期末重難點(diǎn)特訓(xùn)（一）之一次函數(shù)壓軸題型專(zhuān)訓(xùn)

期末重難點(diǎn)題型特訓(xùn)（一）之一次函數(shù)壓軸題型專(zhuān)訓(xùn)【重難點(diǎn)題型】1．（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，點(diǎn)，是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，要使四邊形的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分析四邊形的周長(zhǎng)最小，則最小，如圖，把沿軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得作關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)則連接交軸于則所以當(dāng)重合時(shí)，最小，即最小，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解．【詳解】解：四邊形的周長(zhǎng)，是定值，所以四邊形的周長(zhǎng)最小，則最小，如圖，把沿軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得則則作關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)則連接交軸于則所以當(dāng)重合時(shí)，最小，即最小，設(shè)的解析式為：解得：所以的解析式為：令則則即故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求解四邊形的周長(zhǎng)的最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，平移的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，掌握的位置使周長(zhǎng)最小是解本題的關(guān)鍵.2．（2023春·四川成都·七年級(jí)成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）已知：如圖，長(zhǎng)方形中，是邊上一點(diǎn)，且，，點(diǎn)從出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止的運(yùn)動(dòng)速度為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，與的函數(shù)關(guān)系式圖象如圖，則下列結(jié)論正確的有；；當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；當(dāng)時(shí)，．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先通過(guò)，計(jì)算出的長(zhǎng)度，即可求得長(zhǎng)度，根據(jù)長(zhǎng)計(jì)算的值，的值等于整個(gè)運(yùn)動(dòng)路程除以速度，當(dāng)時(shí)找到點(diǎn)位置計(jì)算面積即可判斷的值．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，面積最大，結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí)，面積最大為，．，．則，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)時(shí)，所用時(shí)間為：，，故正確；點(diǎn)運(yùn)動(dòng)完整個(gè)過(guò)程需要時(shí)間為：，即，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，又，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，，，，是等腰三角形，故正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為：，此時(shí)，面積為：，故錯(cuò)誤．正確的結(jié)論有．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是熟悉整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，找到關(guān)鍵點(diǎn)一般是函數(shù)圖象的折點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為圖形中的線段長(zhǎng)度．3．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段取得最小值時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，線段最短，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E，利用等腰三角形的三線合一可得，再然后將代入直線可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，由此即可得．【詳解】解：對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，，解得，即，，當(dāng)時(shí)，y＝﹣5，即，，是等腰直角三角形，∴，由垂線段最短可知，如圖，當(dāng)時(shí)，線段最短，則是等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E，∴點(diǎn)E是的中點(diǎn)（等腰三角形的三線合一），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，即為，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，將代入直線得，，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、垂線段最短、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法和垂線段最短是解題關(guān)鍵．4．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，已知，，且滿足，點(diǎn)在線段上，m、n滿足，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，連接交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)E，且，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合圖形由，可得，，再根據(jù)三角形的面積公式列出方程求解.【詳解】解：∵，，∴，，∴，，如圖,由，

∴，∵，連接，作軸于M，軸于F，∵，∴，即，∴，解得：，∵，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)(完全平方數(shù)和平方根)以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將圖形中的線段的長(zhǎng)度與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，充分利用數(shù)形結(jié)合表示三角形的面積.5．（2023春·四川巴中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一次函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示．根據(jù)圖象有下列五個(gè)結(jié)論：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，即可判斷①；根據(jù)一次函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)即可判斷②③；利用圖象法即可判斷④⑤．【詳解】解：∵一次函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，∴，故①正確；∵一次函數(shù)與y軸交于負(fù)半軸，與x軸交于，∴，方程的解是，故②正確，③不正確；由函數(shù)圖象可知不等式的解集是，故④不正確；由函數(shù)圖象可知，不等式的解集是，故⑤正確；∴正確的一共有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，圖象法解不等式；熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·福建福州·九年級(jí)福建省福州第十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，的頂點(diǎn)，，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，，將向右平移得到，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)G，根據(jù)，利用勾股定理，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；設(shè)直線的解析式為：，把，代入，求出解析式，根據(jù)點(diǎn)C在平移的直線，即可得解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)G，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴點(diǎn)；設(shè)直線的解析式為：，∴，解得，∴；設(shè)向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