專題35 旋轉綜合題中的角度問題(解析版)

專題35旋轉綜合題中的角度問題【題型演練】一、單選題1．（2022·新疆·烏魯木齊市第四十四中學九年級期末）如圖將繞點C逆時針旋轉得到，點B恰好落在上，若，則旋轉角為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】C【分析】先求出，根據(jù)旋轉的性有，即可證明，即問題得解．【詳解】解：∵，∴，根據(jù)旋轉的性有，∵，，∴，∵，∴，即旋轉角度為40°，故選：C．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質(zhì)以及三角形的外角的定義的知識，掌握旋轉的性質(zhì)是解答本題的關鍵．2．（2023·江西·九年級專題練習）如圖，將邊長為的正方形繞點B逆時針旋轉30°，那么圖中陰影部分的面積為()A．3 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件可證Rt△ABM≌Rt△C＇BM，只需算出三角形ABM的面積，用正方形面積減去2倍的△ABM的面積，即可算出陰影部分面積．【詳解】解：如圖所示，連接BM，由旋轉可知，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=CB′，∠BAM=∠BC′M=90°，又∵BM=BM，所以在Rt△ABM與Rt△C′BM中，所以Rt△ABM≌Rt△C＇BM（HL），∵∠ABA＇=∠C＇BC=30°，∴∠ABM＝∠C＇BM=30°，∵AM=AB·tan30°=1，∴，∴四邊形ABC＇M的面積為：，且正方形ABCD面積為：，∴陰影部分面積為：，故選：C．【點睛】本題考查割補法求面積，全等三角形，以及三角函數(shù)的應用，能夠熟練利用割補法求面積是解決本題的關鍵．3．（2022·福建·閩清天儒中學九年級期中）如圖，將繞點逆時針旋轉一個角度得到，點的對應點恰好落在邊上，且，，三點在同一條直線上，若，則旋轉角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)繞點逆時針旋轉一個角度得到，可得，在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得，從而算出旋轉角的度數(shù)．【詳解】∵繞點逆時針旋轉得到，點的對應點是，∴，，∴，，，∴，∴．∵，，三點在同一條直線上，∴在中，，即，∴，解得．∴旋轉角的度數(shù)是．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的旋轉變換，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和旋轉的性質(zhì)是解本題的關鍵．4．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，P是平分線上一點，OP＝10，，在繞點P旋轉的過程中始終保持不變，其兩邊和OA，OB分別相交于M，N，下列結論：①是等邊三角形；②MN的值不變；③OM＋ON＝10；④四邊形PMON面積不變．其中正確結論的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要證明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判斷．【詳解】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF+∠AOB=180°，∵∠MPN+∠AOB=180°，∴∠EPF=∠MPN，∴∠EPM=∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE=PF，在Rt△POE和Rt△POF中，，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE=OF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴EM=NF，PM=PN，S△PEM=S△PNF，∵∴是等邊三角形，故①正確；∵S△PEM=S△PNF，∴S四邊形PMON=S四邊形PEOF=定值，故④正確；∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=10，故③正確；∵M，N的位置變化，∴MN的長度是變化的，故②錯誤；故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．5．（2021·江蘇省錫山高級中學實驗學校三模）將等邊與等邊的頂點B重合，如圖1放置，使D、E分別在、上，將等邊從圖1位置開始繞點B順時針旋轉一周，如圖2，直線、相交于點P．若：，．給出如下結論：在等邊旋轉的過程中，①始終有；②當點D落在內(nèi)部時，四邊形的面積為定值；③當點B到直線的距離最大時，；④當A、D、E三點共線時，．