蘇科版九年級數(shù)學上學期復習備考高分秘籍專題2.5圓的有關性質(zhì)大題專練(培優(yōu)強化30題)特訓(原卷版+解析)

2022-2023學年九年級數(shù)學上學期復習備考高分秘籍【蘇科版】專題2.5圓的有關性質(zhì)大題專練（培優(yōu)強化30題）一、解答題1．（2021·江蘇揚州·九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，點P為AB的中點，E為BC上一動點，過P點作FP⊥PE交AC于F點，經(jīng)過P、E、F三點確定⊙O．(1)試說明：點C也一定在⊙O上．(2)點E在運動過程中，∠PFE的度數(shù)是否變化？若不變，求出∠PFE的度數(shù)；若變化，說明理由．(3)求線段EF的取值范圍，并說明理由．2．（2021·江蘇·淮安市洪澤實驗中學九年級期中）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠DAE是四邊形ABCD的一個外角，∠DAE＝∠DAC．DB與DC相等嗎？為什么？3．（2021·江蘇·無錫市江南中學九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點M在⊙O上，MD經(jīng)過圓心O，連接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半徑；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度數(shù)．4．（2021·江蘇南京·九年級期中）請用無刻度直尺按要求畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．（用虛線表示畫圖過程，實線表示畫圖結果）（1）如圖1，在正方形網(wǎng)格中，有一圓經(jīng)過了兩個小正方形的頂點A，B，請畫出這個圓的一條直徑；（2）如圖2，BA，BD是⊙O中的兩條弦，C是BD上一點，∠BAC＝50°，在圖中畫一個含有50°角的直角三角形．5．（2021·江蘇常州·九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，E是⊙O上一點．（1）請用圓規(guī)和直尺畫BE的垂直平分線交⊙O于點C，點C位于AB上方（不寫作法保留作圖痕跡）（2）設EA和BC的延長線相交于點D，試說明∠BCE＝2∠BDE．6．（2021·江蘇南京·九年級期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，BD＝BC，BA、CD延長線交于點E．（1）求證：∠EAD＝∠BAC；（2）若AB的度數(shù)為64°，則∠E的度數(shù)為°．7．（2021·江蘇南京·九年級期中）如圖，⊙O經(jīng)過菱形ABCD的B，D兩頂點，分別交AB，BC，CD，AD于點E，F(xiàn)，G，H．（1）求證AE＝AH；（2）連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，若BD是⊙O的直徑，求證：四邊形EFGH是矩形．8．（2021·江蘇無錫·九年級期中）如圖1，在RtΔABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，以AB為直徑畫⊙O交AC于點D，E是線段AB上的動點，延長DE交⊙O于F點，連接AF．（1）如圖1，求∠F的度數(shù)：（2）如圖2，當AE＝AD時，求∠DFO的度數(shù)．9．（2021·江蘇南京·九年級期中）如圖，點A在⊙O上，用無刻度的直尺在⊙O上畫出B、C兩點，滿足下列要求：（1）在圖①中，使得△ABC為直角三角形；（2）在圖②中，使得△ABC為等腰三角形．10．（2021·江蘇南京·九年級期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分別是E、F．（1）直接寫出OF與CD的數(shù)量關系，并證明你的結論．（2）若AB=2，CD=1．求⊙O的半徑．11．（2021·江蘇省錫山高級中學實驗學校九年級期中）如圖所示，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點C、D，連結AD．（1）若∠AOD＝54°，求∠BAD的度數(shù)；（2）若AB＝25，ED＝1，求OA12．（2020·江蘇南京·九年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，⊙O經(jīng)過點A、C、D，分別交邊AB、BC于點E、F，連接DE、DF，且DE＝DF．（1）求證：AB//CD；（2）連接AF，求證：AB＝AF．13．（2020·江蘇蘇州·九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，且AC=（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度數(shù)；（2）∠ABD的平分線交CD于點F，求證：BC＝CF．14．（2020·江蘇蘇州·九年級期中）如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABDC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，AD為它的對角線．求證：AD＝BD+CD．15．（2020·江蘇·海安市海陵中學九年級期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，且CD平分∠ACB，點E在CA延長線上．（1）若∠ABC＝55°，求∠EAD的度數(shù)；（2）若AD＝52，BC＝6，求AC16．（2021·江蘇無錫·九年級期中）如圖，⊙O為等邊△ABC的外接圓，半徑為2，點D在劣弧上運動（不與點A，B重合），連接DA，DB，DC．（1）求證：DC是∠ADB的平分線；（2）設四邊形ADBC的面積為S，線段DC的長為x，試用含x的代數(shù)式表示S；（3）若點M，N分別在線段CA，CB上運動（不含端點），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點D運動到每一個確定的位置，△DMN的周長有最小值t，隨著點D的運動，t的值會發(fā)生變化，求所有t值中的最大值．17．（2019·江蘇南通·九年級期中）已知P是⊙O上一點，過點P作不過圓心的弦PQ，在劣弧PQ和優(yōu)弧PQ上分別有動點A、B(不與P，Q重合)，連接AP、BP若∠APQ

（1）如圖1，當∠APQ=45°，AP=1，BP（2）如圖2，選接AB，交PQ于點M，點N在線段PM上(不與P、M重合)，連接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直線18．（2019·江蘇揚州·九年級期中）如圖，BC是半⊙O的直徑，點P是半圓弧的中點，點A是弧BP的中點，AD⊥BC于D，連結AB、PB、AC，BP分別與AD、AC相交于點E、F．（1）求證：AE=BE；（2）判斷BE與EF是否相等嗎，并說明理由；（3）小李通過操作發(fā)現(xiàn)CF=2AB，請問小李的發(fā)現(xiàn)是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請寫出CF與AB正確的關系式．19．（2020·江蘇·南師附中宿遷分校九年級期中）已知：如圖（1），在⊙O中，直徑AB=4,CD=2，直線AD,BC相交于點E．（1）∠E的度數(shù)為___________；（2）如圖（2），AB與CD交于點F，請補全圖形并求∠E的度數(shù)；（3）如圖（3），弦AB與弦CD不相交，求∠AEC的度數(shù)．20．（2020·江蘇·西附初中九年級期中）如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是⊙O的直徑，連結BD，BC平分∠ABD．（1）求證：∠CAD=∠ABC；（2）若AD=6，求CD的長．