可得，如圖（2）所示，因此點(diǎn)必在線段的延長線上，所以，所以是鈍角三角形．故選：C．例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某幾何體底面的四邊形OABC直觀圖為如圖矩形，其中，，則該幾何體底面對角線AC的實(shí)際長度為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】通過直觀圖與原圖的關(guān)系得出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出答案.【詳解】根據(jù)四邊形OABC直觀圖將其還有為平面圖形如圖：根據(jù)直觀圖與原圖的關(guān)系可得：，，，則點(diǎn)，，，故選：B.練習(xí)6．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）如圖等腰梯形，，，，，那么該梯形直觀圖的面積是______.【答案】【分析】根據(jù)斜二測畫法的性質(zhì)結(jié)合梯形面積公式即可求解.【詳解】由題意可知等腰梯形的高,由斜二測畫法的規(guī)則可知：該梯形直觀圖中的高為，的長度在直觀圖中與原圖保持一致，故直觀圖的面積為故答案為：練習(xí)7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，是的直觀圖，其中，，那么是一個(gè)（

）

A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定【答案】A【分析】將直觀圖還原，分析幾何圖形的形狀.【詳解】

如圖，將直觀圖還原，則，，所以，即是正三角形.故選：A.練習(xí)8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知在如圖所示的等腰梯形中，，，用斜二測畫法畫出該梯形的直觀圖，則該梯形的直觀圖的面積為__________.【答案】/【分析】如圖所示，過作，垂足分別為，求出，即得解.【詳解】解：如圖所示，過作，垂足分別為.依題意，，所以，可知等腰梯形的面積為，根據(jù)斜二測畫法規(guī)則知，其直觀圖的面積為原圖形面積的，所以該梯形的直觀圖的面積為.故答案為：.練習(xí)9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形是（

）

A．面積為的矩形 B．面積為的矩形C．面積為的菱形 D．面積為的菱形【答案】C【分析】根據(jù)題意利用斜二測畫法判斷原圖形的形狀，即可求出其面積.【詳解】，所以，故在原圖中，，，所以四邊形為菱形(如圖所示)，，則原圖形面積為.

故選：C.練習(xí)10．（2023春·河南周口·高三?？计谀┤鐖D，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的正方形，則原圖形的周長是（

）A．16 B．12 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)斜二測畫法分析運(yùn)算.【詳解】在直觀圖中，，可得原圖形是平行四邊形，其底邊長2，高為，則另一邊長為，所以原圖形的周長為．故選：A.題型三 最短路徑例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，圓錐的底面圓直徑AB為2，母線長SA為4，若小蟲P從點(diǎn)A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點(diǎn)C，則小蟲爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將錐體側(cè)面展開為扇形，先求出所得扇形圓心角，再根據(jù)兩點(diǎn)間線段距離最短，求最短路徑.【詳解】由題意，底面圓的直徑AB＝2，故底面周長等于2π.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得2π＝，解得n＝90，所以展開圖中∠PSC＝90°，故PC＝2，所以小蟲爬行的最短距離為2.故選：A例6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，正三棱錐中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿三棱錐側(cè)面爬行到點(diǎn)，求：(1)該三棱錐的體積與表面積；(2)螞蟻爬行的最短路線長.【答案】(1)體積為，表面積為；(2).【分析】（1）將△當(dāng)作底面，將當(dāng)作三棱錐的高，由三棱錐體積公式即可求得三棱錐的體積；再由求出各個(gè)面的面積，由面積公式可得三棱錐的表面積；（2）將△與延展開，使得兩個(gè)三角形在同一個(gè)平面上，連接，再由余弦定理即可求得最短值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，又，VB、VC在面VBC內(nèi)，得面，，（2）如下圖：連接，線段的長度即螞蟻爬行的最短路線長，△中，，由余弦定理可得：，即.練習(xí)11．（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為2km，山高為，是山坡上一點(diǎn)，且.現(xiàn)要建設(shè)一條從到的環(huán)山觀光公路，這條公路從出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長度最短時(shí)，下坡路段長為______.【答案】【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖，利用兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合圖象，求最小值.【詳解】由題意，半徑為2km，山高為，則母線,底面圓周長，所以展開圖的圓心角，如圖，是圓錐側(cè)面展開圖，結(jié)合題意，,由點(diǎn)向引垂線，垂足為點(diǎn)，此時(shí)為點(diǎn)和線段上的點(diǎn)連線的最小值，即點(diǎn)為公路的最高點(diǎn)，段即為下坡路段，則，即，得下坡路段長度為.故答案為：練習(xí)12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個(gè)圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出圓錐側(cè)面展開圖，根據(jù)最短路程和母線長，利用余弦定理可求得側(cè)面展開圖扇形的圓心角，結(jié)合扇形弧長公式和勾股定理可求得圓錐底面半徑和高，代入圓錐體積公式即可.【詳解】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，以母線為軸可作出圓錐側(cè)面展開圖如下圖所示，小蟲爬行的最短路程為，，又，，，設(shè)圓錐底面半徑為，高為，則，解得：，，圓錐體積.故選：A.練習(xí)13．（2023·四川資陽·統(tǒng)考三模）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，，D在A1C上，E是A1B的中點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將平面A1BC與平面A1AC翻折到同一平面上，連接AE，記，再根據(jù)余弦定理可得，進(jìn)而求得，再根據(jù)兩角和的余弦公式可得，進(jìn)而由余弦定理可得即可.【詳解】如圖，將平面A1BC與平面A1AC翻折到同一平面上，連接AE，記，由題意可知，，則，，從而，故.因?yàn)镋是A1B的中點(diǎn)，所以，由余弦定理可得，因?yàn)镈在A1C上，所以，則，故的最小值是.故選：C練習(xí)14．（2023春·安徽·高三安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，若P為線段上的動點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】【分析】將置于同一平面內(nèi)，利用兩點(diǎn)之間線段最短即可求得的最小值.【詳解】分別在面與面內(nèi)移動，將面以為軸旋轉(zhuǎn)至面所在平面，得到，則即為的最小值又在長方體中，，，，則，，則，則故答案為：練習(xí)15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）長方體ABCD－A1B1C1D1中，寬、長、高分別為3、4、5，現(xiàn)有一個(gè)小蟲從A出發(fā)沿長方體表面爬行到C1來獲取食物，則其路程的最小值為________．【答案】【分析】把長方體含AC1的面作展開圖，有三種情形如圖所示，求解即可.【詳解】把長方體含AC1的面作展開圖，有三種情形如圖所示：利用勾股定理可得AC1的長分別為、、.由此可見圖(2)是最短路線，其路程的最小值為.故答案為：.題型四 空間幾何體的表面積例7．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知某圓錐的底面半徑為2，其體積與半徑為1的球的體積相等，則該圓錐的母線長為（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】設(shè)圓錐的高為，根據(jù)圓錐及球的體積公式求出，再由勾股定理計(jì)算可得.【詳解】設(shè)圓錐的高為，則，解得，所以母線長為.故選：C例8．（2023春·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校┮阎獔A錐PO，其軸截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊長為6m，頂角為的等腰三角形，該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用圓錐側(cè)面積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，

