專題02 特殊的平行四邊形中的最值模型-胡不歸模型（原卷版）

專題02特殊的平行四邊形中的最值模型--胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點到線的距離垂線段最短?！灸Ｐ捅尘啊繌那坝袀€少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.補充知識：在直角三角形中銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即。若無法理解正弦，也可考慮特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三邊關(guān)系?！灸Ｐ徒庾x】一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最小．（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）如圖，菱形中，，，是對角線上的任意一點，則的最小值為（

）．

A． B． C． D．例2．（2023·四川宜賓·?？寄M預(yù)測）如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動點，則的最小值等于________．例3．（2023秋·山東日照·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在矩形中，，，點P是對角線上的動點，連接，則的最小值為（

）A． B．6 C． D．4例4．（2022·廣東佛山·校考一模）在邊長為1的正方形中，是邊的中點，是對角線上的動點，則的最小值為___________．例5.

（2023.綿陽市八年級期中）P是正方形對角線上一點，AB=2，則PA+PB+PC的最小值為。例6．（2022·山東濟寧·?？寄M預(yù)測）如圖，矩形的對角線，相交于點，關(guān)于的對稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．①求的值；②若點為線段上一動點（不與點重合），連接，一動點從點出發(fā)，以的速度沿線段勻速運動到點，再以的速度沿線段勻速運動到點，到達點后停止運動．當點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時，求的長和點走完全程所需的時間．變式1．（2022·重慶·九年級期中）如圖所示，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值為A．4 B．5 C． D．變式2．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，正方形邊長為4，點E是邊上一點，且．P是對角線上一動點，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．變式3．（2022·湖北武漢·九年級期末）如圖，?中，，，為邊上一點，則的最小值為______．變式4．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點是對角線上的動點，連接，則的最小值為______．變式5．（2022春·湖南湘西·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，點是對角線AC上的一動點，且∠ABC=120°，則()的最小值是____________．課后專項訓(xùn)練1．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，，為邊上的一動點，則的最小值等于（）A．2 B．4 C．3 D．52．（2023春·廣東廣州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值等于______．3．（2021·眉山市·中考真題）如圖，在菱形中，，對角線、相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值是______．4．（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，，邊長為3，P是對角線BD上的一個動點，則的最小值是______．5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動點，連接CE，則AE＋CE的最小值為___．6．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則2PB+PD的最小值等于______.7．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動點，那么的最小值等于______．8．（2022·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，點P是對角線AC上的動點，連接PD，則PA＋2PD的最小值________．9．（2022·四川眉山·統(tǒng)考一模）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD．如圖所示若，P是對角線BD上的一個動點，則的最小值是______．10．（2022·湖南·九年級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD為等邊三角形點E為△BCD圍成的區(qū)域（包括各邊）的一點過點E作EM∥AB，交直線AC于點M作EN∥AC交直線AB于點N，則AN+AM的最大值為．11．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形ABCD的邊長為8，點M是對角線AC上的一動點，且∠ABC=120°，則MA+MB+MD的最小值是________．12．（2021·山東淄博市·中考真題）兩張寬為的紙條交叉重疊成四邊形，如圖所示．若，則對角線上的動點到三點距離之和的最小值是__________．13．（2023·廣東廣州·鐵一中學(xué)?？级＃┤鐖D，菱形中，，，點、分別為線段、上的動點，點為邊的中點，連接，．(1)求的長；(2)連接，若，求證：；(3)若，試求的最小值．

14．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）（1）【問題原型】如圖①，在，，，求點到的距離．（2）【問題延伸】如圖②，在，，．若點在邊上，點在線段上，連結(jié)，過點作于，則的最小值為______．（3）【問題拓展】如圖（3），在矩形中，．點在邊上，點在邊上，點在線段上，連結(jié)．若，則的最小值為______．15．（2022··達州市九年級期中）如圖，矩形的頂點、分別在、軸的正半軸上，點的坐標為，一次函數(shù)的圖象與邊、、軸分別交于點、、，，并且滿足，點是線段上的一個動點．（1）求的值；（2）連接，若的面積與四邊形的面積之比為，求點的坐標；（3）求的最小值．16．（2022·江蘇·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點到的三個頂點的距離分別為、、，若有，則稱點為關(guān)于點的勾股點．（1）如圖2，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點、、、、、、均在小正方形的頂點上，則點E是關(guān)于點B的勾股點.（2）如圖3，是矩形內(nèi)一點，且點是關(guān)于點的勾股點,①求證：；②若，，求