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文檔簡介

專題12將軍飲馬模型將軍飲馬模型在考試中,無論是解答題,還是選擇、填空題,都是學(xué)生感覺有困難的地方,也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方,主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是:①兩點之間,線段最短;②垂線段最短,涉及的基本方法還有:利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認(rèn)識。模型1、將軍飲馬--兩定一動求線段和的最小值【模型探究】A,B為定點,m為定直線,P為直線m上的一個動點,求AP+BP的最小。圖1圖2(1)如圖1,點A、B在直線m兩側(cè):輔助線:連接AB交直線m于點P,則AP+BP的最小值為AB.(2)如圖2,點A、B在直線同側(cè):輔助線:過點A作關(guān)于定直線m的對稱點A’,連接A’B交直線m于點P,則AP+BP的最小值為A’B.例1.(2022·福建·八年級期末)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點C在直線MN上,∠BCN=30°,點P為MN上一動點,連結(jié)AP,BP.當(dāng)AP+BP的值最小時,∠CBP的度數(shù)為_____.【答案】15°##15度【分析】作點B關(guān)于MN的對稱點D,連接AD交MN于P,連接BP,CD,先證明△BCD是等邊三角形,從而得到AC=CD,∠ACD=∠ACB+∠BCD=150°,進而求得∠CDP=15°,據(jù)軸對稱性可得∠CBP的度數(shù).【詳解】如圖,作點B關(guān)于MN的對稱點D,連接AD交MN于P,連接BP,CD,∵點B與點D是關(guān)于MN的對稱點,∠BCN=30°,∴BC=CD,∠BCD=60°,∴△BCD是等邊三角形,∵∠ACB=90°,AC=BC,∴AC=CD,∠ACD=∠ACB+∠BCD=150°,∴∠CDP=15°,∵點B與點D是關(guān)于MN的對稱點,,且△BCD是等邊三角形,∴由等邊三角形的軸對稱性可知:∠CBP=∠CDP=15°,故答案為:15°.【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì),軸對稱最短線路問題等知識,明確AP+BP的最小值為AD長是解題的關(guān)鍵.例2.(2022·江蘇·八年級專題練習(xí))如圖,等邊三角形的邊上的高為6,是邊上的中線,M是線段上的-一個動點,E是中點,則的最小值為_________.【答案】6【分析】連接BE交AD于M,則BE就是EM+CM的最小值,通過等腰三角形的“三線合一”,可得BE=AD即可得出結(jié)論.【詳解】解:連接BE,與AD交于點M.∵AB=AC,AD是BC邊上的中線,∴B、C關(guān)于AD對稱,則EM+CM=EM+BM,則BE就是EM+CM的最小值.∵E是等邊△ABC的邊AC的中點,AD是中線∴BE=AD=6,∴EM+CM的最小值為6,故答案為:6.【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)—“三線合一”、等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱等知識的綜合應(yīng)用,解題關(guān)鍵是找到M點的位置.例3.(2022·河南濮陽·八年級期末)如圖,等邊三角形的邊長為5,A、B、三點在一條直線上,且.若D為線段上一動點,則的最小值是________.【答案】10【分析】連接CA1交BC1于點E,C、A1關(guān)于直線BC1對稱,推出當(dāng)點D與B重合時,AD+CD的值最小,最小值為線段AA1的長=10.【詳解】解:連接CA1交BC1于點E,過點B作直線l⊥AB,如圖,∵△ABC是等邊三角形,∴是等邊三角形,AB=A1B=5∵A、B、三點在一條直線上,∴△ABC與△A1BC1關(guān)于直線l對稱,∵∠ABC=∠A1BC1=60°,∴∠CBC1=60°,∴∠C1BA1=∠C1BC,∵BA1=BC,∴BD⊥CA1,CD=DA1,∴C、A1關(guān)于直線BC1對稱,∴當(dāng)點D與B重合時,AD+CD的值最小,最小值為線段AA1的長=10,故答案為:10.【點睛】本題考查軸對稱﹣最短問題,等邊三角形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會找對稱點,形成兩點之間的線段來解決最短問題,屬于中考??碱}型.例4.(2023.浙江八年級期中)如圖,等邊△ABC的邊長為4,AD是BC邊上的中線,F(xiàn)是AD邊上的動點,E是AC邊上一點,若AE=2,當(dāng)EF+CF取得最小值時,則∠ECF的度數(shù)為多少?