專(zhuān)題12 將軍飲馬模型（解析版）

專(zhuān)題12將軍飲馬模型將軍飲馬模型在考試中，無(wú)論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺(jué)有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類(lèi)考試中都以中高檔題為主。在解決幾何最值問(wèn)題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱(chēng)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過(guò)本專(zhuān)題的講解讓大家對(duì)這類(lèi)問(wèn)題有比較清晰的認(rèn)識(shí)。模型1、將軍飲馬--兩定一動(dòng)求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點(diǎn)，m為定直線，P為直線m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小。圖1圖2（1）如圖1，點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：輔助線：連接AB交直線m于點(diǎn)P，則AP+BP的最小值為AB.（2）如圖2，點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：輔助線：過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于定直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’，連接A’B交直線m于點(diǎn)P，則AP+BP的最小值為A’B.例1．（2022·福建·八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C在直線MN上，∠BCN＝30°，點(diǎn)P為MN上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP．當(dāng)AP+BP的值最小時(shí)，∠CBP的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】15°##15度【分析】作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，先證明△BCD是等邊三角形，從而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，進(jìn)而求得∠CDP＝15°，據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性可得∠CBP的度數(shù)．【詳解】如圖，作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，∵點(diǎn)B與點(diǎn)D是關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，∵點(diǎn)B與點(diǎn)D是關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，且△BCD是等邊三角形，∴由等邊三角形的軸對(duì)稱(chēng)性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案為：15°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)最短線路問(wèn)題等知識(shí)，明確AP+BP的最小值為AD長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是中點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________．【答案】6【分析】連接BE交AD于M，則BE就是EM+CM的最小值，通過(guò)等腰三角形的“三線合一”，可得BE=AD即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接BE，與AD交于點(diǎn)M．∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴B、C關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，則EM+CM=EM+BM，則BE就是EM+CM的最小值．∵E是等邊△ABC的邊AC的中點(diǎn)，AD是中線∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)—“三線合一”、等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找到M點(diǎn)的位置．例3．（2022·河南濮陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為5，A、B、三點(diǎn)在一條直線上，且．若D為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．【答案】10【分析】連接CA1交BC1于點(diǎn)E，C、A1關(guān)于直線BC1對(duì)稱(chēng)，推出當(dāng)點(diǎn)D與B重合時(shí)，AD+CD的值最小，最小值為線段AA1的長(zhǎng)＝10．【詳解】解：連接CA1交BC1于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作直線l⊥AB，如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴是等邊三角形，AB=A1B=5∵A、B、三點(diǎn)在一條直線上，∴△ABC與△A1BC1關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°，∴∠CBC1＝60°，∴∠C1BA1＝∠C1BC，∵BA1＝BC，∴BD⊥CA1，CD＝DA1，∴C、A1關(guān)于直線BC1對(duì)稱(chēng)，∴當(dāng)點(diǎn)D與B重合時(shí)，AD+CD的值最小，最小值為線段AA1的長(zhǎng)＝10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃虇?wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)找對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，形成兩點(diǎn)之間的線段來(lái)解決最短問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．例4．（2023.浙江八年級(jí)期中）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為多少？【答案】∠ECF＝30o【解析】過(guò)E作EM∥BC，交AD于N，如圖所示：∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，連接CM交AD于F，連接EF，則此時(shí)EF＋CF的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60o，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30o.模型2、將軍飲馬--兩動(dòng)一定求線段和的最小值【模型探究】已知定點(diǎn)A位于定直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.輔助線：過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于定直線m、n的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’、A’’，連接A’A’’交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’A’’.例1．（2022·江蘇·無(wú)錫市八年級(jí)期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且OP＝4，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PEF周長(zhǎng)的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)E、F在CD上時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)為PE+EF+FP=CD，此時(shí)周長(zhǎng)最小，根據(jù)CD=4可得出△COD是等邊三角形，進(jìn)而可求出α的度數(shù)．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)最?。B接OC，OD，PE，PF．∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周長(zhǎng)=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等邊三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路徑問(wèn)題，本題找到點(diǎn)E和F的位置是解題的關(guān)鍵．要使△PEF的周長(zhǎng)最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決．例2．（2022·湖北十堰·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使周長(zhǎng)最小，則的度數(shù)為_(kāi)________．