專題7.10期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題專項訓(xùn)練（北師大版）

專題7.10期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題專項訓(xùn)練【北師大版】考點1考點1整式的乘除解答期末真題壓軸題1．（2022春·廣東深圳·七年級南山實驗教育麒麟中學(xué)校考期末）如圖①是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖②）．(1)根據(jù)上述過程，寫出a+b2、a?b2、(2)利用（1）中的結(jié)論，若x+y=4，xy=1，則x?y2(3)實際上通過計算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式，如圖③，請你寫出這個等式：______；(4)兩個正方形ABCD，AEFG如圖④擺放，邊長分別為x，y，若x2【答案】(1)(a?b)(2)12(3)3a+b(4)8【分析】（1）圖①的面積是4ab，圖②的面積是a+b（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，代入計算即可求解；（3）將圖形中各部分的面積通過圖形面積計算公式表示出來并等于大長方形的面積即可求解；（4）BE=x?y=2，并計算出x+y=8，分別求出x，y，根據(jù)圖中陰影部分面積和S△DFC【詳解】（1）解：圖2中間部分的面積可以看作從邊長為a+b的正方形面積減去4個長為a，寬為b的長方形面積，即a+b2?4ab，也可以看作是邊長為∴a?b2故答案為：(a?b)2（2）解：∵x+y=4，xy=1，x?y2∴x?y=16?4×1=12，故答案為：12．（3）解：∵大長方形的面積等于4個小長方形的面積加上邊長為a的正方形面積加上邊長為b的正方形面積∴3a+ba+b故答案為：3a+ba+b（4）解：∵x2+y∴x?y=2①，∴x2∴34?2xy=4，∴xy=15，∵x+y2=x∴x+y=8②，①+②得，∴y=3，圖中陰影部分面積和==1【點睛】本題主要考查多項式與多項式的乘法，乘法公式與圖形面積，掌握整式的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·廣東深圳·七年級校聯(lián)考期末）在數(shù)學(xué)中，有許多關(guān)系都是在不經(jīng)意間被發(fā)現(xiàn)的，請認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：(1)如圖1，用兩種不同的方法表示陰影圖形的面積，得到一個等量關(guān)系：________________．(2)如圖1中，a，b滿足a+b=9，ab=15，求a2(3)如圖2，點C在線段AB上，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，AC+BC=14，兩正方形的面積分別為S1，S2，且【答案】(1)a(2)51(3)39【分析】（1）陰影部分的面積可以表示為：①大正方形面積?空白面積；②兩個陰影正方形面積之和；（2）根據(jù)（1）中得出的結(jié)論，代入求值，即可解答；（3）設(shè)正方形ACDE的邊長為a，正方形BCFG的邊長為b，根據(jù)完全平方公式轉(zhuǎn)換，即可解答．【詳解】（1）解：由題意得：大正方形面積?空白面積=兩個陰影正方形面積之和，即a2（2）解：根據(jù)（1）中的式子，代入求值，可得：a2（3）解：設(shè)正方形ACDE的邊長為a，正方形BCFG的邊長為b，則S1=a∵AC+BC=14，S1∴a+b=14，a2∵a∴40=196?2ab，∴ab=78，∴陰影部分的面積為12【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練完全平方公式轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·廣東深圳·七年級深圳市寶安中學(xué)（集團）?？计谀卷椖繉W(xué)習(xí)】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法，它是指將一個式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負數(shù)的意義來解決一些問題．例如，把二次三項式x2解：x我們定義：一個整數(shù)能表示成a2+b2（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”例如，5是“完美數(shù)”，理由：因為5=22+12【問題解決】(1)下列各數(shù)中，“完美數(shù)”有___________．（填序號）①10

②45

③28

④29(2)若二次三項式x2?6x+13（x是整數(shù)）是“完美數(shù)”，可配方成x?m2+n（m，【問題探究】(3)已知S=x2+9y2+8x?12y+k（x，y是整數(shù)，【問題拓展】(4)已知實數(shù)x，y滿足?x2+7x+y?10=0【答案】(1)①②④(2)12(3)k=20(4)1【分析】（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義判斷即可；（2）利用配方法進行轉(zhuǎn)化，然后求得對應(yīng)系數(shù)的值；（3）利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)“完美數(shù)”的定義證明結(jié)論；（4）將?x2+7x+y?10=0【詳解】（1）解：∵10=32+12∴10,45,29都是“完美數(shù)”，故答案為：①②④；（2）∵x2∴m=3,n=4，∴mn=12故答案為：12；（3）∵S==x+4∵S為“完美數(shù)”，∴k?20=0，∴k=20；（4）∵?x∴y=x∴x+y=x∴x+y的最小值為1。【點睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，理解并掌握完美數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·廣東深圳·七年級深圳大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考期末）觀察下列各式，回答相關(guān)問題：x?1x+1x?1xx?1x(x?1)x……(1)根據(jù)規(guī)律可得(x?1)xn?1+(2)求32022(3)求22022【答案】(1)x(2)3(3)??22023?1【分析】（1）根據(jù)等式的規(guī)律，即可得出等式；（2）根據(jù)等式的規(guī)律，原式乘以3?1再除以2，即可求解．（3）根據(jù)等式的規(guī)律，原式乘以?2?1再除以?3，即可求解．【詳解】（1）根據(jù)規(guī)律可得x?1xn?1+（2）解：原式==（3）解：原式===??22023?1【點睛】本題考查了多項式乘以多項式規(guī)律題，找到規(guī)律進行計算是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)有長與寬分別為a、b的小長方形若干個，用兩個這樣的小長方形拼成如圖1的圖形，用四個相同的小長方形拼成圖2的圖形，請認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：(1)根據(jù)圖中條件，請寫出圖1和圖2所驗證的關(guān)于a、b的關(guān)系式：（用含a、b的代數(shù)式表示出來）；圖1表示：；圖2表示：；(2)根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：①若x+y=4，x2+y②請直接寫出下列問題答案：若2m+3n=5，mn=1，則6n?4m；若7?m5?m=9，則7?m(3)如圖，長方形ABCD中，AD=2CD=2x，AE=44，CG=30，長方形EFGD的面積是200，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長方形．延長MP至T，使PT=PQ，延長MF至O，使FO=FE，過點O、T作MO、MT的垂線，兩垂線相交于點R，求四邊形MORT的面積．（結(jié)果必須是一個具體的數(shù)值）【答案】(1)a+b2=(2)①12；②±2；±410(3)1856【分析】（1）由圖1可知，大正方形的面積等于兩個小正方形的面積加上兩個長方形的面積可得；由圖2可知，大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個長方形的面積可得；（2）①把x+y=4兩邊平方后，再代入x2+y②根據(jù)(a+b)2（3）首先根據(jù)題意得到MT=MO=2x?44+2x?30【詳解】（1）圖1中，由圖可知S大正方形S組成大正方形的四部分的面積之和由題意得，S大正方形即(a+b)2故答案為：(a+b)2圖2中，由圖可知S大正方形=a+b2，由題圖可知，S大正方形即(a+b)2故答案為：(a+b)2（2）①∵(x+y)∴xy=∵x+y=4，x2∴xy==3．②由圖2可得2m?3n2∵2m+3n=5，mn=1，∴2m?3n∴2m?3n=±1，∴6n?4m=?22m?3n故答案為：±2．由圖1可得7?m?∴7?m∵7?m∴7?m∴7?m∴7?m∴7?m故答案為：±410（3）解：∵ED=AD?AE，DG=DC?CG，∴ED=2x?44，DG=x?30，∴MT=MO=2x?44∵長方形EFGD的面積是200，∴2x?44∴2x?30令a=2x?44，b=2x?30∴ab=400，a?b=16，∴a?b∴a∴四邊形MORT的面積=MT【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，用兩種方法表示同一個圖形面積是求解本題的關(guān)鍵．6．