21．（2019·江蘇泰州·九年級期中）如圖，是一塊含30°（即∠CAB＝30°）角的三角板和一個量角器拼在一起，三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN恰好重合，其量角器最外緣的讀數(shù)是從N點開始（即N點的讀數(shù)為0°），現(xiàn)有射線CP繞點C從CA的位置開始按順時針方向以每秒2度的速度旋轉(zhuǎn)到CB位置，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．（1）當旋轉(zhuǎn)7.5秒時，連接BE，試說明：BE＝CE；（2）填空：①當射線CP經(jīng)過△ABC的外心時，點E處的讀數(shù)是．②當射線CP經(jīng)過△ABC的內(nèi)心時，點E處的讀數(shù)是；③設旋轉(zhuǎn)x秒后，E點出的讀數(shù)為y度，則y與x的函數(shù)式是y＝．22．（2019·江蘇·泰州中學附屬初中九年級期中）水平地面上有一個圓形水池，直徑AB長為6m，長為3m的一旗桿AC垂直于地面（AC與地面上所有直線都垂直）．（1）若P為弧AB的中點，試說明∠BPC=90°（2）若P弧AB為上任意一點（不與A、B重合），∠BPC=90°還成立嗎，為什么？（3）弧AB上是否存在點P使△PAB與△PAC相似，若存在求PBPA23．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期中）在⊙O中，弦CD與直徑AB相交于點P．(1)若∠ABC=62°，∠APC=100°，則∠BAD=；∠CDB=；(2)若AD的度數(shù)為m度、BC的度數(shù)為n度，猜想：∠APD的度數(shù)與m、n之間的數(shù)量關系，并證明你的結論24．（2021·江蘇·海安市南莫中學九年級期中）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1.對于點A和線段BC，給出如下定義：若將線段BC繞點A旋轉(zhuǎn)可以得到⊙O的弦B'C'（B'，C'分別是B，C的對應點），則稱線段BC是⊙O的以點A為中心的“關聯(lián)線段”．（1）如圖，點A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的橫、縱坐標都是整數(shù)．在線段B1C1（2）△ABC是邊長為1的等邊三角形，點A0,t，其中t≠0．若BC是⊙O的以點A為中心的“關聯(lián)線段”，求t（3）在△ABC中，AB=1，AC=2．若BC是⊙O的以點A為中心的“關聯(lián)線段”，直接寫出OA的最小值和最大值．25．（2021·江蘇·連云港市新海實驗中學九年級期中）如圖，已知圓O上依次有A、B、C、D四個點，AD=BC，連接AB、AD、BD，弦AB不經(jīng)過圓心O，延長AB到E，使BE＝AB，連接EC，F(xiàn)是EC的中點，連接（1）若BD＝5，求BF的長；（2）設G是BD的中點，探索：在圓O上是否存在一點P（不同于點B），使得PG＝PF？并說明PB與AE的位置關系．26．（2021·江蘇南京·九年級期中）AB、CD是⊙O中的兩條等弦．（1）如圖①，點A與點C重合，求證：圓心O在∠BAD的平分線上；（2）如圖②，用直尺和圓規(guī)作弦CD⊥AB（保留作圖痕跡，不寫作法）；（3）若⊙O的半徑為2，AB=m，記弦AB、CD所在的直線交點為P，且兩直線夾角為60°．直接寫出點P與⊙O的位置關系及相應的m的取值范圍．27．（2020·江蘇蘇州·九年級期中）在同一個圓中兩條互相垂直且相等的弦定義為等垂弦，兩條弦所在直線的交點為等垂弦的分割點．如圖①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足為E，則AB、CD是等垂弦，E為等垂弦AB、CD的分割點．（1）如圖②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分別交⊙O于點C、D，連接CD．求證：AB、CD是⊙O的等垂弦．（2）在⊙O中，⊙O的半徑為5，E為等垂弦AB、CD的分割點，BEAE（3）AB、CD是⊙O的兩條弦，CD＝1228．（2020·江蘇·鹽城市初級中學九年級期中）[閱讀材料]如圖1所示，對于平面內(nèi)⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中點M，我們把弦AB的中點M到某點或某直線的距離叫做弦AB到這點或者這條直線的“密距”例如：圖1中線段MO的長度即為弦AB到原點O的“密距”，過點M作y軸的垂線交y軸于點N線段MN的長度即為弦AB到y(tǒng)軸的“密距”．[類比應用]已知⊙P的圓心為P（0，4），半徑為2，弦AB的長度為2，弦AB的中點為M．（1）當AB//y軸時，如圖2所示，圓心P到弦AB的中點M的距離是____，此時弦AB到原點O的“密距”是；（2）①如果弦AB在⊙P上運動，在運動過程中，圓心P到弦AB的中點M的距離變化嗎?若不變化，請求出PM的長，若變化，請說明理由．②直接寫出弦AB到原點O的“密距”d的取值范圍；[拓展應用]如圖3所示，已知⊙P的圓心為P（0，4），半徑為2,點A（0，2），點B為⊙P上白一動點，有直線y=-x-3，弦AB到直線y=-x-3的“密距”的最大值是．（直接寫出答案）29．（2020·江蘇南通·九年級期中）（1）如圖1，四邊形ABQP內(nèi)接于⊙O，AP=BQ．求證PQ//（2）在△ABC中，AB=AC，點A在以BC為直徑的半圓內(nèi)，請你用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡），①在圖2中，作弦EF，使EF//②在圖3中，以BC為邊作一個45°的圓周角．30．（2020·江蘇宿遷·九年級期中）如圖1，AB是⊙O的一條弦，點C是AmB上一點．（1）若∠ACB=30°，AB=4．求⊙O的半徑．（2）如圖2，若點P是⊙O外一點．點P、點C在弦AB的同側(cè)．連接PA、PB．比較∠APB與∠ACB的大小關系，并說明理由．（3）如圖3．設點G為AC的中點，在AmB上取一點D．使得AD=2022-2023學年九年級數(shù)學上學期復習備考高分秘籍【蘇科版】專題2.5圓的有關性質(zhì)大題專練（培優(yōu)強化30題）一、解答題1．（2021·江蘇揚州·九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，點P為AB的中點，E為BC上一動點，過P點作FP⊥PE交AC于F點，經(jīng)過P、E、F三點確定⊙O．(1)試說明：點C也一定在⊙O上．(2)點E在運動過程中，∠PFE的度數(shù)是否變化？若不變，求出∠PFE的度數(shù)；若變化，說明理由．(3)求線段EF的取值范圍，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)∠PFE的度數(shù)不變，是45°(3)42≤EF【分析】（1）先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，先證得EF是直徑，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，證得點C在圓上即可；（2）根據(jù)線段的垂直平分線的判定，可證得PE=PF，得到∠PCB=45°，進而根據(jù)∠PCB=45°以及等弧所對的圓周角相等即可解決問題；（3）根據(jù)E點的移動，可知當E與C重合時，EF最長，而當EF為△ABC的中位線時，EF最短，即可求出線段EF的取值范圍.(1)如圖，連接OP,OC，∵FP⊥PE，∴∠FPE=90°，∴EF為直徑，∴OP=OE=OF，∵∠C=90°，∴OC=OE=OF，∴點C在⊙O上，(2)連接PC∵AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵點P是AB的中點，∴CP平分∠ACB，∴∠ACP=45°，∵EP=∴∠BCP=∠PFE=45°，由于∠BCP的度數(shù)不變，∴∠PFE的度數(shù)不會發(fā)生變化,為45°．