第2章有理數運算（基礎典型易錯壓軸）分類專項訓練

第2章有理數運算（基礎、典型、易錯、壓軸）分類專項訓練【基礎】一、單選題1．（2022·浙江寧波·七年級期末）近幾年寧波市常住人口總量持續(xù)增長，根據第七次全國人口普查數據顯示寧波市常住人口約為萬人，萬精確到（）A．十分位 B．百分位 C．百位 D．萬位【答案】C【分析】根據萬等于，找出3所在的位置即可得．【詳解】解：萬，因為3在百位，所以萬精確到百位，故選：C．【點睛】本題考查了精確度，熟練掌握精確度的概念是解題關鍵．2．（2022·浙江杭州·七年級期末）下列式子：①（﹣3）+5；②（﹣6）×2；③（﹣3）×（﹣2）；④（﹣3）÷（﹣6），計算結果是負數的是(

)A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】先計算各個小問的結果，即可得到哪個選項是正確的．【詳解】解：（3）+5=2，故①不符合題意；（6）×2=12，故②符合題意；（3）×（2）=6，故③不符合題意；（3）÷（6）=，故④不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查有理數的混合運算、正數和負數，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．3．（2022·浙江麗水·七年級期末）在一個峽谷中，測得A地的海拔為11米，B地比A地高15米，則B地的海拔為（）A．4米 B．4米 C．26米 D．26米【答案】A【分析】根據有理數的加法運算法則直接列式進行計算即可得出答案．【詳解】解：∵A地的海拔為11米，B地比A地高15米，∴B地的海拔是：11+15=4（米），故答案為：A．【點睛】本題主要考查了有理數的加法的應用，熟練掌握有理數的加法運算法則是解題的關鍵．4．（2022·浙江紹興·七年級期末）計算下列各式，值為負數的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據有理數加減和乘除的性質，對各個選項逐個分析，即可得到答案．【詳解】，即選項A符合題意；，即選項B不符合題意；，即選項C不符合題意；，即選項D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了有理數運算的知識；解題的關鍵是熟練掌握有理數加減和乘除運算的性質，從而完成求解．5．（2022·浙江寧波·七年級期末）計算＝（）A．2m+3n B．m2+3n C．2m+n3 D．2m+3n【答案】D【分析】由加法法則和乘法法則進行計算，即可得到答案．【詳解】解：＝2m+3n．故選：D．【點睛】本題考查了有理數的加法、乘法和乘方，解題的關鍵是掌握運算法則進行計算．6．（2022·浙江寧波·七年級期末）2021年中央財政下達城鄉(xiāng)義務教育補助經費是億元，億用科學記數法可表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數，且n比原來的整數位數少1，據此判斷即可．【詳解】11．故選：D．【點睛】此題主要考查了用科學記數法表示較大的數，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關鍵．7．（2022·浙江杭州·七年級期末）已知a＝﹣，b＝，c＝﹣，則下列各式結果最大的是(

)A．|a+b+c| B．|a+b﹣c| C．|a﹣b+c| D．|a﹣b﹣c|【答案】C【分析】根據有理數的加減法法以及絕對值的性質求出各個選項的值，再比較大小即可．【詳解】解：|a+b+c|==，|a+bc|==，|ab+c|==，|abc|==，∵，∴結果最大的是|ab+c|．故選：C．【點睛】此題主要考查了有理數大小比較的方法，有理數的加減法以及絕對值，掌握有理數的加減法法則是解答本題的關鍵．8．（2022·浙江杭州·七年級期末）（﹣2）4是（﹣2）2的(

)倍．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據冪的法則計算即可．【詳解】解：（2）4÷（2）2=（2）2=4，故選：D．【點睛】本題考查了有理數的乘方，掌握an表示n個a相乘是解題的關鍵．9．（2022·浙江臺州·七年級期末）現有30個數，其中所有正數之和為10，負數之和為，這30個數的絕對值之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】所有負數的絕對值的和等于所有負數和的絕對值，所有正數之和的絕對值等于所有正數絕對值的和，從而可求得30個數的絕對值之和．【詳解】所有負數的絕對值的和為，所有正數之和為10，則所有30個數的絕對值之和為：；故選：C．【點睛】本題考查了絕對值的性質，有理數的加法運算，關鍵掌握負數的和的絕對值等于負數的絕對值的和，正數的和的絕對值等于正數的絕對值的和．10．（2022·浙江金華·七年級期末）利用分配律計算時，正確的方案可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據分配律簡便運算，將轉化為即可【詳解】解：A.，故該選項不正確，不符合題意；B.，故該選項正確，符合題意；C.，故該選項不正確，不符合題意；D.，故該選項不正確，不符合題意；故選B【點睛】本題考查了乘法分配律進行簡便運算，正確的拆分帶分數是解題的關鍵．11．（2022·浙江杭州·七年級期末）有三個實數，，滿足，若，則下列判斷中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先證明再求解再結合已知條件逐一分析即可.【詳解】解：，，解得：故A，B，C不符合題意，D符合題意，故選D【點睛】本題考查的是相反數的含義，有理數的加法與乘法運算的符號確定，推導出是解本題的關鍵.12．（2022·浙江寧波·七年級期末）用2，0，2，2這四個數進行如下運算，計算結果最小的式子是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據各個選項中的式子，可以計算出結果，從而可以得到哪個式子的結果最?。驹斀狻拷猓篈、2?0×2＋2＝2?0＋2＝4，B、2?0＋2×2＝2?0＋4＝6，C、2×0＋2?2＝0＋2?2＝0，D、2＋0?2×2＝2＋0?4＝?2，由上可得，2＋0?2×2的結果最小，故選：D．【點睛】本題考查有理數的混合運算、有理數的大小比較，解答本題的關鍵是明確有理數的混合運算的運算法則和運算順序．二、填空題13．（2022·浙江臺州·七年級期末）某檢修小組從A地出發(fā)，在東西方向的馬路上檢修線路，若規(guī)定向東行駛為正，向西行駛為負，一天中五次行駛記錄如下（單位：）：，，，，．則收工時檢修小組在A地______邊______．【答案】