【答案】∠ECF=30o【解析】過E作EM∥BC,交AD于N,如圖所示:∵AC=4,AE=2,∴EC=2=AE,∴AM=BM=2,∴AM=AE,∵AD是BC邊上的中線,△ABC是等邊三角形,∴AD⊥BC,∵EM∥BC,∴AD⊥EM,∵AM=AE,∴E和M關(guān)于AD對稱,連接CM交AD于F,連接EF,則此時EF+CF的值最小,∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60o,AC=BC,∵AM=BM,∴∠ECF=∠ACB=30o.模型2、將軍飲馬--兩動一定求線段和的最小值【模型探究】已知定點A位于定直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.輔助線:過點A作關(guān)于定直線m、n的對稱點A’、A’’,連接A’A’’交直線m、n于點P、Q,則PA+PQ+QA的最小值為A’A’’.例1.(2022·江蘇·無錫市八年級期末)如圖,已知∠AOB的大小為α,P是∠AOB內(nèi)部的一個定點,且OP=4,點E、F分別是OA、OB上的動點,若△PEF周長的最小值等于4,則α=(

)A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【分析】設(shè)點P關(guān)于OA的對稱點為C,關(guān)于OB的對稱點為D,當(dāng)點E、F在CD上時,△PEF的周長為PE+EF+FP=CD,此時周長最小,根據(jù)CD=4可得出△COD是等邊三角形,進而可求出α的度數(shù).【詳解】解:如圖,作點P關(guān)于OA的對稱點C,關(guān)于OB的對稱點D,連接CD,交OA于E,OB于F.此時,△PEF的周長最小.連接OC,OD,PE,PF.∵點P與點C關(guān)于OA對稱,∴OA垂直平分PC,∴∠COA=∠AOP,PE=CE,OC=OP,同理,可得∠DOB=∠BOP,PF=DF,OD=OP.∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α,OC=OD=OP=4,∴∠COD=2α.又∵△PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4,∴OC=OD=CD=4,∴△COD是等邊三角形,∴2α=60°,∴α=30°.故選:A.【點睛】本題主要考查了最短路徑問題,本題找到點E和F的位置是解題的關(guān)鍵.要使△PEF的周長最小,通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段,運用三角形三邊關(guān)系解決.例2.(2022·湖北十堰·八年級期末)如圖,在四邊形ABCD中,.在BC,CD上分別找一點M,N,使周長最小,則的度數(shù)為_________.【答案】160°【分析】要使周長最小,即利用點的對稱,使三角形的三邊在同一直線上,作點A關(guān)于BC和CD的對稱點,即可得到,進而求得,即可得到答案.【詳解】作點A關(guān)于BC和CD的對稱點,連接,交BC于M,交CD于N,則即為周長最小值,故答案為:160°.【點睛】本題考查的是軸對稱—最短路線問題,涉及平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì),熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.例3.(2022·江蘇九年級一模)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,D,E,F(xiàn)分別是AB,BC,AC邊上的動點,則△DEF的周長的最小值是()A.2.5 B.3.5 C.4.8 D.6【答案】C【分析】如圖作D關(guān)于直線AC的對稱點M,作D關(guān)于直線BC的對稱點N,連接CM,CN,CD,EN,F(xiàn)M,DN,DM.由∠MCA=∠DCA,∠BCN=∠BCD,∠ACD+∠BCD=90°,推出∠MCD+∠NCD=180°,可得M、B、N共線,由DF+DE+EF=FM+EN+EF,F(xiàn)M+EN+EF≥MN,可知當(dāng)M、F、E、N共線時,且CD⊥AB時,DE+EF+FD的值最小,最小值=2CD,求出CD的值即可解決問題.【詳解】解:如圖,作D關(guān)于直線AC的對稱點M,作D關(guān)于直線BC的對稱點N,連接CM,CN,CD,EN,F(xiàn)M,DN,DM.∴DF=FM,DE=EN,CD=CM,CD=CN,∴CD=CM=CN,∵∠MCA=∠DCA,∠BCN=∠BCD,∠ACD+∠BCD=90°,∴∠MCD+∠NCD=180°,∴M、C、N共線,∵DF+DE+EF=FM+EN+EF,∵FM+EN+EF≥MN,∴當(dāng)M、F、E、N共線時,且CD⊥AB時,DE+EF+FD的值最小,最小值為MN=2CD,∵CD⊥AB,∴?AB?CD=?AB?AC,∴CD===2.4,∴DE+EF+FD的最小值為4.8.