人教版九年級數(shù)學(xué)上冊重難考點(diǎn)01圓的性質(zhì)通關(guān)專練特訓(xùn)(原卷版+解析)

微專題01圓的性質(zhì)通關(guān)專練一、單選題1．（2022秋·山東菏澤·九年級?？茧A段練習(xí)）在截面為半圓形的水槽內(nèi)裝有一些水，如圖水面寬AB為10cm，如果再注入一些水后，水面上升7cm，此時(shí)水面寬度變?yōu)?4cmA．102cm B．13cm C．142．（2022秋·山東濰坊·九年級期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A=40°，則∠OBC的度數(shù)為（

）A．40° B．50° C．80° D．100°3．（2022秋·山東煙臺·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，OA是⊙O的半徑，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，若∠AOB=46°，則∠ADC為（

）A．44° B．46° C．23° D．88°4．（2022秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接銳角三角形，AD是⊙O的直徑，若∠CAD=40°，則∠ABC的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°5．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）下列有關(guān)圓的一些結(jié)論：①與半徑長相等的弦所對的圓周角是30°或150°；②圓是軸對稱圖形，對稱軸是直徑；③垂直于弦的直徑平分這條弦；④平分弦的直徑垂直于弦．其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④6．（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，連接AD，若AB＝10，CD＝8，則AD的長為（

）A．8 B．241 C．310 D．457．（2022秋·河北邢臺·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=112°點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn)，則∠D的度數(shù)是（

）A．56° B．35° C．38° D．28°8．（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AC為半圓的直徑，弦AB=3，∠BAC=30°，點(diǎn)E、F分別為AB和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為（

）A．3 B．332 C．3 9．（2023·浙江·九年級期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC的中垂線與AC相交于D點(diǎn)，若∠A=60°，∠B=70°，則AD的度數(shù)為（

）A．80° B．70° C．20° D．30°10．（2023春·浙江寧波·九年級?？茧A段練習(xí)）下列語句中不正確的有（）①平分弦的直徑垂直于弦；②相等的圓心角所對的弧相等；③長度相等的兩條弧是等??；④圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)11．（2022秋·北京·九年級?？计谥校┤鐖D，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，若∠BAC=30°，BC=2，則AB的長為（

）．A．2 B．4 C．6 D．812．（2022秋·山東泰安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A、C、D到點(diǎn)O的距離相等，若∠ABC=40°，則∠ADC的度數(shù)是（

）A．32° B．140° C．29° D．61°13．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考二模）如圖，線段AB是半圓O的直徑，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)O為圓心，大于12AO的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN，交半圓O于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)E，連接AC,BC，若AE=2，則BC的長是（

A．4 B．43 C．6 D．14．（2023春·九年級單元測試）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝45°，BC＝5，⊙O的直徑為()A．5 B．52 C．53 D．1015．（2022秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，將△ABC的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△DEF，則∠DAF的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．125° D．120°二、填空題16．（2022秋·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）弧度是表示角度大小的一種單位，圓心角所對的弧長和半徑相等時(shí)，這個(gè)角就是1弧度角，記作1rad，若∠A=1rad，∠B=60°，則∠A與∠B的大小關(guān)系是∠A17．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB為⊙O直徑，CD為弦，AB⊥CD于E，連接CO,AD,∠BAD=26°，則∠BOC=．18．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）已知⊙O的面積為25π．（1）若PO=5.5，則點(diǎn)P在；（2）若PO=4，則點(diǎn)P在；（3）若PO=，則點(diǎn)P在⊙O上．19．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑作弧BD，與AB、AD分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E、F恰好是弧BD的三等分點(diǎn)，連接AC、CE，則∠ACE＝°．20．（2023春·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，根據(jù)圖形中已知條件，可求得陰影部分（半圓）的面積是cm221．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O上有兩定點(diǎn)A、B，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），若∠OAB=35°，則∠APB的度數(shù)是．