度得到，∴直線的解析式為：，∵點(diǎn)在直線上，∴，∴，∴向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，∴點(diǎn)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)系下的平移，掌握函數(shù)平移的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知直線a：，直線b：和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線a于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的平行線交直線b于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作y軸的平行線交直線a于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的平行線交直線b于點(diǎn)，…，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，寫(xiě)出前幾個(gè)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，推導(dǎo)一般性規(guī)律為：的橫坐標(biāo)為，然后計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，，，，，，，，∴的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，……∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：的橫坐標(biāo)為，∴的橫坐標(biāo)為，∴的橫坐標(biāo)為，∴的橫坐標(biāo)為，∴的橫坐標(biāo)為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探究，一次函數(shù)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)一般規(guī)律．8．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A到x軸、y軸的距離和為2，則稱(chēng)點(diǎn)A為“成雙點(diǎn)”．例如：如圖，點(diǎn)到x軸、y軸的距離分別為，距離和為2，則點(diǎn)B是“成雙點(diǎn)”，點(diǎn)也是“成雙點(diǎn)”．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圖象上存在“成雙點(diǎn)”，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取點(diǎn)，連接，在取點(diǎn)P作軸，軸，垂直分別為M，N，則，可得到均為等腰直角三角形，從而得到為等腰直角三角形，進(jìn)而得到，繼而得到線段上的點(diǎn)為“成雙點(diǎn)”，線段上的點(diǎn)為“成雙點(diǎn)”，可得到當(dāng)一次函數(shù)的圖象與線段或線段有交點(diǎn)時(shí)，一次函數(shù)的圖象上存在“成雙點(diǎn)”，再分別求出當(dāng)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，當(dāng)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)G時(shí)，k的值，即可求解．【詳解】解：如圖，取點(diǎn)，連接，在取點(diǎn)P作軸，軸，垂直分別為M，N，則，∴，∴均為等腰直角三角形，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴點(diǎn)P是“成雙點(diǎn)”，即線段上的點(diǎn)為“成雙點(diǎn)”，同理線段上的點(diǎn)為“成雙點(diǎn)”，∴當(dāng)一次函數(shù)的圖象與線段或線段有交點(diǎn)時(shí)，一次函數(shù)的圖象上存在“成雙點(diǎn)”，∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為，當(dāng)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，，解得：，當(dāng)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)G時(shí)，，解得：，∴k的取值范圍為．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)尋找特殊點(diǎn)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．9．（2023·河北·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與軸交于點(diǎn)，則的面積為（

）A． B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】如圖，過(guò)A作交于E，過(guò)A、E分別作y軸、x軸的平行線交于F，交y軸于D，根據(jù)解析式求出，，由勾股定理求得，結(jié)合旋轉(zhuǎn)可知，設(shè)，由勾股定理，代入點(diǎn)的坐標(biāo)有，解得，即，結(jié)合解得不合題意舍去，所以，設(shè)過(guò)，直線解析式為：代入法求出直線方程，從而得到利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)A作交于E，過(guò)A、E分別作y軸、x軸的平行線交于F，交y軸于D，直線與軸、軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，則，，，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，，，，，，設(shè)，則，，，解得，，，即，解得：或，當(dāng)時(shí)（舍去），當(dāng)時(shí)，，設(shè)過(guò)，直線解析式為：，則有：，解得，，與x軸交點(diǎn)為：，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)解析式與交點(diǎn)坐標(biāo)以及三角形面積公式；解題的關(guān)鍵勾股定理求邊長(zhǎng)，用代入法求直線解析式．10．（2021春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)落在直線上，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)作直線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)作直線交直線于點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度是（

）A．3 B． C．8 D．【答案】C【分析】根據(jù)條件先求出的長(zhǎng)，如圖，作軸，垂足為D，可根據(jù)證明，同理，得到，作，垂足為C，得到OC=，根據(jù)條件可得，最后按照規(guī)律可得出答案【詳解】解：，，如圖，作軸，垂足為D，，，，同理過(guò)點(diǎn)，可得，，作，垂足為C，，，軸，，，，又直線，軸，同理可得，直線，是有一個(gè)角為的直角三角形，，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，難度較大，涉及勾股定理，的直角三角形，需要有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合思想，充分理解題意找出規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．11．（2023春·四川德陽(yáng)·八年級(jí)四川省德陽(yáng)市第二中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，已知點(diǎn)，點(diǎn)B是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值等于__________．【答案】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，此時(shí)周長(zhǎng)最?。驹斀狻拷猓鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，此時(shí)周長(zhǎng)最小．根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得：，，∴，令直線于x軸相交于點(diǎn)M，與y軸相交于點(diǎn)N，連接把代入得：，把代入得：，解得：，∴，，∴，∴，，∵點(diǎn)A和點(diǎn)關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A和點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴，，，∴，，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∴周長(zhǎng)最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，正確畫(huà)出輔助線，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和勾股定理，求出最短路徑．12．