西

5【分析】將五次行駛的記錄數據相加即可得到答案．【詳解】∵，∴在A地西邊5千米處．故答案為：西；5．【點睛】本題考查了有理數的加減法，能夠將實際問題和有理數的加減相結合，并且能夠準確計算出結果是解決本題的關鍵．14．（2022·浙江臺州·七年級期末）計算：1﹣7＝_____．【答案】﹣6【分析】根據有理數的減法法則即可得．【詳解】解：1﹣7＝1+（﹣7）＝﹣6．故答案為：﹣6．【點睛】本題考查了有理數的減法，掌握有理數的減法法則是解題的關鍵．15．（2022·浙江金華·七年級期末）用四舍五入法對0.05049（精確到千分位）取近似值是______．【答案】0.050【分析】把萬分位上的數字1進行四舍五入即可.【詳解】解：0.05049（精確到千分位）取近似數是0.050．故答案為：0.050.【點睛】本題考查了近似數和有效數字：近似數與精確數的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數字等說法．從一個數的左邊第一個不是0的數字起到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字.16．（2022·浙江金華·七年級期末）我市某天的最高氣溫是8℃，最低氣溫是－3℃，那么這天的溫差是______℃．【答案】11【分析】溫差等于最高氣溫減去最低氣溫，根據公式列式計算即可.【詳解】解：8﹣（﹣3）＝8+3＝11（℃）答：這天的溫差是11℃．故答案為：11．【點睛】本題考查的是有理數的減法的應用，理解題意，列出正確的運算式是解題的關鍵.17．（2022·浙江金華·七年級期末）第19屆亞運會于2022年9月10日至25日在中國浙江杭州舉行，根據規(guī)劃，杭州亞組委共招募賽會志愿者約52000名，數字52000用科學記數法可以表示為_____________．【答案】【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為，其中，為整數．【詳解】．故答案為：【點睛】本題考查了科學記數法，科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原來的數，變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，是正數；當原數的絕對值時，是負數，確定與的值是解題的關鍵．三、解答題18．（2022·浙江臺州·七年級期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）將有理數的減法轉化為有理數的加法再計算；（2）先算乘方，再算有理數的除法．(1)解：；(2)解：．【點睛】本題考查了有理數的加法與除法運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．19．（2022·浙江衢州·七年級期末）計算：(1)5+（﹣6）﹣（﹣8）．(2)﹣14÷（﹣7）×．【答案】(1)7；(2)7【分析】（1）先把加減運算統(tǒng)一為省略加號的和的形式，再計算即可；（2）先計算除法運算，再計算乘法運算，即可得到結果．(1)解：(2)【點睛】本題考查的是加減混合運算，乘除混合運算，掌握按照從左至右的運算順序進行運算是解本題的關鍵．20．（2022·浙江舟山·七年級期末）計算：(1)3+1215(2)【答案】(1)；(2)1【分析】（1）先把同號的兩個負數先加，再計算異號的兩數的加法即可；（2）利用乘法的分配律把括號外的數乘以括號內的每一個數，再把所得的積相加即可．（1）解：3+1215（2）【點睛】本題考查的是加減混合運算，乘法的分配律的應用，掌握“利用乘法的分配律進行簡便運算”是解本題的關鍵．21．（2022·浙江臺州·七年級期末）用正負數表示氣溫的變化量，上升為正，下降為負．登山時，每登高1000米氣溫的變化量為6℃．今年元旦、七（2）班幾位同學約好去登山，同一時間，得知山頂氣溫為1℃，山腳的氣溫為2.5℃．問這座山的高度有多少米？（結果精確到l米）【答案】這座山的高度大約有583米．【分析】根據題意列出算式[2.5（1）]÷6×1000，依此計算即可求出值．【詳解】解：根據題意得：[2.5（1）]÷6×1000=3.5÷6×1000=3500÷6=583（米）．故這座山的高度大約有583米．【點睛】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．22．（2022·浙江寧波·七年級期末）計算：【答案】(1)15；【分析】（1）根據有理數的乘法運算律及運算法則計算即可；解：．23．（2022·浙江衢州·七年級期末）小紅與小亮兩位同學計算﹣32﹣6×（）的過程如圖：請判斷他們的解法是否正確（在相應的方框內打“√”或“×”），并寫出你的解答過程．【分析】利用含乘方的有理數運算法則和乘法結合律計算即可．