22．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖已知直角三角形ABC的面積是12平方厘米，則陰影部分的面積是（圓周率取3.14）．23．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接EC．若AB＝8，CD＝2，則EC的長為．24．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，D為AB的中點(diǎn)，將⊙O沿AB翻折,翻折后的圓弧與AD的延長線交于點(diǎn)C，當(dāng)AB=3，∠BAC=30°時(shí)，CD=．25．（2023春·安徽宣城·九年級階段練習(xí)）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，油槽直徑MN為10分米．截面如圖，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，當(dāng)油面寬變?yōu)?分米，則油面AB上升分米．三、解答題26．（2022秋·浙江·九年級期末）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C、D是直線AB上兩點(diǎn)，且AC=BD，求證：△OCD為等腰三角形．27．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC＝AB，∠BAC＝50°，（1）作出圓心O；（要求用尺規(guī)作圖，不寫作法和證明，保留作圖痕跡）（2）經(jīng)過點(diǎn)B作直徑BF，連接AF，求∠AFB和∠ABF的度數(shù)．28．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)四邊形的對角線互相垂直時(shí)，該四邊形的面積等于對角線乘積的一半，如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC=BD，且AC⊥BD（1）求證：AB=CD．（2）若⊙O的半徑為8，弧BD的度數(shù)為120°，求四邊形ABCD的面積．29．（2022·九年級單元測試）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，AC=30．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，交CA的延長線于點(diǎn)E，連接AD，DE．（1）求證：D是BC的中點(diǎn)（2）若DE=3，AD＝1，求⊙O的半徑．31．（2022秋·甘肅慶陽·九年級校考階段練習(xí)）

如圖，正方形ABCD的外接圓為⊙O，點(diǎn)P在劣弧CD上（不與C點(diǎn)重合）．（1）求∠BPC的度數(shù)；（2）若⊙O的半徑為8，求正方形ABCD的邊長．32．（2022秋·湖北·九年級期末）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，DC．(1)如圖①，當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，請直接寫出線段AB，AC，AD之間滿足的等量關(guān)系式：；(2)如圖②，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，試探究線段AB，AC，AD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．33．（2022秋·湖北恩施·九年級?？茧A段練習(xí)）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，DC．(1)如圖①，當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，請直接寫出線段AB，AC，AD之間滿足的等量關(guān)系式：______；(2)如圖②，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，試探究線段AB，AC，AD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．34．（2022秋·湖南長沙·九年級長沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在⊙O上，連接CE和BE，CE交OB于點(diǎn)D，∠CEB+∠ABC=90°.(1)如圖1，求證：AB是⊙O的直徑；(2)如圖2，點(diǎn)G在⊙O上，連接CG交OA于點(diǎn)H，AC=AD，∠ECG=45°，求證：∠ABC=2∠ACG；(3)如圖3，連接AG，在（2）的條件下，若BC=16，AG=210，求⊙O

微專題01圓的性質(zhì)通關(guān)專練一、單選題1．（2022秋·山東菏澤·九年級校考階段練習(xí)）在截面為半圓形的水槽內(nèi)裝有一些水，如圖水面寬AB為10cm，如果再注入一些水后，水面上升7cm，此時(shí)水面寬度變?yōu)?4cmA．102cm B．13cm C．14【答案】B【分析】過圓心O作OF⊥AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)E，連接AO，CO．由垂徑定理可求出CE=12cm，AF=5cm．設(shè)OE=xcm，則OF=(x【詳解】如圖，過圓心O作OF⊥AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)E，連接AO，由題意可知EF=7cm，CD=24cm，由垂徑定理可知點(diǎn)E和F分別為CD，AB中點(diǎn)，∴CE=12CD=12設(shè)OE=xcm，則OF=(x∵在Rt△AOF中，A在Rt△COE中，C又∵AO=CO，∴25+(x+7)解得：x=5，∴OE=5cm∴CO=C則該水槽截面半徑為13cm故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，勾股定理．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·山東濰坊·九年級期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A=40°，則∠OBC的度數(shù)為（

）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理先求出∠BOC，然后根據(jù)等邊對等角求出∠OBC即可．【詳解】解：連接OC，如圖所示：∵∠A=40°，∴∠BOC=2∠A=80°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=1故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，求出∠BOC=80°，是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山東煙臺·九年級校考階段練習(xí)）如圖，OA是⊙O的半徑，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，若∠AOB=46°，則∠ADC為（