(3)當E與C重合時，EF最長，此時EF=AC=8；當EF為△ABC的中位線時，EF最短，根據(jù)勾股定理可得AB=82，根據(jù)三角形的中位線可得EF=42，所以42≤EF【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是90度，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，同弧所對的圓心角相等，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上定理是解題的關鍵．2．（2021·江蘇·淮安市洪澤實驗中學九年級期中）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠DAE是四邊形ABCD的一個外角，∠DAE＝∠DAC．DB與DC相等嗎？為什么？【答案】相等，理由見解析．【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠DAE=∠DCB，再根據(jù)圓周角定理可得∠DAC=∠DBC，然后根據(jù)等量代換可得∠DCB=∠DBC，最后根據(jù)等腰三角形的判定即可得出結論．【詳解】解：DB=DC，理由如下：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠DAE是四邊形ABCD的一個外角，∴∠DAE=∠DCB，由圓周角定理得：∠DAC=∠DBC，∵∠DAE=∠DAC，∴∠DCB=∠DBC，∴DB=DC．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理等知識點，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題關鍵．3．（2021·江蘇·無錫市江南中學九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點M在⊙O上，MD經(jīng)過圓心O，連接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半徑；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度數(shù)．【答案】（1）10；（2）30°【分析】（1）先根據(jù)CD=16，BE=4，設OB=x，則OD=x,得出OE的長，再利用勾股定理列方程，解方程即可；（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，結合直角三角形兩銳角互余可以求得結果；【詳解】解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，設OB=x，則OD=x,又∵BE=4，∴OE=x?4,∵OD∴x解得：x=10，∴⊙O的半徑是10．（2）∵∠M=12∠BOD∴∠D=1∵AB⊥CD，∴∠D+∠BOD=3∠D=90°,∴∠D=30°．【點睛】本題考查了的是垂徑定理，圓周角定理，勾股定理的應用，直角三角形的兩銳角互余，掌握“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧”是解題的關鍵．4．（2021·江蘇南京·九年級期中）請用無刻度直尺按要求畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．（用虛線表示畫圖過程，實線表示畫圖結果）（1）如圖1，在正方形網(wǎng)格中，有一圓經(jīng)過了兩個小正方形的頂點A，B，請畫出這個圓的一條直徑；（2）如圖2，BA，BD是⊙O中的兩條弦，C是BD上一點，∠BAC＝50°，在圖中畫一個含有50°角的直角三角形．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得，AB的垂直平分線過圓心，連接AB，利用網(wǎng)格找到相應的格點，作出弦AB的垂直平分線即可；（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，即可畫出一個含有50°角的直角三角形．【詳解】解：（1）如圖1，線段EF即為所求；（2）如圖2，Rt△BEF即為所求．【點睛】本題考查作圖，應用與設計，垂徑定理、圓周角定理，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．5．（2021·江蘇常州·九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，E是⊙O上一點．（1）請用圓規(guī)和直尺畫BE的垂直平分線交⊙O于點C，點C位于AB上方（不寫作法保留作圖痕跡）（2）設EA和BC的延長線相交于點D，試說明∠BCE＝2∠BDE．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）分別以E、B為圓心，大于12BE為半徑，畫圓弧交于兩點，進而即可作出BE的中垂線交⊙O于點C（2）先推出DE∥CF，從而可得∠BDE=∠BCF，結合等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：（1）如圖所示：（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵CF是BE的垂直平分線，∴∠CFB=90°，CE=CB，∴DE∥CF，∴∠BDE=∠BCF，又∵∠BCF=∠ECF，∴∠BCE＝2∠BDE．【點睛】本題主要考查尺規(guī)作圖和圓周角定理的推論，熟練掌握尺規(guī)作垂直平分線的基本步驟是解題的關鍵．6．（2021·江蘇南京·九年級期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，BD＝BC，BA、CD延長線交于點E．（1）求證：∠EAD＝∠BAC；（2）若AB的度數(shù)為64°，則∠E的度數(shù)為°．【答案】（1）見解析；（2）32【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BAD+∠BCD＝180°，進而得到∠EAD＝∠BCD，再根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)證明即可；（2）先求出∠ACB＝32°，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得出∠EDA＝∠ABC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算得出∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，求出∠E．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，由圓周角定理得：∠BAC＝∠BDC=∠BCD，∴∠EAD＝∠BAC；（2）解：∵AB的度數(shù)為64°，∴∠ACB＝32°，∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠EDA＝∠ABC，∵∠EAD＝∠BAC，∴∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，∴∠E＝∠ACB＝32°，故答案為：32．【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和是解題關鍵．7．（2021·江蘇南京·九年級期中）如圖，⊙O經(jīng)過菱形ABCD的B，D兩頂點，分別交AB，BC，CD，AD于點E，F(xiàn)，G，H．（1）求證AE＝AH；（2）連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，若BD是⊙O的直徑，求證：四邊形EFGH是矩形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連接DE、BH，根據(jù)菱形的性質(zhì)，證明△ADE≌△ABH即可；（2）連接DE，DF，根據(jù)圓的性質(zhì)，證明△ADE≌△CDF和△AEH≌△CFG，后運用有一個角是直角的平行四邊形是矩形完成證明．【詳解】（1）證明：連接DE、BH，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD．∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABH，∴△ADE≌△ABH．