設(shè)圓錐的半徑為r，母線為l，由題意知，，在中，，所以，所以圓錐側(cè)面積為.故選：B.練習(xí)16．（2023·安徽安慶·安慶一中校考三模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓柱與圓錐的表面積公式求解.【詳解】由題意可得圓錐體的母線長為，所以圓錐體的側(cè)面積為，圓柱體的側(cè)面積為，圓柱的底面面積為，所以此陀螺的表面積為，故選：C.練習(xí)17．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？级＃ǘ噙x）一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．圓柱的側(cè)面積為B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．圓柱?圓錐?球的體積之比為【答案】CD【詳解】根據(jù)圓柱，圓錐，球體的側(cè)面積，表面積，和體積公式依次判斷選項(xiàng)即可.【點(diǎn)睛】對選項(xiàng)A，圓柱的側(cè)面積為，故A錯誤；對選項(xiàng)B，圓錐的母線為，圓錐的側(cè)面積為，故B錯誤.對選項(xiàng)C，球的表面積為，故C正確.對選項(xiàng)D，圓柱的體積，圓錐的體積，球的體積，所以圓柱?圓錐?球的體積之比為，故D正確.故選：CD練習(xí)18．（河北省2023屆高三模擬（六）數(shù)學(xué)試題）柷（zhù），是一種古代打擊樂器，迄今已有四千多年的歷史，柷的上方形狀猶如四方形木斗，上寬下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞擊其內(nèi)壁發(fā)聲，表示樂曲將開始.如圖，某柷（含底座）高，上口正方形邊長，下口正方形邊長，底座可近似地看作是底面邊長比下口邊長長，高為的正四棱柱，則該柷（含底座）的側(cè)面積約為（）（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出正四棱臺的側(cè)棱長，即可求出斜高，再根據(jù)側(cè)面積公式計(jì)算可得.【詳解】如圖正四棱臺中，連接，，過點(diǎn)、分別作、，交于點(diǎn)、，依題意，，，則，所以，所以正四棱臺的斜高為，所以正四棱臺的側(cè)面積，又正四棱柱的側(cè)面積，所以該柷（含底座）的側(cè)面積約為；故選：B

練習(xí)19．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體（semi-regularsolid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，它是由正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐得到.已知，若該半正多面體的表面積為，體積為，則為（

）

A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)表面積公式計(jì)算表面積，把多面體積轉(zhuǎn)化為正方體體積去掉8個(gè)三棱錐體積求解，最后求比值即可.【詳解】如圖，該半正多面體的表面由6個(gè)正方形和8個(gè)正三角形構(gòu)成，則其表面積，該半正多面體的體積可以由正方體截去8個(gè)三棱錐的體積計(jì)算，.