故選:C.【點睛】本題考查了軸對稱-最短問題、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運用軸對稱以及垂線段最短解決最短問題,屬于中考選擇題中的壓軸題.例4.(2023春·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末)如圖所示,,點為內(nèi)一點,,點分別在上,求周長的最小值.【答案】周長的最小值為8【分析】作P關(guān)于OA、OB的對稱點,連結(jié)、,即可快速找到解題思路.【詳解】如圖,作P關(guān)于OA、OB的對稱點,連結(jié)、,交OA、OB于M、N,此時周長最小,根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知,,,且,,,,為等邊三角形,即周長的最小值為8.【點睛】本題應(yīng)用知識比較隱晦,分別考查了軸對稱圖形和等邊三角形,需要認(rèn)真分析,充分聯(lián)系所學(xué)知識,方可正確解答.模型3、將軍飲馬--兩動兩定求線段和的最小值【模型探究】A,B為定點,在定直線m、n上分別找兩點P、Q,使PA+PQ+QB最小。(1)如圖1,兩個點都在直線外側(cè):輔助線:連接AB交直線m、n于點P、Q,則PA+PQ+QB的最小值為AB.(2)如圖2,一個點在內(nèi)側(cè),一個點在外側(cè):輔助線:過點B作關(guān)于定直線n的對稱點B’,連接AB’交直線m、n于點P、Q,則PA+PQ+QB的最小值為AB’.圖1圖2(3)如圖3,兩個點都在內(nèi)側(cè):輔助線:過點A、B作關(guān)于定直線m、n的對稱點A’、B’,連接A’B’交直線m、n于點P、Q,則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.(4)如圖4,臺球兩次碰壁模型:輔助線:同圖3輔助線作法。圖3圖4例1.(2022·和平區(qū)·八年級期末)如圖,,點M,N分別是邊,上的定點,點P,Q分別是邊,上的動點,記,,當(dāng)?shù)闹底钚r,的大小=___(度).【答案】50【分析】作M關(guān)于OB的對稱點,N關(guān)于OA的對稱點,連接,交OB于點P,交OA于點Q,連接MP,QN,可知此時最小,此時,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和平角的定義即可得出結(jié)論.【詳解】作M關(guān)于OB的對稱點,N關(guān)于OA的對稱點,連接,交OB于點P,交OA于點Q,連接MP,QN,如圖所示.根據(jù)兩點之間,線段最短,可知此時最小,即,∴,∵,∴,∵,,∴,∴.故答案為:50.【點睛】本題考查軸對稱-最短問題、三角形內(nèi)角和,三角形外角的性質(zhì)等知識,靈活運用所學(xué)知識解決問題是解題的關(guān)鍵,綜合性較強.例2.(2022·湖北武漢市·九年級期中)如圖,點A在y軸上,G、B兩點在x軸上,且G(﹣3,0),B(﹣2,0),HC與GB關(guān)于y軸對稱,∠GAH=60°,P、Q分別是AG、AH上的動點,則BP+PQ+CQ的最小值是()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【分析】分別作B、C關(guān)于AG和AH對稱的點、,連接BP、CQ、、,PQ,得出BP+PQ+CQ的最小值為,再依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定和軸對稱的性質(zhì)分別求得和即可求得.【詳解】解:分別作B、C關(guān)于AG和AH對稱的點、,連接BP、CQ、、,PQ∵HC與GB關(guān)于y軸對稱,∴GO=HO,BO=CO,∵x軸⊥y軸,∴AG=AH,、關(guān)于y軸對稱,∴當(dāng)、,P、Q在同一條直線上時,最小,此時軸,∵∠GAH=60°,∴△AGH為等邊三角形,∴∠AGO=60°,∵軸,B、關(guān)于AG對稱,∴,,∴△BPG為等邊三角形,過作PM⊥GO交x軸與M,∵G(﹣3,0),B(﹣2,0),∴BG=1,BO=2,∴,∴,同理可得,即.故選:B.【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)和判斷,坐標(biāo)與圖形變化.能借助軸對稱的性質(zhì)正確變形將折線的長化成一條線段的長是解題關(guān)鍵.例3.(2022·湖北青山·八年級期中)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,以BC為邊向左作等邊△BCE,點D為AB中點,連接CD,點P、Q分別為CE、CD上的動點.(1)求證:△ADC為等邊三角形;(2)求PD+PQ+QE的最小值.