（2022春·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）某學(xué)校初中部和小學(xué)部一起在操場做課間操初中部排成長方形，每排（4a﹣b）人站成（4a+b）排；小學(xué)部排成一個邊長2（a+b）的方陣．(1)初中部比小學(xué)部多多少人？（用字母a，b表示）(2)當(dāng)a＝10，b＝2時，請計算出此時初中部比小學(xué)部多多少人．【答案】(1)（12a2﹣5b2﹣8ab）人(2)1020人【分析】（1）初中部的人數(shù)＝每排的人數(shù)×排數(shù)，小學(xué)部的人數(shù)＝方陣的邊長×邊長，據(jù)此求出初中部比小學(xué)部多多少人即可．（2）把a＝10，b＝2代入（1）求出的算式，計算出此時初中部比小學(xué)部多多少人即可．（1）解：（4a﹣b）（4a+b）﹣2（a+b）×2（a+b）＝16a2﹣b2﹣4（a2+2ab+b2）＝16a2﹣b2﹣4a2﹣8ab﹣4b2＝12a2﹣5b2﹣8ab．答：初中部比小學(xué)部多（12a2﹣5b2﹣8ab）人．（2）解：當(dāng)a＝10，b＝2時，12a2﹣5b2﹣8ab＝12×102﹣5×22﹣8×10×2＝12×100﹣5×4﹣160＝1200﹣20﹣160＝1020（人）答：當(dāng)a＝10，b＝2時，初中部比小學(xué)部多1020人．【點睛】此題主要考查了代數(shù)式求值問題，求代數(shù)式的值可以直接代入計算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值．題型簡單總結(jié)以下三種：①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡．7．（2022春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）下面是小明解決一道作業(yè)題的全部思考過程．[分析]20202019，20202018，20202020的平方是三個“天文數(shù)字”，難道要全部算出來嗎？估計會很復(fù)雜；仔細觀察式子、數(shù)字的特征……[解題過程]注意到20202018，20202019，20202020是三個連續(xù)的正整數(shù)，若設(shè)n=20202019，則20202018=n?1，20202020=n+1，所以原式=n[收獲]原式看似是一個很復(fù)雜的式子，但在用字母n代替數(shù)字20202019后，凸顯了式子的結(jié)構(gòu)特征，形式上得到了化簡，從而運用完全平方公式求得其值．從小明的解題經(jīng)歷中你又有什么啟發(fā)呢？帶著你的思考嘗試解決下列問題：(1)計算202320232(2)已知(a?2022)2+(a?2024)(3)已知(2024+b)2+(b?2022)【答案】(1)1(2)7(3)?8185054.5【分析】（1）根據(jù)題干給出的方法，找到幾個“天文數(shù)字”的關(guān)系，通過設(shè)其中一個數(shù)字，來代入其他的數(shù)字，通過代入的方法來化簡求值；（2）根據(jù)題干給出的方法，找到幾個“天文數(shù)字”的關(guān)系，通過設(shè)其中一個數(shù)字，來代入其他的數(shù)字，通過完全平方公式的變形來得到結(jié)果；（3）根據(jù)題干給出的方法，找到幾個“天文數(shù)字”的關(guān)系，通過設(shè)其中一個數(shù)字，來代入其他的數(shù)字，通過完全平方公式的變形來得到結(jié)果；【詳解】（1）解：設(shè)20232023=m，則，202320232=m=1（2）設(shè)a?2023=n，則a?2022=n+1，a?2024=n?1，則有(n+1)2nn2∴(a?2023)（3）∵(2024+b)設(shè)2024+b=x，b?2022=y，則有x2+y(2024+b)(b?2022)=xy=[(x=(7?4046=?8185054.5．【點睛】本題考查了乘法公式的運用及變形運用，利用題干給出的解題思路來解答提出的問題，通過把一個復(fù)雜的數(shù)字或者整式，設(shè)成一個字母，從而把復(fù)雜的式子簡單化，然后通過運算法則來進行化簡求值．8．（2022秋·河南周口·七年級校聯(lián)考期末）如圖，把8張長為a，寬為b的小長方形紙片擺放在一個大長方形紙盒內(nèi)，空白部分分別用A，B表示，兩個擺放小紙片的長方形（陰影）公共的部分邊長為m，（用a，b，m分別表示周長和面積）(1)填空：①空白部分A的周長PA=__________，面積②空白部分B的周長PB=______________，面積(2)若a=5b，求PA?P【答案】(1)①4a?2m，a2?am；②16b?2m(2)PA?【分析】（1）①根據(jù)題意可得空白部分A的邊長分別為a，a?m，再根據(jù)長方形的周長公式和面積公式，即可求解；②根據(jù)題意可得空白部分B的邊長分別為5b?m,3b（2）先分別化簡，再把a=5b代入化簡后的結(jié)果，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：空白部分A的邊長分別為a，a?m，∴①空白部分A的周長PA=2a+a?m故答案為：4a?2m，a2②根據(jù)題意得：空白部分B的邊長分別為5b?m,3b∴空白部分B的周長PB=25b?m+3b故答案為：16b?2m，15b（2）解：P=4a?2m?16b+2m=4a?16b；S==當(dāng)a=5b時，PAS=25=10【點睛】本題主要考查了整式的加減，單項式乘以多項式，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·河南鄭州·七年級校聯(lián)考期末）如果ac=b,那么我們規(guī)定(a,b)=c．例如；因為23（1）根據(jù)上述規(guī)定填空：(4,16)=__，(3,1)=__，(2,0.25)=__；（2）若(3,4)=a,(3,6)=b,(3,96)=c．判斷a,b,c之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）2;0;?2；（2）2a+b=c；理由見解析．【分析】（1）根據(jù)(a,b)=c代入數(shù)運算即可；（2）根據(jù)題意列出等式求解即可．【詳解】（1）(4,16)=2;(3,1)=0;(2,0.25)=?2（2）因為(3,4)=a,(3,6)=b,(3,96)=c∴3∴(∴3∴2a+b=c．【點睛】此題考查了新定義問題和同底數(shù)冪的乘法結(jié)合問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出等式．10．（2022春·河南鄭州·七年級鄭州外國語中學(xué)?？计谀╅喿x下文，尋找規(guī)律：已知：x≠1，觀察下列各式：x?1x+1(x?1)x(x?1)x(x?1)x…(1)填空：①(x?1)x②(1?x)1+x+(2)根據(jù)你的猜想，計算：①22020②那么22020【答案】(1)①x10?1(2)①22021【分析】（1）由題意可知每一個式子的結(jié)果為兩項的差，被減數(shù)的指數(shù)比第二個因式中第一項的指數(shù)大1，減數(shù)都為1，根據(jù)這個規(guī)律即可直接寫出答案；（2）①把x=2，n=2020代入所得的規(guī)律中即可得到答案；②先探究2n(1)解：①根據(jù)規(guī)律可得：(x?1)x②原式=?=?=1?x(2)解：①∵x?1x把x=2，n=2020代入，得：22020②∵21的末尾數(shù)字是2，22的末尾數(shù)字是4，23的末尾數(shù)字是8，2∵2021÷4=505......1∴22021∴22021【點睛】本題主要考查了探索規(guī)律，體現(xiàn)了由一般到特殊的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是探索出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律答題.考點2考點2相交線與平行線解答期末真題壓軸題1．（2022秋·河南鄭州·七年級?？计谀┤鐖D1，O為直線DE上一點，過點O在直線DE上方作射線OC，∠EOC=140°．將直角三角板AOB(∠OAB=30°)的直角頂點放在點O處，一條邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方，將直角三角板繞點O按每秒6°(1)如圖2，當(dāng)t=4時，∠AOC=___________，∠BOE=___________，(2)當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)至邊AB與射線OE相交時(如圖3)，試猜想∠AOC與∠(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某個時刻，使得射線OA、OC、OD中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的角平分線？若存在，請直接寫出t的取值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)16°(2)∠AOC?∠BOE=50°(3)存在，103或403【分析】(1)先根據(jù)已知求出∠DOC、∠BOC，再求出當(dāng)(2)設(shè)旋轉(zhuǎn)角為x，用x表示∠AOC和∠(3)分①OA為∠DOC的平分線；②OC為∠DOA的平分線；③OD為【詳解】（1）解：∵∠EOC=140°，∴∠DOC=180°?140°=40°，當(dāng)t=4時，旋轉(zhuǎn)角4×6°=24°，∴∠AOC=∠∠BOE?故答案為：16°，66°，50°；（2）∠AOC?