專題06三角函數(shù)實(shí)際問(wèn)題（原卷版）

二輪復(fù)習(xí)【中考沖刺】20222023年中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)名校模擬題分類匯編專題06——三角函數(shù)實(shí)際問(wèn)題（重慶專用）1．（重慶市第八中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)試題）無(wú)人機(jī)愛(ài)好者小新嘗試?yán)脽o(wú)人機(jī)測(cè)量他家所住的樓房AB的高度．小新站在距離樓房60米的O處，他操作的無(wú)人機(jī)在離地面高度303米的P處，無(wú)人機(jī)測(cè)得此時(shí)小新所處位置O的俯角為60°，樓頂A處的俯角為30°．（O，P，A，B(1)求樓房AB的高度；(2)在（1）的條件下，若無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度且以4米/秒的速度沿平行于OB的方向繼續(xù)勻速向前飛行，請(qǐng)問(wèn)：經(jīng)過(guò)多少秒，無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)小新的視線？2．（重慶市北碚區(qū)西南大學(xué)附屬中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）2022年8月21日，重慶市北碚區(qū)縉云山突發(fā)山火，山火無(wú)情，人間有愛(ài)，各地消防迅速出動(dòng)，沖鋒在前，共抗險(xiǎn)情．消防員在縉云山山腳A觀測(cè)到一處著火點(diǎn)D的仰角為30°，然后沿著坡比為5:12的斜坡前進(jìn)104米到達(dá)B處平臺(tái)，繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)C，測(cè)得斜坡CD的坡角為37°，沿斜坡CD前行800米到達(dá)著火點(diǎn)D．(1)求著火點(diǎn)D距離山腳的垂直高度；(2)已知消防員在平地的平均速度為4m/s，求消防員通過(guò)平臺(tái)BC的時(shí)間．（保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈3．（重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)試題）如圖，某建筑物樓頂掛有廣告牌BC，小華準(zhǔn)備利用所學(xué)的在角函數(shù)知識(shí)估測(cè)該建筑的高度．由于場(chǎng)地有限，不便測(cè)量，所以小華從點(diǎn)A處滑坡度為i=1:3的斜坡步行30米到達(dá)點(diǎn)P處，測(cè)得廣告牌底部C的仰角為45°，廣告牌頂部B的仰角為53°，小華的身高忽略不計(jì)，已知廣告牌BC=12米．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6(1)求P處距離水平地面的高度；(2)求建筑物BO的高度．4．（重慶市沙坪壩區(qū)南開(kāi)中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在一場(chǎng)足球比賽中，進(jìn)攻方甲隊(duì)三名球員A、C、D，與乙隊(duì)的防守球員B的位置如圖所示．此時(shí)足球在球員A腳下，他想將球繞過(guò)對(duì)手B傳至隊(duì)友D處，再由D經(jīng)線路DC回傳給隊(duì)友C．已知對(duì)手B在A的北偏東60°方向，AB=12米．球員C在對(duì)手B的正東方向，BC=3米．球員D在隊(duì)友C的正北方向，且在隊(duì)友A的北偏東37°方向．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos53°≈35，(1)求傳球線路CD的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米）；(2)根據(jù)對(duì)手B的跑動(dòng)和攔截范圍估計(jì)，對(duì)手B可以破壞掉在B點(diǎn)5米范圍內(nèi)的球．球員D經(jīng)線路DC傳球給隊(duì)友C的同時(shí)，隊(duì)友C沿CD方向去接球，已知球速為10m/s，球員C的平均速度為8m/s．計(jì)算說(shuō)明球員C是否能避開(kāi)防守順利接到球？5．（重慶市九龍坡區(qū)育才中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖所示，為學(xué)校旁邊一座小山的截面圖．已知AB是水平線，經(jīng)測(cè)量AB=1712米，BC、CD、AD是斜坡，斜坡BC的坡角為37°，坡長(zhǎng)為1000米，CD⊥BC，斜坡AD的坡比為i=5:12，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB垂足為E．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75(1)求坡頂C到水平線AB的距離；(2)某徒步愛(ài)好者小明沿著這個(gè)截面按照B→C→D→A的路線走完全程，求小明所走的總路程．6．（2022年重慶市第一中學(xué)校九年級(jí)下學(xué)期階段性消化作業(yè)（四）（一診）數(shù)學(xué)試題）3月份，長(zhǎng)江重慶段開(kāi)始進(jìn)入枯水期，有些航道狹窄的水域通航壓力開(kāi)始慢慢增加．為及時(shí)掌握轄區(qū)通航環(huán)境實(shí)時(shí)情況，嚴(yán)防船舶擱淺、觸礁等險(xiǎn)情事故發(fā)生，沿江海事執(zhí)法人員持續(xù)開(kāi)展巡航檢查，確保近七百公里的長(zhǎng)江干線通航安全．如圖，巡航船在一段自西向東的航道上的A處發(fā)現(xiàn)，航標(biāo)B在A處的北偏東45°方向200米處，以航標(biāo)B為圓心，150米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，會(huì)使過(guò)往船舶有危險(xiǎn)．(1)由于水位下降，巡航船還發(fā)現(xiàn)在A處北偏西15°方向300米的C處，露出一片礁石，求B、C兩地的距離；（精確到1米）(2)為保證航道暢通，航道維護(hù)項(xiàng)目部會(huì)組織挖泥船對(duì)該條航道被淺灘影響的航段進(jìn)行保航施工．