∵AE＝AH．

（2）連接DE，DF．

∵BD是⊙O的直徑，∴∠BED＝∠BFD＝90°．∴∠AED＝∠CFD＝90°．∵AD＝CD，∠A＝∠C，∴△ADE≌△CDF．∴AE＝CF∵用（1）中同樣的方法可證CF＝CG∴AH＝CG．∴△AEH≌△CFG．∴EH＝FG．∴∠AHE＝∠AEH＝90°－12∠A，∠ADB＝∠ABD＝90°－12∠∴∠AHE＝∠ADB∴EH∥BD同理可證FG∥BD，∴EH∥FG∴四邊形EFGH是平行四邊形．∴∠FEH＝∠FGH．又∵四邊形EFGH是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠FEH＋∠FGH＝180°，

∴∠FEH＝90°，∴四邊形EFGH是矩形．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，熟練菱形的性質(zhì)，矩形的判定是解題的關鍵．8．（2021·江蘇無錫·九年級期中）如圖1，在RtΔABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，以AB為直徑畫⊙O交AC于點D，E是線段AB上的動點，延長DE交⊙O于F點，連接AF．（1）如圖1，求∠F的度數(shù)：（2）如圖2，當AE＝AD時，求∠DFO的度數(shù)．【答案】（1）40°；（2）15°【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)先求出∠BAC，連接DO，求出∠AOD，再根據(jù)圓周角的性質(zhì)求出∠F；（2）連接DO，同（1）先求出∠AFD，根據(jù)AE=AD得到∠AED=65°，故可求出∠FAO=25°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠AFO，故可得到∠DFO的度數(shù)．【詳解】（1）∵∠B＝90°，∠C＝40°∴∠BAC=50°，連接DO，∵AO=DO∴∠ADO=∠BAC=50°，∴∠AOD=180°-∠ADO-∠BAC=80°∴∠F=12∠AOD（2）連接DO，同（1）先求出∠BAC=50°，∠AFD=40°∵AE=AD∴∠AED=12∴∠FAO=∠AED-∠AFD=25°，又AO=FO∴∠AFO=∠FAO=25°，∴∠DFO=∠AFD-∠AFO=15°．【點睛】此題主要考查圓內(nèi)角度求解，解題的關鍵是熟知圓周角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和外角定理的運用．9．（2021·江蘇南京·九年級期中）如圖，點A在⊙O上，用無刻度的直尺在⊙O上畫出B、C兩點，滿足下列要求：（1）在圖①中，使得△ABC為直角三角形；（2）在圖②中，使得△ABC為等腰三角形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是90°即可作圖；（2）根據(jù)三角形垂心的性質(zhì)和垂徑定理即可作圖．【詳解】（1）如圖①即為所求；（2）如圖②即為所求．【點睛】此題主要考查根據(jù)圓的性質(zhì)作圖，解題的關鍵是熟知直徑所對的圓周角是直角．10．（2021·江蘇南京·九年級期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分別是E、F．（1）直接寫出OF與CD的數(shù)量關系，并證明你的結論．（2）若AB=2，CD=1．求⊙O的半徑．【答案】（1）OF=12CD，證明見解析；（2）⊙【分析】（1）連接AO并延長交⊙O于點G，連接CB、BG，根據(jù)點OF分別是AGAB中點，得到OF是△ABG的中位線，則有OF=12BG，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠AGB=∠ECB，直徑所對的圓周角是直角可得∠ABG=90°，則有∠BAG+∠AGB=90°，根據(jù)AC⊥BD，∠ECB+∠EBC=90°，從而可得∠BAG=∠EBC，BG=CD（2）在Rt△AOF中，根據(jù)勾股定理可求得⊙O的半徑．【詳解】解：（1）OF=1連接AO并延長交⊙O于點G，連接CB、BG，∵OF⊥AB，∴AF=BF，∵AO=GO，∴OF是△ABG的中位線，∴OF=1∵AG是⊙O的直徑，∴∠ABG=90°，∴∠BAG+∠AGB=90°，∵AC⊥BD，∴∠CEB=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°，∵∠AGB=∠ECB，∴∠BAG=∠EBC，即∠BAG=∠EBC，∴BG=CD，∴OF=1（2）由（1）得：OF=12CD=在Rt△AOF中，OA=A∴⊙O的半徑為52【點睛】本題考查了三角形中位線定理，圓周角定理，圓周角、弧、弦之間的關系，解題的關鍵是能夠作輔助線構造以OF為中位線的三角形．11．（2021·江蘇省錫山高級中學實驗學校九年級期中）如圖所示，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點C、D，連結AD．（1）若∠AOD＝54°，求∠BAD的度數(shù)；（2）若AB＝25，ED＝1，求OA【答案】（1）∠BAD的度數(shù)為27°；（2）OA的長為3．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得AD=（2）設半徑是r，根據(jù)垂徑定理即可求出AE，根據(jù)勾股定理列出方程即可求出r，從而求出結論．【詳解】解：（1）∵OD⊥AB，∴AD=∴∠DOB=∠AOD=54°，∴∠BAD=12∴∠BAD的度數(shù)為27°；（2）設半徑是r，則OE=OD?ED=r?1，∵OD⊥AB，OD為半徑，∴AE=1在直角△AOE中，OE則r?12解得r=3，∴OA的長為3．【點睛】此題考查的是垂徑定理和勾股定理，圓周角定理，掌握圓周角定理，垂徑定理和勾股定理會聯(lián)合應用是解題關鍵．12．（2020·江蘇南京·九年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，⊙O經(jīng)過點A、C、D，分別交邊AB、BC于點E、F，連接DE、DF，且DE＝DF．（1）求證：AB//CD；（2）連接AF，求證：AB＝AF．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）借助弦相等對應的弧相等，弧相等所對的圓周角得到∠A＝∠C，進而AB∥CD；（2）連接AF，，由（1）知四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠B＝∠AFB，故AB＝AF．【詳解】解：（1）∵AD//BC，∴∠A+∠B＝180°，∵DE＝DF，∴DAE=∴DAE+∴DAF=∴∠A＝∠C，∴∠B+∠C＝180°，∴AB//CD；（2）連接AF，∵AB//CD，AD//BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D，∵四邊形AFCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠AFC+∠D＝180°，∵∠AFC+∠AFB＝180°，∴∠AFB＝∠D＝∠B，∴AB＝AF．【點睛】本題主要考查圓周角定理，解題關鍵是熟練掌握在同圓或者等圓中，有兩條弦、兩條弧、兩個圓周角，其中有一組量相等，其它的量全部相等．13．