）A．44° B．46° C．23° D．88°【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理得AB=AC，再根據(jù)圓周角定理得【詳解】解：∵AO是半徑，且OA⊥BC，∴AB=∴∠ADC=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握這兩個(gè)性質(zhì)定理．4．（2022秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接銳角三角形，AD是⊙O的直徑，若∠CAD=40°，則∠ABC的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】D【分析】連接BD，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出∠ABD=90°，再根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等，得出∠DBC=∠CAD=40°，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接BD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，∵∠DBC=∠CAD=40°，∴∠ABC=∠ABD?∠DBC=90°?40°=50°，∴∠ABC的度數(shù)為50°．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對的圓周角為直角、同弧或等弧所對的圓周角相等，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，并正確作出輔助線．5．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）下列有關(guān)圓的一些結(jié)論：①與半徑長相等的弦所對的圓周角是30°或150°；②圓是軸對稱圖形，對稱軸是直徑；③垂直于弦的直徑平分這條弦；④平分弦的直徑垂直于弦．其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④【答案】C【分析】利用圓的有關(guān)性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：與半徑長相等的弦所對的圓周角是30°或150°，故①正確，符合題意；圓是軸對稱圖形，對稱軸是直徑所在的直線，故②錯(cuò)誤，不符合題意；垂直于弦的直徑平分這條弦，故③正確，符合題意；平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故④錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的有關(guān)性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理知識．6．（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，連接AD，若AB＝10，CD＝8，則AD的長為（

）A．8 B．241 C．310 D．45【答案】D【分析】如圖，連接OD，利用勾股定理求出OE，再利用勾股定理求出AD即可．【詳解】解：如圖，連接OD．∵AB⊥CD，∴CE＝ED＝4，∵∠OED＝90°，OD＝5，∴OE＝CD2?E∴AE＝OA+OE＝8，∴AD＝AE2+DE2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．7．（2022秋·河北邢臺·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=112°點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn)，則∠D的度數(shù)是（

）A．56° B．35° C．38° D．28°【答案】D【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到∠AOB=12【詳解】連接OB,∵點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn)，

∴∠AOB=12∠AOC=1由圓周角定理得,∠D=12∠AOB=28°故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.8．（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AC為半圓的直徑，弦AB=3，∠BAC=30°，點(diǎn)E、F分別為AB和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為（

）A．3 B．332 C．3 【答案】B【分析】作B點(diǎn)關(guān)于直徑AC的對稱點(diǎn)B′，過B′點(diǎn)作B′E⊥AB于E，交AC于F，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短可判斷此時(shí)FB＋FE的值最小，再判斷△ABB′為等邊三角形，然后計(jì)算出B′E的長即可．【詳解】解：作B點(diǎn)關(guān)于直徑AC的對稱點(diǎn)B′，過B′點(diǎn)作B′E⊥AB于E，交AC于F，如圖，則FB＝FB′，∴FB＋FE＝FB′＋FE＝B′E，此時(shí)FB＋FE的值最小，∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝30°，∴∠BAB′＝60°，∵AB＝AB′，∴△ABB′為等邊三角形，∵B′E⊥AB，∴AE＝BE＝32∴B′E＝3AE＝33即BF＋EF的最小值為33故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．9．（2023·浙江·九年級期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC的中垂線與AC相交于D點(diǎn)，若∠A=60°，∠B=70°，則AD的度數(shù)為（

）A．80° B．70° C．20° D．30°【答案】C【分析】首先連接OB，OC，AO，設(shè)DO交BC于點(diǎn)E，由∠B＝70°，∠A＝60°，又由△ABC的邊BC的垂直平分線與△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，根據(jù)圓周角定理，即可求得∠AOB與∠BOE的度數(shù)，繼而求得答案．【詳解】解：如圖，連接OB，OC，AO，設(shè)DO交BC于點(diǎn)E，∵OD是△ABC的邊BC的垂直平分線，∴∠BOE＝12∵∠BAC＝12∴∠BOE＝∠BAC，∵∠A＝60°，∠B＝70°，∴∠ACB=50°，∴∠BOE＝∠BAC＝60°，∴∠BOD＝180°?∠BOE＝180°?60°＝120°，∵∠AOB＝2∠ACB＝100°，∴AB的度數(shù)為：100°，∴AD的度數(shù)為：120°?100°＝20°．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．（2023春·浙江寧波·九年級校考階段練習(xí)）下列語句中不正確的有（）①平分弦的直徑垂直于弦；②相等的圓心角所對的弧相等；③長度相等的兩條弧是等弧；④圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理，圓周角定理，圓的基本性質(zhì)，圓心角，弧，弦的關(guān)系逐一判斷即可．【詳解】解：①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故①錯(cuò)誤，符合題意．②在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故②錯(cuò)誤，符合題意．③能夠完全重合的兩條弧是等弧，故③錯(cuò)誤，符合題意．④圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故④錯(cuò)誤，符合題意．⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．說法正確，不符合題意．故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，圓的基本性質(zhì)，圓心角，弧，弦的關(guān)系，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解此題的關(guān)鍵．11．（2022秋·北京·九年級?？计谥校┤鐖D，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，若∠BAC=30°，BC=2，則AB的長為（