【詳解】解：正確解答過程如下：原式．【點睛】本題考查含乘方的有理數運算和乘法結合律，解題的關鍵是掌握含乘方的有理數運算法則和乘法結合律，能夠正確計算．24．（2022·浙江金華·七年級期末）小明原有生活費50元，現靠勤工儉學的收入支付生活費，下面是小明一周內每天生活費的增減情況表（增加為正，減少為負，單位：元）：星期一二三四五六日增減+72+12601+6(1)求星期二結束時，小明有生活費多少元?(2)在這一周內，小明的生活費最多的一天比最少的一天多多少元?【答案】(1)星期二結束時，小明有生活費元(2)在這一周內，小明的生活費最多的一天比最少的一天多元【分析】（1）根據正負數的意義，以及有理數的加減法計算即可；（2）根據（1）的方法計算這周每天的生活費，將最多的減去最少的即可求解(1)解：星期一的生活費為：（元）星期二的生活費為：元答：星期二結束時，小明有生活費元(2)依題意，星期三的生活費為：，星期四的生活費為：，星期五的生活費為：，星期六的生活費為：，星期日的生活費為：，小明的生活費最多的一天是星期三有67元，最少的一天是星期二，有55元則（元），答：在這一周內，小明的生活費最多的一天比最少的一天多元．【點睛】本題考查了正負數的意義，有理數的加減法的應用，掌握正負數的意義是解題的關鍵．25．（2022·浙江紹興·七年級期末）觀察圖，回答下列問題．(1)截至12月9日22時，紹興地區(qū)有陽性感染者_____________例．(2)新冠肺炎的傳染途徑與方式非常復雜，假設陽性感染者第二天就能傳染給他人，且1例陽性感染者在不知情的情況下平均每天傳播使2個人感染陽性，如果不對陽性感染者進行隔離，那么截至12月12日22時，紹興地區(qū)累計陽性感染者將會達到多少例?(3)事實上，截至12月12日，紹興地區(qū)累計陽性感染者108例，請你說說政府采取了哪些有效的防疫措施?（請寫出至少兩條）【答案】(1)30(2)截至12月12日22時紹興地區(qū)累計陽性感染者將會有810例(3)見解析（答案不唯一）【分析】（1）根據疫情關系圖，即可求解；（2）根據題意先求出12月10日的感染人數，再求出12月11日的感染人數，即可求解；（3）有效的防疫措施有①堅持“四早”：早發(fā)現、早報告、早隔離、早治療；②全員核酸檢測；③及時隔離治療病人；④以病人為中心，以報告的病例為源頭，進行流行病學調查；等等，即可求解．(1)解：根據題意得：紹興地區(qū)有陽性感染者30例；(2)解：12月10日：30+30×2=90例；12月11日：90+90×2=270例；12月12日：270+270×2=810例．答：截至12月12日22時紹興地區(qū)累計陽性感染者將會有810例．(3)答：①堅持“四早”：早發(fā)現、早報告、早隔離、早治療；②全員核酸檢測；③及時隔離治療病人；④以病人為中心，以報告的病例為源頭，進行流行病學調查；等等．【點睛】本題主要考查了有理數混合運算的應用，明確題意，準確得到數量關系是解題的關鍵．【典型】一、單選題1．（2020·浙江溫州·七年級期中）南山隧道工程是溫瑞大道快速路的重要節(jié)點工程，該工程造價最終報價為376000000元，其中376000000用科學記數法可表示為（）A．37.6×108 B．3.76×108 C．3.76×109 D．37.6×107【答案】B【分析】根據科學記數法的定義：把一個數表示成的形式，其中，即可得出答案．【詳解】．故選：B．【點睛】本題考查的是科學記數法，熟練掌握科學記數法的定義是解決本題的關鍵．2．（2020·浙江溫州·七年級階段練習）某測繪小組的技術員要測量A，B兩處的高度差（A，B兩處無法直接測量），他們首先選擇了D，E，F，G四個中間點，并測得它們的高度差如下表：根據以上數據，可以判斷A，B之間的高度關系為（）A．B處比A處高 B．A處比B處高C．A，B兩處一樣高 D．無法確定【答案】B【分析】根據題意列出算式，A，B之間的高度差，結果大于0，則A處比B處高，結果小于0，則B處比A處高，結果等于0，則A，B兩處一樣高．【詳解】根據題意，得：==將表格中數值代入上式，得∵1.5>0∴故選B．【點睛】本題考查了有理數的加減混合運算，根據題意列出算式，去括號時注意符號變號問題是本題的關鍵．3．（2020·浙江紹興·七年級階段練習）2019的倒數是（

）A．2019 B． C． D．【答案】C【分析】把乘積是1的兩個數叫做互為倒數，根據倒數的概念即可求解．【詳解】2019的倒數是，故選：C．【點睛】本題主要考查了倒數的相關概念，熟練掌握倒數的相關概念是解決本題的關鍵．4．（2019·浙江·高照實驗學校一模）兩個非零有理數的和為零，則它們的商是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】首先根據條件判斷這兩個數是一對非零的相反數，由相反數的性質，可知它們符號相反，絕對值相等，再根據有理數的除法法則得出結果．【詳解】∵