（2020·江蘇蘇州·九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，且AC=（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度數(shù)；（2）∠ABD的平分線交CD于點F，求證：BC＝CF．【答案】（1）∠BEC＝110°；（2）證明見解析．【分析】（1）連接AC，求出∠A＝∠ABC＝45°，由三角形外角的性質(zhì)可得出答案；（2）由角平分線的定義得出∠EBF＝∠DBF，由圓周角定理得出∠ABC＝∠CDB，證得∠CBF＝∠CFB，則可得出結論【詳解】解：（1）連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC=∴∠A＝∠ABC＝45°，∵∠AOD＝130°，∴∠ACD＝65°，∵∠BEC是△ACE的外角，∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．（2）證明：∵BF平分∠ABD，∴∠EBF＝∠DBF，∵AC=∴∠ABC＝∠CDB，又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBF＝∠CFB，∴CF＝BC．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．14．（2020·江蘇蘇州·九年級期中）如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABDC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，AD為它的對角線．求證：AD＝BD+CD．【答案】見解析．【分析】連接BC，證明∠ADB＝∠ADC＝60°，在AD上取點E、F，使DE＝DB、DF＝DC，連接BE、CF，證明△BDE、△CDF為正三角形，再證明∠AEB＝∠CFA＝120°，∠EAB＝∠FCA，證明△ABE≌△CAF，可得AE＝CF，從而可得結論．【詳解】解：連接BC，∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AC∴∠ADC＝∠ABC=60°,∠ADB＝∠ACB=60°,在AD上取點E、F，使DE＝DB、DF＝DC，連接BE、CF，∴△BDE、△CDF為等邊三角形，∴∠DEB＝∠DFC＝60°，DE=BD,CF=DC,∴∠AEB＝∠CFA＝120°，又∠FAC+∠FCA＝∠DFC＝60°、∠FAC+∠EAB＝∠BAC＝60°，∴∠EAB＝∠FCA，在△ABE和△CAF中，∵{∠EAB=∠FCA∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，∴AD＝DE+AE＝BD+FC＝BD+CD．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，掌握以上知識是解題的關鍵．15．（2020·江蘇·海安市海陵中學九年級期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，且CD平分∠ACB，點E在CA延長線上．（1）若∠ABC＝55°，求∠EAD的度數(shù)；（2）若AD＝52，BC＝6，求AC【答案】(1)100°；(2)8【分析】(1)由AB是直徑得到∠ACB=90°，由CD平分∠ACB得到∠DCB=45°，由同弧所對的圓周角相等得到∠BAD=∠DCB=45°，由∠ABC=55°得到∠CAB=35°，由此即可求出∠EAD；(2)由CD平分∠ACB得到劣弧AD等于劣弧BD，進而得到AD=BD=52【詳解】解：(1)∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=45°，∴∠BAD=∠DCB=45°，∵∠ABC=55°，∴∠CAB=90°-∠ABC=90°-55°=35°，∴∠EAD=180°-∠CAB-∠BAD=180°-35°-45°=100°，故答案為：100°；(2)∵CD平分∠ACB，∴劣弧AD=劣弧BD，即AD=BD=52∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，由勾股定理可得：AB在Rt△ACB中，由勾股定理可得：AC=A故答案為：8．【點睛】本題考查了圓周角定理及其推論，勾股定理等相關知識點，熟練掌握圓周角定理是解決本題的關鍵．16．（2021·江蘇無錫·九年級期中）如圖，⊙O為等邊△ABC的外接圓，半徑為2，點D在劣弧上運動（不與點A，B重合），連接DA，DB，DC．（1）求證：DC是∠ADB的平分線；（2）設四邊形ADBC的面積為S，線段DC的長為x，試用含x的代數(shù)式表示S；（3）若點M，N分別在線段CA，CB上運動（不含端點），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點D運動到每一個確定的位置，△DMN的周長有最小值t，隨著點D的運動，t的值會發(fā)生變化，求所有t值中的最大值．【答案】（1）見解析；（2）S=3【分析】（1）用同弧所對圓周角相等證即可，（2）如圖所示，延長DA到點E，使EA=DB，由△ABC為等邊三角形，推得∠EAC==∠DBC證△DBC≌△EAC（SAS）得出S四邊形ADBC=S△DEC，可證△DEC為等邊三角形S=1再限定范圍，（3）分別作點D關于BC，AC的對稱點D1，D2，要使△DMN周長最小，則當D1、M、N、D2共線時取最小值，則△DMN周長的最小值為D1D2的長，即t=D1D2,有對稱知△CD1D2,為底角是30o，則D2H=D1H=CD2×cos30o，則D1D2=3x，給出23<x≤4即可．【詳解】（1）證明△ABC是等邊三角形，∠BAC=∠ABC=60o，BC弧所對圓周角相等，∠BDC=∠BAC=60o，AC弧所對圓周角相等，∠ADC=∠ABC=60o，∠BDC=∠ADC，AD平分∠ADB，（2）如圖所示，延長DA到點E，使EA=DB，∴△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=60o，AC=BC，∴∠ADC=∠BDC=∠BAC=60o，在△ADB中，∠DAB+∠DBA=180o-∠ADC-∠BDC=60o，則∠EAC=180o-∠BAC-∠DAB=180o-60o-(60o-∠DAB)=60o+∠DBA=∠DBC，在△DBC和△EAC中，因為DB=EA，∠DBC=∠EAC，BC=AC，△DBC≌△EAC（SAS），∴S四邊形ADBC=S△DEC，DC=EC，∠ADC=60o，△DEC為等邊三角形，S=12⊙O為等邊△ABC的外接圓，半徑為2，邊長為2×2×cos30o=23，則23<x≤4，S=34（3）如圖所示，分別作點D關于BC，AC的對稱點D1，D，要使△DMN周長最小，則當D1、M、N、D2共線時取最小值，連結D1，D2與BC的交點N，與AC的交點M，DM=D2M，DN=D1N，則△DMN周長的最小值為D1D2的長，即t=D1D2，過點C作CH⊥D1D2，由對稱性DC=D1C=D2C=x，∠DCB=∠D1CB，∠DCA=∠D2CA，因為∠ACB=60o，則∠D1CD2=∠D1CB+∠DCB+∠DCA+∠D2CA=2∠BCA=120o，由因為D1C=D2C，所以∠CD2D1=∠CD1D2=30o，則D2H=D1H=CD2×cos30o=32則D1D2=3x，因為23<x≤4，所以t的最大值為43．【點睛】本題考查圓中的計算問題，全等三角形的判定以及三角函數(shù)，會利用用同弧所對圓周角來證角相等，掌握三角形的證明方法，會用等邊三角形△ABC，推得∠EAC==∠DBC條件，來證△DBC≌△EAC（SAS）得出S四邊形ADBC=S△DEC，會證△DEC為等邊三角形，利用面積公式求S，會限定范圍，會利用對稱性確定△DMN周長最小，當D1、M、N、D2共線時，會求△DMN周長的最小值為D1D2的長，由對稱推得△CD1D2,為底角是30o，會用三角函數(shù)求D2H=D1H是關鍵．17．（2019·江蘇南通·九年級期中）已知P是⊙O上一點，過點P作不過圓心的弦PQ，在劣弧PQ和優(yōu)弧PQ上分別有動點A、B(不與P，Q重合)，連接AP、BP若∠APQ