）．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求AB的長．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×2=4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．12．（2022秋·山東泰安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A、C、D到點(diǎn)O的距離相等，若∠ABC=40°，則∠ADC的度數(shù)是（

）A．32° B．140° C．29° D．61°【答案】B【分析】根據(jù)題意得到A、B、C、D四點(diǎn)共圓，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】如圖，∵點(diǎn)A、C、D到點(diǎn)O的距離相等，∴OA=OD=OC，∵點(diǎn)O為線段BC的中點(diǎn)，∴OC=OB，∴OA=OB=OC=OD，∴點(diǎn)A、B、C、D在以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓上，即⊙O為四邊形ABCD的外接圓，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；正確得出A、B、C、D四點(diǎn)共圓并熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考二模）如圖，線段AB是半圓O的直徑，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)O為圓心，大于12AO的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN，交半圓O于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)E，連接AC,BC，若AE=2，則BC的長是（

A．4 B．43 C．6 D．【答案】B【分析】連接CO，根據(jù)作圖知CE垂直平分AC，即可得AC=OC，AE=OE=2，根據(jù)圓的半徑得AC=4，AB=8，根據(jù)圓周角的推論得∠ACB=90°，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：連接CO，根據(jù)作圖知CE垂直平分AC，

∴AC=OC，AE=OE=2，∴OC=OB=AO=AE+EO=4，即AB=AO+BO=8，∵線段AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=90°，在RtBC=A故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓，勾股定理，圓周角推論，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)．14．（2023春·九年級單元測試）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝45°，BC＝5，⊙O的直徑為()A．5 B．52 C．53 D．10【答案】B【分析】作⊙O的直徑BD，連接CD，根據(jù)圓周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝45°，繼而可求得CD=BC=5，然后利用勾股定理即可求得答案．【詳解】解∶作⊙O的直徑BD，連接CD，則∠BCD＝90°，由圓周角定理得，∠BDC＝∠BAC＝45°，∴∠DBC=90°-45°=45°=∠BDC，∴CD=BC=5，∴BD＝BC2+C故選∶B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用圓周角定理是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，將△ABC的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△DEF，則∠DAF的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．125° D．120°【答案】D【分析】利用圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可直接得解．【詳解】解：∵△ABC的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△DEF，∴△DEF也是等邊三角形，∴∠DEF=60°，在⊙O的內(nèi)接四邊形ADEF中，∠DEF+∠DAF=180°，∴∠DAF=180°?∠DEF=120°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．二、填空題16．（2022秋·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）弧度是表示角度大小的一種單位，圓心角所對的弧長和半徑相等時(shí)，這個(gè)角就是1弧度角，記作1rad，若∠A=1rad，∠B=60°，則∠A與∠B的大小關(guān)系是∠A【答案】<【分析】根據(jù)弧度的定義，圓心角所對的弧長和半徑相等時(shí)，這個(gè)角就是1弧度角，記作1rad，當(dāng)∠B=60°【詳解】∵OA=OB，∠B=60°∴△AOB為等邊三角形，∴OA=AB，∴圓心角所對的弧長比半徑大，∴∠A<∠B，故答案為：<．【點(diǎn)睛】本題考查了弧度的定義，解題的關(guān)鍵是：理解弧度的定義，從而利用定義來判斷．17．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB為⊙O直徑，CD為弦，AB⊥CD于E，連接CO,AD,∠BAD=26°，則∠BOC=．【答案】52°/52度【分析】根據(jù)垂徑定理及圓周角定理即可得∠BOC=2∠BAD．【詳解】∵AB為⊙O直徑，CD為弦，AB⊥CD∴BC∴∠BOC=2∠BAD=52°故答案為：52°．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．18．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）已知⊙O的面積為25π．（1）若PO=5.5，則點(diǎn)P在；（2）若PO=4，則點(diǎn)P在；（3）若PO=，則點(diǎn)P在⊙O上．【答案】圓外圓內(nèi)5【分析】（1）先求出⊙O的半徑，再根據(jù)PO的長度和圓的半徑進(jìn)行比較即可得；（2）根據(jù)PO的長度和圓的半徑進(jìn)行比較即可得；（3）根據(jù)點(diǎn)在圓上得點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，即可得．【詳解】解：設(shè)⊙O的半徑為r，πrr=5，（1）∵PO=5.5>5，∴點(diǎn)P在圓外；（2）∵PO=4<5，∴點(diǎn)P在圓內(nèi)；（3）若要點(diǎn)P在⊙O上，則PO=r=5；故答案為：（1）圓外；（2）圓內(nèi)；（3）5．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法．19．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑作弧BD，與AB、AD分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E、F恰好是弧BD的三等分點(diǎn)，連接AC、CE，則∠ACE＝°．【答案】18【分析】連接CF，根據(jù)題意得出∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠ACE=∠ACF，設(shè)∠ACE=∠ACF=x，利用三角形內(nèi)角和及三角形外角的性質(zhì)得出180°-6x=4x，求解即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接CF，∵點(diǎn)E、點(diǎn)F為弧BD的三等分點(diǎn)，∴∠BCE=∠ECF=∠FCD，∵AC為菱形對角線，∴∠ACE=∠ACF，設(shè)∠ACE=∠ACF=x，則∠BCE=∠ECF=∠FCD=2x，∴∠BCA=∠BAC=∠BCE+∠ECA=3x，∴∠B=180°-∠BCA-∠BAC=180°-6x，∠CEB=∠ACE+∠CAE=4x，∵CB=CE，∴∠B=∠CEB，即180°-6x=4x，解得：x=18°，故答案為：18．【點(diǎn)睛】題目主要考查菱形的性質(zhì)，圓周角定理，一元一次方程的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)等，理解題意，找出各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．20．（2023春·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，根據(jù)圖形中已知條件，可求得陰影部分（半圓）的面積是cm2【答案】8【分析】由勾股定理，得半圓的直徑等于8cm，故半圓的半徑等于4cm．那么，半圓的面積等于12【詳解】解：如圖，由圖知，∠CAB=90°，AC=6cm，BC=10cm．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2．∴AB=B∴半徑r=4cm．∴S半圓＝12πr2故答案為：8π．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理以及圓的面積公式，熟練掌握勾股定理求得半圓的直徑等于8是解本題的關(guān)鍵．21．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O上有兩定點(diǎn)A、B，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），若∠OAB=35°，則∠APB的度數(shù)是．