兩個非零有理數的和為零，∴

這兩個數是一對相反數，∴

它們符號不同，絕對值相等，∴

它們的商是．故選．【點睛】本題考查了相反數的定義、性質及有理數的除法運算法則：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．5．（2018·浙江省杭州第二中學七年級期末）若|m3|+|n+2|=0,則m·n的倒數是（

）A．6 B． C． D．6【答案】C【分析】根據非負數的性質列式求出ab的值,然后再代入代數式進行計算.【詳解】根據題意得,m3=0,n+2=0,解得m=3,n=2,m·n的倒數是=.故選C.【點睛】本題主要考查了非負數的性質及倒數,其中幾個非負數相加等于0,則每一個算式都等于0.6．（2018·浙江省杭州第二中學七年級期末）某市地鐵2號線已開工，全長約382000m，將382000科學記數法表示應為（）A．0.382×106 B．3.82×105 C．38.2×104 D．382×103【答案】B【分析】根據科學記數法的定義可得答案.【詳解】解:382000=3.82x105.所以B選項是正確的.【點睛】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為的形式,其中1≤|a|<10,n為整數,表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.7．（2019·浙江·臨安市錦城第二初級中學七年級期末）下列各組數中，互為相反數的是(

)A．（1）與1 B．（－1）2與1 C．與1 D．－12與1【答案】D【分析】利用相反數的定義，兩個數之和為零來判斷．【詳解】解：A，（1）與1不是相反數，選項錯誤，不符合題意；B，（－1）2與1不是互為相反數，選項錯誤，不符合題意；C，｜1｜與1不是相反數，選項錯誤，不符合題意；D，－12與1是相反數，選項正確，符合題意；故選D．【點睛】本題考查了相反數，解題的關鍵是掌握相應的定義即兩個數之和為零，這兩個數互為相反數．二、填空題8．（2020·浙江溫州·七年級階段練習）已知|a+2|與（b3）2互為相反數，則ab=

_________．【答案】6【分析由相反數的定義和絕對值的意義，先求出a、b的值，再代入計算即可．【詳解】∵|a+2|與（b3）2互為相反數，∴，∴，，∴，，∴ab=6；故答案為：6．【點睛】本題考查了相反數的定義，絕對值的意義，以及絕對值的非負性，乘方的性質，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確求出a、b的值．9．（2018·浙江省杭州第二中學七年級期末）若x，y互為相反數，a、b互為倒數，則代數式16x+16y的值是_______．【答案】【分析】根據題意可得：x+y=0，ab=1，然后把以上代數式整體代入所求代數式即可.【詳解】解：根據題意：x+y=0，ab=1，則代數式16x+16y=16（x+y）=，故答案：.【點睛】本題主要考查相反數、倒數的概念與性質及代數式求值.三、解答題10．（2020·浙江溫州·七年級階段練習）（1）比較下列各式的大小：|5|+|3|_________|5+3|，