【答案】(1)證明見解析;(2)4.【分析】(1)先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得,再根據(jù)等邊三角形的判定即可得證;(2)連接,先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得,再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得垂直平分,然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得,同樣的方法可得,從而可得,最后根據(jù)兩點之間線段最短即可得出答案.【詳解】證明:(1)在中,,,點是斜邊的中點,,是等邊三角形;(2)如圖,連接,和都是等邊三角形,,,,垂直平分,,同理可得:垂直平分,,,由兩點之間線段最短可知,當(dāng)點共線時,取得最小值,故的最小值為4.【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識點,熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.模型4、將軍飲馬--線段差的最大值【模型探究】A,B為定點,在定直線m上分別找兩點P,使PA與PB的差最大。(1)如圖1,點A、B在直線m同側(cè):輔助線:延長AB交直線m于點P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,P’A—P’B<AB,而PA—PB=AB此時最大,因此點P為所求的點。(2)如圖2,點A、B在直線m異側(cè):輔助線:過B作關(guān)于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’,PA-PB最大值為AB’圖1圖2例1.(2022·福建福州·八年級期中)如圖,在等邊中,E是邊的中點,P是的中線上的動點,且,則的最大值是________.【答案】3【分析】連接PC,則BP=CP,=CP-PE,當(dāng)點P與點A重合時,CP-PE=CE,進而即可求解.【詳解】解:連接PC,∵在等邊中,,P是的中線上的動點,∴AD是BC的中垂線,∴BP=CP,∴=CP-PE,∵在中,CP-PE<CE,∴當(dāng)點P與點A重合時,CP-PE=CE,∵E是邊的中點,∴的最大值=6÷2=3.故答案是:3.【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì),三角形三邊長關(guān)系,連接CP,得到=CP-PE,是解題的關(guān)鍵.例2.(2022·廣東·八年級專題練習(xí))如圖,,,AD是∠BAC內(nèi)的一條射線,且,P為AD上一動點,則的最大值是______.【答案】5【分析】作點關(guān)于射線的對稱點,連接、、B'P.則,,是等邊三角形,在中,,當(dāng)、、在同一直線上時,取最大值,即為5.所以的最大值是5.【詳解】解:如圖,作點關(guān)于射線的對稱點,連接、,B'P.則,,,.∵,∴,∴是等邊三角形,∴,在中,,當(dāng)、、在同一直線上時,取最大值,即為5.∴的最大值是5.故答案為:5.【點睛】本題考查了線段之差的最小值問題,正確作出點B的對稱點是解題的關(guān)鍵.例3.(2022·湖北·武漢八年級期末)如圖,,為上一動點,,過作交直線于,過作交直線于點,若,當(dāng)?shù)闹底畲髸r,則________.【答案】123°【分析】當(dāng)DM與DP重合,AN與AB重合時,|AN-DM|的值最大,此時|AN-DM|=AB,畫出相應(yīng)的圖形,根據(jù)條件,利用三角形的內(nèi)角和、鄰補角的意義,求出結(jié)果.【詳解】解:當(dāng)DM與DP重合,AN與AB重合時,|AN-DM|的值最大,此時|AN-DM|=AB,∵∠ABC=114°,∴∠CDE=180°-114°=66°,∴∠MCD=90°-66°=24°,又∵AB=BC,∴∠ACB=(180°-114°)÷2=33°,∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°,故答案為:123°.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識,根據(jù)題意畫出相應(yīng)圖形是解決問題的關(guān)鍵.課后專項訓(xùn)練1.(2022·河南七年級期末)如圖,在銳角三角形中,,的面積為,平分,若、分別是、上的動點,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【分析】作N關(guān)于BD的對稱點,根據(jù)軸對稱性質(zhì)、兩點之間線段最短和垂線段最短的定理可以得到CM+MN的最小值即為C點到AB的垂線段,因此根據(jù)面積公式可以得解.【詳解】解:如圖,作N關(guān)于BD的對稱點,連結(jié)N,與BD交于點O,過C作CE⊥AB于E,則∵BD平分∠ABC,∴在AB上,且MN=M,∴CM+MN=,∴根據(jù)兩點之間線段最短可得CM+MN的最小值為,即C點到線段AB某點的連線,∴根據(jù)垂線段最短,CM+MN的最小值為C點到AB的垂線段CE的長度,∵△ABC的面積為10,∴,∴CE=5,故選B.【點睛】本題考查軸反射的綜合運用,熟練掌握軸反射的特征、兩點之間線段最短及垂線段最短等性質(zhì)是解題關(guān)鍵.2.(2022·甘肅白銀·七年級期末)如圖,在中,,,,,EF垂直平分BC,點P為直線EF上的任意一點,則周長的最小值是(