上述結論中正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】①利用等邊三角形和旋轉的性質(zhì)，證明△ADB≌△CEB即可判斷；②由①結論可得：四邊形BECD的面積=△ABC的面積-△ADC的面積，根據(jù)點D的軌跡判斷即可；③當BD⊥AD時，B點到直線AD的距離最大；D點在B點右側時，結合①結論利用勾股定理和三角函數(shù)解直角三角形即可；同理可求D點在B點左側時；④點D在點A、E之間時，結合①結論利用等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形即可；同理可求點E在點A、D之間時．【詳解】解：①如圖，∠ABC=∠DBE=60°，則∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，∴∠ABD=∠CBE，AB=CB，DB=EB，∴△ADB≌△CEB，∴AD=CE，即①正確；②如圖，連接CD，弧D1D2為D點旋轉軌跡，∵△ADB≌△CEB，∴四邊形BECD的面積=△ABC的面積-△ADC的面積，由D點軌跡可知：D點到線段AC的距離不是定值，∴△ADC的面積不是定值，∴四邊形BECD的面積不是定值，即②錯誤；③∵BD的長度是定值，∴當BD⊥AD時，B點到直線AD的距離最大，D點在B點右側時，如圖，過P作PF⊥DE于F，∵BD⊥AD，∴，∵△ADB≌△CEB，∴AD=CE，∠ADB=∠CEB=90°，∴∠PEF=∠CEB-∠DEB=30°，∠PDE=∠PDB-∠EDB=30°，∴PE=PD，∵PF⊥DE，∴EF=DE=，∴PE==，PC=CE-PE=；D點在B點左側時，如圖，過P作PF⊥DE于F，同理可得CE=AD=，PE=，PC=CE+PE=，∴PC=，即③錯誤；④點D在點A、E之間時，如圖，過B點作BF⊥AE于點F，△BDE是等邊三角形，BF⊥AE，則DF=DE=，BF=，△ABF中，由勾股定理可得AF=，∴AD=AF-DF=，∵△ADB≌△CEB，∴AD=CE=；點E在點A、D之間時，如圖，過B點作BF⊥AE于點F，同理可得△ADB≌△CEB，CE=AD=AF+DF=；∴CE=；即④正確；綜上所述①④正確，故選：B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)；根據(jù)題意作出相應的圖形是解題關鍵．二、填空題6．（2022·福建·廈門市華僑中學九年級期中）如圖，將繞點逆時針旋轉110°，得到，若點落在線段的延長線上，則大小為______．【答案】##35度【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出的度數(shù)，此題得解．【詳解】解：根據(jù)旋轉的性質(zhì)，可得：，．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉的性質(zhì)結合等腰三角形的性質(zhì)求解是解題的關鍵．7．（2022·江蘇·泰興市實驗初級中學一模）如圖，在△ABC中，∠CAB＝40°，將△ABC在平面內(nèi)繞點A逆時針旋轉到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉角的度數(shù)為_____．【答案】100°##100度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和旋轉的性質(zhì)求出∠C′CA＝∠CAB＝40°，AC′＝AC，求出∠AC′C＝∠C′CA＝40°，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠C′AC即可．【詳解】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝40°，∴∠C′CA＝∠CAB＝40°，∵將△ABC在平面內(nèi)繞點A旋轉到△AB′C′的位置，∴AC′＝AC，∴∠AC′C＝∠C′CA＝40°，∴∠C′AC＝180°?40°?40°＝100°，即旋轉角的度數(shù)是100°，故答案為：100°．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，能靈活運用旋轉的性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵．8．（2022·江蘇無錫·九年級階段練習）將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如圖①擺放，點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經(jīng)過點C．將△DEF繞點D順時針方向旋轉角α（0°＜α＜60°），DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，則＝________．