【答案】55°或125°【分析】如圖1，2（見解析），連接OB，則ΔOAB是等腰三角形，∠OAB=∠OBA=35°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠AOB=180°?∠OAB?∠OBA=110°，再根據(jù)圓周角定理即可得.【詳解】由題意需分以下兩種情況：（1）如圖1，連接OB，則ΔOAB是等腰三角形∴∠OAB=∠OBA=35°∴∠1=180°?∠OAB?∠OBA=110°∴∠APB=1

（2）如圖2，連接OB，則ΔOAB是等腰三角形∴∠OAB=∠OBA=35°∴∠AOB=180°?∠OAB?∠OBA=110°∴∠2=360°?∠AOB=250°∴∠APB=1

故答案為：55°或125°.【點(diǎn)睛】本題考慮等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理，需注意的的是，第二種情況易被忽略.22．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖已知直角三角形ABC的面積是12平方厘米，則陰影部分的面積是（圓周率取3.14）．【答案】3.42平方厘米【分析】先推出直角三角形ABC是等腰直角三角形，可得BC【詳解】解：∵∠A=45°，∠ABC=90°，∴直角三角形ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC，∵直角三角形ABC的面積是12平方厘米，∴12BC∴半圓的面積=3.14×12∵BC是半圓的直徑，∴BD⊥AC，∴三角形BDC的面積=三角形ABC面積÷2=12÷2=6（平方厘米），∴陰影部分面積=9.42-6=3.42（平方厘米）．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的面積公式，圓周角定理的推論，掌握用割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接EC．若AB＝8，CD＝2，則EC的長為．【答案】213【分析】連接BE，設(shè)⊙O的半徑為R，由OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得AC=BC=12BC=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R?CD=R?2，利用勾股定理可得到R=5，則OC=3，由OC為△ABE的中位線，可得BE=2OC=6，再根據(jù)圓周角定理可得∠ABE=90°，最后在Rt△BCE【詳解】解：連接BE，設(shè)⊙O的半徑為R，如圖，∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝12AB＝1在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，∵OC∴R?22+4∴OC＝5﹣2＝3，∵OC為△ABE中位線，∴BE＝2OC＝6，∵AE為直徑，∴∠ABE＝90°，在Rt△BCE中，CE＝BC2+BE2故答案為：213．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，D為AB的中點(diǎn)，將⊙O沿AB翻折,翻折后的圓弧與AD的延長線交于點(diǎn)C，當(dāng)AB=3，∠BAC=30°時(shí)，CD=．【答案】3【分析】連接BC，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，則AE為⊙O的直徑，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理解Rt△ABC，進(jìn)而求得AC,CD．【詳解】如圖，連接BC，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，則AE為⊙O的直徑∵將⊙O沿AB翻折,翻折后的圓弧與AD的延長線交于點(diǎn)C，∴AC是⊙D的直徑∴∠ABC=90°∵∠BAC=30°∴∠C=60°Rt△ABC中∴AB=∵AB=3∴BC=∴AC=2∴CD=故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對的圓周角等于90°，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，理解AC是⊙D直徑是解題的關(guān)鍵．25．（2023春·安徽宣城·九年級階段練習(xí)）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，油槽直徑MN為10分米．截面如圖，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，當(dāng)油面寬變?yōu)?分米，則油面AB上升分米．【答案】1或7/7或1【分析】本題實(shí)質(zhì)是求兩條平行弦之間的距離．根據(jù)勾股定理求弦心距，作和或差分別求解．【詳解】解：連接OA，作OG⊥AB于G，∵AB=6分米，∴AG=12AB∵油槽直徑MN為10分米．∴OA=5分米，∴OG=52?3同理當(dāng)油面寬AB為8分米時(shí)，弦心距是3分米，∴當(dāng)油面沒超過圓心O時(shí)，油上升了1分米；當(dāng)油面超過圓心O時(shí)，油上升了7分米．故答案為：1或7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，通常把半弦長，半圓心角，圓心到弦距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形求解．三、解答題26．