【答案】160°【分析】要使周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，使三角形的三邊在同一直線上，作點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即可得到，進(jìn)而求得，即可得到答案．【詳解】作點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交BC于M，交CD于N，則即為周長(zhǎng)最小值，故答案為：160°．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)—最短路線問(wèn)題，涉及平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·江蘇九年級(jí)一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則△DEF的周長(zhǎng)的最小值是（）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6【答案】C【分析】如圖作D關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，作D關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接CM，CN，CD，EN，F(xiàn)M，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共線，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，F(xiàn)M+EN+EF≥MN，可知當(dāng)M、F、E、N共線時(shí)，且CD⊥AB時(shí)，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，作D關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，作D關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接CM，CN，CD，EN，F(xiàn)M，DN，DM．∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M、C、N共線，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，∵FM+EN+EF≥MN，∴當(dāng)M、F、E、N共線時(shí)，且CD⊥AB時(shí)，DE+EF+FD的值最小，最小值為MN=2CD，∵CD⊥AB，∴?AB?CD=?AB?AC，∴CD===2.4，∴DE+EF+FD的最小值為4.8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)以及垂線段最短解決最短問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．例4．（2023春·貴州畢節(jié)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，求周長(zhǎng)的最小值．【答案】周長(zhǎng)的最小值為8【分析】作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)、，即可快速找到解題思路.【詳解】如圖，作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)、，交OA、OB于M、N，此時(shí)周長(zhǎng)最小，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知，，，且，，，，為等邊三角形，即周長(zhǎng)的最小值為8.【點(diǎn)睛】本題應(yīng)用知識(shí)比較隱晦，分別考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形和等邊三角形，需要認(rèn)真分析，充分聯(lián)系所學(xué)知識(shí)，方可正確解答.模型3、將軍飲馬--兩動(dòng)兩定求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點(diǎn)，在定直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）如圖1，兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：輔助線：連接AB交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.（2）如圖2，一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：輔助線：過(guò)點(diǎn)B作關(guān)于定直線n的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’，連接AB’交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.圖1圖2（3）如圖3，兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：輔助線：過(guò)點(diǎn)A、B作關(guān)于定直線m、n的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’、B’，連接A’B’交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.（4）如圖4，臺(tái)球兩次碰壁模型：輔助線：同圖3輔助線作法。圖3圖4例1．（2022·和平區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的大小=___（度）．【答案】50【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交OB于點(diǎn)P，交OA于點(diǎn)Q，連接MP，QN，可知此時(shí)最小，此時(shí)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和平角的定義即可得出結(jié)論．【詳解】作M關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交OB于點(diǎn)P，交OA于點(diǎn)Q，連接MP，QN，如圖所示．根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知此時(shí)最小，即，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題、三角形內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．例2．（2022·湖北武漢市·九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A在y軸上，G、B兩點(diǎn)在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動(dòng)點(diǎn)，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】分別作B、C關(guān)于AG和AH對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)、，連接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值為，再依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)分別求得和即可求得．【詳解】解：分別作B、C關(guān)于AG和AH對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)、，連接BP、CQ、、，PQ∵HC與GB關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴GO=HO,BO=CO,∵x軸⊥y軸，∴AG=AH，、關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴當(dāng)、，P、Q在同一條直線上時(shí)，最小，此時(shí)軸，∵∠GAH＝60°，∴△AGH為等邊三角形，∴∠AGO=60°，∵軸，B、關(guān)于AG對(duì)稱(chēng)，∴,，∴△BPG為等邊三角形，過(guò)作PM⊥GO交x軸與M，∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴，∴，同理可得,即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判斷，坐標(biāo)與圖形變化．能借助軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)正確變形將折線的長(zhǎng)化成一條線段的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．例3．（2022·湖北青山·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）4．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；（2）連接，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得垂直平分，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，同樣的方法可得，從而可得，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得出答案．【詳解】證明：（1）在中，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，，是等邊三角形；（2）如圖，連接，和都是等邊三角形，，，，垂直平分，，同理可得：垂直平分，，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，故的最小值為4．