（2023春·山東青島·七年級(jí)山東省青島第五十九中學(xué)校考期中）A，B兩地相距，甲、乙兩輛汽車(chē)從A地出發(fā)到B地，均勻速行駛，甲出發(fā)1小時(shí)后，乙出發(fā)沿同一路線行駛，設(shè)甲、乙兩車(chē)相距s（km），甲行駛的時(shí)間為t（h），s與t的關(guān)系如圖所示，下列說(shuō)法：①甲車(chē)行駛的速度是60km/h，乙車(chē)行駛的速度是80km/h；②甲出發(fā)4h后被乙追上；③甲比乙晚到h；④甲車(chē)行駛8h或h，甲，乙兩車(chē)相距80km；其中正確的是______．【答案】①②③【分析】根據(jù)圖像可得甲車(chē)行駛的速度是，再由甲先出發(fā)，乙出發(fā)后追上甲，可得到乙車(chē)行駛的速度是，故①②正確；根據(jù)圖像可得當(dāng)乙到達(dá)地時(shí)，甲乙相距，從而得到甲比乙晚到，故③正確；然后分兩種情況：當(dāng)乙車(chē)在甲車(chē)前，且未到達(dá)地時(shí)和當(dāng)乙車(chē)到達(dá)地后時(shí)可得④錯(cuò)誤．【詳解】解：①由圖可得，甲車(chē)行駛的速度是，根據(jù)圖像可知：甲先出發(fā)，甲出發(fā)4h后被乙追上，∴，∴，即乙車(chē)行駛的速度是，故①②正確；③由圖可得，當(dāng)乙到達(dá)地時(shí)，甲乙相距，∴甲比乙晚到，故③正確；④由圖可得，當(dāng)乙車(chē)在甲車(chē)前，且未到達(dá)地時(shí)，則,解得；當(dāng)乙車(chē)到達(dá)地后時(shí)，，解得，∴甲車(chē)行駛或，甲，乙兩車(chē)相距，故④錯(cuò)誤．故答案為①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖像、能從函數(shù)圖像的獲取準(zhǔn)確信息和靈活利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．13．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________．【答案】【分析】根據(jù)已知條件得，求得，過(guò)A作交BC于F，過(guò)F作軸于E，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，求得，求出直線的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，∴令，得，令，則，∴，∴，過(guò)A作交于F，過(guò)F作軸于E，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為：，把F的坐標(biāo)代入得，，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，解得，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（2023·山東日照·日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)D，E分別為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)______．【答案】/【分析】如圖：過(guò)點(diǎn)C作使，連接；證可得，；將最小值可轉(zhuǎn)化成最小值，則當(dāng)A、D、B在同一直線上時(shí)，最小，即長(zhǎng)度；；再根據(jù)求得、，即；再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線表達(dá)式，最后將代入表達(dá)式求得x的值即可解答．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)C作使，連接，在和中，，∴，∴，，∴最小值可轉(zhuǎn)化成最小值，當(dāng)A、D、B在同一直線上時(shí)，最小，即長(zhǎng)度；∵，∴，∴設(shè)表達(dá)式為:，由題意可得：，解得：，∴表達(dá)式為:，將代入得:，解得：，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．15．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，B的坐標(biāo)分別為，，直線的函數(shù)表達(dá)式為．若線段與直線沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍是___________．【答案】或或【分析】分別利用當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，k值最小，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，k值最大，即可求出線段與直線有交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍，據(jù)此即可求解．【詳解】解：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，k值最小，則，解得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，k值最大，則，解得，故線段與直線有交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為，故線段與直線沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為或或，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了直線相交或平行問(wèn)題，熟練掌握直線相交或平行問(wèn)題的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】如圖，取點(diǎn)，連接，，作，垂足為點(diǎn)，即，證明，則，由，可知當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，在中，由勾股定理得，，計(jì)算求解即可．【詳解】解：當(dāng)，當(dāng)，∴，如圖，取點(diǎn)，連接，，作，垂足為點(diǎn)，即，在和中，∵，∴，，，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，在中，由勾股定理得，，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于添加適當(dāng)?shù)妮o助線．17．（2023·遼寧沈陽(yáng)·校聯(lián)考一模）如圖，四邊形是矩形，在軸上，在軸上，函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，沿折疊點(diǎn)恰好落在函數(shù)的圖象上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____．【答案】/【分析】設(shè)沿折疊點(diǎn)恰好落在函數(shù)的圖象上，其坐標(biāo)為，進(jìn)而可得，點(diǎn)B坐標(biāo)為，由，可得、、點(diǎn)E坐標(biāo)為，根據(jù)和兩點(diǎn)距離公式方程求出，即可解得．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可知：，設(shè)沿DE折疊點(diǎn)B恰好落在函數(shù)的圖象上，其坐標(biāo)為，∴，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為∵，四邊形是矩形，∴，∵，∴，，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為，，∴，整理得：，解得：（不合題意，舍去），，∴∴點(diǎn)B坐標(biāo)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊圖形的性質(zhì)和一次函數(shù)圖象點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式正確表示出和列方程求解是解題關(guān)鍵．18．（2023春·湖南·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線折疊后，點(diǎn)A恰好落在y軸上點(diǎn)D處，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【分析】先求出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)折疊，得到，，進(jìn)而求出的長(zhǎng)度，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解，得到的長(zhǎng)，即可得解．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，，，，將沿所在直線折疊后，點(diǎn)A恰好落在y軸上點(diǎn)D處，，，，在中，，即：，，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，折疊，以及勾股定理．熟練掌握折疊的性質(zhì)，利用勾股定理解三角形，是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有長(zhǎng)方形，點(diǎn)，分別在軸，軸上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合．若點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且面積是18，則點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)____．