專題03 全等模型-手拉手模型（原卷版）

專題03全等模型-手拉手模型全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（三角形）【模型解讀】將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。對應操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】（等邊）（等腰直角）（等腰）例1．（2022·北京東城·九年級期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點P為△ABC內(nèi)一點，連接AP，BP，CP，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．（1）用等式表示與CP的數(shù)量關系，并證明；（2）當∠BPC＝120°時，①直接寫出的度數(shù)為；②若M為BC的中點，連接PM，請用等式表示PM與AP的數(shù)量關系，并證明．例2．（2022·黑龍江·中考真題）和都是等邊三角形．(1)將繞點A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接BD，CE并延長相交于點P（點P與點A重合），有（或）成立；請證明．(2)將繞點A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關系？并加以證明；(3)將繞點A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出結(jié)論，不需要證明．例3．（2023·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，將繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到的位置，連接，則的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．30° D．45°例4．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關系并說明理由.

圖1

圖2例5．（2022秋·江蘇·八年級期中）點為外一點，，．(1)如圖1，，，求證：；(2)如圖2，若，，，求證：；模型2.手拉手模型（正多邊形型）【模型解讀】將兩個多邊形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個多邊形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG，連接EC、BG，則△AEC≌△ABG.例1．（2022·廣東廣州市·八年級期中）如圖，兩個正方形ABCD與DEFG，連結(jié)AG，CE，二者相交于點H．（1）證明：△ADG≌△CDE；（2）請說明AG和CE的位置和數(shù)量關系，并給予證明；（3）連結(jié)AE和CG，請問△ADE的面積和△CDG的面積有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．例2．（2023·河南鶴壁市八年級月考）（1）作圖發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知，小涵同學以、為邊向外作等邊和等邊，連接，．這時他發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關系是．（2）拓展探究：如圖2，已知，小涵同學以、為邊向外作正方形和正方形，連接，，試判斷與之間的數(shù)量關系，并說明理由．例3．（2023·福建福州市·九年級月考）如圖，和均為等邊三角形，連接BE、CD．（1）請判斷：線段BE與CD的大小關系是；（2）觀察圖，當和分別繞點A旋轉(zhuǎn)時，BE、CD之間的大小關系是否會改變?（3）觀察如圖和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類似的結(jié)論是___________,在如圖中證明你的猜想.（4）這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形（不必證明）,如圖,BB1與EE1的關系是;它們分別在哪兩個全等三角形中;請在如圖中標出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個頂點，連接圖中哪兩個頂點,能構(gòu)造出兩個全等三角形？例4．（2023·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點．（正多邊形的各邊相等，各個內(nèi)角也相等）①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；②探究：如圖1，∠BOD=；③如圖2，∠BOD=；④如圖3，∠BOD=．課后專項訓練1．（2022·天津·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，若M是BC邊上任意一點，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，點M的對應點為點N，連接MN，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，為等邊三角形，以為邊向外作，使，再以點C為旋轉(zhuǎn)中心把旋轉(zhuǎn)到，則給出下列結(jié)論：①D，A，E三點共線；②平分；③；④．其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022·貴州遵義·八年級期末）在中，，且E為邊的中點，連接，以為邊向上作等邊三角形，連接，則的長為_______．4．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市真光中學校考開學考試）如圖，C為線段上一動點（不與點A、E重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點O，與交于點，與交于點，連接．以下五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤．恒成立的結(jié)論有______．（把你認為正確的序號都填上）5．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，是一個銳角三角形，分別以、為邊向外作等邊三角形、，連接、交于點，連接．(1)求證：≌；(2)求的度數(shù)；(3)求證：平分．6．（2022秋·河北保定·八年級?？计谥校┰谥?，，點D是直線上一點，連接，以為邊向右作，使得，，連接CE．(1)①如圖1，求證：；②當點D在邊上時，請直接寫出，，的面積（，，）所滿足的關系；(2)當點D在的延長線上時，試探究，，的面積（，，）所滿足的關系，并說明理由．7．（2023·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1，與均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：；（2）如圖2，和均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．填空：的度數(shù)為______；線段BE與AD之間的數(shù)量關系是______．8．（2022·陜西·九年級專題練習）閱讀下面的例題及點撥，并解決問題：例題：如圖①，在等邊△ABC中，M是BC邊上一點（不含端點B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分線上一點，且AM=MN．求證：∠AMN=60°．點撥：如圖②，作∠CBE=60°，BE與NC的延長線相交于點E，得等邊△BEC，連接EM．易證：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，則EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，進一步可得∠1=∠2=∠5，又因為∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．問題：如圖③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1邊上一點（不含端點B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分線上一點，且A1M1=M1N1．求證：∠A1M1N1=90°．9．（2022秋·貴州黔東南·八年級?？计谀┤鐖D，將圖1的正方形紙片沿對角線剪開，得到圖2的兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成圖3所示的圖形，使得點B（E）重合．(1)求證：△ABD≌△CBF；(2)猜測AD與CF的位置關系，并說明理由；(3)若∠ABF=120°請判斷△BGH的形狀，并說明理由．10．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點、、在同一條直線上，則的度數(shù)為__________，線段、之間的數(shù)量關系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點、、不在一條直線上，請判斷線段、之間的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為__________．（請用含的式子表示）11．（2022秋·湖南懷化·八年級統(tǒng)考期末）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC與△ADE是等邊三角形，且點B、D，E在同一直線上，連接CE，求的度數(shù)，并確定線段BD與CE的數(shù)量關系．拓展探究：如圖②，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，，且點B，D，E在同一直線上，于F，連接CE，求的度數(shù)，并確定線段AF，BF，CE之間的數(shù)量關系．12．（2022·綿陽市·八年級專題練習）已知∠MBN＝60°，等邊△BEF與∠MBN頂點B重合，將等邊△BEF繞頂點B順時針旋轉(zhuǎn)，邊EF所在直線與∠MBN的BN邊相交于點C，并在BM邊上截取AB＝BC，連接AE．(1)將等邊△BEF旋轉(zhuǎn)至如圖①所示位置時，求證：CE＝BE+AE；(2)將等邊△BEF順時針旋轉(zhuǎn)至如圖②、圖③位置時，請分別直接寫出AE，BE，CE之間的數(shù)量關系，不需要證明；(3)在（1）和（2）的條件下，若BF＝4，AE＝1，則CE＝．13．（2023春·廣東揭陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，以的邊、分別向外作等腰直角與等腰直角，，連接和相交于點O，交于點F，交于點G．(1)試說明：；(2)試說明：；(3)試說明：點A到邊，所在直線的距離相等．