)A.7 B.6 C.12 D.8【答案】A【分析】根據(jù)題意知點B關(guān)于直線EF的對稱點為點C,故當(dāng)點P與點D重合時,AP+BP的值最小,即可得到△ABP周長最?。驹斀狻拷猓骸逧F垂直平分BC,∴B、C關(guān)于EF對稱,設(shè)AC交EF于D,∴當(dāng)P和D重合時,即A、P、C三點共線時,AP+BP的值最小,∵EF垂直平分BC,∴AD=CD,∴AD+BD=AD+CD=AC=4,∴△ABP周長的最小值是AB+AC=3+4=7,故A正確.故選:A.【點睛】本題主要考查了勾股定理,軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是找出P的位置.凡是涉及最短距離的問題,一般要考慮線段的性質(zhì)定理,結(jié)合軸對稱變換來解決,多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點.3.(2022·江西宜春·八年級期末)如圖,在中,是邊的垂直平分線,交于點,交于點,點是直線上的一個動點,若,則的最小值為(

)A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【分析】由條件可得點A是點C冠以ED的對稱點,即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值,在點P運動的過程中,P與E重合時有最小值.【詳解】解:∵ED是AC的垂直平分線,∴PC+PB=PA+PB,∵P運動的過程中,P與E重合時有最小值,∴PB+PC的最小值=AB=5.故選:A【點睛】本題主要考查動點最短路徑問題,結(jié)合對稱,尋找對稱點,判斷最值狀態(tài)是解題的關(guān)鍵.4(2022?綿陽八年級期末)如圖,在四邊形ABCD中,∠C=70°,∠B=∠D=90°,E、F分別是BC、DC上的點,當(dāng)△AEF的周長最小時,∠EAF的度數(shù)為()A.30° B.40° C.50° D.70°【分析】據(jù)要使△AEF的周長最小,即利用點的對稱,使三角形的三邊在同一直線上,作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′,A″,即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=70°,進而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA′E+∠A″),即可得出答案.【答案】解:作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′,A″,連接A′A″,交BC于E,交CD于F,則A′A″即為△AEF的周長最小值.作DA延長線AH,∵∠C=70°,∴∠DAB=110°,∴∠HAA′=70°,∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=70°,∵∠EA′A=∠EAA′,∠FAD=∠A″,∴∠EAA′+∠A″AF=70°,∴∠EAF=110°﹣70°=40°,故選:B.【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題,涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識,根據(jù)已知得出E,F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵.5.(2022·江蘇·無錫八年級期末)如圖,已知∠AOB的大小為α,P是∠AOB內(nèi)部的一個定點,且OP=4,點E、F分別是OA、OB上的動點,若△PEF周長的最小值等于4,則α=(