設(shè)旋轉(zhuǎn)角為x，當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)至邊AB與射線OE相交時，∵∠∴∠AOC=x?40°，∴∠（3）存在，理由如下：①當(dāng)OA為∠DOC的平分線時，旋轉(zhuǎn)角6t°=12解得：t=10②當(dāng)OC為∠DOA的平分線時，旋轉(zhuǎn)角6t°=2解得：t=40③當(dāng)OD為∠COA的平分線時，360°?6t°=解得：t=160綜上，滿足條件的t的取值為103或403【點睛】本題考查角平分線的定義、幾何圖形中角度的計算，利用分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．2．（2022秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）請閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題．小明∶老師說在解決有關(guān)平行線的問題時，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個“美味”的模型“豬蹄模型”．即已知：如圖，AB∥CD，E為AB、CD之間一點，連接AE，求證：∠AEC=∠A+∠C小明筆記上寫出的證明過程如下：證明：過點E作EF則∠1=∠A∵AB∥CD∴EF∴∠2=∠C∴∠AEC=∠1+∠2∴∠AEC=∠A+∠C請你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個問題．(1)如圖，若AB∥CD，∠E=60(2)如圖，AB∥CD，若∠PAB=100°，∠PDC=110°，求【答案】(1)240°(2)30°【分析】（1）如圖所示，過點E作EM∥AB，過點F作FN∥CD，則EM∥AB∥FN∥CD，由平行線的性質(zhì)得到∠B=∠1，∠2=∠3，（2）如圖所示，過點P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，由平行線的性質(zhì)得到∠DPE=∠CDP，∠APE+∠PAB=180°，推出∠DPE=∠DPA+80°，再由∠CDP=∠DPE=∠DPA+∠APE即可得到∠DPA=∠CDP?∠APE=30°．【詳解】（1）解：如圖所示，過點E作EM∥AB，過點F作FN∥CD，∵AB∥∴EM∥AB∥FN∥CD，∴∠B=∠1，∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180°∵∠BEF=60°，∴∠B+∠CFE+∠C=240°；（2）解：如圖所示，過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠DPE=∠CDP，又∵∠APE+∠PAB=180°，∴∠APE=180°?∠PAB=80°，∵∠DPE=∠DPA+∠APE=∠DPA+80°，∵∠CDP=∠DPE=∠DPA+∠APE∴∠DPA=∠CDP?∠APE=30°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，AB//CD//GH，(1)如圖1，若∠BAP=40°，∠DCP=30°，則∠APC=______（直接寫出結(jié)果）；(2)如圖2，直線MN分別交AB于點E，交CD于點F，點P在線段EF上，點Q在射線FC上．若∠MEB=110°，∠PQF=50°，求∠EPQ的度數(shù)；(3)如圖3，點P在射線FN上，點Q在射線FD上，∠AEF的平分線交CD于點O．若∠PQF=12∠MEB，試判斷OE【答案】(1)70°(2)120°(3)平行，理由見解析【分析】（1）依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠APG=∠BAP=40°，∠CPG=∠DCP=30，再根據(jù)∠APC=∠APG+∠CPG進行計算即可；（2）利用鄰補角的定義可得∠BEP=180°?110°=70°，利用（1）的結(jié)論即可得∠EPQ的度數(shù)；（3）根據(jù)對頂角相等以及角平分線的定義可得∠PQF=12∠MEB=12（1）解：∵AB//∴∠APG=∠BAP=40°，∠CPG=∠DCP=30°，∴∠APC=∠APG+∠CPG=40°+30°=70°，故答案為：70°；（2）解：∵∠MEB=110°，∴∠BEP=180°?110°=70°，由（1）可得：∠EPQ=∠EPG+∠QPG=∠BEP+∠PQF=70°+50°=120°；（3）解：OE//理由：∵∠PQF=12∠MEB∴∠PQF=1∵EO平分∠AEF．∴∠PQF=1∵AB//∴∠AEO=∠EOF，∴∠PQF=∠EOF，∴OE//【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)以及鄰補角，角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）如圖，把一個含有30°角的直角三角板ABC的直角頂點A放在直線a上，a∥b，B、C兩點在平面上移動，請根據(jù)如下條件進行解答：(1)如圖①，若點C在直線b上，點B在直線b的下方，∠2=20°，則∠1=___________；(2)如圖②，若點C在直線a，b之間，點B在直線b的下方，∠2=n°，求∠1的度數(shù)．【答案】(1)40°(2)∠1=60°?n°【分析】（1）根據(jù)三角板的內(nèi)角度數(shù)，可求出∠3的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；（2）延長BC交直線a于點D，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解．（1）解：如圖：∵∠ACB=60°，∠2=20°，∴∠3=60°20°=40°，∵a∥b，∴∠1=∠3==40°，故答案為：40°，（2）解：如圖：延長BC交直線a于點D，∵a∥b，∴∠ADC=∠2=n°，∵∠ACB=60°，∴∠ACD=180°60°=120°，∴∠1=180°∠ACD∠ADC=60°n°【點睛】本題主要考查了三角板的內(nèi)角度數(shù)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補．5．（2022春·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）如圖，E是直線AB，CD內(nèi)部一點，AB∥CD，連接EA，ED．(1)猜想．①若∠EAB＝30°，∠EDC＝40°，則∠AED＝______；②若∠EAB＝20°，∠EDC＝60°，則∠AED＝______；③猜想圖①中∠AED，∠EAB，∠EDC的關(guān)系并說明理由；(2)應(yīng)用．如圖，射線FE與長方形ABCD的邊AB交于點E，與邊CD交于點F，①②③④分別是被射線FE隔開的4個區(qū)域（不含邊界，其中區(qū)域③、④位于直線AB的上方），P是位于以上四個區(qū)域內(nèi)的點，直接寫出∠PEB，∠PFC，∠EPF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①70°；②80°；③猜想：∠AED＝∠EAB+∠EDC，理由見解析(2)答案見解析【分析】（1）①過點E作EF∥AB，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②③根據(jù)①中的方法可得出結(jié)論；（2）點P分別位于①②③④四個區(qū)域分別根據(jù)平行線的性質(zhì)進行求解即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：①如圖①，過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵∠A＝30°，∠D＝40°，∴∠1＝∠A＝30°，∠2＝∠D＝40°，∴∠AED＝∠1+∠2＝70°；②過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵∠A＝20°，∠D＝60°，∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠D＝60°，∴∠AED＝∠1+∠2＝80°；③猜想：∠AED＝∠EAB+∠EDC．理由：過點E作EF∥CD，∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一條直線的兩直線平行），∴∠1＝∠EAB，∠2＝∠EDC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠AED＝∠1+∠2＝∠EAB+∠EDC（等量代換）．（2）（2）當(dāng)點P在區(qū)域①時，∠EPF＝360°（∠PEB+∠PFC）；當(dāng)點P在區(qū)域②時，∠EPF＝∠PEB+∠PFC；當(dāng)點P在區(qū)域③時，∠EPF＝∠PEB∠PFC；當(dāng)點P在區(qū)域④時，∠EPF＝∠PFC∠PEB．如下圖，當(dāng)點P在區(qū)域①時，過點P作PQ∥CD，∴∠FPQ+∠PFC＝180°．∵AB∥CD，∴AB∥PQ，∴∠EPQ+∠PEB＝180°，∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝180°∠PEB+180°∠PFC＝360°（∠PEB+∠PFC）；如下圖，當(dāng)點P在區(qū)域②時，過點P作PQ∥CD，∴∠FPQ＝∠PFC．∵AB∥CD，∴AB∥PQ，∠EPQ＝∠PEB，∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠PEB+∠PFC；如下圖，當(dāng)點P在區(qū)域③時，過點P作PQ∥CD，∴∠FPQ+∠PFC＝180°．∵AB∥CD，∴AB∥PQ，∴∠EPQ+∠PEB＝180°，∴∠EPF＝∠FPQ∠EPQ＝180°∠PFC（180°∠PEB）＝∠PEB∠PFC；如下圖，當(dāng)點P在區(qū)域④時，過點P作PQ∥CD，∴∠FPQ＝∠PFC．