（2022秋·浙江·九年級期末）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C、D是直線AB上兩點(diǎn)，且AC=BD，求證：△OCD為等腰三角形．【答案】見解析【分析】過O作AB垂線，設(shè)垂足為M，由垂徑定理可得AM=BM，已知AC=BD，那么CM=DM，即OM垂直平分線段CD，由此證得OC=OD，即△OCD為等腰三角形．【詳解】解：證明：過點(diǎn)O點(diǎn)作OM⊥AB，垂足為M；∵OM⊥AB，∴AM=BM，∵AC=BD，∴CM=DM，又∵OM⊥AB，∴OC=OD，∴△OCD為等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂徑定理和等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是合理作出輔助線．27．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC＝AB，∠BAC＝50°，（1）作出圓心O；（要求用尺規(guī)作圖，不寫作法和證明，保留作圖痕跡）（2）經(jīng)過點(diǎn)B作直徑BF，連接AF，求∠AFB和∠ABF的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）65°，25°．【分析】（1）作AB、BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為所求；（2）先利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠ACB的度數(shù)，再利用圓周角定理的推論和直角三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：（1）如圖1所示：（2）如圖2所示：∵AC＝AB，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝180°∴∠ACB＝∠AFB＝65°，∵BF是直徑，∴∠BAF＝90°，∴∠ABF＝90°﹣65°＝25°．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作線段的垂直平分線、圓周角定理的推論和直角三角形的性質(zhì)，難度不大，屬于?？碱}型，熟練掌握基本知識是關(guān)鍵.28．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)四邊形的對角線互相垂直時(shí)，該四邊形的面積等于對角線乘積的一半，如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC=BD，且AC⊥BD（1）求證：AB=CD．（2）若⊙O的半徑為8，弧BD的度數(shù)為120°，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ABCD的面積=96．【分析】（1）根據(jù)弦、弧、圓心角的關(guān)系證明；（2）根據(jù)弧BD的度數(shù)為120°，得到∠BOD＝120°，利用解直角三角形的知識求出BD，根據(jù)題意計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵AC=BD，∴AC則AB=DC，（2）解：連接OB、OD，作OH⊥BD于H，∵弧BD的度數(shù)為120°，∴∠BOD=120°，∴∠BOH=60°，∴OH=12∵BO2=BH2+OH2，OB=8∴BH=43∴BD=83則四邊形ABCD的面積=1【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．（2022·九年級單元測試）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，AC=【答案】△ABC是等邊三角形，理由見解析.【分析】由圓周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形內(nèi)角和定理可知∠ACB=60°，故可得出結(jié)論【詳解】△ABC是等邊三角形，理由：∵AC∴AC=BC，∵∠ADC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60°，∴△ABC是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，等邊三角形的判定，熟練掌握圓周角定理是解答此題的關(guān)鍵．30．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，交CA的延長線于點(diǎn)E，連接AD，DE．（1）求證：D是BC的中點(diǎn)（2）若DE=3，AD＝1，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明見解析；（2）10【分析】（1）根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理及等腰三角形的判定得到DE=BD=3，再根據(jù)勾股定理求出AB，即可得到半徑的長.【詳解】（1）∵AB是⊙O直徑∴∠ADB＝90°，在△ABC中，AB=AC，∴DB=DC，即點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∠B=∠E，∴∠C=∠E，∴DE=DC，∵DC=BD，∴DE=BD=3，∵AD=1，又∠ADB＝90°，∴AB=10，∴⊙O的半徑＝102【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)及等角對等邊的判定，勾股定理.31．（2022秋·甘肅慶陽·九年級?？茧A段練習(xí)）

