專題11 三角形中的特殊模型-高分線模型、雙（三）垂直模型（解析版）

專題11三角形中的特殊模型-高分線模型、雙（三）垂直模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1：高分線模型條件：AD是高，AE是角平分線結(jié)論：∠DAE=例1．（2023·遼寧本溪·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，∠B=40°，∠C=60°，則∠EAD的度數(shù)為（

）A．20° B．10° C．50° D．60°【答案】B【分析】首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠BAC的度數(shù)是多少；然后根據(jù)AE為角平分線，求出∠BAE的度數(shù)是多少；最后在Rt△DAC中，求出∠DAC的度數(shù)，即可求出∠EAD的度數(shù)是多少．【詳解】解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-60°-40°=80°，∵AE為∠BAC角平分線，∴∠EAC=80°÷2=40°，∵AD為△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°，∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°，即∠EAD的度數(shù)是10°，故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形高、中線的定義，解答此題的關(guān)鍵是明確：三角形的內(nèi)角和是180°．例2．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點，BG的延長線交AC于點E，F(xiàn)為AB上的一點，CF與AD垂直，交AD于點H，則下面判斷正確的有（）①AD是△ABE的角平分線；②BE是△ABD的邊AD上的中線；③CH是△ACD的邊AD上的高；④AH是△ACF的角平分線和高A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】解：①根據(jù)三角形的角平分線的概念，知AG是△ABE的角平分線，故此說法錯誤；②根據(jù)三角形的中線的概念，知BG是△ABD的邊AD上的中線，故此說法錯誤；③根據(jù)三角形的高的概念，知CH為△ACD的邊AD上的高，故此說法正確；④根據(jù)三角形的角平分線和高的概念，知AH是△ACF的角平分線和高線，故此說法正確．故選：B．【點睛】本題考查了三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分線、中線、高都是線段，且都是頂點和三角形的某條邊相交的交點之間的線段．透徹理解定義是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·北京朝陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是高，是中線，若，，則的長為（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】直接利用三角形面積公式求得，再根據(jù)中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，即，∴∵是中線，即點是的中點，∴，故選：C．【點睛】本題考查三角形面積和中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形面積公式求得．例4．（2023春·河北滄州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，、分別是的高和角平分線．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，且，請直接寫出與，關(guān)系．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)角平分線定義求出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，從而可得出答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)角平分線定義求出，根據(jù)三角形高的定義可知，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，從而可得出答案．【詳解】（1）解：，，，是的平分線，，是的高，，，，；（2）解：，理由是：，，是的平分線，，是的高，，，．【點睛】本題考查了三角形的角平分線定義，三角形的高的含義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出和的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．模型2：雙垂直模型結(jié)論：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。例1．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，分別是邊上的高，并且交于點P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意和直角三角形的兩個銳角互余可求得的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角即可得．【詳解】解：∵是邊上的高，∴，∵，∴，∵是邊上的高，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了余角，三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．例2．（2023·黑龍江哈爾濱·八年級?？荚驴迹┤鐖D，在中，，，的邊上的高與邊上的高的比值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)面積相等列出比例求解即可．【詳解】解：∵的邊上的高為，邊上的高為，，，∴，即：，∴，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的高，根據(jù)面積相等列出等式是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，于點F，于點，與交于點，．(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．

【答案】(1)(2)【分析】（1）數(shù)形結(jié)合，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案；（2）利用等面積法，由代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，，，∴．【點睛】本題考查三角形綜合，數(shù)形結(jié)合，利用等面積法求解是解決問題的關(guān)鍵．模型3：子母型雙垂直模型(射影定理模型)結(jié)論：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。例1．（2023·廣東廣州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，于D，求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)，即可求證．【詳解】證：∵，∴又∵，∴又∵，∴∴【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和的性質(zhì)．例2．（2023·云南玉溪·八年級校考期中）如圖所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．(1)求證：CD是△ABC的高；(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）由等量代換得到∠B＋∠BCD＝90°，求出∠BDC＝90°，可得CD是△ABC的高；（2）根據(jù)可求得CD的長．【詳解】（1）證明：∵∠ACB＝∠1＋∠BCD＝90°，∠1＝∠B，∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高；（2）解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∴，∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴CD＝．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的高線，三角形的面積計算，關(guān)鍵是利用了面積法求直角三角形斜邊上的高．例3．（2022秋·北京通州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，垂足為．如果，，則的長為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB，再利用三角形面積求出BD即可．【詳解】解：∵，，，∴根據(jù)勾股定理，∵，∴S△ABC=，即，解得：．故選擇D．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式，掌握直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式是解題關(guān)鍵．例4．（2023春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，，、分別在邊、上，、相交于點．