【答案】或或或【分析】過(guò)作于F，如圖：根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，，根據(jù)三角形的面積公式和勾股定理得到，當(dāng)P在x軸上時(shí)，連接交x軸于H，得到，當(dāng)P在y軸上時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)作于F，如圖：∵，∴，∴，∵沿折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，點(diǎn)C與點(diǎn)重合，∴，，，，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∵，且，∴，∴；當(dāng)P在x軸上時(shí)，連接交x軸于H，如圖：∵，；∴直線為，令得，∴，∵面積是18，∴，即，∴，∴或；當(dāng)P在y軸上時(shí)，如圖：∵面積是18，∴，即，∴，∴或，綜上所述，P的坐標(biāo)為或或或，故答案為：或或或．【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方形中的折疊問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，熟練應(yīng)用勾股定理．20．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，等邊三角形中，P，Q兩點(diǎn)分別在邊上，，D是的中點(diǎn)．若，則的最小值是_______．【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)Q作軸，設(shè)，則，分別求得，，再求出，從而得出點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線時(shí)，最小，據(jù)此求解即可．【詳解】解：建立如圖的直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)Q作軸，設(shè)，則，∵等邊三角形中，，∴∴，∴，∵D是的中點(diǎn)．∴，令∴，即點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線時(shí)，最小，此時(shí)故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及圖形運(yùn)動(dòng)中的最值問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是會(huì)用建系法解決圖形運(yùn)動(dòng)中的最值問(wèn)題．21．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段的端點(diǎn)為．(1)求所在直線的解析式；(2)某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)畫(huà)；在函數(shù)中，輸入b的值，得到直線，其中點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)C在y軸上．①在輸入過(guò)程中，若的面積為5，直線就會(huì)發(fā)藍(lán)光，求此時(shí)輸入的b值；②若直線與線段有交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不大于縱坐標(biāo)時(shí)，直線就會(huì)發(fā)紅光，直接寫(xiě)出此時(shí)輸入的b的取值范圍．【答案】(1)(2)①或；②【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出，則，再由的面積為5，得到，即可建立方程，解方程即可得到答案；②先求出直線恰好經(jīng)過(guò)A和恰好經(jīng)過(guò)B時(shí)b的值，由此得到當(dāng)時(shí)，直線與線段有交點(diǎn)，再求出直線與線段的交點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不大于縱坐標(biāo)，建立不等式，解不等式即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為，把代入中得：，∴，∴直線的解析式為；（2）解：①在中，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵的面積為5，∴，∴，∴，∴或；②當(dāng)直線恰好經(jīng)過(guò)時(shí)，則，∴；當(dāng)直線恰好經(jīng)過(guò)時(shí)，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，直線與線段有交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，∴直線與線段的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∵交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不大于縱坐標(biāo)，∴，即，解得，綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與幾何綜合，解一元一次不等式，求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．（2023春·山東德州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)的圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程．結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)畫(huà)出函數(shù)的圖象并探究該函數(shù)的性質(zhì)．x…0123…y…a02b…(1)列表：寫(xiě)出表格中a，b的值：，；(2)通過(guò)描點(diǎn)、連線，在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)已知函數(shù)的圖象如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出不等式的解集．【答案】(1)，0(2)該函數(shù)有最大值2(3)或【分析】（1）直線把，代入中求出對(duì)應(yīng)的y的值即可求出a、b的值；（2）先描點(diǎn)，再連線畫(huà)出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)圖象寫(xiě)出一條它的性質(zhì)即可；（3）先畫(huà)出，然后找到函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方或交點(diǎn)處時(shí)自變量的取值范圍即可得到答案．【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時(shí)，，∴；在中，當(dāng)時(shí)，，∴；故答案為：，0；（2）解：函數(shù)圖象如下所示；由函數(shù)圖象可知，該函數(shù)的一條性質(zhì)為：該函數(shù)有最大值2；（3）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的上方或兩者的交點(diǎn)處，∴不等式的解集為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)函數(shù)值，畫(huà)一次函數(shù)圖象，根據(jù)兩直線的交點(diǎn)求不等式的解集，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．23．（2023春·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)也在該直線上，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，直線交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E坐標(biāo)為．(1)m的值為_(kāi)_____，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____；(2)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)晶晶有個(gè)想法：“設(shè)．由點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)易得，而與四邊形拼接后可看成，這樣求S便轉(zhuǎn)化為直接求的面積．”晶晶的想法對(duì)嗎？【答案】(1)，(2)(3)晶晶的想法不對(duì)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；（2）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達(dá)式即可；（3）求出直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可知點(diǎn)E不在直線上，由此即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：點(diǎn)在直線上，；．點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，．故答案為：，；（2）解：設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為，在中，當(dāng)時(shí)，，∴，把，代入中得：，∴，∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為；（3）解：晶晶的想法不對(duì)，理由如下：由（2）直線AC的函數(shù)表達(dá)式為．令，得．直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為而點(diǎn)E坐標(biāo)為，點(diǎn)E不在直線上，即點(diǎn)A、C、E不在同一條直線上．