如圖，正方形ABCD的外接圓為⊙O，點(diǎn)P在劣弧CD上（不與C點(diǎn)重合）．（1）求∠BPC的度數(shù)；（2）若⊙O的半徑為8，求正方形ABCD的邊長．【答案】（1）45°；（2）82【分析】（1）先連接OB、OC,根據(jù)圓周角等于同弧所對圓心角的一半，得到∠P=1【詳解】解：（1）連接OB，OC，∵

四邊形ABCD為正方形，∴

∠BOC=90∴

∠P=1（2）過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，∵

OB=OC，∠BOC=90∴

∠OBE=45∴

OE=BE，∵

OE∴

BE=∴

BC=2BE=2×42【點(diǎn)睛】此題考查圓周角的性質(zhì)及垂徑定理，（2）中垂徑定理在運(yùn)用時(shí)與勾股定理同時(shí)運(yùn)用，注意構(gòu)建對應(yīng)的直角三角形32．（2022秋·湖北·九年級期末）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，DC．(1)如圖①，當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，請直接寫出線段AB，AC，AD之間滿足的等量關(guān)系式：；(2)如圖②，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，試探究線段AB，AC，AD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)AB+AC=AD(2)AB+AC=2【分析】（1）在線段AD上截取AE=AB，連接BE，根據(jù)圓周角定理的推論證明△ABE和△BCD是等邊三角形，再利用SAS證明△BED≌△BAC，得出DE=AC，即可推導(dǎo)得出AB+AC=AD；（2）延長AB到點(diǎn)M，使BM=AC，連接DM，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠MBD=∠ACD，再利用SAS證明△MBD≌△ACD，推出MD=AD，∠M=∠BAD=45°，進(jìn)而證明MD⊥AD，根據(jù)勾股定理可得AM=2AD，即【詳解】（1）解：如圖①在線段AD上截取AE=AB，連接BE，∵∠BAC=120°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=60°，∵CD=∴∠DBC=∠DAC=60°，同理：∠DCB=∠DAB=60°，∴BC=CD=DB，∵AE=AB，∠BAE=60°，∴AB=BE=AE，∴∠ABE=∠DBC=60°，∴∠DBE=∠CBA，在△BED和△BAC中，BE=AB∠DBE=∠CBA∴△BED≌△BACSAS∴DE=AC，∴AD=AE+DE=AB+AC．故答案為：AB+AC=AD；（2）解：AB+AC=2如圖②，延長AB到點(diǎn)M，使BM=AC，連接DM，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠MBD=∠ACD，∵∠BAD=∠CAD=1∴BD=CD，在△MBD和△ACD中，MB=AC∠MBD=∠ACD∴△MBD≌△ACDSAS∴MD=AD，∴∠M=∠BAD=45°，∴∠MDA=90°，∴MD⊥AD，∴AM=2AD，即∴AB+AC=2【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，通過添加輔助線，構(gòu)造全等三角形．33．（2022秋·湖北恩施·九年級?？茧A段練習(xí)）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，DC．(1)如圖①，當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，請直接寫出線段AB，AC，AD之間滿足的等量關(guān)系