)A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【分析】設(shè)點P關(guān)于OA的對稱點為C,關(guān)于OB的對稱點為D,當(dāng)點E、F在CD上時,△PEF的周長為PE+EF+FP=CD,此時周長最小,根據(jù)CD=4可得出△COD是等邊三角形,進而可求出α的度數(shù).【詳解】解:如圖,作點P關(guān)于OA的對稱點C,關(guān)于OB的對稱點D,連接CD,交OA于E,OB于F.此時,△PEF的周長最?。B接OC,OD,PE,PF.∵點P與點C關(guān)于OA對稱,∴OA垂直平分PC,∴∠COA=∠AOP,PE=CE,OC=OP,同理,可得∠DOB=∠BOP,PF=DF,OD=OP.∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α,OC=OD=OP=4,∴∠COD=2α.又∵△PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4,∴OC=OD=CD=4,∴△COD是等邊三角形,∴2α=60°,∴α=30°.故選:A.【點睛】本題主要考查了最短路徑問題,本題找到點E和F的位置是解題的關(guān)鍵.要使△PEF的周長最小,通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段,運用三角形三邊關(guān)系解決.6.(2023云南八年級期末)如圖,在等邊中,BC邊上的高,E是高AD上的一個動點,F(xiàn)是邊AB的中點,在點E運動的過程中,存在最小值,則這個最小值是(

)A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【分析】先連接CE,再根據(jù)EB=EC,將FE+EB轉(zhuǎn)化為FE+CE,最后根據(jù)兩點之間線段最短,求得CF的長,即為FE+EB的最小值.【詳解】解:如圖,連接CE,∵等邊△ABC中,AD是BC邊上的中線,∴AD是BC邊上的高線,即AD垂直平分BC,∴EB=EC,∴BE+EF=CE+EF,∴當(dāng)C、F、E三點共線時,EF+EC=EF+BE=CF,∵等邊△ABC中,F(xiàn)是AB邊的中點,∴AD=CF=6,即EF+BE的最小值為6.故選:B【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì),軸對稱性質(zhì)等知識,熟練掌握和運用等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.解題時注意,最小值問題一般需要考慮兩點之間線段最短或垂線段最短等結(jié)論.7.(2022·河南安陽市·八年級期末)如圖,在中,,,的面積為12,于點D,直線EF垂直平分BC交AB于點E,交BC于點F,P是線段EF上的一個動點,則的周長的最小值是()A.6 B.7 C.10 D.12【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知為底邊上的高線,根據(jù)面積關(guān)系即可求得的長,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知點和點關(guān)于直線EF對稱,所以當(dāng)與重合時,的值最小,根據(jù)和的長度即可求得周長的最小值.【詳解】如圖∵的面積為12,∴,,解得,,∵直線EF垂直平分BC交AB于點E,∴點和點關(guān)于直線EF對稱,∴當(dāng)與重合時,的值最小,最小值等于的長,∴周長的最小值是,故選:B.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、軸對稱最短路線問題的應(yīng)用、三角形的面積等,解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出點的位置.8.(2022?蕪湖期末)如圖,在銳角三角形ABC中,AB=4,△ABC的面積為8,BD平分∠ABC.若M、N分別是BD、BC上的動點,則CM+MN的最小值是()A.2 B.4 C.6 D.8【分析】過點C作CE⊥AB于點E,交BD于點M′,過點M′作M′N′⊥BC于N′,則CE即為CM+MN的最小值,再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長,即為CM+MN的最小值.【答案】解:過點C作CE⊥AB于點E,交BD于點M′,過點M作MN′⊥BC于N′,∵BD平分∠ABC,M′E⊥AB于點E,M′N′⊥BC于N∴M′N′=M′E,∴CE=CM′+M′E∴當(dāng)點M與M′重合,點N與N′重合時,CM+MN的最小值.∵三角形ABC的面積為8,AB=4,∴×4?CE=8,∴CE=4.即CM+MN的最小值為4.故選:B.【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出等腰直角三角形,利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵.9.(2022·河南·安陽市八年級期末)如圖,在中,,邊的垂直平分線分別交,于點,,點是邊的中點,點是上任意一點,連接,,若,,周長最小時,,之間的關(guān)系是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】連接AP,根據(jù)線段垂直垂直平分線的性質(zhì)可知PA=PC,.