，∴晶晶的想法不對(duì)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形變化——軸對(duì)稱(chēng)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．24．（2023·江蘇常州·?？家荒＃?022年FIFA世界杯期間，某商店購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的足球進(jìn)行銷(xiāo)售．銷(xiāo)售5個(gè)A品牌和個(gè)B品牌足球的利潤(rùn)和為元，銷(xiāo)售個(gè)A品牌和5個(gè)B品牌足球的利潤(rùn)和為元．(1)求每個(gè)A品牌和B品牌足球的銷(xiāo)售利潤(rùn)；(2)商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種品牌足球共100個(gè)，設(shè)購(gòu)進(jìn)A品牌足球x個(gè)，兩種足球全部銷(xiāo)售完共獲利y元．①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫(xiě)x的取值范圍）②若購(gòu)進(jìn)A品牌足球的個(gè)數(shù)不少于60個(gè)，且不超過(guò)B品牌足球個(gè)數(shù)的4倍，求最大利潤(rùn)．【答案】(1)每個(gè)A品牌足球的銷(xiāo)售利潤(rùn)分別為元、每個(gè)B品牌足球的銷(xiāo)售利潤(rùn)為元；(2)①y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；②最大利潤(rùn)為元【分析】（1）設(shè)每個(gè)A品牌和B品牌足球的銷(xiāo)售利潤(rùn)分別為m元、n元，根據(jù)題“銷(xiāo)售5個(gè)A品牌和個(gè)B品牌足球的利潤(rùn)和為元，銷(xiāo)售個(gè)A品牌和5個(gè)B品牌足球的利潤(rùn)和為元”得方程組，解方程組即得；（2）①由題意、根據(jù)“總利潤(rùn)等于銷(xiāo)售A品牌和B品牌所得利潤(rùn)之和”可得函數(shù)關(guān)系式；②由已知條件可得關(guān)于x的不等式組，從而得出x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性，即可求出最大利潤(rùn)．【詳解】（1）解：設(shè)每個(gè)A品牌足球的銷(xiāo)售利潤(rùn)為m元、每個(gè)B品牌足球的銷(xiāo)售利潤(rùn)為n元，根據(jù)題意，得：，解得：，答：每個(gè)A品牌足球的銷(xiāo)售利潤(rùn)分別為60元、每個(gè)B品牌足球的銷(xiāo)售利潤(rùn)為40元；（2）解：①由題意知，，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；②∵購(gòu)進(jìn)A品牌足球的個(gè)數(shù)不少于個(gè)，且不超過(guò)B品牌足球個(gè)數(shù)的4倍，∴，解得：，在中，∵，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，y取得最大值，最大值為，即最大利潤(rùn)為元．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用和二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式或方程組．25．（2023春·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某商店出售一種瓜子，其售價(jià)y（元）與瓜子質(zhì)量x（千克）之間的關(guān)系如表：質(zhì)量/千克1234……售價(jià)/元3.6+0.27.2+0.210.8+0.214.4+0.2……其中售價(jià)中的元是塑料袋的價(jià)錢(qián).(1)在這個(gè)變化過(guò)程中，自變量與因變量各是什么？(2)寫(xiě)出出售千克瓜子時(shí)的售價(jià)；(3)寫(xiě)出與之間的關(guān)系式；(4)商店規(guī)定，當(dāng)一次性購(gòu)買(mǎi)千克及以上時(shí)全部所購(gòu)瓜子打九折，一班、二班正好要搞一次“慶黨的二十大一次會(huì)議勝利召開(kāi)”慶祝活動(dòng)，兩個(gè)班級(jí)共人，其中一班比二班多人，每人買(mǎi)千克，都用千克的小袋包裝好，但小包裝袋的費(fèi)用及包裝人工費(fèi)全免.問(wèn)要買(mǎi)夠兩個(gè)班的瓜子，正常情況下最少要花多少錢(qián)？【答案】(1)在這個(gè)變化過(guò)程中，自變量是瓜子的質(zhì)量，因變量是售價(jià)(2)出售千克瓜子時(shí)的售價(jià)為元(3)(4)要買(mǎi)夠兩個(gè)班的瓜子，正常情況下最少要花元【分析】（1）由值隨值的變化而變化，可得出自變量是瓜子的質(zhì)量，因變量是售價(jià)；（2）利用售價(jià)瓜子的銷(xiāo)售單價(jià)售出質(zhì)量，即可求出結(jié)論；（3）利用售價(jià)瓜子的銷(xiāo)售單價(jià)售出質(zhì)量，即可得出與之間的關(guān)系式；（4）利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，結(jié)合商店給出的優(yōu)惠方案，分別求出購(gòu)買(mǎi)千克瓜子及購(gòu)買(mǎi)千克瓜子所需費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：在這個(gè)變化過(guò)程中，自變量是瓜子的質(zhì)量，因變量是售價(jià)；（2）解：根據(jù)題意得：元.答：出售千克瓜子時(shí)的售價(jià)為元；（3）解：根據(jù)題意得：；（4）解：當(dāng)購(gòu)買(mǎi)千克瓜子時(shí)所需費(fèi)用為元；當(dāng)購(gòu)買(mǎi)千克瓜子時(shí)所需費(fèi)用為元.，要買(mǎi)夠兩個(gè)班的瓜子，正常情況下最少要花元.【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)關(guān)系式以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是∶（1）根據(jù)各數(shù)量的變化，找出自變量及因變量；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y與x之間的關(guān)系式；（4）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，求出購(gòu)買(mǎi)94千克瓜子及購(gòu)買(mǎi)100千克瓜子所需費(fèi)用.26．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）綜合與探究：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，并與x軸交于點(diǎn)C點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線的表達(dá)式，并直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)試探究直線上是否存在點(diǎn)P，使以A，C，P為頂點(diǎn)的三角形的面積為18？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為(2)，點(diǎn)(3)存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為或【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出y的值，當(dāng)時(shí)，求出x的值，即可確定點(diǎn)B和點(diǎn)A坐標(biāo)；（2）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入，可得b的值，即可確定直線的解析式，令，解方程，即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；（3）根據(jù)三角形的面積公式可得，，求出，分別代入直線的解析式即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為；（2）解：將點(diǎn)B坐標(biāo)代入，解得：，∴直線的表達(dá)式：，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)；（3）解：存在以A，C，P為頂點(diǎn)的三角形的面積為18，∵，，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為，綜上，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形、三角形的面積，注意由三角形面積求點(diǎn)坐標(biāo)要分情況討論是解題的關(guān)鍵．27．