【答案】##【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD＝AD＝BD＝AB，根據(jù)等邊對等角求出∠ACD＝∠A，再求出∠ADC＝120°，再根據(jù)∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF計算得30°，根據(jù)同角的余角相等求出∠PDM＝∠CDN，再根據(jù)然后求出△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD＝60°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠CPD＝60°，從而得到∠CPD＝∠BCD，再根據(jù)兩組角對應相等，兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例可得結論．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，點D為AB的中點，∴CD＝AD＝BD＝AB，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠ADC＝180°﹣30°×2＝120°，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF＝120°﹣90°＝30°；∵∠EDF＝90°，∴∠PDM+∠E′DF＝∠CDN+∠E′DF＝90°，∴∠PDM＝∠CDN，∵∠B＝60°，BD＝CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠BCD＝60°，∵∠CPD＝∠A+∠ADE＝30°+30°＝60°，∴∠CPD＝∠BCD，∴△DPM∽△DCN，∴＝，∵∠ACD＝30°，∠CDP＝90°，∴＝tan∠ACD＝tan30°＝，∴＝．故答案為：．【點睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解題的關鍵是判斷出△MPD∽△NCD．9．（2022·河北·衡水市第六中學九年級期中）如圖，中，，，O為中點，將繞著點O逆時針旋轉至，（1）當時，__________；（2）當恰為軸對稱圖形時，的值為_____________．【答案】

40°

50°或65°或80°【分析】（1）連接，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，然后結合旋轉的性質(zhì)得到，然后根據(jù)外角的性質(zhì)得到，進而求解即可；（2）如圖1，連接，根據(jù)直角三角形的判定和性質(zhì)得到，當時，得到，推出垂直平分，求得，于是得到，當時，如圖2，連接并延長交于H，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到垂直平分，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，當時，如圖3，連接并延長交于G，連接，推出垂直平分，得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到．【詳解】（1）連接，∵中，O為中點∴∵將繞著點O逆時針旋轉至∴∴∵∴∴；（2）∵恰為軸對稱圖形，∴是等腰三角形，如圖1，連接，∵O為斜邊中點，，∴，∴，當時，∴，∴，∴，∴，∴垂直平分，∴，∴；當時，如圖2，連接并延長交于H，∵，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴；當時，如圖3，連接并延長交于G，連接，∵，O為斜邊中點，∴，∴垂直平分，∴，∵，∴，綜上所述：當恰為軸對稱圖形時，θ的值為50°或65°或80°，故答案為：50°或65°或80°．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識的綜合運用，熟練的運用旋轉的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)是解決問題的關鍵．10．（2022·四川·成都市棕北中學二模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點G為BC中點，以BG為邊在BC右側作正方形BEFG，直線AG，CE交于點P．現(xiàn)將正方形BEFG繞點B順時針旋轉．（1）當旋轉30°時，CE＝_____；（2）當正方形BEFG繞點B旋轉一周時，點P經(jīng)過的路徑長為_____．【答案】

【分析】延長CB,過點作,根據(jù)正方形的性質(zhì)以及旋轉的性質(zhì)，得出，得到，,運用勾股定理求得CE的長；當正方形旋轉到點、、在一條直線上時，點到達最高點，連接、，求出；當正方形旋轉到點、、在一條直線上時，點到達最低點；連接、，求出，求得點運動弧所對圓心角，利用弧長公式求解；【詳解】（1）解：如圖，延長CB過點作,，，，∵AB＝4，點G為BC中點，∴，∴，∴，∴，在中，∴，故答案為：；（2）正方形，正方形，，，，，，，同理可證，正方形繞點B旋轉過程中，存在，所以點在以為直徑的圓上運動，，，，，如圖：當點、、在同一直線上時，點與點重合，，，，，，，同理可得，當點、、在同一直線上時，，所以點路徑對應的圓心角是，；故答案為：．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)以及旋轉的性質(zhì)的綜合應用，解決問題的關鍵是畫出圖形，作輔助線構造直角三角形，結合勾股定理進行計算求解．