故選:A.練習(xí)20．（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預(yù)測）（多選）已知半徑為R的球與圓臺的上下底面和側(cè)面都相切.若圓臺上下底面半徑分別為r1和r2，母線長為l，球的表面積與體積分別為S1和V1，圓臺的表面積與體積分別為S2和V2.則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的最大值為【答案】ABC【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓臺與球的表面積、體積公式逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由切線長定理易得，A正確；由勾股定理知，解得，B正確；因?yàn)椋?，所以正確；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，這與圓臺的定義矛盾，故D錯誤.故選：ABC.題型五 空間幾何體的體積例9．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）樂高積木是由丹麥的克里斯琴森發(fā)明的一種塑料積木，由它可以拼插出變化無窮的造型，組件多為組合體．某樂高拼插組件為底面邊長為、高為的正四棱柱，中間挖去以底面正方形中心為底面圓的圓心、直徑為、高為的圓柱，則該組件的體積為（

）．（單位：）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正四棱柱和圓柱的體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L為、高為，所以正四棱柱的體積為，又挖去的圓柱的直徑為、高為，所以圓柱的，故所求幾何體的體積為.故選：D.例10．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？级＃┰谥?，，，，將繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周，所得到幾何體的體積為_________.【答案】【分析】繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是底面是以BC為半徑的圓，高為AB的圓錐，由此根據(jù)圓錐的體積公式能求出其體積.【詳解】因?yàn)樵谥苯侨切沃?，，，，所以繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是底面是以BC為半徑的圓，高為AB的圓錐，示意圖如下圖所示：

所以繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為.故答案為:．練習(xí)21．（2023·北京海淀·?？既＃┕?44年，先秦法家代表人物商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，開創(chuàng)了秦朝統(tǒng)一度量衡的先河.如圖，升體是長方體，手柄近似空心的圓柱.已知銅方升總長是，內(nèi)口長，寬，高（忽略壁的厚度，取圓周率），若手柄的底面半徑為，體積為，則銅方升的容積約為（小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字）（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由手柄的體積求出手柄的長度，即可得到長方體的內(nèi)口長，再根據(jù)長方體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】依題意手柄的底面半徑為，體積為，則手柄的底面積為，所以手柄的長度為，所以長方體的內(nèi)口長，所以升體的容積為，即銅方升的容積約為.故選：A練習(xí)22．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是某烘焙店家烘焙蛋糕時(shí)所用的圓臺狀模具，它的高為8cm，下底部直徑為12cm，上面開口圓的直徑為20cm，現(xiàn)用此模具烘焙一個(gè)跟模具完全一樣的兒童蛋糕，若蛋糕膨脹成型后的體積會變?yōu)樵瓉硪簯B(tài)狀態(tài)下體積的2倍（模具不發(fā)生變化），若用直徑為10cm的圓柱形容量器取液態(tài)原料（不考慮損耗），則圓柱中需要注入液態(tài)原料的高度約為（

）（單位：cm）A．2.26 B．10.45 C．4.12 D．4.61【答案】B【分析】根據(jù)圓臺的體積公式可得蛋糕體積，然后由圓柱體積公式可得.【詳解】圓臺狀蛋糕膨脹成型后的體積為，圓柱的體積為，故圓柱制作液態(tài)蛋糕原料高度約為.故選：B.練習(xí)23．（2023·廣東佛山·校考模擬預(yù)測）如圖，某圓柱體的高為，是該圓柱體的軸截面.已知從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面到點(diǎn)的路徑中，最短路徑的長度為，則該圓柱體的體積是（

）

A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面展開圖，先求出圓柱底面半徑，再根據(jù)體積公式求圓柱體的體積.【詳解】

設(shè)圓柱體底面圓的半徑為，將側(cè)面展開后四邊形為矩形，則依題意得：，所以，即，所以該圓柱體的體積為：，故選：D.練習(xí)24．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測）如圖是一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若扇形的兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且，則該圓臺的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出圓臺的上下底面圓的半徑，再求出圓臺的高并結(jié)合圓臺的體積公式求解作答.【詳解】設(shè)圓臺上底面圓半徑為，下底面圓半徑為，依題意，，且，解得，而圓臺的母線長，因此圓臺的高，所以圓臺的體積.故選：C練習(xí)25．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為______.

【答案】/【分析】先求得球的半徑，畫出組合體截面的圖像，通過構(gòu)造直角三角形來求得蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離.【詳解】根據(jù)球的體積公式，有.題目所給圖中，虛線的小正方形的邊長為，其一半為，四個(gè)等腰直角三角形斜邊上的高為.畫出截面圖形如下圖所示，其中，故.所以雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為.

故答案為：題型六 截面問題例11．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知在長方體中，，點(diǎn)，，分別在棱，和上，且，，，則平面截長方體所得的截面形狀為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】C【分析】連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，即可得到截面圖形，從而得解.【詳解】如圖連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則五邊形即為平面截該長方體所得