|5|+|3|_________|（5）+（3）|，|5|+|3|_________|（5）+3|，

|0|+|5|_________|0+（5）|；（2）通過（1）的比較、觀察，請你猜想歸納：當a，b為有理數時，|a|+|b|_________|a+b|（填入“≥”“≤”“>”或“<”）；（3）根據（2）中你得出的結論，求當|x|+|2|=|x2|時，直接寫出x的取值范圍．【答案】（1）=，=，＞，=；（2）≥；（3）x≤0【分析】（1）將絕對值化簡，然后比較大小即可；（2）根據第一問結果，即可以歸納為“≥”；（3）根據（1）中第二、四個式子，推測出x的取值范圍．【詳解】（1）|5|=5，|3|=3，|5+3|=8，因此|5|+|3|=|5+3||5|=5，|3|=3，|（5）+（3）|=8，因此|5|+|3|=|（5）+（3）||5|=5，|3|=3，|（5）+3|=2，因此|5|+|3|＞|（5）+3||0|=0，|5|=5，|0+（5）|=5，因此|0|+|5|=|0+（5）|；故答案為=，=，＞，=；（2）由（1）得：|a|+|b|≥|a+b|故答案為≥；（3）根據（1）中第二、四個式子，得：x≤0故答案為x≤0．【點睛】本題考查了絕對值的化簡，和絕對值方程，根據第一問和第二問總結規(guī)律，掌握細節(jié)是本題的關鍵．【易錯】一．選擇題（共14小題）1．（2021秋?衢江區(qū)期末）衢州市體育中心占地面積62500平方米，可容納三萬人．其中數62500用科學記數法表示為（）A．6.25×105 B．62.5×104 C．0.625×105 D．6.25×104【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．【解答】解：62500＝6.25×104．故選：D．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要確定a的值以及n的值．2．（2021秋?湖州期末）如圖是湖州市某日的天氣預報，該天最高氣溫比最低氣溫高（）A．7℃ B．﹣70℃ C．3℃ D．﹣3℃【分析】根據溫差＝最高氣溫﹣最低氣溫，列式計算．【解答】解：根據題意得：5﹣（﹣2）＝5+2＝7（℃）．故選：A．【點評】本題主要考查了有理數減法，熟練掌握有理數減法法則，根據題意列出式子是解題關鍵．3．（2021秋?杭州期末）根據浙江省統(tǒng)計局發(fā)布的最新數據，2021年前三季度杭州市GDP達到13151億元，是前三季度全國14座GDP達到1萬億元的城市之一．數13151用科學記數法可以表示為（）A．1.31514 B．1.3151×104 C．0.13151×105 D．13151×108【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：13151＝1.3151×104．故選：B．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（2021秋?余姚市期末）2021年12月9日備受矚目的中國空間站第一課“天宮課堂”，通過架設在太空3600萬米的中繼衛(wèi)星與地面之間順利開講．其中3600萬用科學記數法可表示為（）A．3.6×105 B．3.6×106 C．3.6×107 D．3.6×108【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：3600萬＝36000000＝3.6×107，故選：C．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．5．（2021秋?西湖區(qū)校級期中）2021年10月16日，中國神舟十三號載人飛船的長征二號F運十三運載火箭在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心按照預定時間精準點火發(fā)射，約582秒后，神舟十三號載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，截至2021年11月2日，“神舟十三號”載人飛船已在軌飛行18天，距離地球約63800000千米，用科學記數法表示63800000千米為（）A．6.38×106千米 B．6.38×107千米 C．6.38×108千米 D．6.38×109千米【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．【解答】解：63800000千米＝6.38×107千米．故選：B．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要確定a的值以及n的值．6．（2020秋?嘉興期末）2020年12月4日，我國量子計算原型機“九章”問世，它求解數學算法高斯玻色取樣只需200秒，而目前世界最快的超級計算機要用600000000年，數“600000000”用科學記數法表示為（）A．6×109 B．6×108 C．0.6×109 D．0.6×108【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．【解答】解：600000000＝6×108．故選：B．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，正確確定a的值以及n的值是解決問題的關鍵．7．（2020秋?江干區(qū)期末）太陽的中心溫度是1550萬℃，用科學記數法可表示為（）A．1.55×106℃ B．15.5×106℃ C．1.55×107℃ D．0.155×108℃【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．【解答】解：1550萬℃＝15500000℃＝1.55×107℃，故選：C．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．8．（2021秋?甌海區(qū)月考）2021年12月6日，國家統(tǒng)計局公布2021年糧食總產量達到13657億斤，其中數13657億用科學記數法表示為（）A．13657×108 B．1.3657×108 C．13657×1012 D．1.3657×1012【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．【解答】×1012．故選：D．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，正確確定a的值以及n的值是解決問題的關鍵．9．（2021秋?瑞安市月考）下列各式中，數值不相等的是（）A．（﹣2）2和﹣22 B．（﹣2）2和22 C．（﹣2）3和﹣23 D．|﹣2|3和|﹣23|【分析】根據有理數的乘方、絕對值的知識點進行解答，即可判斷．【解答】解：A、（﹣2）2＝4，﹣22＝﹣4，故（﹣2）2≠﹣22，符合題意；B、（﹣2）2＝4，22＝4，故（﹣2）2＝22，不符合題意；C、（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，則（﹣2）3＝﹣23，不符合題意；D、|﹣2|3＝8，|﹣23|＝8，故|﹣2|3＝|﹣23|，不符合題意；故選：A．【點評】此題考查了有理數的乘方及絕對值的知識，確定底數是關鍵，要特別注意﹣2n和（﹣2）n的區(qū)別．10．（2021秋?諸暨市期中）下列各組數中，互為倒數的是（）A．1與 B．﹣1或1 C．2與 D．0.2或0.8【分析】分別計算各選項中兩個數的乘積，根據倒數的概念，如果積為1，那么這兩個數互為倒數．【解答】解：A、1×＝1，故此選項符合題意；B、﹣1×1＝﹣1，故此選項不符合題意；C、2×（﹣）＝﹣1，故此選項不符合題意；D、0.2×0.8＝0.16，故此選項不符合題意．故選：A．【點評】本題主要考查了倒數的定義：若兩個數的乘積是1，我們就稱這兩個數互為倒數，要求掌握并熟練運用．11．（2021?漣源市三模）2021的倒數是（）A．2021 B． C． D．﹣2021【分析】根據倒數的定義即可得出答案．倒數：乘積是1的兩數互為倒數．【解答】解：2021的倒數是，故選：C．【點評】本題主要考查倒數的定義，關鍵是要牢記倒數的定義．12．（2021秋?西湖區(qū)校級期中）有理數95000000用科學記數法表示為（）A．9.5×106 B．9.5×107 C．9.5×108 D．9.5×109【分析】較大的數的科學記數法的一般形式為：a×10n，在本題中a應為9.5，10的指數為整數數位8﹣1＝7．【解答】解：95000000＝9.5×107．故選：B．【點評】本題考查了科學記數法，將一個絕對值較大的數寫成科學記數法a×10n的形式時，其中1≤|a|＜10，n為比整數位數少1的數．13．（2021秋?拱墅區(qū)期中）下列說法：①0是最小的整數；②最大的負整數是﹣1；③正有理數和負有理數統(tǒng)稱為有理數；④立方等于它本身的數只有0，1．其中正確的是（）A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．②【分析】根據有理數以及有理數的乘方解答即可．【解答】解：①沒有最小的整數，故①說法錯誤；②最大的負整數是﹣1，故②說法正確；③正有理數、0和負有理數統(tǒng)稱為有理數，故③說法錯誤；④立方等于它本身的數只有﹣1，0，1，故④說法錯誤．故其中正確的說法是②．故選：D．【點評】本題考查了有理數的乘方及有理數的分類，認真掌握正數、負數、整數、分數、正有理數、負有理數、非負數的定義與特點是解題的關鍵．注意整數和正數的區(qū)別，注意0是整數，但不是正數．14．（2021秋?諸暨市校級月考）某城市某一天的最高氣溫是10℃，最低氣溫是﹣2℃，則這一天的溫差是（）A．8℃ B．10℃ C．12℃ D．﹣12℃【分析】用最高溫度減去最低溫度，再根據有理數的減法運算法則即可求出答案．有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數．【解答】解：這一天的溫差為：10﹣（﹣2）＝10+2＝12（℃），故選：C．【點評】本題考查有理數的減法，解題的關鍵是熟練運用有理數的減法運算法則，本題屬于基礎題型．二．填空題（共2小題）15．（2021秋?新昌縣期中）﹣690000000用科學記數法表示．【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．【解答】解：﹣690000000＝﹣6.9×108．故答案為：﹣6.9×108．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，正確確定a的值以及n的值是解決問題的關鍵．16．（2021秋?上城區(qū)期末）﹣2022的倒數是．【分析】直接利用倒數的定義得出答案．【解答】解：﹣2022的倒數是：﹣．故答案為：﹣．【點評】此題主要考查了倒數的定義，正確掌握倒數的定義是解題的關鍵．【壓軸】一、單選題1．（2020·浙江杭州·七年級期末）某信用卡上的號碼由17位數字組成，每一位數字寫在下面的一個方格中，如果任何相鄰的三個數字之和都等于20，則x+y的值等于（