解題時注意分類討論思想的運用．11．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市教育教學研究中心一模）如圖所示，在中，，，，點D、E分別是邊BC、AB的中點，將繞著點B逆時針旋轉，使D、E旋轉后的對應點、與點A三點共線，則以下判斷，其中正確結論的序號為______．①線段，②，③．【答案】①②③【分析】根據(jù)題意，是的中點，則在以為圓心的半徑的圓上，進而即可求解．【詳解】解：依題意，是的中點，則在以為圓心的半徑的圓上，如圖，，，設，則，，，，故①成立，，，，故②成立又故③正確故答案為：①②③【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，直角所對的弦是直徑，相似三角形的性質(zhì)與判定，求一個角的正切，證明在以為圓心的半徑的圓上是解題的關鍵．三、解答題12．（2022·天津濱海新·九年級期中）如圖，將矩形繞著點逆時針旋轉得到矩形，使點恰好落到線段上的點處，連接，連接交于點．(1)求證：平分；(2)取的中點，連接，求證：；(3)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)的長為【分析】（1）通過旋轉的性質(zhì)得到，再利用矩形的性質(zhì)證明即可．（2）過點作于，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等得到，再利用旋轉及矩形的性質(zhì)得到≌，得到點是中點，利用中位線的性質(zhì)解題即可．（3）過點作于，過作于，利用含的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理計算即可．【詳解】（1）證明：將矩形繞著點逆時針旋轉得到矩形，使點恰好落到線段上的點處，，，，，，平分；（2）證明：過點作于，如圖：平分，，，，，，，，≌，，即點是中點，點是中點，是的中位線，∴；（3）解：過點作于，過作于，如圖：，，，，，，，，在中，，的長為．【點睛】本題主要考查旋轉的性質(zhì)，涉及到三角形全等的判定及性質(zhì)，矩形的的性質(zhì)，勾股定理，能夠熟練運用旋轉的性質(zhì)并結合其他幾何性質(zhì)添加輔助線和證明是解題關鍵．13．（2022·湖南長沙·九年級期中）已知：正方形，以A為旋轉中心，旋轉至，連接．(1)若將順時針旋轉至，如圖1所示，求的度數(shù)？(2)若將順時針旋轉度至，求的度數(shù)？(3)若將逆時針旋轉度至，請分別求出、、三種情況下的的度數(shù)（圖2、圖3、圖4）．【答案】(1)(2)(3)，，【分析】（1）利用旋轉的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可知，再根據(jù)等邊對等角，即可求出的度數(shù)；（2）用和（1）一樣的方法即可進行證明；（3）分為三種情況，分別將的度數(shù)表示出來，再根據(jù)角度之間的和差關系即可進行解答．【詳解】（1）解：∵順時針旋轉至，∴，，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴．（2）∵順時針旋轉至，∴，，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴．（3）①當時，∵逆時針旋轉至，∴，，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴．②當時，∵逆時針旋轉至，∴，，∵四邊形為正方形，∴，，∴，即點P、A、B三點共線，∴．③當時，∵逆時針旋轉至，∴，，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，圖形的旋轉變化，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握正方形四邊都相等，四個角都是直角；旋轉前后對應邊相等；等腰三角形等邊對等角．14．（2021·新疆·烏魯木齊市第二十九中學九年級期中）在△ABC與△EDC中，∠ACB=∠ECD=60°，∠ABC=∠EDC，△EDC可以繞點C旋轉，連接AE，BD(1)如圖1①若BC=3DC，直接寫出線段BD與線段AE的數(shù)量關系；②求直線BD與直線AE所夾銳角的度數(shù)；(2)如圖2，BC=AC=3，當四邊形ADCE是平行四邊形時，直接寫出線段DE的長【答案】(1)①BD=3AE，②直線BD與AE所夾銳角為60°(2)【分析】（1）①通過△ABC∽△EDC證明△AEC∽△BDC即可，②延長AE與BD交于點F，通過（1）中的相似即可得出結果．（2）連接AD，AE，通過（1）中的相似可以證明四邊形ADCE為菱形，進而得出結論．【詳解】（1）解：①BD=3AE∵在△ABC和△EDC中∴△ABC∽△EDC∴∠DCE=∠BCA，∴∠DCE-∠BCE=∠ACB-∠BCE∠BCD=∠ACE.