（1）如圖1，當∠APQ=45°，AP=1，BP（2）如圖2，選接AB，交PQ于點M，點N在線段PM上(不與P、M重合)，連接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直線【答案】（1）☉O的半徑是32；（2）A【分析】(1)連接AB，根據(jù)題意可AB為直徑，再用勾股定理即可．(2)連接OA，OB，OQ，根據(jù)圓周角定理可得∠AOQOC⊥AB，延長PO交☉0于點R，則有2∠OPN=∠QOR【詳解】解：（1）連接AB，在☉o中，∵∠APQ∴∠∴AB是☉∴在RtΔ∴AB=3∴☉0的半徑是32（2）AB//ON證明：連接OA，OB，OQ，在☉0中，∵AQ=AQ∴∠AOQ又∵∠APQ∴∠AOQ在ΔAOB中，OA=OB∴OC⊥連接OQ，交AB于點C在☉0中，OP∴∠延長PO交☉0于點R，則有2∠∴∠NOP又:∠NOP∴∠NOQ∴∠NOQ∴【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，是一道綜合題，靈活運用相關知識是解題的關鍵．18．（2019·江蘇揚州·九年級期中）如圖，BC是半⊙O的直徑，點P是半圓弧的中點，點A是弧BP的中點，AD⊥BC于D，連結AB、PB、AC，BP分別與AD、AC相交于點E、F．（1）求證：AE=BE；（2）判斷BE與EF是否相等嗎，并說明理由；（3）小李通過操作發(fā)現(xiàn)CF=2AB，請問小李的發(fā)現(xiàn)是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請寫出CF與AB正確的關系式．【答案】（1）見解析；（2）BE=EF，理由見解析；（3）小李的發(fā)現(xiàn)是正確的，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接AP，由BC是半⊙O的直徑，AD⊥BC于D，得到∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠ACB=∠BAD，根據(jù)圓周角定理得到∠P=∠ACB=∠ABP，即可求出結論；（2）根據(jù)圓周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案．【詳解】（1）如圖1，連接AP，∵BC是半⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=90°，∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ACB=∠BAD，∵點A是弧BP的中點，∴∠P=∠ACB=∠ABP，∴∠ABE=∠BAE，∴AE=BE；（2）BE=EF，理由是：∵BC是直徑，AD⊥BC，∴∠BAC=∠ADC=90°，∴∠BAD=∠ACB，∵A為弧BP中點，∴∠ABP=∠ACB，∴∠BAD=∠ABP，∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，∴EF=AE，∴BE=EF；（3）小李的發(fā)現(xiàn)是正確的，理由是：如圖2，延長BA、CP，兩線交于G，∵P為半圓弧的中點，A是弧BP的中點，∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，在△PCF和△PBG中，∠PCF＝∠PBGPC＝BP∴△PCF≌△PBG（ASA），∴CF=BG，∵BC為直徑，∴∠BAC=90°，∵A為弧BP中點，∴∠GCA=∠BCA，在△BAC和△GAC中，∠CAB＝∠CAGAC＝AC∴△BAC≌△GAC（ASA），∴AG=AB=12∴CF=2AB．【點睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．19．（2020·江蘇·南師附中宿遷分校九年級期中）已知：如圖（1），在⊙O中，直徑AB=4,CD=2，直線AD,BC相交于點E．（1）∠E的度數(shù)為___________；（2）如圖（2），AB與CD交于點F，請補全圖形并求∠E的度數(shù)；（3）如圖（3），弦AB與弦CD不相交，求∠AEC的度數(shù)．【答案】（1）60°；（2）見解析，60°；（3）60°【分析】（1）連結OD，OC，BD，根據(jù)已知得到△DOC為等邊三角形，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，求出∠E的度數(shù)；（2）同理解答（2）（3）．【詳解】（1）如圖（1），連接OD,OC,BD．∵OD=OC=CD=2,∴△DOC為等邊三角形，∴∠DOC=60°,∴∠DBC=30°．∵AB（2）如圖（2），直線AD,CB交于點E，連接OD,OC,AC．∵OD=OC=CD=2,∴△DOC為等邊三角形，∴∠DOC=60°,∴∠DAC=30°．∵AB為直徑，∴∠ACB=∠ADB=（3）如圖（3），連接OD,OC．∵OD=OC=CD=2，∴△DOC為等邊三角形，∴∠DOC=60°,∴∠CBD=30°，∵AB【點睛】本題考查的是圓周角定理及其推論、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是正確作出輔助線，構造直角三角形，利用直徑所對的圓周角是直角進行解答．20．（2020·江蘇·西附初中九年級期中）如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是⊙O的直徑，連結BD，BC平分∠ABD．（1）求證：∠CAD=∠ABC；（2）若AD=6，求CD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）32【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)結合圓周角定理即可證明；（2）可證得CD=AC，則CD的長為圓周長的14【詳解】（1）證明：∵BC平分∠ABD，∴∠DBC=∠ABC，∵∠CAD=∠DBC，∴∠CAD=∠ABC；（2）解：∵∠CAD=∠ABC，∴CD=AC，∵AD是⊙O的直徑，且AD=6，∴CD的長=14×π×6=3【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及圓周角定理，證得CD=AC是解(2)題的關鍵．21．（2019·江蘇泰州·九年級期中）如圖，是一塊含30°（即∠CAB＝30°）角的三角板和一個量角器拼在一起，三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN恰好重合，其量角器最外緣的讀數(shù)是從N點開始（即N點的讀數(shù)為0°），現(xiàn)有射線CP繞點C從CA的位置開始按順時針方向以每秒2度的速度旋轉(zhuǎn)到CB位置，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．（1）當旋轉(zhuǎn)7.5秒時，連接BE，試說明：BE＝CE；（2）填空：①當射線CP經(jīng)過△ABC的外心時，點E處的讀數(shù)是．②當射線CP經(jīng)過△ABC的內(nèi)心時，點E處的讀數(shù)是；③設旋轉(zhuǎn)x秒后，E點出的讀數(shù)為y度，則y與x的函數(shù)式是y＝．【答案】（1）見解析；（2）①120°；②90°；③y＝180﹣4x【分析】（1）由于是每次都旋轉(zhuǎn)2°且CP的旋轉(zhuǎn)決定著∠ACE和∠ABE，且二者都是從0°開始的，所以：∠ACE＝∠ABE，只要證明：∠CBE＝∠BCE即可證明BE＝CE；（2）①當射線CP經(jīng)過△ABC的外心時，CP經(jīng)過AB的中心且此時有：CO＝AO，可以得出∠OCA＝∠CAB＝30°，即可求出點E處的度數(shù)；②當射線CP經(jīng)過△ABC的內(nèi)心時，內(nèi)心到三邊的距離相等，即CP為∠ACB的角平分線，所以有∠ABE＝∠ACE＝45°，即可求出點E處的度數(shù)；③由于每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)一樣，所以旋轉(zhuǎn)x秒后，∠BCE的度數(shù)為90°﹣2x，從而得出∠BOE的度數(shù)，也即可得出y與x的函數(shù)式．