）．A．18 B．11 C．7 D．4【答案】B【分析】由任何相鄰的三個數字之和都等于20，可先求出x前面和后面的數，然后可得x的值，再根據任何相鄰的三個數字之和都等于20求出y即可．【詳解】解：如圖，由題意知：9＋a＋b＝20，∴a＋b＝11，∵a＋b＋c＝20，∴c＝9，∵e＋f＋2＝20，∴e＋f＝18，∵d＋e＋f＝20，∴d＝2，又∵c＋x＋d＝20，∴x＝9，同理可得：y＝2，∴x+y＝11，故選：B．【點睛】本題考查了有理數的加法運算，主要利用相鄰三個數的和為20，逐步推出x左右相鄰的兩個數，進而解決問題．2．（2019·浙江·七年級期末）已知，，的積為負數，和為正數，且，則的值為()A． B．，2 C．，， D．，，，【答案】A【分析】先判斷出的符號，再化簡絕對值運算即可得．【詳解】的積為負數的符號為三負或兩正一負的和為正數的符號為兩正一負因此，分以下三種情況：（1）當時（2）當時（3）當時綜上，的值為0故選：A．【點睛】本題考查了絕對值的化簡，依據已知條件，判斷出的符號是解題關鍵．3．（2019·浙江杭州·七年級期末）2019減去它的，再減去余下的，再減去余下的，…以此類推，一直減到余下的，則最后剩下的數是（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據題意列出式子，先計算括號內的，再計算乘法即可解答．【詳解】解：由題意得：===1故選：B．【點睛】本題考查了有理數混合運算的應用，解題的關鍵是根據題意列出算式，并發(fā)現算式的特征．二、填空題4．（2020·浙江杭州·七年級期末）如果有4個不同的正整數a、b、c、d滿足，那么的值為________．【答案】8076【分析】根據是四個不同的正整數可知四個括號內的值分別是:

±1,

±3,據此可得出結論．【詳解】解：∵是四個不同的正整數,∴四個括號內的值分別是：±1，±3,∴2019+1=2020，20191=2018，2019+3=2022，2193=2016,∴=

2020+2018+2022+2016

=

8076故答案為：8076【點睛】本題考查的是有理數的混合運算，根據題意得出四個括號中的數是解答此題的關鍵．5．（2020·浙江·金華市麗澤書院七年級期中）黑板上寫有1，，，，…，共100個數字，每次操作先從黑板上的數中選取2個數a，b，然后刪去a，b，并在黑板上寫上數a+b+1，則經過_____次操作后，黑板上只剩下一個數，這個數是_____．【答案】

99

【分析】將所給數化為＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…，＝﹣，再根據題意可知，在操作的過程中，這100個數都要求和，操作99次后剩余一個數，則可得黑板最后剩下的是+99＝．【詳解】解：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…，＝﹣，每次取兩個數a，b，刪去a，b，并在黑板上寫上數a+b+1，∵這100個數的和是1++++…+=1+1﹣﹣﹣﹣＝2﹣＝，則黑板上的數求和后，每次再加1，每次都是去掉2個數，添加一個數，故黑板最后剩一個數，則操作99次，∴黑板最后剩下的是+99＝．故答案為：99；．【點睛】本題考查數字的變化規(guī)律以及有理數的加法等知識，理解題意并將所給式子進行拆項相加是解題的關鍵．6．（2019·浙江杭州·七年級期末）若！是一種數學運算符號，并且，，，，……，則________．【答案】【分析】根據“！”的意義，把分子、分母分別轉化為乘法式子后，約分計算即可．【詳解】解：，故答案為：【點睛】本題考查了有理數的乘法、除法、學生的閱讀理解能力及知識的遷移能力．理解“！”這種數學運算符號是解決此題的關鍵．7．（2019·浙江杭州·七年級期末）點從距原點8個單位的點處向原點方向跳動，第一次跳動到的中點處，第二次從跳到的中點處，第三次從點跳到的中點處，如此不斷跳動下去，則第4次跳到點，則到原點的距離為___________；第次跳到點，則到原點的距離為___________．【答案】