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．模型4、將軍飲馬--線段差的最大值【模型探究】A，B為定點(diǎn)，在定直線m上分別找兩點(diǎn)P，使PA與PB的差最大。（1）如圖1，點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：輔助線：延長(zhǎng)AB交直線m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。（2）如圖2，點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：輔助線：過(guò)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’圖1圖2例1．（2022·福建福州·八年級(jí)期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點(diǎn)，P是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是________．【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，=CP-PE，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：連接PC，∵在等邊中，，P是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴=CP-PE，∵在中，CP-PE＜CE，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，∵E是邊的中點(diǎn)，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊長(zhǎng)關(guān)系，連接CP，得到=CP-PE，是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·廣東·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，，，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，且，P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是______．【答案】5【分析】作點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、、B'P．則，，是等邊三角形，在中，，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，取最大值，即為5．所以的最大值是5．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、，B'P．則，，，．∵，∴，∴是等邊三角形，∴，在中，，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，取最大值，即為5．∴的最大值是5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了線段之差的最小值問(wèn)題，正確作出點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·湖北·武漢八年級(jí)期末）如圖，，為上一動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)作交直線于，過(guò)作交直線于點(diǎn)，若，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，則________．【答案】123°【分析】當(dāng)DM與DP重合，AN與AB重合時(shí)，|AN-DM|的值最大，此時(shí)|AN-DM|=AB，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)條件，利用三角形的內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角的意義，求出結(jié)果．【詳解】解：當(dāng)DM與DP重合，AN與AB重合時(shí)，|AN-DM|的值最大，此時(shí)|AN-DM|=AB，∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案為：123°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·河南七年級(jí)期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作N關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短的定理可以得到CM+MN的最小值即為C點(diǎn)到AB的垂線段，因此根據(jù)面積公式可以得解．【詳解】解：如圖，作N關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)N，與BD交于點(diǎn)O，過(guò)C作CE⊥AB于E，則∵BD平分∠ABC，∴在AB上，且MN=M，∴CM+MN=，∴根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得CM+MN的最小值為，即C點(diǎn)到線段AB某點(diǎn)的連線，∴根據(jù)垂線段最短，CM+MN的最小值為C點(diǎn)到AB的垂線段CE的長(zhǎng)度，∵△ABC的面積為10，∴，∴CE=5，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查軸反射的綜合運(yùn)用，熟練掌握軸反射的特征、兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短等性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2022·甘肅白銀·七年級(jí)期末）如圖，在中，，，，，EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上的任意一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是（

）A．7 B．6 C．12 D．8【答案】A【分析】根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP+BP的值最小，即可得到△ABP周長(zhǎng)最?。驹斀狻拷猓骸逧F垂直平分BC，∴B、C關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)，設(shè)AC交EF于D，∴當(dāng)P和D重合時(shí)，即A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，AP+BP的值最小，∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，∴△ABP周長(zhǎng)的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．3．（2022·江西宜春·八年級(jí)期末）如圖，在中，是邊的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】由條件可得點(diǎn)A是點(diǎn)C冠以ED的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P與E重合時(shí)有最小值．【詳解】解：∵ED是AC的垂直平分線，∴PC+PB=PA+PB，∵P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P與E重合時(shí)有最小值，∴PB+PC的最小值=AB=5．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)最短路徑問(wèn)題，結(jié)合對(duì)稱(chēng)，尋找對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，判斷最值狀態(tài)是解題的關(guān)鍵．4（2022?綿陽(yáng)八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．70°【分析】據(jù)要使△AEF的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，進(jìn)而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．【答案】解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長(zhǎng)最小值．作DA延長(zhǎng)線AH，∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°，∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，涉及到平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．5．（2022·江蘇·無(wú)錫八年級(jí)期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且OP＝4，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PEF周長(zhǎng)的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)E、F在CD上時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)為PE+EF+FP=CD，此時(shí)周長(zhǎng)最小，根據(jù)CD=4可得出△COD是等邊三角形，進(jìn)而可求出α的度數(shù)．