請(qǐng)判斷該條航道是否被這片淺灘區(qū)域影響？如果有被影響，請(qǐng)求出被影響的航道長(zhǎng)度為多少米？如果沒(méi)有被影響，請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，77．（重慶市北碚區(qū)西南大學(xué)附屬中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖是某景區(qū)的觀光扶梯建設(shè)示意圖．起初工程師計(jì)劃修建一段坡度為3∶2的扶梯AB，扶梯總長(zhǎng)為1013米．但這樣坡度大陡，扶梯太長(zhǎng)容易引發(fā)安全事故．工程師修改方案：修建AC、DE兩段扶梯，并減緩各扶梯的坡度，其中扶梯AC和平臺(tái)CD形成的∠ACD為135°，從E點(diǎn)看D點(diǎn)的仰角為30°，AC段扶梯長(zhǎng)20米．（參考數(shù)據(jù)：2(1)求點(diǎn)A到BE的距離．(2)DE段扶梯長(zhǎng)度約為多少米？（結(jié)果保留1位小數(shù)）8．（重慶市渝中區(qū)巴蜀中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15°的方向航行10千米到達(dá)點(diǎn)C處，此時(shí)點(diǎn)C位于點(diǎn)B的北偏東60°．(1)求此時(shí)漁船距離直線AB的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．(2)漁船到達(dá)點(diǎn)C后，按原航向繼續(xù)航行一段時(shí)間后，到達(dá)點(diǎn)D等待補(bǔ)給，此時(shí)漁船在點(diǎn)B的南偏東75°的方向．在漁船到達(dá)點(diǎn)D的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時(shí)20千米的速度前往D處，請(qǐng)問(wèn)補(bǔ)給船能在80分鐘內(nèi)到達(dá)點(diǎn)D嗎？（參考數(shù)據(jù)：3≈1.739．（重慶市渝中區(qū)巴蜀中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東30°方向，距離燈塔100海里的A處，它計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處．(1)問(wèn)B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（結(jié)果精確到0.1海里）(2)假設(shè)有一圓形暗礁區(qū)域，它的圓心位于射線PB上，距離燈塔150海里的點(diǎn)O處．圓形暗礁區(qū)域的半徑為60海里，進(jìn)入這個(gè)區(qū)域，就有觸礁的危險(xiǎn)．①請(qǐng)判斷海輪到達(dá)B處是否有觸礁的危險(xiǎn)？并說(shuō)明理由．②如果海倫從B處繼續(xù)向正北方向航行，是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，310．（重慶市萬(wàn)州區(qū)第二高級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）為緩解交通擁堵，某區(qū)擬計(jì)劃修建一地下通道，該通道一部分的截面如圖所示（圖中地面AD與通道BC平行，通道水平寬度BC為8米，∠BCD=135°，通道斜面CD的長(zhǎng)為6米，通道斜面AB的坡度i=1：2．（1）求通道斜面AB的長(zhǎng)；（2）為增加市民行走的舒適度，擬將設(shè)計(jì)圖中的通道斜面CD的坡度變緩，修改后的通道斜面DE的坡角為30°，求此時(shí)BE的長(zhǎng)．（答案均精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，5≈2.24，6≈2.45）11．（重慶市第一中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，某火車站A位于東西方向火車軌道l上，小區(qū)B在火車站A的西北方向400米處，小區(qū)C在火車站A的北偏東15°方向上，小區(qū)C在小區(qū)B的北偏東60°方向上．(1)求火車站A與小區(qū)C之間的距離（精確到1米）；(2)火車在行駛過(guò)程中，周圍300米內(nèi)都能聽(tīng)到它發(fā)出的噪聲，深夜更加明顯，一列火車從火車站A向西行駛，火車發(fā)出的噪聲會(huì)影響小區(qū)B的住戶嗎？如果受到影響，需要在軌道旁安裝降噪裝置，請(qǐng)求出需安裝降噪裝置的軌道長(zhǎng)度；如果不受影響，請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，312．（重慶市沙坪壩區(qū)第八中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，一貨船從港口A出發(fā)，以40海里/小時(shí)的速度向正北方向航行，經(jīng)過(guò)1小時(shí)到達(dá)B處，測(cè)得小島C在B的東北方向，且在點(diǎn)A的北偏東30°方向．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，sin(1)求BC的距離（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)由于貨船在B處突發(fā)故障，于是立即以30海里/小時(shí)的速度沿BC趕往小島C維修，同時(shí)向維修站D發(fā)出信號(hào)，在D處的維修船接到通知后立即準(zhǔn)備維修材料，之后以50海里/小時(shí)的速度沿DC前往小島C，已知D在A的正東方向上，C在D的北偏西37°方向，通知時(shí)間和維修船準(zhǔn)備材料時(shí)間一共6分鐘，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明維修船能否在貨船之前到達(dá)小島C．13．（2022年重慶市第八中學(xué)校中考全真模擬考試強(qiáng)化訓(xùn)練（四）數(shù)學(xué)試題）如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島20千米的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15°的方向航行．(1)漁船航行多遠(yuǎn)距離小島B最近（結(jié)果保留根號(hào)）？