，

【分析】根據第一次跳動到的中點處，則，第二次從跳到的中點處，可得出，同理可得出，進而發(fā)現的規(guī)律．【詳解】解：由于OM=8，∴第一次跳動到的中點處，則，第二次從跳到的中點處，則，第三次從點跳到的中點處，則∴第四次跳到點，則到原點的距離，……第次跳到點，則到原點的距離故答案為：，【點睛】本題主要考查數軸上點的運動問題，這是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經常出現．解答本題的關鍵是找出各個點跳動的規(guī)律．三、解答題8．（2020·浙江杭州·七年級期末）概念學習規(guī)定：求若干個相同的有理數（均不等于0）的除法運算叫做除方，如，等，類比有理數的乘方，我們把記作，讀作“2的3次商”，記作，讀作“的4次商”．一般地，我們把n個相除記作，讀作“a的n次商”．初步探究（1）直接寫出結果：________；（2）關于除方，下列說法錯誤的是_________．①任何非零數的2次商都等于1；②對于任何正整數n，；③；④負數的奇數次商結果是負數，負數的偶數次商結果是正數．深入思考我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算能夠轉化為乘法運算，那么有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？例：（3）試一試：仿照上面的算式，將下列運算結果直接寫成乘方（冪）的形式_______；_______．（4）想一想：將一個非零有理數a的n次商寫成冪的形式等于___________；（5）算一算：________．【答案】（1）；（2）②③；（3），；（4）；（5）【分析】（1）利用題中的新定義計算即可求出值；（2）利用題中的新定義分別判斷即可；（3）利用題中的新定義計算即可表示成冪的形式；（4）根據題干和（1）（2）（3）的規(guī)律總結即可；（5）將算式中的除方部分根據（4）中結論轉化為冪的形式，再根據有理數的混合運算法則計算即可．【詳解】解：（1）；（2）當a≠0時，a2=a÷a=1，因此①正確；對于任何正整數n，當n為奇數時，，當n為偶數時，，因此②錯誤；因為34=3÷3÷3÷3=，而43=4÷4÷4=，因此③錯誤；負數的奇數次商結果是負數，負數的偶數次商結果是正數，因此④正確；故答案為：②③；（3），==；（4）由題意可得：將一個非零有理數a的n次商寫成冪的形式等于；（5）===【點睛】此題考查了有理數的混合運算，理解題中除方的運算法則是解本題的關鍵．9．（2020·浙江·七年級期末）【閱讀理解】求若干個相同的有理數（均不等于0）的除法運算叫做除方，如：，等，類比有理數的乘方，我們把記作5③，讀作“5的圈3次方”，記作（－8）④，讀作“的圈4次方”一般的把記作a?，讀作“的圈次方”．（1）直接寫出計算結果：（－6）④＝__________；[類比探究]有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？試一試：將下列運算結果直接寫成冪的形式：（2）（）?_________；（）?=____________．（且為正整數）；[實踐應用]（3）計算①（－）④×（－4）⑤－（）④÷②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（）?（其中）【答案】（1）；（2）7n2；an2；（3）①；②【分析】（1）根據所給定義計算即可；（2）根據所給定義計算即可；（3）①②根據前兩問得到除方的規(guī)律，從而分別計算．【詳解】解：（1）由題意可得：（－6）÷（－6）÷（－6）÷（－6）=（－6）×（－）×（－）×（－）=；（2）（）?=÷÷÷...÷=×7×7×...×7=7n2；（）?=÷÷÷...÷=×a×a×...×a=an2；（3）由題意可得：有理數a（a≠0）的圈n（n≥3）次方寫成冪的形式等于，①（－）④×（－4）⑤－（）④÷====；②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（）?=設S=，則5S=，5SS=4S==∴S=，∴原式=．【點睛】本題考查了有理數的混合運算，充分理解新定義是解題的關鍵．10．（2020·浙江·新昌縣拔茅中學七年級階段練習）我們知道：在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究時，我們就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”這一數學思想用處非常廣泛，我們經常用這種方法解決問題．例如：我們在討論|a|的值時，就會對a進行分類討論，當a≥0時，|a|＝a；當a＜0時，|a|＝﹣a．現在請你利用這一思想解決下列問題：（1）；；（2）（a≠0），（其中a＞0，b≠0）；（3）若abc≠0，試求的所有可能的值．【答案】（1）1，﹣1；（2）1或﹣1，2或0；（3）的所有可能的值為±4，0．