（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)校考期中）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)恰好落在直線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)如圖②，將沿軸正方向平移得，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)及線段的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在直線上，則是否存在以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，(3)或或【分析】（1）用角角邊證明，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求得，設(shè)，代入直線即可求得D的坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)直線的解析式為，求得直線的解析式為，進(jìn)而求得，即可求得的長(zhǎng)；（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)C作交y軸于點(diǎn)P，確定直線的解析式為，得出，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴；；（2）設(shè)直線解析式為，把、代入得，解得，故直線的解析式為，∵由得：，設(shè)，而，∴，∵點(diǎn)D在直線上，把代入,解得，∴，點(diǎn)，，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入得解得，，平移，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得，解得，直線的解析式為，令，解得，即，，（3）存在，理由如下，如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作交y軸于點(diǎn)P，∴設(shè)直線的解析式為：，將點(diǎn)代入得：，∴直線的解析式為：，∴，∵，，當(dāng)時(shí)，四邊形，四邊形是平行四邊形，∴設(shè)點(diǎn)，，∴，解得：或，或，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴綜上可得：或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．28．（2023·河北承德·統(tǒng)考一模）如圖所示，已知直線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為2，且在第一象限．直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求直線的解析式；(2)過(guò)軸上點(diǎn)作平行于軸的直線，分別與直線、交于點(diǎn)、點(diǎn)．①求線段的長(zhǎng)度；②將沿著直線折疊，當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí)，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)直線的解析式為．(2)①6；②1或．【分析】（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；（2）①利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再求出的長(zhǎng)即可；②設(shè)翻折后點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接交折痕所在的直線于點(diǎn)P，連接，由折疊的性質(zhì)可知：，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由可求出t的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)F，P的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出k值．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為2，且點(diǎn)A在第一象限，∴，將代入得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為．，將代入得：，∴，∴直線的解析式為．（2）解：①在中，當(dāng)時(shí)，，則；在中，當(dāng)時(shí)，，則，∴；②設(shè)翻折后點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接交折痕所在的直線于點(diǎn)P，連接，如圖2所示．由折疊的性質(zhì)，可知：，點(diǎn)P為的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∵，，∴，解得：．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)P在直線上，∴，解得：；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)P在直線上，∴，解得：．綜上可知：k的值為1或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、三角形的面積、折疊的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式；（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)B，M，N的坐標(biāo)；（3）利用折疊的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．29．（2023春·四川成都·八年級(jí)成都鐵路中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、C，過(guò)點(diǎn)C的直線交x軸正半軸于點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)B坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接，過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)Q，連接，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S與t之間的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)D為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接、、，若，，求D點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由直線先求出點(diǎn)A，C坐標(biāo)，從而求出直線的解析式，即可求出點(diǎn)B坐標(biāo)；（2）根據(jù)證明，得，由得，根據(jù)可得結(jié)論；（3）延長(zhǎng)至點(diǎn)N，使，連接，證明，，設(shè)，則，，，．在中由勾股定理得，連接，可證明，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)K，交x軸于點(diǎn)M，可得，，求出即可．【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，，∴，∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴，∴，在中，當(dāng)時(shí)，，∴．（2）解：∵，∴，∵，，∵，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴；（3）解：設(shè)，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；延長(zhǎng)至點(diǎn)N，使，連接，，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，中，，∴；設(shè)，則，，∴，．在中，，即，解得，連接，設(shè)，，則，∵，，，∴，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)K，交x軸于點(diǎn)M，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，題目中涉及到了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目正確的作出輔助線．30．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┎僮魉伎迹喝鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的直角頂點(diǎn)C在原點(diǎn)，將其繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)A恰好落在點(diǎn)處．則：①OA的長(zhǎng)為_(kāi)_____；②點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____；感悟應(yīng)用：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，將等腰如圖放置，直角頂點(diǎn)，點(diǎn)，試求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；拓展研究：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】①的長(zhǎng)為；②點(diǎn)B的坐標(biāo)為感悟應(yīng)用及拓展研究答案見(jiàn)解析【分析】①根據(jù)勾股定理求解；②作垂線，構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等的性質(zhì)，根據(jù)線段長(zhǎng)確定點(diǎn)的坐標(biāo)；感悟應(yīng)用：過(guò)點(diǎn)B作，交x軸于點(diǎn)D，判定，進(jìn)而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，已知點(diǎn)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求解直線的函數(shù)表達(dá)式；拓展研究：分兩種情況，點(diǎn)Q在下方和上方，求證，設(shè)點(diǎn)，由全等三角形得出,，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)，由構(gòu)建方程求解．【詳解】解：①；②如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)B作，，垂足分別為點(diǎn)D，點(diǎn)E，則