【詳解】（1）證明：連接BE，如圖所示：∵射線CP繞點C從CA的位置開始按順時針方向以每秒2度的速度旋轉(zhuǎn)∴當旋轉(zhuǎn)7.5秒時，∠ACE＝7.5×2°＝∠ABE＝15°又∵∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，∠ACB＝90°∴∠CBE＝75°，∠BCE＝90°﹣15°＝75°，即：∠CBE＝∠BCE＝75°∴BE＝CE．（2）解：①當射線CP經(jīng)過△ABC的外心時，CP經(jīng)過AB的中點且此時有：CO＝AO；∴∠OCA＝∠CAB＝30°，∠AOE＝60°∴點E處的讀數(shù)是120°．②當射線CP經(jīng)過△ABC的內(nèi)心時，即CP為∠ACB的角平分線，圓周角∠BCE＝12∴點E處的讀數(shù)是90°．③旋轉(zhuǎn)x秒后，∠BCE的度數(shù)為90﹣2x，∠BOE的度數(shù)為180°﹣4x，故可得y與x的函數(shù)式為：y＝180°﹣4x．【點睛】解答一次函數(shù)的應用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義，且由每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)相等，由圖得出相等的角，并掌握量角器的用法和對含有30°三角板的運用．22．（2019·江蘇·泰州中學附屬初中九年級期中）水平地面上有一個圓形水池，直徑AB長為6m，長為3m的一旗桿AC垂直于地面（AC與地面上所有直線都垂直）．（1）若P為弧AB的中點，試說明∠BPC=90°（2）若P弧AB為上任意一點（不與A、B重合），∠BPC=90°還成立嗎，為什么？（3）弧AB上是否存在點P使△PAB與△PAC相似，若存在求PBPA【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）存在，1111或【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠APB＝90°,根據(jù)線面垂直定理可得PB⊥面PAC，繼而求證；（2）成立，根據(jù)圓周角定理可得∠APB＝90°,根據(jù)線面垂直定理可得PB⊥面PAC，繼而得出結論；（3）分兩種情況討論，當△PAB∽△APC時，PAAP=PBAC，進而求出PB的長，根據(jù)勾股定理，求出PA的長，即可求PBPA由勾股定理可得：PA2+P【詳解】（1）∵AB是⊙O的直徑∴∠APB＝90°∴BP⊥AP∵CA⊥面APB∴CA⊥BP∴BP⊥面PAC∴BP⊥PC∴∠BPC＝90°（2）∠BPC=90°成立．理由：∵AB是⊙O的直徑∴∠APB＝90°∴BP⊥AP∵CA⊥面APB∴CA⊥BP∴BP⊥面PAC∴BP⊥PC∴∠BPC＝90°（3）存在，當△PAB∽△APC時，PAAP∵AC＝3，∴PB3∴PB=3又∵AB＝6，∠APB＝90°，由勾股定理可得：PA=APBPA當△PAB∽△ACP時,PAPB即PA∵PB=∴P∵在Rt△PAB中，AB＝6,由勾股定理可得：P∴3解得：PB＝33或PB＝?4∴P∴PA=3∴PB綜上所述，弧AB上存在點P使△PAB與△PAC相似，PBPA＝1111或【點睛】本題考查立體幾何的綜合題、涉及到圓周角定理、點面垂直的判定及其性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識。23．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期中）在⊙O中，弦CD與直徑AB相交于點P．(1)若∠ABC=62°，∠APC=100°，則∠BAD=；∠CDB=；(2)若AD的度數(shù)為m度、BC的度數(shù)為n度，猜想：∠APD的度數(shù)與m、n之間的數(shù)量關系，并證明你的結論【答案】(1)∠BAD=38°(2)∠APD=1【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠BCD=38°，再根據(jù)圓周角定理可得∠BAD=38°，然后由直徑所對的圓周角為直角可得∠（2）根據(jù)AD的度數(shù)為m度、BC的度數(shù)為n度，可得∠ABD=(1)解：∵∠ABC=62°，∠APC=100°，∴∠BCD=∠APC-∠ABC=38°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠BAD=38∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°-∠BAD=52°，∵∠BPD=∠APC=100°，∴∠CDB=180°-∠ABD-∠BPD=28°；(2)解：∠APD=1證明：∵AD的度數(shù)為m度、BC的度數(shù)為n度，∴∠ABD=∵∠APD=∠ABD+∠CDB，∴∠APD=1【點睛】本題主要考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角為直角，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，直徑所對的圓周角為直角，三角形外角的性質(zhì)是解題的關鍵．24．（2021·江蘇·海安市南莫中學九年級期中）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1.對于點A和線段BC，給出如下定義：若將線段BC繞點A旋轉(zhuǎn)可以得到⊙O的弦B'C'（B'，C'分別是B，C的對應點），則稱線段BC是⊙O的以點A為中心的“關聯(lián)線段”．（1）如圖，點A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的橫、縱坐標都是整數(shù)．在線段B1C1（2）△ABC是邊長為1的等邊三角形，點A0,t，其中t≠0．若BC是⊙O的以點A為中心的“關聯(lián)線段”，求t（3）在△ABC中，AB=1，AC=2．若BC是⊙O的以點A為中心的“關聯(lián)線段”，直接寫出OA的最小值和最大值．【答案】（1）B2C2；（2）t=3或【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點A到圓上一點的距離范圍及“關聯(lián)線段”的定義來進行判別即可；（2）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，“關聯(lián)線段”的定義以及等邊三角形的性質(zhì)求出B′C′（3）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及“關聯(lián)線段”的定義，求出四邊形AB′O【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB=AB由圖可知點A到圓上一點的距離d的范圍為2?1≤d≤∵AC∴C1∴B1C1不是⊙O∵AC∴C2∴B2C2是⊙O∵AC當B3′在圓上時，則B3由圖可知此時C3∴B3C3不是⊙O故答案為B2（2）設BC繞點A旋轉(zhuǎn)得到⊙O的弦B′C′∵△ABC是邊長為1的等邊三角形，∴根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△AB∵OB∴△OB∵A0,t，且t≠0∴點A與點O不重合，∴B′C′∴AO為B′C′∴t=3或?（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和“關聯(lián)線段”的定義可知：AB′=AB=O利用四邊形的不穩(wěn)定性可知，當A、O、C′在同一直線上時，OA當A、B′、O在同一直線上時，OA此時OA=OB∴綜上所述：OA的最小值為1，最大值為2．