專題13勾股定理之螞蟻行程模型綜合應(yīng)用（3大類型）

專題13勾股定理之螞蟻行程模型綜合應(yīng)用（3大類型）解題思路解題思路幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解【典例分析】【典例1】如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于16cm，底面半徑等于4cm，在圓柱下底面的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對的B點(diǎn)處的食物，需要爬行的最短路程是多少？．（π取3）【解答】解：將此圓柱展成平面圖得：∵有一圓柱，它的高等于16cm，底面半徑等于4cm（π≈3），∴AC＝16cm，BC＝BB′＝×8π＝12（cm），∴AB＝＝10（cm）．∴AB＝＝20cm．答：需要爬行的最短路程是20cm．【變式11】如圖，一圓柱體的底面周長為10cm，高AB為12cm，BC是直徑，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程為（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【答案】B【解答】解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長為10cm，則AD＝10×＝5（cm）．又因?yàn)镃D＝AB＝12cm，所以AC＝（cm）．故螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程是13cm．故選：B．【變式12】如圖，一圓柱體的底面周長為24cm，高BD為5cm，BC是直徑，一只螞蟻從點(diǎn)D出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C的最短路程大約是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm【答案】C【解答】解：將圓柱體展開，連接DC，圓柱體的底面周長為24cm，則DE＝12cm，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，CD＝＝13（cm）．而走D﹣B﹣C的距離更短，∵BD＝5，BC＝，∴BD+BC≈13．故選：C．【典例2】（2021春?望城區(qū)期末）如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B距離C點(diǎn)5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短距離是cm．【答案】25【解答】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第1個(gè)圖：∵長方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝；只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第2個(gè)圖：∵長方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝；只要把長方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第3個(gè)圖：∵長方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝；∵25＜5，∴螞蟻爬行的最短距離是25．故答案為：25【變式21】正方體盒子的棱長為2，BC的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的最短距離為（）A． B． C．5 D．2+【答案】A【解答】解：展開正方體的點(diǎn)M所在的面，∵BC的中點(diǎn)為M，所以MC＝BC＝1，在直角三角形中AM＝＝．故選：A．【變式22】有一長、寬、高分別是5cm，4cm，3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處沿長方體的表面爬到長方體上和A相對的頂點(diǎn)B處，則需要爬行的最短路徑長為（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm【答案】B【解答】解：因?yàn)槠矫嬲归_圖不唯一，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再從各個(gè)路線中確定最短的路線．（1）展開前面、右面，由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90；（2）展開前面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+4）2+52＝74；（3）展開左面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+5）2+42＝80；所以最短路徑長為cm．故選：B．【典例3】如圖是一個(gè)三級臺(tái)階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是米．【答案】2.5【解答】解：三級臺(tái)階平面展開圖為長方形，長為2，寬為（0.2+0.3）×3，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為x，由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，解得x＝2.5．【變式3】如圖是一個(gè)三級臺(tái)階，它的每一級的長、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度是寸．【答案】25【解答】解：將臺(tái)階展開矩形，線段AB恰好是直角三角形的斜邊，兩直角邊長分別為24寸，7寸，由勾股定理得AB＝＝25寸．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1.長方體的長為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B在棱上與點(diǎn)C的距離為5，如圖，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則需要爬行的最短距離是（）A． B． C．25 D．【答案】C【解答】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第1個(gè)圖：∵長方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝＝＝25；只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第2個(gè)圖：∵長方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝＝＝5；只要把長方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第3個(gè)圖：∵長方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝＝＝5；∵25＜5＜5，∴螞蟻爬行的最短距離是25．故選：C．2．如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，踩傷了花草，則他們僅僅少走了步路．（假設(shè)2步為1米）【答案】4【解答】解：由勾股定理，得路長＝＝5（m），少走（3+4﹣5）×2＝4步，故答案為：4．如圖，一座橋橫跨一河，橋長40m，一艘小船自橋北頭出發(fā)，向正南方駛?cè)ィ蛩髟虻竭_(dá)南岸后，發(fā)現(xiàn)已偏離橋南頭9m，則小船實(shí)際行駛的距離為m．【答案】41【解答】解：根據(jù)題意知，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝9m，在直角△ABC中，AC2＝AB2+BC2，所以實(shí)際行駛的路程為AC＝＝41（m）．故答案為：41．4．如圖，一只螞蟻從長為7cm、寬為5cm，高是9cm的長方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所走的最短路線的長是cm．【答案】15【解答】解：由題意可得，當(dāng)展開前面和右面時(shí)，最短路線長是：＝＝15（cm）；當(dāng)展開前面和上面時(shí)，最短路線長是：＝＝7（cm）；當(dāng)展開左面和上面時(shí)，最短路線長是：＝（cm）；∵15＜7＜，∴一只螞蟻從長為7cm、寬為5cm，高是9cm的長方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所走的最短路線的長是15cm，故答案為：15．5．如圖一只螞蟻從長為5cm、寬為3cm，高是4cm的長方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長是cm．【答案】【解答】解：因?yàn)槠矫嬲归_圖不唯一，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再從各個(gè)路線中確定最短的路線．（1）展開前面右面由勾股定理得AB2＝（5+3）2+42＝80；（2）展開前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+52＝74；（3）展開左面上面由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90．所以最短路徑的長為AB＝（cm）．故答案為：．6．如圖是棱長為4cm的立方體木塊，一只螞蟻現(xiàn)在A點(diǎn)，若在B點(diǎn)處有一塊糖，它想盡快吃到這塊糖，則螞蟻沿正方體表面爬行的最短路程是cm．【答案】【解答】解：將點(diǎn)A和點(diǎn)B所在的面展開為矩形，AB為矩形對角線的長，∵矩形的長和寬分別為8cm和4cm，∴AB＝＝cm．故螞蟻沿正方體的最短路程是cm．7．如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個(gè)小正方形．其邊長都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點(diǎn)A沿表面爬行至側(cè)面的B點(diǎn)，最少要用秒鐘．【答案】2.5【解答】解：因?yàn)榕佬新窂讲晃ㄒ?，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再從各個(gè)路線中確定最短的路線．（1）展開前面右面由勾股定理得AB＝＝cm；（2）展開底面右面由勾股定理得AB＝＝5cm；所以最短路徑長為5cm，用時(shí)最少：5÷2＝2.5秒．8．如圖是一個(gè)三級臺(tái)階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是米．【答案】2.5【解答】解：三級臺(tái)階平面展開圖為長方形，長為2，寬為（0.2+0.3）×3，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為x，由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，解得x＝2.5．9．如圖，有一個(gè)圓柱形倉庫，它的高為10m，底面半徑為4m，在圓柱形倉庫下底面的A處有一只螞蟻，它想吃相對一側(cè)中點(diǎn)B處的食物，螞蟻爬行的速度是50cm/min，那么螞蟻吃到食物最少需要min．（π取3）【答案】26【解答】解：首先展開圓柱的半個(gè)側(cè)面，即是矩形．此時(shí)AB所在的三角形的直角邊分別是5m，12m．根據(jù)勾股定理求得AB＝13m＝1300cm，故螞蟻吃到食物最少需要的時(shí)間是1300÷50＝26min．10．如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點(diǎn)A到達(dá)A1，若圓柱底面半徑為，高為5，則螞蟻爬行的最短距離為．【答案】13【解答】解：因?yàn)閳A柱底面圓的周長為2π×＝12，高為5，所以將側(cè)面展開為一長為12，寬為5的矩形，根據(jù)勾股定理，對角線長為＝13．故螞蟻爬行的最短距離為13．11．一個(gè)長方體盒子，它的長是12d