(2)漁船到達(dá)距離小島B最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行106千米到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊(duì)求救，問(wèn)救援隊(duì)從B處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少．（結(jié)果精確到1千米，參考數(shù)據(jù)214．（重慶市第一中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬，如圖，媽媽位于游客中心A的正北方向的B處，其中AB=2km，明明位于游客中心A的西北方向的C處，烈日當(dāng)空，媽媽準(zhǔn)備把包里的太陽(yáng)帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時(shí)明明騎馬向南偏東60°方向緩慢前進(jìn)，15分鐘后，他們?cè)谟慰椭行腁的北偏西37°方向的點(diǎn)D處相遇．(1)求媽媽步行的速度；(2)求明明從C處到D處的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.8,15．（重慶市大渡口區(qū)第九十五初級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題）“五一”節(jié)期間，許多露營(yíng)愛(ài)好者在我市郊區(qū)露營(yíng)，為遮陽(yáng)和防雨會(huì)搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是垂直于地面的支桿AB，用繩子拉直AD后系在樹干EF上的點(diǎn)E處，使得A，D，E在一條直線上，通過(guò)調(diào)節(jié)點(diǎn)E的高度可控制“天幕”的開(kāi)合，AC=AD=2m，BF=3m．(1)天晴時(shí)打開(kāi)“天幕”，若∠α=65°，求遮陽(yáng)寬度CD（結(jié)果精確到0.1m）；(2)下雨時(shí)收攏“天幕”，∠α從65°減少到45°，求點(diǎn)E下降的高度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.1416．（2022年重慶市沙坪壩區(qū)初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）如圖，某社區(qū)公園內(nèi)有A，B，C，D四個(gè)休息座椅，并建有一條從A-B-C-D-A的四邊形循環(huán)健身步道．經(jīng)測(cè)量知，∠ABC=75°，∠A=60°，∠D=60°，步道AB長(zhǎng)40米，步道CD長(zhǎng)20米．（A，B，C，D在同一平面內(nèi)，步道寬度忽略不計(jì)．結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：3≈1.7，6(1)求步道BC的長(zhǎng)；(2)公園管理處準(zhǔn)備將四邊形ABCD的內(nèi)部區(qū)域全部改建成兒童活動(dòng)區(qū)，經(jīng)調(diào)研，改建兒童活動(dòng)區(qū)成本為每平方米200元．社區(qū)公園目前可用資金為18萬(wàn)元，計(jì)算此次改建費(fèi)用是否足夠？17．（重慶市重慶市沙坪壩區(qū)第八中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué)自主學(xué)習(xí)檢查數(shù)學(xué)試題）夜晚，小明站在兩路燈AB、CD之間的點(diǎn)F處，小明身高EF=1.5m，如圖，若BD=10m，他在路燈AB下的影子為FM，在路燈(1)若FB=4m，F(xiàn)N=3m，求路燈CD(2)若AB和CD的高度都恰好等于（1）中CD的高度，小明在兩路燈AB、CD之間行走（不包括點(diǎn)B，點(diǎn)D），則線段NM的長(zhǎng)是否為定值?若是，請(qǐng)求出18．（2022年重慶市九龍坡區(qū)六校九年級(jí)下學(xué)期階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個(gè)觀測(cè)站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)P處，從A處測(cè)得漁船在北偏西60°的方向，從B處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得B，P兩點(diǎn)之間的距離為20海里．(1)求觀測(cè)站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)漁船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時(shí)，從B測(cè)得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達(dá)C處的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度前往C處，請(qǐng)問(wèn)補(bǔ)給船能否在82分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：3≈1.7319．（2022年重慶市巴南區(qū)重點(diǎn)中學(xué)指標(biāo)到校考試數(shù)學(xué)試題）4月重慶市巴南區(qū)某景區(qū)紅楓爛漫，迎來(lái)大量游客觀賞，為了落實(shí)防疫要求，景區(qū)計(jì)劃在西門A和東門B之間修建一條筆直的專用通道AB（其中B在A的正東方向上）．已知通道AB的一側(cè)有一個(gè)半徑為800米的圓形湖泊，湖泊正中央是多彩噴泉C，在通道AB上的有個(gè)觀景臺(tái)M，經(jīng)測(cè)得噴泉C在觀景臺(tái)M的北偏東53°方向上，從觀景臺(tái)M向東走300米到達(dá)涼亭N處，此時(shí)測(cè)得噴泉C正好在涼亭N的東北方向上．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60,(1)求觀景臺(tái)M與多彩噴泉C之間的距離是多少米？(2)為了不破壞湖泊，修建的通道AB是否需要改變線路？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（重慶市沙坪