【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形及圓的綜合，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形及圓的綜合問題是解題的關鍵．25．（2021·江蘇·連云港市新海實驗中學九年級期中）如圖，已知圓O上依次有A、B、C、D四個點，AD=BC，連接AB、AD、BD，弦AB不經(jīng)過圓心O，延長AB到E，使BE＝AB，連接EC，F(xiàn)是EC的中點，連接（1）若BD＝5，求BF的長；（2）設G是BD的中點，探索：在圓O上是否存在一點P（不同于點B），使得PG＝PF？并說明PB與AE的位置關系．【答案】（1）BF=52；（2）存在一點P（不同于點B），使得PG＝PF，且BP⊥AE【分析】（1）如圖，連接AC，利用三角形中位線定理得出BF=12AC，根據(jù)AD=BC可得DAB=CBA，根據(jù)圓心角定理可得AC=BD，即可得出（2）過點B作BP⊥AE，交⊙O于P，根據(jù)G是BD的中點，結合（1）中結論可得BF=BG，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得BF//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠FBE=∠CAE，根據(jù)圓周角可得∠CAE=∠DBA，即可得出∠FBE=∠DAB，根據(jù)角的和差關系可得∠PBG=∠PBF，利用SAS可證明△PBG≌△PBF，可得PG=PF，即可得答案．【詳解】（1）如圖，連接AC，∵BE＝AB，F(xiàn)是EC的中點，∴BF為△EAC的中位線，∴BF=12AC∵AD=∴AD+AB=∴AC=BD，∵BD＝5，∴BF=12BD=5（2）如圖，過點B作BP⊥AE，交⊙O于P，連接PG、PF，∴∠PBA=∠PBE=90°，∵G是BD的中點，BF=12BD∴BF=BG，∵BF為△EAC的中位線，∴BF//AC，∴∠FBE=∠CAE，∵AD=∴∠CAE=∠DBA，∴∠FBE=∠DAB，∴∠PBA-∠DBA=∠PBE-∠FBE，即∠PBG=∠PBF，在△PBG和△PBF中，BG=BF∠PBG=∠PBF∴△PBG≌△PBF，∴PG=PF，∴存在一點P（不同于點B），使得PG＝PF，且BP⊥AE．【點睛】本題考查圓周角定理、圓心角、弦、弧、弦心距的關系及全等三角形的判定與性質(zhì)，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等；在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等；正確作出輔助線，熟練掌握相等定理及性質(zhì)是解題關鍵．26．（2021·江蘇南京·九年級期中）AB、CD是⊙O中的兩條等弦．（1）如圖①，點A與點C重合，求證：圓心O在∠BAD的平分線上；（2）如圖②，用直尺和圓規(guī)作弦CD⊥AB（保留作圖痕跡，不寫作法）；（3）若⊙O的半徑為2，AB=m，記弦AB、CD所在的直線交點為P，且兩直線夾角為60°．直接寫出點P與⊙O的位置關系及相應的m的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）當點P在圓上時，m=23；點P在圓外時，m<23；點P在圓內(nèi)時，【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得O到AB、CD的距離相等，由角平分線判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，即可知圓心O在∠BAD的平分線上；（2）利用將△AOB順時針（或逆時針）旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，則即得CD⊥AB，作法：過O點作直徑AE的垂線交與圓O相交于兩點，任取一點為C，再在圓上取點D，使CD=AB（取能使CD⊥AB的一點）即可；（3）根據(jù)交點為P與圓位置關系分三種情況：在圓內(nèi)、在圓外、在圓上進行討論即可．【詳解】解：（1）過O點作OE⊥AB，垂足為E，過O點作OF⊥CD，垂足為F，∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，∴OE=OF，∴圓心O在∠BAD的平分線上；（2）如圖2-1，弦CD為所求，（附：如圖2-2，弦CD、弦C′（3）I、當弦AB、CD交于圓內(nèi)時，即：點P在圓內(nèi)時，如圖3-1：∠APD=60°，則弦AB的取值范圍為：0<m≤2r，即：0<m≤4；II、弦AB、CD所在的直線交點P在圓外時，過點O作⊥CD,垂足為E，連接OP，∴DE=1∵∠APC=60°，由（1）可知點O在∠APC的平分線，∴∠OPC=1∴OE=12OP∴PE=3∵DE<PE，∴DE<3∵當OP最小時，PE最小，DE最大，OP最小值大于r，故DE最大小于DE<3∴12m<3III、當點P在圓上時，如圖3-3，由前可知：PE=DE=3∴12m=綜上所述：當點P在圓上時，m=23；點P在圓外時，m<23；點P在圓內(nèi)時，【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)、垂徑定理及點與圓的位置關系，解題（3）關鍵是根據(jù)點與圓位置關系分三種情況進行討論，難度不大，但思維要求全面．27．（2020·江蘇蘇州·九年級期中）在同一個圓中兩條互相垂直且相等的弦定義為等垂弦，兩條弦所在直線的交點為等垂弦的分割點．如圖①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足為E，則AB、CD是等垂弦，E為等垂弦AB、CD的分割點．（1）如圖②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分別交⊙O于點C、D，連接CD．求證：AB、CD是⊙O的等垂弦．（2）在⊙O中，⊙O的半徑為5，E為等垂弦AB、CD的分割點，BEAE（3）AB、CD是⊙O的兩條弦，CD＝12【答案】（1）見解析；（2）25或45；（3）當【分析】（1）連接BC，先證明∠AOB＝∠COD，得到AB＝CD，再證明∠ABC＝∠BCD45°，得到AB⊥CD，問題得證；（2）分點E在⊙O內(nèi)或⊙O外兩類討論，當E在⊙O內(nèi)時，過點O作OH⊥AB，垂足為H，作OG⊥CD，垂足為G，先證明四邊形OHEG是矩形，進而證明是正方形，根據(jù)BEAE=1（3）如圖，當點F在⊙O上時，過點O作OH⊥AB，垂足為H，作OG⊥CD，垂足為G，證明四邊形OHBG是矩形，根據(jù)勾股定理得到r2=m【詳解】證明：（1）如圖②，連接BC，∵OC⊥OA、OD⊥OB，∴∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，∵∠ABC＝12∠AOC＝45°，∠BCD＝1∴∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝90°，即AB⊥CD，∵AB＝CD，AB⊥CD，∴AB、CD是⊙O的等垂弦；（2）如圖，若點E在⊙O內(nèi)，過點O作OH⊥AB，垂足為H，作OG⊥CD，垂足為G，∵AB、CD是⊙O的等垂弦，∴AB＝CD，AB⊥CD，∴四邊形OHEG是矩形，∵OH⊥AB，OG⊥CD，∴AH＝12AB，DG＝1∴AH＝DG，又∵OA＝OD，∴△AHO≌△DGO（HL），∴OH＝OG，∴矩形OHEG為正方形，∴OH＝HE．∵BEAE∴AH＝2BE＝2OH，在Rt△AOH中，AO2＝AH2+OH2．即（2OH）2+OH2＝AO2＝25，解得OH＝5，∴AB＝4HE＝45；若點E在⊙O外，如圖，過點O作OH⊥AB，垂足為H，作OG⊥CD，垂足為G，同理，AH＝5，則AB＝4AH＝45；（3）如圖，當點F在⊙O上時，過點O作OH⊥AB，垂足為H，作OG⊥CD，垂足為G，同理可證四邊形OHBG是矩形，∴BH＝mr2，OH＝BG＝mr∵OB2＝BH2+OH2，∴