2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第3節(jié)隨機(jī)事件的概率學(xué)案含解析新人教B版

第3節(jié)隨機(jī)事務(wù)的概率一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．樣本點(diǎn)與樣本空間把隨機(jī)試驗(yàn)中每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果，都稱為樣本點(diǎn)，把由全部樣本點(diǎn)組成的集合稱為樣本空間(通常用大寫希臘字母Ω表示)．2．事務(wù)的相關(guān)概念3．事務(wù)的關(guān)系與運(yùn)算(1)事務(wù)的關(guān)系定義表示法圖示包含關(guān)系一般地，對(duì)于事務(wù)A與事務(wù)B，假如事務(wù)A發(fā)生時(shí)，事務(wù)B肯定發(fā)生，則稱“A包含于B”(或“B包含A”)A?B(或B?A)相等關(guān)系假如事務(wù)A發(fā)生時(shí)，事務(wù)B肯定發(fā)生；而且事務(wù)B發(fā)生時(shí)，事務(wù)A也肯定發(fā)生，則稱“A與B相等”A＝B?A?B且B?A事務(wù)互斥給定事務(wù)A，B，若事務(wù)A與B不能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B互斥AB＝?(或A∩B＝?)事務(wù)對(duì)立給定樣本空間Ω與事務(wù)A，則由Ω中全部不屬于A的樣本點(diǎn)組成的事務(wù)稱為A的對(duì)立事務(wù)eq\x\to(A)(2)事務(wù)的和與積定義表示法圖示事務(wù)的和(并)給定事務(wù)A，B，由全部A中的樣本點(diǎn)與B中的樣本點(diǎn)組成的事務(wù)稱為A與B的和(或并)A＋B或(A∪B)事務(wù)的積(交)給定事務(wù)A，B，由A與B中的公共樣本點(diǎn)組成的事務(wù)稱為A與B的積(或交)AB(或A∩B)(3)事務(wù)的混合運(yùn)算因?yàn)槭聞?wù)運(yùn)算的結(jié)果仍是事務(wù)，因此可以進(jìn)行事務(wù)的混合運(yùn)算，例如(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)表示的是Aeq\x\to(B)與eq\x\to(A)B的和，實(shí)際意義是：A發(fā)生且B不發(fā)生，或者A不發(fā)生且B發(fā)生，換句話說就是A與B中恰有一個(gè)發(fā)生．同數(shù)的加、減、乘、除混合運(yùn)算一樣，事務(wù)的混合運(yùn)算也有優(yōu)先級(jí)，我們規(guī)定：求積運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)高于求和運(yùn)算，因此(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)可簡寫為Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B.4．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必定事務(wù)的概率P(Ω)＝1.(3)不行能事務(wù)的概率P(?)＝0.(4)①假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②假如事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立事務(wù)，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．③假如A?B，那么P(A)≤P(B)．④設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事務(wù)，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．1．隨機(jī)事務(wù)A，B互斥與對(duì)立的區(qū)分與聯(lián)系當(dāng)隨機(jī)事務(wù)A，B互斥時(shí)，不肯定對(duì)立；當(dāng)隨機(jī)事務(wù)A，B對(duì)立時(shí)，肯定互斥．2．從集合的角度理解互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)(1)幾個(gè)事務(wù)彼此互斥，是指由各個(gè)事務(wù)所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．(2)事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事務(wù)A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．推斷下列說法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)事務(wù)發(fā)生的頻率與概率是相同的．(×)(2)隨機(jī)事務(wù)和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事．(×)(3)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(√)(4)兩個(gè)事務(wù)的和事務(wù)發(fā)生是指這兩個(gè)事務(wù)至少有一個(gè)發(fā)生．(√)(5)若A，B為互斥事務(wù)，則P(A)＋P(B)＝1.(×)(6)對(duì)立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)，互斥事務(wù)不肯定是對(duì)立事務(wù)．(√)2．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事務(wù)“至少有一次中靶”的對(duì)立事務(wù)是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶D解析：“至少有一次中靶”的對(duì)立事務(wù)是“兩次都不中靶”．3．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面對(duì)上恰有5次”是()A．必定事務(wù) B．隨機(jī)事務(wù)C．不行能事務(wù) D．無法確定B解析：拋擲10次硬幣正面對(duì)上的次數(shù)可能為0～10，都有可能發(fā)生，所以正面對(duì)上5次是隨機(jī)事務(wù)．4．(多選題)若干個(gè)人站成一排，其中不是互斥事務(wù)的是()A．“甲站排頭”與“乙站排頭”B．“甲站排頭”與“乙不站排尾”C．“甲站排頭”與“乙站排尾”D．“甲不站排頭”與“乙不站排尾”BCD解析：對(duì)于A，“甲站排頭”與“乙站排頭”不行能同時(shí)發(fā)生，是互斥事務(wù)．對(duì)于B，“甲站排頭”時(shí)，乙可以“不站排尾”，兩者可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事務(wù)．