(1)給出下列信息：①；②是的角平分線；③是的高．請你用其中的兩個事項作為條件，余下的事項作為結(jié)論，構(gòu)造一個真命題，并給出證明；條件：______，結(jié)論：______．（填序號）證明：(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)①②；③；見解答(2)【分析】（1）條件：①②，結(jié)論：③，由角平分線的性質(zhì)可得，由和，得出，利用三角形內(nèi)角和可得結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論和三角形外角性質(zhì)即可得答案．【詳解】（1）條件：①②，結(jié)論：③，證明：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∵，∴，∴是的高．條件：①③，結(jié)論：②，證明：∵是的高，∴，∴，∵，，，∴，∴是的角平分線；條件：②③，結(jié)論：①，證明：∵是的角平分線，∴，∵是的高，∴，∴，∵，，∴；故答案為：①②；③；證明：見解答；（2）∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴．【點睛】本題考查命題與定理，掌握角分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023春·云南文山·七年級校聯(lián)考期末）如圖，AE，AD分別是的高和角平分線，，，則的度數(shù)為（

）A．40° B．20° C．10° D．30°【答案】B【分析】由題意易得∠BAC=80°，∠AEB=90°，則有∠BAD=∠CAD=40°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可求解．【詳解】解：∵，，AE⊥BC，∴∠BAC=80°，∠AEB=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=40°，在△AEB中，∠AEB+∠B+∠BAE=180°，∴∠BAE=60°，∴∠EAD=∠BAE-∠BAD=60°-40°=20°；故選B．【點睛】本題主要考查三角形的高線及角平分線、三角形內(nèi)角和，熟練掌握三角形的高線及角平分線、三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．2．（2023·綿陽市八年級月考）如圖，在中，平分交于點、平分交于點，與相交于點，是邊上的高，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意證明，得出，三角形內(nèi)角和定理得出，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求得，根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)即可求解．【詳解】解：，平分，，，，，，，，，平分，，，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的兩個銳角互余，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點E為邊上一點，當(dāng)為直角三角形時，則．

【答案】50或25/25或50【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，由角平分線的定義得，當(dāng)為直角三角形時，存在兩種情況：分別根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴∵平分∴當(dāng)為直角三角形時，有以下兩種情況：①當(dāng)時，如圖1，

∵，∴；②當(dāng)時，如圖2，

∴，∵，∴，綜上，的度數(shù)為或．故答案為：50或25．【點睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，熟知“三角形的外角的性質(zhì)”是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023秋·重慶·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，平分，若，，則．【答案】/40度【分析】根據(jù)角平分線的定義，得到，求出的度數(shù)，再利用垂直的定義和三角形內(nèi)角和定理，進行求解即可．【詳解】解：∵平分，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問題．熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇八年級?？颊n時練習(xí)）已知：如圖，AC⊥BC，垂足為C，∠BCD是∠B的余角求證：∠ACD=∠B證明：∵AC⊥BC（已知）∴∠ACB=90°（

）∴∠BCD是∠DCA的余角∵∠BCD是∠B的余角（已知）

∴∠ACD=∠B（

）【答案】垂直的意義；同角的余角相等．【分析】先根據(jù)垂直的意義可得，從而可得是的余角，再根據(jù)同角的余角相等即可得證．【詳解】證明：∵（已知），∴（垂直的意義），∴是的余角，∵是的余角（已知），∴（同角的余角相等），故答案為：垂直的意義；同角的余角相等．【點睛】本題考查了垂直的意義、同角的余角相等，掌握理解同角的余角相等是解題關(guān)鍵．6．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級?？计谀┤鐖D，是直角三角形，，于點D，是的角平分線，過點D作交于點G，求證：．請補全下面的證明過程．證明：∵（已知），∴（_____），∴（直角三角形兩銳角互余），∵（已知），∴（直角三角形兩銳角互余），∵是的角平分線，，∴（______），∴（______），∵（______），∴（等量代換），∵（已知），∴（______），∴（______）．【答案】垂直定義，，角平分線定義，等角的余角相等，對頂角相等，，兩直線平行，同位角相等，等量代換．【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，垂直的定義，對頂角相等，角的平分線的意義，兩直線平行，同位角相等，等量代換，余角的性質(zhì)，填寫即可．【詳解】證明：∵（已知），∴（垂直定義），∴（直角三角形兩銳角互余），∵（已知），∴（直角三角形兩銳角互余），∵是的角平分線，，∴（角平分線定義），∴（等角的余角相等），∵（對頂角相等），∴（等量代換），∵（已知），∴（兩直線平行，同位角相等），∴（等量代換）．故答案為：垂直定義，，角平分線定義，等角的余角相等，對頂角相等，，兩直線平行，同位角相等，等量代換．【點睛】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余，垂直的定義，對頂角相等，角的平分線的意義，兩直線平行，同位角相等，等量代換，余角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，于點D，平分交于點E，交于點F，求證：．

【答案】見解析【分析】平分可得，再結(jié)合可得，進而得到，再結(jié)合可得，最后根據(jù)等角對等邊即可解答．【詳解】解：∵平分，∴，∵?！?，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以、三角形外角的性質(zhì)等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023春·四川樂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角中，，是斜邊上的高，，求：