，∵,，∴，又∵，∴，∴，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；感悟應(yīng)用:如圖，過(guò)點(diǎn)B作，交x軸于點(diǎn)D，則，∴，而，∴，又∵，∴，∴

，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入，得：，解得，，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．拓展研究：設(shè)點(diǎn),分兩種情況（1）點(diǎn)Q在下方；（2）點(diǎn)Q在上方；（1）點(diǎn)Q在下方，如圖，

過(guò)點(diǎn)Q作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則,∵，∴，∴，∴,，∵，

，∴，∴，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．（2）點(diǎn)Q在上方，如圖，過(guò)點(diǎn)Q作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則,∵,，∴，∴，∴,，∵，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用、全等三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式及利用點(diǎn)坐標(biāo)求解線段長(zhǎng)；能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)系中線段的長(zhǎng)，構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵．31．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，過(guò)點(diǎn)B，C作直線，交x軸于點(diǎn)D．(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為；求直線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，且△ABE的面積為，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，．(2)．(3)存在，或或．【分析】（1）令和可確定點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，得，，作輔助線構(gòu)建全等三角形，證明，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作軸于F，根據(jù)四邊形的面積，代入計(jì)算可得結(jié)論；（3）分三種情況：分別根據(jù)平移的性質(zhì)可解答．【詳解】（1）解：直線中，當(dāng)時(shí)，，∴，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，如圖1，過(guò)點(diǎn)C作軸于G，由旋轉(zhuǎn)得：，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，設(shè)直線BC的解析式為：，則，解得：，∴直線BC的解析式為：；故答案為：；（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作軸于F，∵點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∵四邊形的面積，∴，解得：，∴；（3）解：分三種情況：①如圖3，四邊形ABEP是平行四邊形，∵，∴由平移得：；②如圖4，四邊形是平行四邊形，由平移得：；③如圖5，四邊形是平行四邊形，由平移得：；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】此題是一道函數(shù)綜合題，主要考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)和平移性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，熟練運(yùn)用平移的性質(zhì)和分類(lèi)討論思想是解決本題的關(guān)鍵．32．（2023春·四川成都·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)B，且與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)(1)求m的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求的面積；(3)在軸上是否存在點(diǎn)M，使得是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1),(2)6(3)，，，【分析】（1）根據(jù)正比例函數(shù)過(guò)，可得m，設(shè)一次函數(shù)解析式為代入求解即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式直接求解；（3）根據(jù)A、B坐標(biāo)，求出，然后分三種情況：分別是，，為底時(shí)求解即可．【詳解】（1）解：∵正比例函數(shù)過(guò)，，解得：，，設(shè)一次函數(shù)解析式為，且過(guò)A、C，得：解得∴一次函數(shù)解析式為：．（2）解：由（1）可知，，的面積為：．（3）解：由（1），，，，，情況一：當(dāng)?shù)资菚r(shí)，如圖：

，；情況二：當(dāng)?shù)资菚r(shí)，如圖：M在A右側(cè)，，，，M在A左側(cè)，，，，情況三、當(dāng)?shù)资菚r(shí)，如圖：，，，，解得：，，綜上所述：，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和圖像，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)和圖像，并利用數(shù)形結(jié)合和分論討論思想思想解答是解題的關(guān)鍵．33．（2023春·北京豐臺(tái)·八年級(jí)北京豐臺(tái)二中校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，，若P為矩形內(nèi)（不包括邊界）一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，這兩條平行線分矩形為四個(gè)小矩形，若這四個(gè)小矩形中有一個(gè)矩形的周長(zhǎng)等于，則稱(chēng)P為矩形的矩寬點(diǎn)，例如：下圖中的為矩形的一個(gè)距寬點(diǎn)．(1)在點(diǎn)，，，，中，矩形的矩寬點(diǎn)是___；(2)若為矩形的矩寬點(diǎn)，求m的值；(3)已知一次函數(shù)．它的圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn)___，若一次函數(shù)的圖象上存在矩形ABCO的矩寬點(diǎn)，則k的取值范圍是___．（直接寫(xiě)出答案）【答案】(1)D，F(xiàn)；(2)或；(3)，或．【分析】（1）根據(jù)矩寬點(diǎn)的定義即可判斷；（2）根據(jù)矩寬點(diǎn)的定義構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；（3）如圖1中由題意可知，矩形的矩寬點(diǎn)只能在線段，，，上（不包括端點(diǎn)），其中，，，，，．分別求出直線經(jīng)過(guò)、、、時(shí)的的值即可解決問(wèn)題；【詳解】（1），點(diǎn)是矩寬點(diǎn)，，點(diǎn)是矩寬點(diǎn)．故答案為和．（2）分別令等于2可得：或（3）將代入得，所以一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，設(shè)則若，則，即，∴此時(shí)點(diǎn)P在直線上滿足題意同理時(shí)，a＋b＝5

即b＝－a＋5時(shí)，a＋b＝1

即b＝－a＋1時(shí)

b－a＝－3