【分析】（1）根據絕對值的定義即可得到結論；（2）分類討論：當a＞0時，當a＜0時，當b＞0時，當b＜0時，根據絕對值的定義即可得到結論；（3）分類討論：①當a＞0，b＞0，c＞0時，②當a，b，c三個字母中有一個字母小于0，其它兩個字母大于0時，③當a，b，c三個字母中有一個字母大于0，其它兩個字母小于0時，④當a＜0，b＜0，c＜0時，根據絕對值的定義即可得到結論．【詳解】解：（1），，故答案為：1，﹣1；（2）當a＞0時，，當a＜0時，；a＞0當b＞0時，1+1＝2；當b＜0時，1﹣1＝0；故答案為：1或﹣1，2或0；（3）①當a＞0，b＞0，c＞0時，1+1+1+1＝4，②當a，b，c三個字母中有一個字母小于0，其它兩個字母大于0時，不妨設a＞0，b＞0，c＜0，，③當a，b，c三個字母中有一個字母大于0，其它兩個字母小于0時，不妨設a＞0，b＜0，c＜0，，④當a＜0，b＜0，c＜0時，，綜上所述，的所有可能的值為±4，0．【點睛】本題主要考查了絕對值，有理數的除法，解題的關鍵是討論a，b，c的取值情況．11．（2020·浙江杭州·七年級期末）若a、b互為相反數，若，并且m的立方等于它本身．（1）求出m的值，并把b，m的位置標在數軸上；（2）化簡；（3）請思考：x為有理數時，是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個最值，若不存在，請說明理由．【答案】（1），數軸表示見解析（2）（3）存在最大值和最小值，最大值為，最小值為2【分析】（1）根據立方、相反數的意義可得，且與互為相反數，從而可以將，的位置標在數軸上；（2）在（1）的基礎之上并結合數軸可以判斷出，，，從而根據絕對值的代數意義化簡絕對值，然后再合并同類項即可得解；（3）將代入，再根據絕對值的意義化簡絕對值，求出代數式的值即可得解．【詳解】解：∵，的立方等于它本身∴∵、互為相反數，∴∴把，的位置標在數軸上，如圖：（2）∵結合數軸根據題意得，，，，∴；（3）∵∴∴①當時，；②當時，；③當時，∴當為有理數時，存在最大值和最小值，最大值為，最小值為2．故答案是：（1），數軸表示見解析（2）（3）存在最大值，最大值為，最小值為2【點睛】本題考查了數軸、相反數、立方以及絕對值的意義，能根據絕對值的代數意義化簡絕對值號是解題的關鍵．12．（2019·浙江杭州·七年級期末）某自行車廠一周計劃生產2100輛自行車，平均每天生產300輛，由于各種原因實際每天生產量與計劃量相比有出入下表是某周的生產情況（超產為正、減產為負）：星期一二三四五六日增減（輛）+624+1310+169（1）這周最后三天共生產多少輛自行車？（2）這一周產量最多的一天比產量最少的關多生產多少輛自行車？（3）①若該廠實行“每日計件工資制”，每生產一輛車可得50元，若超額完成任務，則超過部分每輛另獎10元；少生產一輛扣15元，則該廠工人這一周的工資總額是多少元？②若將①中的“每日計件工資制”改為“每周計件工資制”，其他條件不變，間：這一周該廠是實行“每日計件工資制”工人的工資高，還是實行“每周計件工資制”工人的工資高？請說明理由．【答案】（1）897輛；（2）26輛；（3）①105475元；②實行“每周計件工資制”工人的工資高【分析】（1）根據題意，由表格列出算式，計算即可得到結果；（2）求出產量最多與最少的輛數，相減即可得到結果；（3）①根據計劃的工資加上獎勵的工資再減去扣罰的工資，可得答案．②求出實行“每周計件工資制”工人的工資，與①比較即可得到結果．【詳解】解：（1）根據題意得：300×310+169=897（輛），則這一周最后三天共生產897輛自行車；（2）根據題意得：(300+16)(30010)=26（輛），則這一周產量最多的一天比產量最少的一天多生產26輛自行車；（3）①每日計件工資制：2100×50+(6+13+16)×(10+50)(2+4+10+9)×(15+50)=105475（元），∴該廠工人這一周的工資總額是105475元；②每周計件工資制：(6+13+16)(2+4+10+9)=10（輛），2100×50+10×(10+50)=110100（元）∵110100＞105475，則這一周該廠實行“每周計件工資制”工人的工資高．【點睛】此題考查了正負數的應用，以及有理數的混合運算的應用，根據題意正確列出算式是解本題的關鍵．13．（2019·浙江杭州·七年級期末）（小卷《第一章綜合復習》改編）若點、在數軸上分別表示有理數、，則、兩點之間的距離表示為，即．利用數軸回答下列問題：（1）①．數軸上表示2和5兩點之間的距離是___________；數軸上表示和的兩點之間的距離表示為_______．②．若表示一個有理數，且，則_______．③．當時，求的最大值和最小值．（2）實數、、滿足，且，求的最小值．【答案】（1）①3，；②4；③的最大值是，最小值是；（2）【分析】（1）①直接利用距離公式即可得答案；②表示x與2之間的距離，表示x與2之間的距離，畫出數軸即可得出兩者距離之和為4；③將等式變形為，可