（1）的度數(shù)；（2）的度數(shù)．對于上述問題，在以下解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）解：（1）∵，（已知），又∵（______），∴（______）．（2）∵（______），∴（等式的性質(zhì)）．∵（已知），∴（垂直定義）．∴______（等量代換）．【答案】三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和；等量代換；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和；【分析】根據(jù)三角形的外角定理、等量代換、等式的性質(zhì)、垂直定義等進行填空即可．【詳解】（1）∵，（已知），又∵（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和），∴（等量代換）．（2）∵（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和），∴（等式的性質(zhì)）．∵（已知），∴（垂直定義）．∴（等量代換）．【點睛】本題考查了三角形的外角定理、等量代換、等式的性質(zhì)、垂直定義等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練相等的性質(zhì)和定理．9．（2022秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在中，，平分．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)；(3)直接寫出，，三個角之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，再由平分，即可求解；（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，即可求解；（3）根據(jù)，，三個角的度數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：在中，．∴．∵平分，∴；（2）解：∵，∴．∵，∴．（3）解：∵，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，有關(guān)角平分線的計算，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．10．（2023·上海閔行·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知的兩條高相交于點，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)三角形高線的定義及可知，再利用直角三角形的性質(zhì)得到，最后利用三角形的內(nèi)角和即可解答．【詳解】解：∵的兩條高相交于點，∴，∵，∴，，∴在中，，【點睛】本題考查了三角形的高線的定義，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·山東威?！て吣昙壭Ｂ?lián)考期中）如圖，是的高，E是上一點，交于F，且有，，試說明．

【答案】見解析【分析】由是的高得到，再根據(jù)可判斷，則，由于，可得到，所以，于是得到．【詳解】證明：∵是的高，∴，∵在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定定理和全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖所示，在中，已知于D，于E，，，求的大小．

【答案】【分析】利用垂線的定義，可得出，再求出的度數(shù)，在中，結(jié)合，可得出的度數(shù)，再根據(jù)平角定義即可得答案．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、垂線以及鄰補角，牢記“三角形內(nèi)角和是180°”是解題的關(guān)鍵．13．如圖所示，在中，是高，、是角平分線，它們相交于點，，，求、的度數(shù).【答案】，【分析】因為AD是高，所以∠ADC＝90°，又因為∠C＝70°，所以∠DAC度數(shù)可求；因為∠BAC＝50°，∠C＝70°，AE是∠BAC的角平分線，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分線，則∠ABO＝30°，故∠BOA的度數(shù)可求．【詳解】解：∵AD⊥BC∴∠ADC＝90°∵∠C＝70°∴∠DAC＝180°?90°?70°＝20°；∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，AE是∠BAC的角平分線，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°∵BF是∠ABC的角平分線∴∠ABO＝30°∴∠BOA＝180°?∠BAO?∠ABO＝180°?25°?30°＝125°．【點睛】本題考查了同學(xué)們利用角平分線的性質(zhì)解決問題的能力，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力．14．（2022秋·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，為的高，為的角平分線，交于點G，比大，，求的大小．【答案】【分析】根據(jù)為的高，得出，得出，根據(jù)，得出，，根據(jù)，得出，根據(jù)為的角平分線，得出，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出答案即可．【詳解】解：∵為的高，∴，，∵比大，∴，∴，，∵，∴，∵為的角平分線，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形的高，三角形的角平分線，直角三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出．15．（2023秋·山東·八年級專題練習(xí)）如圖，已知在中，，于點．

（1）尺規(guī)作圖：作的平分線交于點，交于點；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）（2）在（1）的條件下，求證：．__________又______________________________平分__________．【答案】（1）見解析；（2）；；；；【分析】（1）根據(jù)題意，作的平分線交于點，交于點；（2）根據(jù)角平分線的定義，可得，根據(jù)等角的余角相等證明，即可得證．【詳解】（1）如圖所示，

（2）又平分．故答案為：；；；；．【點睛】本題考查了作角平分線，等角的余角相等，對頂角相等，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·黑龍江·七年級?？计谥校┤鐖D，中，，平分，，．(1)求的度數(shù)．(2)直接寫出圖中四對相等的銳角，

【答案】(1)15°(2)，，，【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，根據(jù)角平分線的定義可得；根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義即可得到答案.【詳解】（1）∵，∴，∵平分，∴；∵，∴，而，∴，∴；（2）由（1）可知：，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，，，.【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．17．（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，是的邊上的中線．

(1)若的周長為13，，，求的長度；(2)若，的面積為10，，求點到的距離．【答案】(1)3(2)4【分析】（1）首先根據(jù)中線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)的周長為13，即可求出的長；（2）首先根據(jù)三角形的面積公式求出的長度，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可求解．【詳