∵AB∥CD，∴AB∥PQ，∴∠EPQ＝∠PEB，∴∠EPF＝∠FPQ∠EPQ＝∠PFC∠PEB．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．6．（2022春·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）：(1)①若∠DCE＝45°，則∠ACB的度數(shù)為；②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度數(shù)；(2)由（1）猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)當(dāng)∠ACE＜180°且點E在直線AC的上方時，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相平行？若存在，請直接寫出∠ACE角度所有可能的值（不必說明理由）；若不存在，請說明理由．【答案】(1)①135°；②40°(2)∠ACB+∠DCE=180°，理由見解答過程；(3)存在，∠ACE的度數(shù)為30°或45°或120°或135°或165°．【分析】（1）①根據(jù)∠DCE和∠ACD的度數(shù)，求得∠ACE的度數(shù)，再根據(jù)∠BCE求得∠ACB的度數(shù)；②根據(jù)∠BCE和∠ACB的度數(shù)，求得∠ACE的度數(shù)，再根據(jù)∠ACD求得∠DCE的度數(shù)；（2）根據(jù)∠ACE=90°∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°，進行計算即可得出結(jié)論；（3）分五種情況進行討論：當(dāng)CB∥AD時，當(dāng)EB∥AC時，當(dāng)CE∥AD時，當(dāng)EB∥CD時，當(dāng)BE∥AD時，分別求得∠ACE的度數(shù)．【詳解】（1）解：①∵∠DCE=45°，∠ACD=90°，∴∠ACE=45°，∵∠BCE=90°，∴∠ACB=90°+45°=135°，故答案為：135°；②∵∠ACB=140°，∠ECB=90°，∴∠ACE=140°90°=50°，∴∠DCE=90°∠ACE=90°50°=40°，故答案為：40°；（2）解：猜想：∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACE=90°∠DCE，又∵∠ACB=∠ACE+90°，∴∠ACB=90°∠DCE+90°=180°∠DCE，即∠ACB+∠DCE=180°；（3）解：存在，30°、45°、120°、135°、165°．理由：當(dāng)CB∥AD時，如圖1所示：∴∠DCB=∠D=30°，∴∠ACE=∠DCB=30°；當(dāng)EB∥AC時，如圖2所示：∴∠ACE=∠E=45°；當(dāng)CE∥AD時，如圖3所示：∴∠DCE=∠D=30°，∴∠ACE=90°+30°=120°；當(dāng)EB∥CD時，如圖4所示：∴∠DCE=∠E=45°，∴∠ACE=90°+45°=135°；當(dāng)BE∥AD時，延長AC交BE于F，如圖5所示：∴∠CFB=∠A=60°，∵∠ECF+∠E+∠CFE=180°，∠CFB+∠CFE=180°，∴∠ECF=15°，∴∠ACE=180°∠ECF=180°15°=165°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·河南安陽·七年級統(tǒng)考期末）猜想說理：（1）如圖，AB∥CD∥EF，分別就圖1、圖2、圖3寫出∠A，∠C，∠AFC的關(guān)系，并任選其中一個圖形說明理由：拓展應(yīng)用：（2）如圖4，若AB∥CD，則∠A+∠C+∠AFC=度；（3）在圖5中，若A1B∥AnD【答案】（1）∠A＋∠C＝∠AFC（2）360（3）（【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可直接得到結(jié)論；（2）過點F作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)，計算出∠A＋（3）過點E作AB的平行線，過點F作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)，計算出∠A＋∠AEF＋【詳解】解：（1）如圖1：∠A＋如圖2：∠A?∠C＝如圖3：∠C?∠A＝如圖1說明理由如下：∵AB∥∴∠A＝∴∠A＋即∠A＋（2）如下圖：過F作FH∥∴∠A＋又∵AB∥∴CD∥∴∠C＋∴∠A＋即∠A＋故答案為：360；（3）如下圖：AB∥過E作EG∥AB，過F作∵AB∥∴AB∥∴∠A＋∠AEG＝180°，∴∠A＋即∠A＋綜上所述：由當(dāng)平行線AB與CD間沒有點的時候，∠A＋當(dāng)A、C之間加一個折點F時，∠A＋當(dāng)A、C之間加二個折點E、F時，則∠A＋以此類推，如圖5，A1當(dāng)A1、A5之間加三個折點則∠A…當(dāng)A1、An之間加n個折點則∠A即∠1＋∠2＋【點睛】本題是探索型試題，主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)等知識求解是解答此題的關(guān)鍵．8．（2022春·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB,AC．求∠BAC+∠B+∠C的度數(shù)．解：過點A作ED∥BC，∴∠B=__________，∠C=__________．又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°．∴∠B+∠BAC+∠C=180°．(1)問題解決：閱讀并補充推理過程．解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC,∠B,∠C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．(2)方法運用：如圖2，已知AB∥CD，∠BEC=80°，求∠B?∠C的度數(shù)．（提示：過點E作AB或CD的平行線．）(3)深化拓展：如圖3，如圖，AB∥CD，CG，BF分別平分∠DCE,∠ABE，且所在直線交于點F，∠E=80°，則∠F=__________．【答案】(1)∠EAB，∠DAC(2)110°(3)50°【分析】（1）過點A作ED∥BC，如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，然后利用平角的定義得到∠B+∠BAC+∠C=180°；（2）過點E作HE∥AB的平行線，如圖2，利用平行線的性質(zhì)得到HE∥CD，則∠B+∠BEH=180°，∠HEC=∠C，然后把兩式相加可得∠B∠C=100°；（3）過E點作EM∥AB，過F點作FN∥CD，如圖3，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AB∥ME∥CD∥FN，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABF=∠EBF，∠ECG=∠DCG，設(shè)∠ABF=∠EBF=α，∠ECG=∠DCG=β，利用平行線的性質(zhì)得到∠BFN=∠ABF=α，∠CFN=∠GCD=β，∠BEM=180°?2α，∠MEC=∠ECD=2β，則利用∠BEC=80°，可得α?β=50°，然后利用∠BFG=∠BFN∠CFN求解．【詳解】（1）解：過點A作ED∥BC，∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°；故答案為：∠EAB，∠DAC；（2）解：過點E作HE∥AB，如圖，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠B+∠BEH=180°，∠HEC=∠C，∴∠B+∠BEH+∠HEC=180°+∠C∴∠B∠C=180°∠BEC=180°80°=100°；（3）過E點作EM∥AB，過F點作FN∥CD，如圖，∵AB∥CD，∴AB∥ME∥CD∥FN，∵BF平分∠ABE，CG平分∠ECD，∴∠ABF=∠EBF，∠ECG=∠DCG，設(shè)∠ABF=∠EBF=α，∠ECG=∠DCG=β，∵AB∥FN，CD∥FN，∴∠BFN=∠ABF=α，∠CFN=∠GCD=β，∵ME∥AB∥CD，∴∠BEM=180°∠ABE=180°?2α，∠MEC=∠ECD=2β，∵∠BEM+∠MEC=∠BEC=80°，∴180°?2α+2β=80°，∴α?β=50°，∴∠F=∠BFN?∠CFN=α?β=50°，故答案為：50°【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，有關(guān)角平分線的計算，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)，利用轉(zhuǎn)化思想解答是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·河南許昌·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，已知AB∥CD．求證：證明：如圖1，過點P作PG∥AB，∵AB∥CD，∴PG∥______（平行于同一直線的兩條直線平行），∴∠AEP=______，∠CFP=______（______），又∵∠1+∠2=∠EPF，∴（2）如圖2，AB∥CD．請寫出∠AEP，∠EPF，（3）如圖3，AB∥CD．請分別直接寫出兩個圖形中∠AEP，∠EPQ，∠PQF，【答案】（1）CD；∠1；∠2；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；（2）∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°，理由見解析；（3）圖3①：∠AEP+∠EPQ+∠PQF+∠QFC=540°；圖3②：∠AEP+∠PQF+∠QFC=∠EPQ+180°．