對(duì)于C，“甲站排頭”時(shí)，乙可以“站排尾”，兩者可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事務(wù)．對(duì)于D，“甲不站排頭”時(shí)，乙可以“不站排尾”，兩者可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事務(wù)．故選BCD.5．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為________．0.45解析：由表知[10,40)的頻數(shù)為2＋3＋4＝9，所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為eq\f(9,20)＝0.45.6．(2024·濟(jì)南模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事務(wù)A＝{抽到一等品}，事務(wù)B＝{抽到二等品}，事務(wù)C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事務(wù)“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________．0.35解析：因?yàn)槭聞?wù)A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，所以事務(wù)“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為p＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.考點(diǎn)1隨機(jī)事務(wù)的關(guān)系——基礎(chǔ)性(1)把紅、黃、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四人，每個(gè)人分得一張，事務(wù)“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”()A．是對(duì)立事務(wù)B．是不行能事務(wù)C．是互斥但不對(duì)立事務(wù)D．不是互斥事務(wù)C解析：明顯兩個(gè)事務(wù)不行能同時(shí)發(fā)生，但兩者可能同時(shí)不發(fā)生，因?yàn)榧t牌可以分給丙、丁兩人，綜上，這兩個(gè)事務(wù)為互斥但不對(duì)立事務(wù)．(2)設(shè)條件甲：事務(wù)A與事務(wù)B是對(duì)立事務(wù)，結(jié)論乙：概率滿意P(A)＋P(B)＝1，則甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：若事務(wù)A與事務(wù)B是對(duì)立事務(wù)，則A∪B為必定事務(wù)．再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投擲一枚硬幣3次，滿意P(A)＋P(B)＝1，但A，B不肯定是對(duì)立事務(wù)．如事務(wù)A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事務(wù)B：“出現(xiàn)3次正面”，則P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，滿意P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對(duì)立事務(wù)．推斷互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的兩種方法(1)定義法：推斷互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)一般用定義推斷，不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)為互斥事務(wù)；兩個(gè)事務(wù)，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事務(wù)為對(duì)立事務(wù)，對(duì)立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)．(2)集合法：①由各個(gè)事務(wù)所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事務(wù)互斥；②事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事務(wù)A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．1．(2024·菏澤一中高三月考)同時(shí)投擲兩枚硬幣一次，互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事務(wù)是()A．“至少有1枚正面朝上”與“2枚都是反面朝上”B．“至少有1枚正面朝上”與“至少有1枚反面朝上”C．“恰有1枚正面朝上”與“2枚都是正面朝上”D．“至少有1枚反面朝上”與“2枚都是反面朝上”C解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”與“2枚都是反面朝上”不能同時(shí)發(fā)生，且“至少有1枚正面朝上”不發(fā)生時(shí)，“2枚都是反面朝上”肯定發(fā)生，故A中的兩個(gè)事務(wù)是對(duì)立事務(wù)；在B中，當(dāng)兩枚硬幣恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上時(shí)，“至少有1枚正面朝上”與“至少有1枚反面朝上”能同時(shí)發(fā)生，故B中的兩個(gè)事務(wù)不是互斥事務(wù)；在C中，“恰有1枚正面朝上”與“2枚都是正面朝上”不能同時(shí)發(fā)生，且其中一個(gè)不發(fā)生時(shí)，另一個(gè)有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生，故C中的兩個(gè)事務(wù)是互斥而不對(duì)立事務(wù)；在D中，當(dāng)2枚硬幣同時(shí)反面朝上時(shí)，“至少有1枚反面朝上”與“2枚都是反面朝上”能同時(shí)發(fā)生，故D中的兩個(gè)事務(wù)不是互斥事務(wù)．故選C.2．口袋里裝有6個(gè)形態(tài)相同的小球，其中紅球1個(gè)，白球2個(gè)，黃球3個(gè)．從中取出兩個(gè)球，事務(wù)A＝“取出的兩個(gè)球同色”，B＝“取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)黃球”，C＝“取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)白球”，D＝“取出的兩個(gè)球不同色”，E＝“取出的兩個(gè)球中至多有一個(gè)白球”．下列推斷中正確的序號(hào)為________．①A與D為對(duì)立事務(wù)；②B與C是互斥事務(wù)；③C與E是對(duì)立事務(wù)；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．