由,即得出,由此可知當(dāng)A、P、D在同一直線上時,最?。俑鶕?jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知AD為的平分線,即.最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)即得出,由此即可判斷.【詳解】如圖,連接AP,∵直線MN是線段AC的垂直平分線,且P在線段MN上,∴PA=PC,.∵,∴.由圖可知CD為定值,當(dāng)A、P、D在同一直線上時,最小,即為的長,∴此時最小.∵D是邊BC的中點,AB=AC,∴AD為的平分線,∴.∵,即,∴.故選C.【點睛】本題考查線段垂直垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì).根據(jù)題意理解當(dāng)A、P、D在同一直線上時最小是解題關(guān)鍵.10.(2022·廣東廣州·八年級期末)如圖,點D是∠FAB內(nèi)的定點且AD=2,若點C、E分別是射線AF、AB上異于點A的動點,且△CDE周長的最小值是2時,∠FAB的度數(shù)是()A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【分析】作D點分別關(guān)于AF、AB的對稱點G、H,連接GH分別交AF、AB于C′、E′,利用軸對稱的性質(zhì)得AG=AD=AH=2,利用兩點之間線段最短判斷此時△CDE周長最小為DC′+DE′+C′E′=GH=2,可得△AGH是等邊三角形,進而可得∠FAB的度數(shù).【詳解】解:如圖,作D點分別關(guān)于AF、AB的對稱點G、H,連接GH分別交AF、AB于C′、E′,連接DC′,DE′,此時△CDE周長最小為DC′+DE′+C′E′=GH=2,根據(jù)軸對稱的性質(zhì),得AG=AD=AH=2,∠DAF=∠GAF,∠DAB=∠HAB,∴AG=AH=GH=2,∴△AGH是等邊三角形,∴∠GAH=60°,∴∠FAB=∠GAH=30°,故選:A.【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題:熟練掌握軸對稱的性質(zhì),會利用兩點之間線段最短解決路徑最短問題.11.(2022·湖南雨花·初二期末)如圖,∠AOB=30°,點P是它內(nèi)部一點,OP=2,如果點Q、點R分別是OA、OB上的兩個動點,那么PQ+QR+RP的最小值是__________.【答案】2【分析】先作點P關(guān)于OA,OB的對稱點P′,P″,連接P′P″,由軸對稱確定最短路線問題,P′P″分別與OA,OB的交點即為Q,R,△PQR周長的最小值=P′P″,由軸對稱的性質(zhì),可證∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,繼而可得△OP′P″是等邊三角形,即PP′=OP′=2.【解析】作點P關(guān)于OA,OB的對稱點P′,P″,連接P′P″,由軸對稱確定最短路線問題,P′P″分別與OA,OB的交點即為Q,R,△PQR周長的最小值=P′P″,由軸對稱的性質(zhì),∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,所以,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,所以,△OP′P″是等邊三角形,所以,PP′=OP′=2.故答案為:2.【點睛】本題主要考查軸對稱和等邊三角形的判定,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握軸對稱性質(zhì)和等邊三角形的判定.12.(2022·福建·莆田二中八年級期末)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點C在直線MN上,∠BCN=30°,點P為MN上一動點,連結(jié)AP,BP.當(dāng)AP+BP的值最小時,∠CBP的度數(shù)為_____.【答案】15°##15度【分析】作點B關(guān)于MN的對稱點D,連接AD交MN于P,連接BP,CD,先證明△BCD是等邊三角形,從而得到AC=CD,∠ACD=∠ACB+∠BCD=150°,進而求得∠CDP=15°,據(jù)軸對稱性可得∠CBP的度數(shù).【詳解】如圖,作點B關(guān)于MN的對稱點D,連接AD交MN于P,連接BP,CD,∵點B與點D是關(guān)于MN的對稱點,∠BCN=30°,∴BC=CD,∠BCD=60°,∴△BCD是等邊三角形,∵∠ACB=90°,AC=BC,∴AC=CD,∠ACD=∠ACB+∠BCD=150°,∴∠CDP=15°,∵點B與點D是關(guān)于MN的對稱點,,且△BCD是等邊三角形,∴由等邊三角形的軸對稱性可知:∠CBP=∠CDP=15°,故答案為:15°.