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定完成證明過程即可；（2）過點P作MN∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定證明即可求解；（3）過點P，Q分別作PM∥AB，NQ∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定即可求得∠AEP，∠EPQ，∠PQF，【詳解】解：（1）證明：如圖1，過點P作PG∥AB，∵AB∥∴PG∥CD（平行于同一直線的兩條直線平行），∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又∵∠1+∠2=∠EPF，∴∠AEP+∠CFP=∠EPF；故答案為：CD，∠1，∠2，兩直線平行，內(nèi)錯角相等；（2）∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°，理由如下：過點P作MN∥AB，∵AB∥∴MN∥CD（平行于同一直線的兩直線互相平行），∴∠AEP+∠EPM=180°，∠CFP+∠FPM=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），又∵∠EPF=∠EPM+∠FPM，∴∠AEP+∠CFP+∠EPF=360°．（3）如圖，圖3①：過點P，Q分別作PM∥AB，NQ∥∴AB∥∴∠AEP+∠EPM=180°,∠MPQ+∠PQN=180°,∠NQF+∠QFC=180°，∴∠AEP+∠EPQ+∠PQF+∠QFC=540°，圖3②中，如圖：過點P，Q分別作PM∥AB，NQ∥∴AB∥∴∠AEP=∠EPM,∠MPQ=∠PQN,∠NQF+∠QFC=180°，∴∠AEP+∠PQF+∠QFC=∠EPM+∠PQN+∠NQF+QFC=∠EPQ+∠NQF+QFC=∠EPQ+180°∴∠AEP+∠PQF+∠QFC=∠EPQ+180°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）已知一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，探索這兩個角的關(guān)系，并說明理由．(1)如圖（一），AB∥EF，BC∥DE，(2)如圖（二），AB∥EF，BC∥DE，(3)經(jīng)過上述證明，我們可以得到一個結(jié)論：________．(4)若兩個角的兩邊分別平行，且一個角比另一個角的2倍少30°，則這兩個角分別是多少度？【答案】(1)相等(2)互補(3)結(jié)論見解析(4)30°，30°或70°，110°【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等，可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得到∠1=∠3，再根據(jù)對頂角相等，得到∠3=（3）通過（1）、（2）小題，即可得出結(jié)論；（4）分情況討論，當(dāng)兩個角相等時，即x=2x?30，即可得出角的度數(shù)，當(dāng)兩個角互補時，即x+2x?30=180，即可得出角的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵AB∥∴∠1=又∵BC∥∴∠2=∴∠1=∴∠1與∠2相等，（2）解：∵AB∥∴∠1=又∵∠3=∴∠1=又∵BC∥∴∠2+∴∠2+∴∠1與∠2互補，（3）經(jīng)過上述證明，我們可以得到一個結(jié)論：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補．（4）設(shè)其中一個角為x°，當(dāng)兩個角相等時，即x=2x?30，解得x=30，2x?30=30，當(dāng)兩個角互補時，即x+2x?30=180，解得x=70，

2x?30=110，答：這兩個角分別是30°，30°或70°，110°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、對頂角相等、等量代換等知識點，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握平行線的性質(zhì)．考點3考點3變量之間的關(guān)系解答期末真題壓軸題1．（2022春·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）一輛汽車油箱內(nèi)有油56升，從某地出發(fā)，每行駛1千米，耗油0.08升，如果設(shè)油箱內(nèi)剩油量為y(升），行駛路程為x（千米），則y隨x的變化而變化．(1)在上述變化過程中，自變量是，因變量是．(2)用表格表示汽車從出發(fā)地行駛100千米、200千米、300千米、400千米時的剩油量．請將表格補充完整：行駛路程x（千米）100200300400油箱內(nèi)剩油量y（升）4024(3)試寫出y與x的關(guān)系式是．(4)這輛汽車行駛350千米時，剩油量是多少？汽車油箱內(nèi)剩油8升時，汽車行駛了多少千米?【答案】(1)行駛路程，油箱內(nèi)剩油量(2)48，32(3)y=56?0.08x(0≤x≤700)(4)28升，600千米【分析】（1）因變量隨自變量的變化而變化，根據(jù)題意，油箱內(nèi)剩油量隨行駛路程的變化而變化，即可求解；（2）根據(jù)每行駛1千米，耗油0.08升，用油箱內(nèi)原有油量減去耗油量，可以分別求出行駛100千米和300千米時的剩油量；（3）由已知條件，油箱內(nèi)原有油量為56升，行駛x千米耗油0.08x升，根據(jù)“剩余油量＝原有油量－耗油量”即可求出函數(shù)關(guān)系式；（4）將x=350和y=8分別代入y與x的關(guān)系式即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意，油箱內(nèi)剩油量隨行駛路程的變化而變化，故自變量是行駛路程，因變量是油箱內(nèi)剩油量，故答案為：行駛路程，油箱內(nèi)剩油量．（2）汽車從出發(fā)地行駛100千米時的剩油量為：56?0.08×100=56?8=48（升）；汽車從出發(fā)地行駛300千米時的剩油量為：56?0.08×300=56?24=32（升）；故答案為：48，32．（3）∵油箱內(nèi)原有油量為56升，行駛x千米耗油0.08x升，∴y=56?0.08x，當(dāng)y=0時解得x=700，∴x的取值范圍是0≤x≤700，∴y與x的關(guān)系式是∴y=56?0.08x(0≤x≤700)，故答案為：y=56?0.08x(0≤x≤700)．（4）當(dāng)x=350千米時，y=56?0.08×350=56?28=28（升）；當(dāng)y=8時，得8=56?0.08x，解得x=600，故這輛汽車行駛350千米時，剩油量是28升；汽車油箱內(nèi)剩油8升時，汽車行駛了600千米．【點睛】本題考查自變量與因變量的概念，求函數(shù)解析式等知識，學(xué)會用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·河南鄭州·七年級校考期末）姐姐幫小明蕩秋千（如圖①），秋千離地面的高度h（m）與擺動時間t（s）之間的關(guān)系如圖②所示，結(jié)合圖象：（1）變量h，t中，自變量是，因變量是，h最大值和最小值相差m．（2）當(dāng)t=5.4s時，h的值是m，除此之外，還有次與之高度相同；（3）秋千擺動第一個來回s．【答案】（1）t，h，1；（2）1，7；（3）2.8．【分析】（1）由圖象的橫軸和縱軸表示的量以及圖象的最高的和最低點解答即可；（2）根據(jù)圖象中t=5.4對應(yīng)的高度以及這個高度與圖象的交點個數(shù)即可解答；（3）根據(jù)圖象中秋千擺動第一個來回的時間解答即可．【詳解】解：（1）由圖象可知，變量h，t中，自變量是t，因變量是h，h最大值和最小值相差1.5﹣0.5=1m，故答案為：t，h，1；（2）由圖象知，當(dāng)t=5.4s時，h=1m，除此之外，還有7次與之高度相同，故答案為：1，7；（3）由于秋千從最高點開始擺動一個來回要經(jīng)過兩次最低點，根據(jù)圖象可知，秋千擺動第一個來回需要2.8s，故答案為：2.8．【點睛】本題考查用圖象表示變量間關(guān)系，理解題意，能從圖象中獲取有效信息是解答的關(guān)鍵．3．（2022春·河南焦作·七年級?？计谀┮惠v汽車油箱內(nèi)有油a升，從某地出發(fā)，每行駛1小時耗油6升，若設(shè)剩余油量為Q升，行駛時間為t/小時，根據(jù)以上信息回答下列問題：（1）開始時，汽車的油量a=______升；（2）在行駛了______小時汽車加油，加了______升，寫出加油前Q與t之間的關(guān)系式______；（3）當(dāng)這輛汽車行駛了9小時，剩余油量多少升？【答案】（1）42；（2）5，24

，Q=42【分析】（1）直接由圖象中的數(shù)據(jù)得出即可；（2）由加油前汽車每小時的耗油量，即可得出關(guān)系式；（3）先求出加油后3小時的耗油量即可求得剩余量．【詳解】解：（1）由圖象可知，開始時，汽車的油量42升，故答案為：42；（2）由圖象可知，在行駛了5小時汽車加油，加了36﹣12=24升，∵加油前汽車每小時的耗油（4212）÷5=6（升），∴加油前汽車剩余油量Q=42﹣6t，故答案為：5