在△AEC和△BDC中∴△AEC∽△BDC∴BD=3AE②夾角為60°如圖，延長AE與BD交于點F∵∠ACB=60°∴∠CBA+∠CAB=120°由（1）中△AEC∽△BDC可得∠EAC=∠DBC∴∠DBC+∠CBA+∠BAE=120°∴在△AFB中∠AFB=60°∴直線BD與AE所夾銳角為60°（2）解：如圖，連接AD，AE，∵∠ACB=60°，BC=AC，∴△ABC是等邊三角形由（1）可得△ABC∽△EDC∴△DEC為等邊三角形，∴DC=EC∵四邊形ADCE是平行四邊形∴平行四邊形ADCE是菱形∵AC為菱形ADCE對角線∴∴【點睛】本題主要考查旋轉的性質(zhì)，涉及三角形相似的證明，菱形的證明，能夠熟練證明相似是解題關鍵．15．（2022·黑龍江齊齊哈爾·九年級階段練習）綜合與實踐如圖1所示，將一個長為6寬為4的長方形ABEF，裁成一個邊長為4的正方形ABCD和一個長為4、寬為2的長方形CEFD如圖2．現(xiàn)將小長方形CEFD繞點C順時針旋轉至，旋轉角為α．(1)當點恰好落在EF邊上時，求旋轉角α（0°＜α＜90）的值；(2)如圖3，G為BC中點，且0°＜α＜90°，求證：；(3)小軍是一個愛動手研究數(shù)學問題的孩子，他發(fā)現(xiàn)在小長方形CEFD繞點C順時針旋轉一周的過程中，與存在兩次全等，請你幫助小軍直接寫出當與全等時，旋轉角α的值．【答案】(1)30°(2)見解析(3)135°；315°【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質(zhì)得，在Rt△中，，，則，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到旋轉角α的值；（2）由為中點可得，根據(jù)旋轉的性質(zhì)得，，則，然后根據(jù)“SAS”，可判斷，則；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，而，則為腰相等的兩等腰三角形，當兩頂角相等時它們?nèi)龋斉c為鈍角三角形時，可計算出，當與為銳角三角形時，可計算出．（1）解：∵長方形CEFD繞點順時針旋轉至，∴，在Rt△中，，，∴，∵，∴；（2）證明：∵為中點，∴，∴，∵長方形CEFD繞點順時針旋轉至，∴，，∴，在中，，∴（SAS），∴；（3）解：∵四邊形為正方形，∴，∵，∴為腰相等的兩等腰三角形，當時，，當與為鈍角三角形時，則，當與為銳角三角形時，，則，綜上旋轉角α的值為135°或315°．【點睛】此題主要考查了旋轉的性質(zhì)，正方形和矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，解題關鍵是掌握旋轉前后圖形的對應關系．16．（2022·天津市第五十五中學九年級期中）如圖1，在正方形中，，點E是的中點，以為邊作正方形，連接．將正方形繞點D順時針旋轉，旋轉角為．(1)如圖2，在旋轉過程中，判斷與是否全等，并說明理由；(2)如圖3，延長交直線于點P．①求證：；②在旋轉過程中，線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)．理由見解析(2)①見解析；②存在，的最大值為【詳解】（1）如圖2中，結論：．證明：∵四邊形是正方形，∴，，∵，，∴，∴，∴（SAS）．（2）①證明：如圖3中，設交于O．∵，∴，∵，∴在與中，∴．②存在∵，是定值，∴當最小時，的值最大，∴當時，的值最小，此時的值最大，此時點F與P重合，∵，∴，∵，∴，∴的最大值為．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會尋找特殊位置解決最值問題，屬于中考壓軸題．17．（2022·全國·九年級專題練習）如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊長分別為5和2，點E、G分別在邊AB和邊AD上，連接BG、DE，P為BG的中點，將正方形AEFG繞著點A從圖1位置順時針旋轉度（）．(1)當A、G、B三點不共線時，；（填“＞”、“＝”或“＜”）(2)如圖2，當時，求的值；(3)在正方形AEFG轉動一周的過程中，①求點P運動的路徑長；②當時，請直接寫出滿足條件的的值．【答案】(1)＝(2)(3)①；②45°、135°、225°、315°．【分析】（1）根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形，可得結論．（2）如圖2中，過點E作EH⊥AD交DA的延長線于點H，過G作GI⊥AB于點I．證明△AHE≌△AIG（AAS），推出EH=GI，可得結論；（3）①如圖3中，取AB的中點O，連接OP．利用三角形中位線定理，證明OP=1，可得結論；②分兩種情形：如圖4中，當點G在AB的右側時，過點G作GH⊥AB于點H．如圖5中，當點G在AB的左側時，過點G作GH⊥AB于點H．分別證明△AGH是等腰直角三角形，可得結論．【詳解】（1）解：在△ABG中，PB=PG，∴S△AGP=S△ABP，故答案為：=；（2）如圖2中，過點E作EH⊥AD交DA的延長線于點H，過G作GI⊥AB于點I．∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AB=AD，AG=AE，∠EAG=∠BAH=90°，∴∠EAH=∠GAI，在△AHE和△AIG中，，∴△AHE≌△AIG（AAS），∴EH=GI，∵S△ABG=?AB?GI，S△ADE=?AD?EH，∴S△ABG=S△ADE，∵PB=PG，∴S△ABP=S△AGB=S△ADE，∴；（3）①如圖3中，取AB的中點O，連接OP．