【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì),軸對稱最短線路問題等知識,明確AP+BP的最小值為AD長是解題的關(guān)鍵.13.(2022·廣東·八年級專題練習(xí))如圖,,,AD是∠BAC內(nèi)的一條射線,且,P為AD上一動點,則的最大值是______.【答案】5【分析】作點關(guān)于射線的對稱點,連接、、B'P.則,,是等邊三角形,在中,,當(dāng)、、在同一直線上時,取最大值,即為5.所以的最大值是5.【詳解】解:如圖,作點關(guān)于射線的對稱點,連接、,B'P.則,,,.∵,∴,∴是等邊三角形,∴,在中,,當(dāng)、、在同一直線上時,取最大值,即為5.∴的最大值是5.故答案為:5.【點睛】本題考查了線段之差的最小值問題,正確作出點B的對稱點是解題的關(guān)鍵.14.(2022·福建福州·八年級期中)如圖,在等邊中,E是邊的中點,P是的中線上的動點,且,則的最大值是________.【答案】3【分析】連接PC,則BP=CP,=CP-PE,當(dāng)點P與點A重合時,CP-PE=CE,進而即可求解.【詳解】解:連接PC,∵在等邊中,,P是的中線上的動點,∴AD是BC的中垂線,∴BP=CP,∴=CP-PE,∵在中,CP-PE<CE,∴當(dāng)點P與點A重合時,CP-PE=CE,∵E是邊的中點,∴的最大值=6÷2=3.故答案是:3.【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì),三角形三邊長關(guān)系,連接CP,得到=CP-PE,是解題的關(guān)鍵.15.(2022·河南八年級期末)如圖,在中,,,,,平分交于點,,分別是,邊上的動點,則的最小值為__________.【答案】【分析】在上取點,使,連接,過點作,垂足為.利用角的對稱性,可知,則EC+EF的最小值即為點C到AB的垂線段CH的長度,進而即可求解.【詳解】解:如圖,在上取點,使,連接,過點作,垂足為.平分,根據(jù)對稱可知.,.,當(dāng)點、、共線,且點與點重合時,的值最小,最小值為CH=,故答案為.【點睛】本題考查了軸對稱-線段和最小值問題,添加輔助線,把兩條線段的和的最小值化為點到直線的距離問題,是解題的關(guān)鍵.16.(2022·四川成都·七年級期末)如圖,分別以線段AB的兩個端點為圓心,以大于AB長為半徑作弧,兩弧交于點M和點N,在直線MN上取一點C,連接CA,CB,點D是線段AC的延長線上一點,且CD=AC,點P是直線MN上一動點,連接PD,PB,若BC=4,則PD+PB的最小值為___.【答案】6【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)判斷即可;【詳解】解:由作法得MN垂直平分AB,∴CA=CB=4,PA=PB,∵CD=AC=2,∴AD=6,∵PA+PD≤AD(點A、P、D共線時取等號),∴PA+PD的最小值為6,∴PB+PD的最小值為6.故答案為6.【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和軸對稱最短距離問題,準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵.17.(2022·安徽蕪湖市·八年級期末)如圖,在中.,若,,,將折疊,使得點C恰好落在AB邊上的點E處,折痕為AD,點P為AD上一動點,則的周長最小值為___.【答案】20.【分析】根據(jù)由沿AD對稱,得到,進而表示出,最后求周長即可.【詳解】由沿AD對稱得到,則E與C關(guān)于直線AD對稱,,∴,如圖,連接,由題意得,∴,當(dāng)P在BC邊上,即D點時取得最小值12,∴周長為,最小值為.故答案為:20.【點睛】本題考查了三角形折疊問題,正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.18.(2022·湖北·八年級)如圖,,為上一動點,,過作交直線于,過作交直線于點,若,當(dāng)?shù)闹底畲髸r,則________.【答案】123°【分析】當(dāng)DM與DP重合,AN與AB重合時,|AN-DM|的值最大,此時|AN-DM|=AB,畫出相應(yīng)的圖形,根據(jù)條件,利用三角形的內(nèi)角和、鄰補角的意義,求出結(jié)果.【詳解】解:當(dāng)DM與DP重合,AN與AB重合時,|AN-DM|的值最大,此時|AN-DM|=AB,∵∠ABC=114°,∴∠CDE=180°-114°=66°,∴∠MCD=90°-66°=24°,又∵AB=BC,∴∠ACB=(180°-114°)÷2=3

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