，24，Q=42（3）由題意，加油后汽車每小時的耗油6升，∴加油后剩余油量Q=36?6×(9?5)=12（升），故當(dāng)這輛汽車行駛了9小時，剩余油量12升．【點睛】本題考查用圖象表示變量間的關(guān)系、有理數(shù)的混合運算，理解題意，能從圖象中獲取有效信息是解答的關(guān)鍵．4．（2022春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）已知某函數(shù)圖象如圖所示，請回答下列問題：（1）自變量x的取值范圍是（2）函數(shù)值y的取值范圍是；（3）當(dāng)x=0時，y的對應(yīng)值是；（4）當(dāng)x為時，函數(shù)值最大；（5）當(dāng)y隨x增大而增大時，x的取值范圍是；（6）當(dāng)y隨x的增大而減少時，x的取值范圍是．【答案】（1）﹣4≤x≤3；（2）﹣2≤y≤4；（3）3；（4）1；（5）﹣2≤x≤1（6）﹣4≤x≤﹣2和1≤x≤3．【分析】根據(jù)自變量的定義，函數(shù)值的定義以及二次函數(shù)的最值和增減性，觀察函數(shù)圖象分別寫出即可．【詳解】解：（1）自變量x的取值范圍是﹣4≤x≤3；（2）函數(shù)y的取值范圍是﹣2≤y≤4；（3）當(dāng)x=0時，y的對應(yīng)值是3；（4）當(dāng)x為1時，函數(shù)值最大；（5）當(dāng)y隨x的增大而增大時，x的取值范圍是﹣2≤x≤1．（6）當(dāng)y隨x的增大而減少時，x的取值范圍是﹣4≤x≤﹣2和1≤x≤3；故答案為（1）﹣4≤x≤3；（2）﹣2≤y≤4；（3）3；（4）1；（5）﹣2≤x≤1（6）﹣4≤x≤﹣2和1≤x≤3．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象，熟練掌握函數(shù)自變量的定義，函數(shù)值的定義以及函數(shù)的增減性并準(zhǔn)確識圖是解題關(guān)鍵．5．（2022春·山東青島·七年級校聯(lián)考期末）果實成熟從樹上落到地面，它下落的高度與經(jīng)過的時間有如下的關(guān)系：時間t/秒0.50.60.70.80.9…高度h/米4.9×0.254.9×0.364.9×0.494.9×0.644.9×0.81…（1）上表反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？其中自變量是什么？因變量是什么？（2）請你按照表中呈現(xiàn)的規(guī)律，列出果子下落的高度?（米）與時間t（秒）之間的關(guān)系式；（3）現(xiàn)有一顆果子經(jīng)過2秒后離地面一米，請計算這顆果子開始下落時離地面的高度是多少米？【答案】（1）下落的角度h與經(jīng)過的時間t之間的關(guān)系，自變量：經(jīng)過的時間t，因變量：下落的高度h；（2）?=4.9t【分析】（1）根據(jù)自變量與因變量的定義即可求解；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可得到果子落下的度?(米)與時間t(秒)之間的關(guān)系式；（3）根據(jù)一顆果子經(jīng)過2秒后離地面一米計算即可求解．【詳解】解：（1）下落的高度h與經(jīng)過的時間t之間的關(guān)系自變量：經(jīng)過的時間t因變量：下落的高度h（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得到果子落下的度?(米)與時間t(秒)之間的關(guān)系式為?=4.9t（3）果子開始下落時離地面高度為4.9×2答：果子開始下落時離地面高度為20.6m.【點睛】本題考查了函數(shù)的圖表示方法，考查了學(xué)生的探究能力，要求學(xué)生有較強的分析數(shù)據(jù)和描述數(shù)據(jù)的能力及從圖象得出規(guī)律的能力．能夠正確找到h和t的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）某公空車每天的支出費用為600元，每天的乘車人數(shù)x（人）與每天利潤（利潤＝票款收入－支出費用）y（元）的變化關(guān)系，如下表所所示（每位委文的乘車票價固定不變）：x（人）…200250300350400…p（元）…－200－1000100200…根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，回答下列問題：（1）觀察表中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)乘客量達到________人以上時，該公交車才不會虧損；（2）當(dāng)一天乘客人數(shù)為500人時，利潤是多少?（3）請寫出公交車每天利潤y（元）與每天乘車人數(shù)x（人）的關(guān)系式．【答案】（1）300；（2）400；（3）y=2x600【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，當(dāng)y大于0時，相應(yīng)的x的取值即可；（2）根據(jù)表格中的變量之間的變化關(guān)系，可得“每增加50人，利潤將增加100元”，可求出答案；（3）“每增加50人，利潤將增加100元”也就是“每增加1人，利潤將增加2元”，根據(jù)乘坐人數(shù)可得利潤即可．【詳解】解：（1）當(dāng)y=0時，x=300，當(dāng)x＞300時，y＞0，故答案為：300；（2）200+100×（500?40050答：一天乘客人數(shù)為500人時，利潤是400元；（3）由表格中的數(shù)據(jù)變化可知，當(dāng)乘坐人數(shù)為300人時，利潤為0元，每增加50人，利潤就增加100元，每減少50人，利潤就減少100元，所以利潤y=0+x?30050×100=2x即：y=2x600，答：公交車每天利潤y（元）與每天乘車人數(shù)x（人）的關(guān)系式為y=2x600．【點睛】本題考查函數(shù)關(guān)系式，理解表格中“每天的利潤y元”與“乘坐的人數(shù)x”之間的變化關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．7．（2022春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）小明某天上午9時騎自行車離開家，15時回到家，他有意描繪了離家的距離與時間的變化情況（如圖所示）．（1）圖象表示了哪兩個變量之間的關(guān)系？哪個是自變量？哪個是因變量？（2）10時和13時，他分別離家多遠？（3）他到達離家最遠的地方是什么時間？離家多遠？（4）10時到12時他行駛了多少千米？（5）他可能在哪段時間內(nèi)休息，并吃午餐？（6）他由離家最遠的地方返回時的平均速度是多少？【答案】（1）時間、離家的距離，自變量是時間，因變量是離家的距離；（2）15千米、30千米；（3）12:00，30千米；（4）15千米，（5）12:0013:00；（6）15千米/小時．【分析】（1）根據(jù)圖象的x軸和y軸即可確定表示了哪兩個變量的關(guān)系；（2）由函數(shù)圖像可以看出10時的時候他離家的距離是15千米，12時的時候他離家30千米；（3）首先根據(jù)圖象找到離家最遠的距離，由此即可確定他到達離家最遠的地方是什么時間，離家多遠；（4）根據(jù)圖象首先找到時間為10時和12時離家的距離，然后作差即可；（5）如果休息，那么距離沒有增加，由此就可以確定在哪段時間內(nèi)休息，并吃午餐；（6）根據(jù)返回時所走路程和使用時間即可求出返回時的平均速度．【詳解】解：（1）圖像表示了離家的距離與時間這兩個變量之間的關(guān)系．其中時間是自變量，離家的距離是因變量；（2）由函數(shù)圖像可以看出10時的時候他離家的距離是15千米，13時的時候他離家30千米；（3）由圖象看出他到達離家最遠的地方是在1213時，離家30千米；（4）由圖象看出10時到12時他行駛了30－15=15千米；（5）由圖象看出12:00~13:00時距離沒變且時間較長，得他可能在12時到13時間內(nèi)休息，并吃午餐；（6）由圖象看出回家時用了2小時，路程是30千米，所以回家的平均速度是30÷2=15(千米/時)．【點睛】此題考查了函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵在于看懂圖中數(shù)據(jù)表示的實際意義．8．（2022春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）在建設(shè)社會主義新農(nóng)村過程中，某村委決定投資開發(fā)項目，現(xiàn)有6個項目可供選擇，各項目所需資金及預(yù)計年利潤如下表：所需資金（億元）124678預(yù)計利潤（千萬元）0.20.350.550.70.91（1）上表反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？哪個是自變量？哪個是因變量？（2）如果預(yù)計要獲得0.9千萬元的利潤，你可以怎樣投資項目？（3）如果該村可以拿出10億元進行多個項目的投資，預(yù)計最大年利潤是多少？說明理由．【答案】（1）所需資金和利潤之間的關(guān)系，所需資金為自變量，年利潤為因變量；（2）可以投資一個7億元的項目；也可以投資一個2億元，再投資一個4億元的項目；還可以投資一個1億元，再投資一個6億元的項目；（3）最大利潤是1.45億元，理由詳見解析．【分析】（1）分別根據(jù)變量、因變量的定義分別得出即可；（2）根據(jù)圖表分析得出投資方案；（3）分別求出不同方案的利潤進而得出答案．【詳解】解：（1）所需資金和利潤之間的關(guān)系．所需資金為自變量．年利潤為因變量；（2）可以投資一個7億元的項目．也可以投資一個2億元，再投資一個4億元的項目．還可以投資一個1億元，再投資一個6億元的項目．答：可以投資一個7億元的項目；也可以投資一個2億元，再投資一個4億元的項目；還可以投資一個1億元，再投資一個6億元的項目．（3）共三種方案：①1億元，2億元，7億元，利潤是1.45億元．②2億元，8億元，利潤是1.35億元．③4億元，6億元，利潤是1.25億元．∴最大利潤是1.45億元．答：最大利潤是1.45億元．