∵PB=PG，AO=OB，∴OP=AG=1，∴點P的運動軌跡是以O為圓心，OP為半徑的圓，∴點P的運動路徑的長為2π×1=2π；②如圖4中，當點G在AB的右側時，過點G作GH⊥AB于點H．∵S△ABG=2S△ABP，∴，∴，∴∴AH=GH，∠GAH=45°，∴α=45°；如圖5中，當點G在AB的左側時，過點G作GH⊥AB于點H．同法可得∠GAH=45°，∴α=135°，當AG在AD的上方時，同法可得α=225°或315°．綜上所述，滿足條件的α的值為45°或135°或225°或315°．【點睛】本題考查了四邊形綜合，正方形的性質(zhì)，旋轉變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題．18．（2022·河南商丘·九年級期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點P，，，，求的度數(shù)．針對此問題，數(shù)學王老師給出了下面的思路：如圖2，將繞點A逆時針旋轉60°得到，連結，得到等邊三角形，在中，根據(jù)三角形三邊關系以及勾股定理……請根據(jù)王老師的思路提示，完成本題的解答；（2）類比延伸如圖3，在正方形ABCD內(nèi)部有一點P，若，試判斷線段PA、PB、PD之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1）；（2），理由見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可得到為直角三角形，且，即可得到∠APB的度數(shù)；（2）把△ADP繞點A順時針旋轉90°得到，根據(jù)旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得，然后求出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出再求出，然后利用勾股定理得出等量代換得出．【詳解】解：（1）如圖2，將△APC繞點A逆時針旋轉60°，得到，連結，則為等邊三角形．∴∴∴為直角三角形．∴∠APB的度數(shù)為90°+60°=150°．故答案為：直角；150°；（2）2PA2+PD2=PB2．理由如下：如圖3，把△ADP繞點A順時針旋轉90°得到△ABP′，連結．則∴是等腰直角三角形，∴∵∠APD=135°，∴，∴，在Rt中，由勾股定理得，∴．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理的應用．19．（2022·廣東·豐順縣大同中學九年級階段練習）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮將其中一張繞點順時針旋轉后得到矩形（如圖1），連接，此時他測得，．(1)在圖1中，請你判斷直線和是否垂直？并證明你的結論；(2)小紅同學用剪刀將與剪去，與小亮同學繼續(xù)探究．他們將繞點順時針旋轉得，交于點（如圖2），設旋轉角為，當為等腰三角形時，請直接寫出旋轉角的度數(shù)；(3)若將沿方向平移得到（如圖3），與交于點，與交于點，當時，求平移的距離是多少．【答案】(1)垂直，理由見解析(2)或(3)平移的距離是【分析】（1）有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點順時針旋轉后得到矩形，得，，推出，，進而可得的大小（2）分兩種情形討論①當，時，②當時，時，均可根據(jù)旋轉的性質(zhì)得出結論（3）求平移的距離是的長度．在矩形中，，只要求出的長度就行．用得出對應線段成比例，即可得到的大小．【詳解】（1）垂直．下面證明：延長交于點．由題意得．．，．．．（2）當時，，則，即；當時，，∴∴，即；∴的度數(shù)為或（3）由題意知四邊形為矩形．設，則．在中，，．，．．在中，，．，，，解得即平移的距離是．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用運用．在利用相似三角形的性質(zhì)時注意使用相等線段的代換以及注意分類思想的運用．20．（2022·廣東·廣州市第一一三中學九年級期中）如圖，是等邊三角形，點D是邊的中點，以D為頂點作一個的角，角的兩邊分別交直線于M、N兩點，以點D為中心旋轉（的度數(shù)不變）(1)如圖①，若，求證：；(2)如圖②，若與不垂直，且點M在邊上，點N在邊上時，（1）中的結論是否成立？并說明理由；(3)如圖③，若與不垂直，且點M在邊上，點N在邊的延長線上時，（1）中的結論是否成立？若不成立，寫出之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)成立，理由見解析(3)不成立，，理由見解析【分析】（1）證明得出，，然后根據(jù)含30度的直角三角形性質(zhì)得出，，最后代入化簡即可得證；（2）過D作于E，于F，通過證明，得出，然后利用（1）的結論解答即可；（3）過D作于E，于F，利用（1）（2）的結論解答即可．