14．（2023·廣東深圳·八年級?？计谥校┰谥校?，點是直線上一點（不與、重合），把線路繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)至（即），使得，連接、．(1)如圖1，點在線段上，如果，則__________度．(2)如圖2，當點在線段上，如果，則__________度．(3)如圖3，設，，當點在線段上移動時，，的數(shù)量關系是什么？請說明理由．(4)設，，當點在直線上移動時，請直接寫出，的數(shù)量關系，不用證明．

15．（2022·山西八年級月考）綜合與實踐特例研究：將矩形和按如圖1放置，已知，連接．如圖1，當點在上時，線段與之間的數(shù)量關系是__；直線與直線之間的位置關系是_；拓廣探索：圖2是由圖1中的矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到的，請?zhí)剿骶€段與之間的數(shù)量關系和直線與直線之間的位置關系，并說明理由．16．（2022·福建八年級期中）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為，數(shù)量關系為．②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？并說明理由．17．（2022·遼寧沈陽·九年級校考期中）（1）如圖①，若在等邊△ABC的邊AB上任取一點E（點E不與B重合），以EC為邊在△ABC同側(cè)作等邊△CEN，連接AN．求證：ANBC且AN＝BE；（2）如圖②，若把（1）中的“等邊△ABC”改成正方形ABCD，同樣在邊AB上任取一點E（點E不與B重合），以EC為邊在正方形ABCD同則作正方形CEMN，連接DN，請你判斷圖中是否有與（1）中類似的結(jié)論．若有，直接寫出結(jié)論；若沒有，請說明理由；18．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．

19．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）已知在中，，過點B引一條射線，D是上一點【問題解決】(1)如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：，小明同學展示的做法是：在