①④解析：明顯A與D是對(duì)立事務(wù)，①正確；當(dāng)取出的兩個(gè)球?yàn)橐稽S一白時(shí)，B與C都發(fā)生，②不正確；當(dāng)取出的兩個(gè)球中恰有一個(gè)白球時(shí)，事務(wù)C與E都發(fā)生，③不正確；C∪E為必定事務(wù)，P(C∪E)＝1，④正確；P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，⑤不正確．考點(diǎn)2隨機(jī)事務(wù)的頻率與概率——基礎(chǔ)性如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時(shí)間(分)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑．解：(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率p＝eq\f(44,100)＝0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為所用時(shí)間(分)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的頻率0.10.20.30.20.2選擇L2的頻率00.10.40.40.1(3)設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.因?yàn)镻(A1)＞P(A2)，所以甲應(yīng)選擇L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.因?yàn)镻(B1)＜P(B2)，所以乙應(yīng)選擇L2.1．概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事務(wù)概率的估計(jì)值．2．隨機(jī)事務(wù)概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事務(wù)的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事務(wù)發(fā)生的頻率會(huì)漸漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．留意：概率的定義是求一個(gè)事務(wù)概率的基本方法．1．在投擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，共投擲了100次，正面朝上的頻數(shù)為51次，則正面朝上的頻率為()A．49 B．0.5C．0.51 D．0.49C解析：由題意，依據(jù)事務(wù)發(fā)生的頻率的定義可知，“正面朝上”的頻率為eq\f(51,100)＝0.51.2．(2024·濰坊高三模擬)某學(xué)校共有教職工120人，對(duì)他們進(jìn)行年齡結(jié)構(gòu)和受教化程度的調(diào)查，其結(jié)果如下表：本科探討生合計(jì)35歲以下40307035～50歲27134050歲以上8210現(xiàn)從該校教職工中任取1人，則下列結(jié)論正確的是()A．該校教職工具有本科學(xué)歷的概率低于60%B．該校教職工具有探討生學(xué)歷的概率超過50%C．該校教職工的年齡在50歲以上的概率超過10%D．該校教職工的年齡在35歲及以上且具有探討生學(xué)歷的概率超過10%D解析：對(duì)于選項(xiàng)A，該校教職工具有本科學(xué)歷的概率p＝eq\f(75,120)＝eq\f(5,8)＝62.5%>60%，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，該校教職工具有探討生學(xué)歷的概率p＝eq\f(45,120)＝eq\f(3,8)＝37.5%<50%，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，該校教職工的年齡在50歲以上的概率p＝eq\f(10,120)＝eq\f(1,12)≈8.3%<10%，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，該校教職工的年齡在35歲及以上且具有探討生學(xué)歷的概率p＝eq\f(15,120)＝eq\f(1,8)＝12.5%>10%，故D正確．故選D.考點(diǎn)3互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的概率——綜合性經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營業(yè)窗口排隊(duì)的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率；(2)至少3人排隊(duì)等候的概率．解：記“無人排隊(duì)等候”為事務(wù)A，“1人排隊(duì)等候”為事務(wù)B，“2人排隊(duì)等候”為事務(wù)C，“3人排隊(duì)等候”為事務(wù)D，“4人排隊(duì)等候”為事務(wù)E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事務(wù)F，則事務(wù)A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥．(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事務(wù)G，則G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)(方法一)記“至少3人排隊(duì)等候”為事務(wù)H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.(方法二)記“至少3人排隊(duì)等候”為事務(wù)H，則其對(duì)立事務(wù)為事務(wù)G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.求困難互斥事務(wù)概率的兩種方法(1)干脆法：將所求事務(wù)分解為一些彼此互斥事務(wù)的和，運(yùn)用互斥事務(wù)概率的加法公式計(jì)算．(2)間接法：先求此事務(wù)的對(duì)立事務(wù)，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求得，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特殊是“至多”“至少”型題目，用間接法就會(huì)較簡便．提示：應(yīng)用互斥事務(wù)概率的加法公式，肯定要留意首先確定各個(gè)事務(wù)是否彼此互斥，然后求出各事務(wù)發(fā)生的概率，再求和(或差)．間接法體現(xiàn)了“正難則反”的思想方法．1．拋擲一個(gè)質(zhì)地勻稱的骰子的試驗(yàn)，事務(wù)A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事務(wù)B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事務(wù)A＋eq