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵點D是邊的中點，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴，，∵，，，∴，，∴；即；（2）解：．理由：如圖②，過D作于E，于F，由（1）知：，，∴，，，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，即；（3）解：．理由：如圖③，過D作于E，于F，，由（2）知：，∴，由（1）知：，∴，即．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形判斷與性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)等知識，添加合適輔助線，構造三角形全等是解題的關鍵．21．（2022·湖北省水果湖第一中學九年級期中）如圖1，中，，，點D、E分別在上，．將繞點A逆時針旋轉度，使得B、D、E三點共線．(1)直接寫出：_________________（用表示）；(2)若，當時，作于F，在圖2中畫出符合要求的圖形，并探究之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；(3)如圖3，若，，當時，直接寫出的最大值_________．【答案】(1)(2)，圖見解析(3)【分析】（1）畫出對應圖形后，證明，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解答；（2）畫出對應圖形后，根據(jù)可得，再根據(jù)，即可得出結論；（3）求證，可確定點E的運動軌跡，再根據(jù)垂徑定理可求出的長度，最后根據(jù)三角形的面積公式，將分為兩個三角形的面積和即可．【詳解】（1）解：連接，∵，∴，即，在和中，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．（2）解：如圖：∵，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，則，由（1）可知，，∴，∵，∴．（3）如圖，連接點E和中點，交于點F．∵，∴，∵，∴，則，∵，∴A、B、C、E四點共圓，為直徑，故點E在以為直徑的圓上運動，∵，∴點E在上運動，當點E為的中點時，最大，∵，，，∴，∴，∵點E為的中點時，∴且平分，∴，∵點O為，點F為中點，

∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及圓的相關內(nèi)容，解題的關鍵是熟練掌握旋轉前后對應線段相等，對應角相等，以及垂徑定理和直徑所對的圓周角等于90°．22．（2022·黑龍江黑河·九年級期末）如圖1所示，將一個長為6寬為4的長方形ABEF，裁成一個邊長為4的正方形ABCD和一個長為4、寬為2的長方形CEFD如圖2．現(xiàn)將小長方形CEFD繞點C順時針旋轉至，旋轉角為a．(1)當點恰好落在EF邊上時，求旋轉角a的值；(2)如圖3，G為BC中點，且0°＜a＜90°，求證：；(3)小軍是一個愛動手研究數(shù)學問題的孩子，他發(fā)現(xiàn)在小長方形CEFD繞點C順時針旋轉一周的過程中，與存在兩次全等，請你幫助小軍直接寫出當與全等時，旋轉角a的值．【答案】(1)30°(2)見解析(3)135°，315°【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可知∠CD′E=30°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即得出∠α=30°；（2）由題意可得出CE=CE′=CG=2，由矩形的性質(zhì)和旋轉的性質(zhì)可得出∠GCD′=∠DCE′=90°+α，進而可利用“SAS”證明△GCD′≌△E′CD，即得出GD′=E′D；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得CB=CD，而，則和為腰相等的兩個等腰三角形，所以當兩個三角形頂角相等時它們?nèi)龋俜诸愑懻摙佼敽蜑殁g角三角形時，則旋轉角；②當和為銳角三角形時，則．（1）∵長為4，寬為2的長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，∴CD′=CD=4，在Rt△CED′中，CD′=4，CE=2，∴∠CD′E=30°，∵CD∥EF，∴∠α=30°；（2）證明：∵G為BC中點，BC=4，∴CG=2，∴CG=CE．∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，CD′=CD，∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，在△GCD′和△E′CD中，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′=E′D；（3）∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD．∵