即b＝a＋3L1：代入（1，0），k＝－1L2：代入（1，2），k＝－3L3：代入（3，2），k＝3L4：代入（4，1），k＝1所以k的取值范圍為：或，故答案為：，或【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、矩形的性質(zhì)、矩寬點(diǎn)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的射線思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．34．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線平行于y軸，交直線于點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)D），連接．(1)求直線的解析式；(2)設(shè)，求的面積S的表達(dá)式（用含m的代數(shù)式表示）；(3)當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，則以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作等腰直角，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(3)或或或【分析】（1）將代入得到；（2）由兩直線交點(diǎn)的求法得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；易得線段的長(zhǎng)度，所以根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的面積公式列方程求得，于是得到點(diǎn)，推出．第1種情況，如圖2，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)F根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，于是得到；第2種情況，如圖3根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，于是得到；第3種情況，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D下方時(shí)，得到或．【詳解】（1）∵直線交x軸于點(diǎn)，∴．∴．∴直線；（2）由得：．∴．∵，∴．∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，，解得，∴點(diǎn)，∵，∴，∴，如圖2，，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)F，∵，∴，在與中，，∴．∴．∴．∴；如圖3，是等腰直角三角形，∴，∴，∴以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作等腰直角，點(diǎn)C的坐標(biāo)是或．當(dāng)時(shí)，，可得，同法可得或．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．35．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸，y軸于點(diǎn)A、B．另一條直線與直線交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）．(1)求a的值．(2)當(dāng)?shù)拿娣e為18時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)若直線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且始終與平行，直線交直線于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，求的面積．【答案】(1)5(2)P的坐標(biāo)為或(3)【分析】（1）將代入，從而可得答案；（2）設(shè)直線解析式為，求解直線解析式為，及，可得，P不能在線段上，設(shè)，再分兩種情況討論：當(dāng)P在D下面時(shí)，如圖：當(dāng)P在C上方時(shí)，如圖，再利用三角形的面積公式列方程即可；（3）過(guò)M作于H，如圖：設(shè)，證明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：將代入得：，解得，∴a的值是5；（2）設(shè)直線解析式為，將，代入得：，解得，∴直線解析式為，在中，令得，∴，∴，∴，∴P不能在線段上，設(shè)，當(dāng)P在D下面時(shí)，如圖：∵，，∴，∴，解得，∴；當(dāng)P在C上方時(shí)，如圖：∵，，∴，∴，解得，∴；綜上所述，P的坐標(biāo)為或；（3）過(guò)M作于H，如圖：設(shè)，在中，令得，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∵，，∴，解得，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形面積，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，清晰的分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵．36．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在y軸正半軸上，點(diǎn)，點(diǎn)在x軸正半軸上，且(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)B的直線與成夾角，試求該直線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且，連接，射線交于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的度數(shù)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出的度數(shù)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或(3)的度數(shù)是定值，【分析】（1）根據(jù)，得出，結(jié)合，即可得出，則；（2）根據(jù)題意得出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為：、，即可求出直線的表達(dá)式為：，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，作軸，交于點(diǎn)G，用等面積法求出，即可得出，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式列出方程求解即可；（3）作于D，取，連接，，通過(guò)證明，得出，進(jìn)而得出是等腰直角三角形，則，推出，即可得出結(jié)論的度數(shù)是定值，．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：當(dāng)，時(shí)，則，，即點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為：、，設(shè)直線的表達(dá)式為：，將點(diǎn)、代入得：，解得：，直線的表達(dá)式為：，如下圖，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，作軸，交于點(diǎn)G，把代入得：，解得：，∴，∴，∵，，∴，根據(jù)勾股定理可得：，∵，∴，即，解得：，∵，則，設(shè)點(diǎn)，則，解得：或，故過(guò)點(diǎn)B的直線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或；（3）解：的度數(shù)是定值，，理由：作于D，取，連接，，∵，，，∴，∴∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴可由平移所得，∴，∴，∴．∴的度數(shù)是定值，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是37．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在線段上，將線段繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)D恰好落在直線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在直線上，是否存在以C、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)或或【分析】（1）根據(jù)可證明；（2）先求出，根據(jù)可得，設(shè)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，再由點(diǎn)D在直線上，可得，即可求解；（3）分兩種情況討論：當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)，當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）證明：∵將線段繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，軸，，，，，在與中，，；（2）解：令，；令，，此時(shí)，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)D在直線上，∴，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（3）解：存在，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．由（2）知，∵動(dòng)點(diǎn)C在線段上，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，分兩種情況考慮，如圖2所示：①當(dāng)為邊時(shí)，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為0，∴或，∴或，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為0，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上所述：存在以C、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征、三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．38．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A，直線過(guò)點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是x軸上方一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P在線段上，