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)最?。B接OC，OD，PE，PF．∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周長(zhǎng)=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等邊三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路徑問(wèn)題，本題找到點(diǎn)E和F的位置是解題的關(guān)鍵．要使△PEF的周長(zhǎng)最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決．6．（2023云南八年級(jí)期末）如圖，在等邊中，BC邊上的高，E是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB的中點(diǎn)，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在最小值，則這個(gè)最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】先連接CE，再根據(jù)EB=EC，將FE+EB轉(zhuǎn)化為FE+CE，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求得CF的長(zhǎng)，即為FE+EB的最小值．【詳解】解：如圖，連接CE，∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，∴AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC，∴EB=EC，∴BE+EF=CE+EF，∴當(dāng)C、F、E三點(diǎn)共線時(shí)，EF+EC=EF+BE=CF，∵等邊△ABC中，F(xiàn)是AB邊的中點(diǎn)，∴AD=CF=6，即EF+BE的最小值為6．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握和運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意，最小值問(wèn)題一般需要考慮兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短等結(jié)論．7．（2022·河南安陽(yáng)市·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，的面積為12，于點(diǎn)D，直線EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，P是線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值是（）A．6 B．7 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知為底邊上的高線，根據(jù)面積關(guān)系即可求得的長(zhǎng)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，所以當(dāng)與重合時(shí)，的值最小，根據(jù)和的長(zhǎng)度即可求得周長(zhǎng)的最小值．【詳解】如圖∵的面積為12，∴，，解得，，∵直線EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，∴點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，∴當(dāng)與重合時(shí)，的值最小，最小值等于的長(zhǎng)，∴周長(zhǎng)的最小值是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題的應(yīng)用、三角形的面積等，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出點(diǎn)的位置．8.（2022?蕪湖期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M′，過(guò)點(diǎn)M′作M′N(xiāo)′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長(zhǎng)，即為CM+MN的最小值．【答案】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M′，過(guò)點(diǎn)M作MN′⊥BC于N′，∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于點(diǎn)E，M′N(xiāo)′⊥BC于N∴M′N(xiāo)′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E∴當(dāng)點(diǎn)M與M′重合，點(diǎn)N與N′重合時(shí)，CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面積為8，AB＝4，∴×4?CE＝8，∴CE＝4．即CM+MN的最小值為4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．9．（2022·河南·安陽(yáng)市八年級(jí)期末）如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連接，，若，，周長(zhǎng)最小時(shí)，，之間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接AP，根據(jù)線段垂直垂直平分線的性質(zhì)可知PA=PC，．由，即得出，由此可知當(dāng)A、P、D在同一直線上時(shí)，最小．再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知AD為的平分線，即．最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)即得出，由此即可判斷．【詳解】如圖，連接AP，∵直線MN是線段AC的垂直平分線，且P在線段MN上，∴PA=PC，．∵,∴．由圖可知CD為定值，當(dāng)A、P、D在同一直線上時(shí)，最小，即為的長(zhǎng)，∴此時(shí)最?。逥是邊BC的中點(diǎn)，AB=AC，∴AD為的平分線，∴．∵，即，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)．根據(jù)題意理解當(dāng)A、P、D在同一直線上時(shí)最小是解題關(guān)鍵．10．（2022·廣東廣州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D是∠FAB內(nèi)的定點(diǎn)且AD=2，若點(diǎn)C、E分別是射線AF、AB上異于點(diǎn)A的動(dòng)點(diǎn)，且△CDE周長(zhǎng)的最小值是2時(shí)，∠FAB的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】作D點(diǎn)分別關(guān)于AF、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G、H，連接GH分別交AF、AB于C′、E′，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得AG=AD=AH=2，利用兩點(diǎn)之間線段最短判斷此時(shí)△CDE周長(zhǎng)最小為DC′+DE′+C′E′=GH=2，可得△AGH是等邊三角形，進(jìn)而可得∠FAB的度數(shù)．【詳解】解：如圖，作D點(diǎn)分別關(guān)于AF、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G、H，連接GH分別交AF、AB于C′、E′，連接DC′，DE′，此時(shí)△CDE周長(zhǎng)最小為DC′+DE′+C′E′=GH=2，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得AG=AD=AH=2，∠DAF=∠GAF，∠DAB=∠HAB，∴AG=AH=GH=2，∴△AGH是等邊三角形，∴∠GAH=60°，∴∠FAB=∠GAH=30°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題：熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決路徑最短問(wèn)題．11．（2022·湖南雨花·初二期末）如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)P是它內(nèi)部一點(diǎn)，OP=2，如果點(diǎn)Q、點(diǎn)R分別是OA、OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．【答案】2【分析】先作點(diǎn)P關(guān)于OA,OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′,P″,連接P′P″,由軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線問(wèn)題,P′P″分別與OA,OB的交點(diǎn)即為Q,R,△PQR周長(zhǎng)的最小值=P′P″,由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),可證∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,繼而可得△OP′P″是等邊三角形,即PP′=OP′=2．