【點睛】此題主要考查了常量與變量的定義以及利用圖表得出正確方案等知識，利用圖表獲取正確數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．9．（2022春·陜西西安·七年級?？计谀榱嗽鰪姽竦墓?jié)水意識，某市制定了如下用水收費標(biāo)準(zhǔn)：月用水量水費不超過5t每噸2.4元超過5t超過的部分按每噸4元收費(1)該市某戶居民5月份用水xt（x＞5），應(yīng)交水費y元，寫出y與x之間的關(guān)系式．(2)如果某戶居民某月交了24元水費，你能算出這個月這戶居民用了多少噸水嗎？【答案】(1)y=4x?8(2)用了8噸水【分析】（1）根據(jù)5t按每噸2.4元收費，x?5（2）先判斷出該戶居民這個月用水量超過了5噸，再求出（1）關(guān)系式中，當(dāng)y=24時，x的值即可得．【詳解】（1）解：由題意得：y=5×2.4+4x?5即y=4x?8x>5（2）解：因為5×2.4=12<24，所以該戶居民這個月用水量超過了5噸，由（1）已得：y=4x?8x>5當(dāng)y=24時，4x?8=24，解得x=8，答：這個月這戶居民用了8噸水．【點睛】本題考查了利用關(guān)系式表示變量間的關(guān)系、求自變量的值，理解用水收費標(biāo)準(zhǔn)，正確求出關(guān)系式是解題關(guān)鍵．10．（2022春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在一個半徑為10cm的圓面上，從中心挖去一個小圓面，當(dāng)挖去小圓的半徑xcm由小變大時，剩下的圓環(huán)面積ycm（1）在這個變化過程中，自變量、因變量各是什么？（2）求圓環(huán)的面積y與x的關(guān)系式．（3）當(dāng)挖去圓的半徑x為9cm時，剩下圓環(huán)面積y為多少？【答案】（1）自變量是小圓的半徑xcm，因變量是圓環(huán)面積ycm2；（2）y【分析】（1）根據(jù)自變量與因變量的定義解答即可；（2）根據(jù)圓環(huán)面積的計算方法求解即可；（3）把x=9代入（2）題的關(guān)系式中計算即得結(jié)果．【詳解】解：（1）自變量是小圓的半徑xcm，因變量是圓環(huán)面積y（2）根據(jù)題意得：y=π×10（3）當(dāng)x=9時，y=π×100?81【點睛】本題考查了用關(guān)系式表示的變量之間的關(guān)系，正確列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．考點4考點4三角形解答期末真題壓軸題1．（2022春·陜西西安·七年級校考期末）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長為6，求△BCD的面積．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，根據(jù)同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知條件可證△ABC≌△CED，可得答案；（2）過D作DE⊥BC交BC延長線于E，同（1）中的方法，可證△ABC≌△CED，可得答案；（3）過A作AE⊥CD于E，過B作BF⊥CD交DC延長線于F，由△ACD面積為12且CD的長為6，可得AE＝4，進而可得CE=2，同（1）中證法，可得△ACE≌△CBF，由全等三角形的性質(zhì)可求得答案．【詳解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，在△ABC和△CED中，∠B=∠E∠ACB=∠D∴△ABC≌△CED（AAS），∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，∴BE＝BC+CE＝7；故答案為：7；（2）過D作DE⊥BC交BC延長線于E，如圖：∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，在△ABC和△CED中，∠ABC=∠E∠ACB=∠CDE∴△ABC≌△CED（AAS），∴BC＝ED＝4，∴S△BCD＝12BC?DE（3）過A作AE⊥CD于E，過B作BF⊥CD交DC延長線于F，如圖：∵△ACD面積為12且CD的長為6，∴12×6?AE∴AE＝4，∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2，∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，在△ACE和△CBF中，∠AEC=∠F∠ACE=∠CBF∴△ACE≌△CBF（AAS），∴BF＝CE＝2，∴S△BCD＝12CD?BF【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，屬于類比探究類的題目，掌握模型思想，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·陜西寶雞·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，點E從D點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿DA向點A勻速移動，點F從點C出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿C→B→C作勻速移動，點G從點B出發(fā)沿BD向點D勻速移動，三個點同時出發(fā)，當(dāng)有一個點到達終點時，其余兩點也隨之停止運動．（1）試證明：AD∥BC．（2）在移動過程中，小芹發(fā)現(xiàn)當(dāng)點G的運動速度取某個值時，有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn)，請你探究當(dāng)點G的運動速度取哪些值時，△DEG與△BFG全等．【答案】（1）見解析；（2）點G的速度為1.5或3或1．【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)定理，得到△ABD≌△CDB，進而，可證明AD∥BC；（2）設(shè)運動時間為t，點G的運動速度為v，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，分四種情況進行討論：①當(dāng)0＜t≤43時，若△DEG≌△BFG，若△DEG≌△BGF；②當(dāng)43＜t≤【詳解】（1）證明：在△ABD和△CDB中，AD=BCAB=CD∴△ABD≌△CDB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC；（2）解：設(shè)運動時間為t，點G的運動速度為v，當(dāng)0＜t≤43時，若△DEG≌△BFG，則DE=BF∴t=4?3t6?BG=BG∴t=1BG=3∴v＝3；若△DEG≌△BGF，則DE=BGDG=BF∴t=BG6?BG=∴t=?1BG=?1當(dāng)43＜t≤83時，若△DEG≌△BFG，則∴t=3t?46?BG=BG∴t=2∴v＝1.5；若△DEG≌△BGF，則DE=BGDG=BF∴t=BG6?BG=3t?4∴t=5∴v＝1．綜上，點G的速度為1.5或3或1．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，在幾何動點問題中，對全等三角形的對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角進行分類討論，是解題的關(guān)鍵.3．（2022秋·陜西寶雞·七年級統(tǒng)考期末）動手操作：（1）如圖1，將一塊直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的兩條直角邊DE、DF分別經(jīng)過點B、C，且BC∥EF，已知∠A=30°，則∠ABD+∠ACD=度；（2）如圖2，∠BDC與∠A、∠B、∠C之間存在著什么關(guān)系，并說明理由；（3）靈活應(yīng)用：請你直接利用以上結(jié)論，解決以下列問題：如圖3，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC=40°，∠BDC=120°，求∠BEC的度數(shù)．【答案】（1）60°；（2）猜想：∠A+∠B+∠C=∠BDC，證明見解析；（3）∠BEC=80°；【詳解】試題分析：（1）在△BDC中，由三角形內(nèi)角和定理可得∠DBC+∠DCB=90°，再由∠ABC+∠ACB=150°，從而可得；（2）連接BC，利用三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)即可得；（3）由（2）可知∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC，∠A+∠ABE+∠ACE=∠BEC，再根據(jù)角平分線的定義即可得.試題解析：（1）60°；（2）猜想：∠A+∠B+∠C=∠BDC；證明如下：連接BC，在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC；在Rt△ABC中，∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，而∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC，∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°﹣（180°﹣∠BDC）=∠BDC，即：∠A+∠B+∠C=∠BDC．