【解析】作點(diǎn)P關(guān)于OA,OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′,P″,連接P′P″,由軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線問(wèn)題,P′P″分別與OA,OB的交點(diǎn)即為Q,R,△PQR周長(zhǎng)的最小值=P′P″,由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,所以,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,所以,△OP′P″是等邊三角形,所以,PP′=OP′=2．故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱(chēng)和等邊三角形的判定,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)和等邊三角形的判定.12．（2022·福建·莆田二中八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C在直線MN上，∠BCN＝30°，點(diǎn)P為MN上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP．當(dāng)AP+BP的值最小時(shí)，∠CBP的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】15°##15度【分析】作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，先證明△BCD是等邊三角形，從而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，進(jìn)而求得∠CDP＝15°，據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性可得∠CBP的度數(shù)．【詳解】如圖，作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，∵點(diǎn)B與點(diǎn)D是關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，∵點(diǎn)B與點(diǎn)D是關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，且△BCD是等邊三角形，∴由等邊三角形的軸對(duì)稱(chēng)性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案為：15°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)最短線路問(wèn)題等知識(shí)，明確AP+BP的最小值為AD長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．13．（2022·廣東·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，，，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，且，P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是______．【答案】5【分析】作點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、、B'P．則，，是等邊三角形，在中，，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，取最大值，即為5．所以的最大值是5．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、，B'P．則，，，．∵，∴，∴是等邊三角形，∴，在中，，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，取最大值，即為5．∴的最大值是5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了線段之差的最小值問(wèn)題，正確作出點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．14．（2022·福建福州·八年級(jí)期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點(diǎn)，P是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是________．【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，=CP-PE，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：連接PC，∵在等邊中，，P是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴=CP-PE，∵在中，CP-PE＜CE，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，∵E是邊的中點(diǎn)，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊長(zhǎng)關(guān)系，連接CP，得到=CP-PE，是解題的關(guān)鍵．15.（2022·河南八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，，平分交于點(diǎn)，，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【分析】在上取點(diǎn)，使，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．利用角的對(duì)稱(chēng)性，可知，則EC＋EF的最小值即為點(diǎn)C到AB的垂線段CH的長(zhǎng)度，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．平分，根據(jù)對(duì)稱(chēng)可知．，．，當(dāng)點(diǎn)、、共線，且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，最小值為CH=，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-線段和最小值問(wèn)題，添加輔助線，把兩條線段的和的最小值化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，是解題的關(guān)鍵．16．（2022·四川成都·七年級(jí)期末）如圖，分別以線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以大于AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，在直線MN上取一點(diǎn)C，連接CA，CB，點(diǎn)D是線段AC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CD＝AC，點(diǎn)P是直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，PB，若BC＝4，則PD+PB的最小值為_(kāi)__．【答案】6【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：由作法得MN垂直平分AB，∴CA＝CB＝4，PA＝PB，∵CD＝AC＝2，∴AD＝6，∵PA+PD≤AD（點(diǎn)A、P、D共線時(shí)取等號(hào)），∴PA+PD的最小值為6，∴PB+PD的最小值為6．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)最短距離問(wèn)題，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．17．（2022·安徽蕪湖市·八年級(jí)期末）如圖，在中．，若，，，將折疊，使得點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為AD，點(diǎn)P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為_(kāi)__．【答案】20．【分析】根據(jù)由沿AD對(duì)稱(chēng),得到，進(jìn)而表示出，最后求周長(zhǎng)即可．【詳解】由沿AD對(duì)稱(chēng)得到，則E與C關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng)，，∴，如圖,連接，由題意得，∴，當(dāng)P在BC邊上，即D點(diǎn)時(shí)取得最小值12，∴周長(zhǎng)為，最小值為．故答案為:20．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形折疊問(wèn)題，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵．18．（2022·湖北·八年級(jí)）如圖，，為上一動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)作交直線于，過(guò)作交直線于點(diǎn)，若，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，則________．【答案】123°【分析】當(dāng)DM與DP重合，AN與AB重合時(shí)，|AN-DM|的值最大，此時(shí)|AN-DM|=AB，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)條件，利用三角形的內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角的意義，求出結(jié)果．【詳解】解：當(dāng)DM與DP重合，AN與AB重合時(shí)，|AN-DM|的值最大，此時(shí)|AN-DM|=AB，∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=3