（3）靈活應(yīng)用：由（2）可知∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC，∠A+∠ABE+∠ACE=∠BEC，∵∠BAC=40°，∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=120°﹣40°=80°∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，∴∠ABE+∠ACE=40°，∴∠BEC=40°+40°=80°；點睛：本題主要考查三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能正確地分析圖形是解題的關(guān)鍵.4．（2022春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC中，AC=CB=20cm，∠A=∠B，AB=16cm(1)如果點P在線段AB上以6cm/s的速度由A點向B點運動，同時，點Q在線段BC上由點B向C①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1s后，△APD與△BQP②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)時間t為何值時，△APD與△BQP全等？求出此時點Q的運動速度(2)若點Q以②中的運動速度從點B出發(fā)，點P以原來的運動速度從點A同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，請直接寫出：①經(jīng)過多少秒，點P與點Q第一次相遇？②點P與點Q第2023次相遇在哪條邊上？【答案】(1)①全等，見解析；②7.5厘米/秒(2)①803秒；②點P與點Q第2023次在AC【分析】（1）①先求得AP=BQ=6，PB=AD=10，然后根據(jù)等邊對等角求得∠A=∠B，最后根據(jù)SAS即可證明；②因為VP≠VQ，所以AP≠BQ，又∠A=∠B，要使△APD與△BQP全等，只能AP=BP=8，根據(jù)全等得出BQ=AD=10，然后根據(jù)運動速度求得運動時間，根據(jù)時間和（2）①因為VQ>VP，只能是點Q追上點P，即點Q比點P多走AC+BC的路程，據(jù)此列出方程，解這個方程即可求得結(jié)果；②設(shè)第一次相遇經(jīng)過【詳解】（1）①全等，因為t=1（秒)，所以AP=BQ=6（厘米），∵AC=20（厘米），D為AC中點，∴AD=10（厘米），∵PB=AB?AP=16?6=10（厘米），∴PB=AD，∵∠A=∠B，在△APD與△BQP中，AP=BQ∠A=∠B∴△APD≌△BQP(SAS②因為VP所以AP≠BQ，因為∠A=∠B，要使△APD與△BQP全等，只能AP=BP=8，即△APD≌△BPQ，故BQ=AD=10，所以點P、Q的運動時間：t=AP6=此時VQ=BQ（2）①因為VQ>VP，只能是點Q追上點P，即點Q比點設(shè)經(jīng)過x秒后P與Q第一次相遇，依題意得152解得x=803（秒此時P運動了803又因為ΔABC的周長為56厘米，160=56×2+48所以點P、Q在AC邊上相遇，即經(jīng)過了803秒，點P與點Q第一次在AC②設(shè)第一次相遇經(jīng)過a秒之后，第2023次相遇，6a+2022(20+20+16)=15解得：a=75488(sa+t=755142SQ56636020+20+1620<32<40，∴Q點在AC邊上．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想的運用，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點D是射線OA上一點且DE⊥OC(1)過點E作OA的平行線EF；(2)若∠AOC=50°，求【答案】(1)見解析(2)40°【分析】（1）利用尺規(guī)基本作圖作一個角等于已知角，在OC一上，作∠CEF=∠AOB即可；（2）利用平行線的性質(zhì)求出∠FEC=∠AOC=50°，再利用（1）解：以點O為圓心任意為半徑畫弧，交OA、OB于M、N，半徑不變，以點E為圓心畫弧，交EC于占P，再以點P為圓心MN長為半徑畫弧形，與前弧相交于F，過EF作直線即可．如圖所示，直線EF就是所要求作的直線，∵OM=ON=EP=EF，MN=PF，∴△OMN≌△EFP（SSS），∴∠PEF=∠NOM，∴OA∥EF．（2）解：∵DE⊥OC，∴∠DEC=∵OA//∴∠FEC=∠AOC=50∴∠DEF=∠DEC?∠FEC=90【點睛】本題考查作平行線，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)基本作圖作一個角等于已知角，平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示,A、B兩點分別位于一個池塘的兩端，小明想用繩子測量A、B間的距離，但繩子不夠長,請你利用三角形全等的相關(guān)知識幫他設(shè)計一種方案測量出A、B間的距離,寫出具體的方案,并解釋其中的道理,【答案】見解析.【分析】根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)可得：構(gòu)造出△ABC≌△DEC（SAS）.【詳解】例如，如圖.

（1）先在地上取一個可以直接到達A點和B點的點C；（2）連接AC并延長到點D，使得CD=AC；（3）連接BC并延長到點E，使得CE=BC；（4）連接DE，并測量出它的長度.DE的長度就是A、B間的距離.理由如下：在△ABC和△DEC中，因為AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC.所以△ABC≌△DEC（SAS）.所以AB=DE.【點睛】考核知識點：全等三角形的判定和性質(zhì)的運用.7．（2022春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，組成一個四邊形ACBD以D為頂點作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．(1)若∠ACD=30°，∠MDN=60°，∠MDN兩邊分別交AC、BC于點M、N，AM、MN、BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)∠ACD+∠MDN=90°時，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(3)如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在CA、BC的延長線上，完成圖3，其余條件不變，則AM、MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）【答案】(1)AM+BN=MN，證明見解析；(2)AM+BN=MN，證明見解析；(3)作圖見解析，BN?AM=MN．【分析】（1）延長CB到E，使BE=AM，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，證△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；（2）延長CB到E，使BE=AM，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，證△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；（3）在CB截取BE=AM，連接DE，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，證△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可．【詳解】（1）AM+BN=MN．證明如下：如圖，延長CB到E，使BE=AM，連接DE．∵∠A=∠CBD=90°，∴∠A=∠EBD=90°．∵△ADC≌△BDC，∴AD=BD．在△DAM和△DBE中，∵AM=BE∴△DAM≌△DBESAS∴∠BDE=∠MDA，DM=DE．∵∠MDN=∠ADC=∠BDC，∴∠ADM=∠NDC=∠BDE，∠MDC=∠NDB，∴∠MDN=∠NDE．在△MDN和△EDN中，∵DM=DE∴△MDN≌△EDNSAS∴MN=NE．∵NE=BE+BN=AM+BN，∴AM+BN=MN；（2）AM+BN=MN．證明如下：如圖，延長CB到E，使BE=AM，連接DE．∵∠A=∠CBD=90°，∴∠A=∠DBE=90°．∵△ADC≌△BDC，∴AD=BD，∠ADC=∠CDB．在△DAM和△DBE中，AM=BE∠A=∠DBE∴△DAM≌△DBESAS∴∠BDE=∠MDA，DM=DE．∵∠MDN+∠ACD=90°，∠ACD+∠ADC=90°，∠ADC=∠CDB，∴∠NDM=∠ADC=∠CDB，∴∠ADM=∠CDN=∠BDE，∠CDM=∠NDB，∴∠MDN=∠NDE．在△MDN和△EDN中，DM=DE∠MDN=∠EDN∴△MDN≌△EDNSAS∴MN=NE．∵NE=BE+BN=AM+BN，∴AM+BN=MN；（3）補充完成題圖，如圖所示．BN?AM=MN．證明如下：如上圖，在CB上截取BE=AM，連接DE．∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，∴∠MDN=∠CDA，∴∠MDA=∠CDN．∵∠B=∠CAD=90°，∴∠B=∠DAM=90°．在△DAM和△DBE中，AM=BE∠DAM=∠DBE∴△DAM≌△DBESAS∴∠BDE=∠ADM=∠CDN，DM=DE．∵∠ADC=∠BDC=∠MDN，∴∠ADN=∠CDE，∴∠MDN=∠EDN．在△MDN和△EDN中，DM=DE∠MDN=∠EDN∴△MDN≌△EDNSAS∴MN=NE．∵NE=BN?BE=BN?AM，∴BN?AM=MN．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·北京海淀·七年級101中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC和△A′B′C′中，AM，A′M′分別是邊BC，B【答案】見解析【分析】延長AM到點E使AM=ME，連接BE，延長A′M′到點E'使A