專(zhuān)題06 平行線中的拐點(diǎn)模型專(zhuān)項(xiàng)過(guò)關(guān)檢測(cè)（解析版）

專(zhuān)題06.平行線中的拐點(diǎn)模型專(zhuān)項(xiàng)過(guò)關(guān)檢測(cè)姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，試題共26題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2023·山西太原·?？寄M預(yù)測(cè)）綠色出行，健康出行，你我同行．某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車(chē)服務(wù)．圖1是某品牌共享單車(chē)放在水平地面的實(shí)物圖，圖2是其示意圖，其中，都與地面平行，，．已知與平行，則的度數(shù)為（

）圖1

圖2A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即得答案．【詳解】解：∵，都與地面平行，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023下·山西晉中·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某興趣小組利用幾何圖形畫(huà)出螳螂的簡(jiǎn)筆畫(huà)，如圖，已知，，，則（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作，先證明，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，，最后利用角的和差關(guān)系求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，

∵，∴，，，又，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·安徽安慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將一塊等腰直角三角板按如圖方式擺放（），其中直線，點(diǎn)C落在直線上，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)B作，首先根據(jù)平行公理得到，然后利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：過(guò)B作，

∵，∴，∴，，∴，∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定．4．（2023下·河南焦作·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線，，，平分，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行線的性質(zhì)、平行公理及角平分線的定義即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵平分∴∵∴∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是識(shí)別內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角存在的相等關(guān)系．5．（2023下·河南平頂山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一塊玻璃的，兩面，且，現(xiàn)有一束光線從玻璃中射向空氣時(shí)光線變成，為射線上一點(diǎn)．已知，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及對(duì)頂角相等可知，再根據(jù)角的和差關(guān)系解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故選．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，角的和差關(guān)系，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，，交的平分線于點(diǎn)，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，由角平分線的定義得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合平角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，平分，，，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023下·廣西南寧·七年級(jí)期中）如圖，，，的平分線交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行線的性質(zhì)可得，再由角平分線的性質(zhì)可求出的大?。驹斀狻拷猓哼^(guò)點(diǎn)作，，，，，，、平分和，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等．②定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．③定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．8．（2023下·福建莆田·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，則滿足的數(shù)量關(guān)系為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】作，如圖，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)一步整理即得答案.【詳解】解：作，如圖，∵，∴，∴，∴，∴，即在原圖中有結(jié)論：；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.9．（2023下·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①過(guò)點(diǎn)E作直線EFAB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論；②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可作出判斷；③如圖3，過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C=360°，故①正確；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯(cuò)誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．10．（2023下·重慶北碚·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，AB∥CD，點(diǎn)E，P在直線AB上（P在E的右側(cè)），點(diǎn)G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，利用平行線的性質(zhì)以及已知即可證明；②利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明．【詳解】解：①過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正確；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)=360°-(180°-∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正確；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正確；④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正確．綜上，①②③④都正確，共4個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上）11．（2023上·福建漳州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知直線，將等邊三角形按如圖所示的方式放置，若，則．

【答案】/25度【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)B作，可得出，再由平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作，∴

∵是等邊三角形，∴∴∵，∴∴故答案為：12．（2023下·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，點(diǎn)D，E分別在邊上，的平分線與的平分線交于點(diǎn)F，則度．

【答案】155【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，根據(jù)，可得，再由三角形內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)，可得，從而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，

∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，即，∵平分，∴，∵，，∴，即，∵，∴，∴．故答案為：155【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．13．（2023下·山東日照·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，的平分線交直線b于點(diǎn)C，若，，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)P作直線a的平行線，利用平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可得，再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作直線a的平行線，如圖所示：

則：，，，又是的角平分線，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及三角形外角定理，熟練掌握其基本知識(shí)，找準(zhǔn)輔助線位置是解題的關(guān)鍵．14．（2023下·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一航班沿北偏東方向從A地飛往C地，到達(dá)C地上空時(shí)，準(zhǔn)備備降B地，已知C地在B地的北偏西方向．

【答案】【分析】先運(yùn)用平行線的性質(zhì)求得，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求得的度數(shù)．【詳解】解：由題意得：，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了運(yùn)用平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理解決方位角問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)進(jìn)行正確地推理、計(jì)算．15．（2023上·廣東惠州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，于點(diǎn)N，點(diǎn)P在上，，當(dāng)度時(shí)，．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)M作，則，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)得到即可得出結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)M作，則，

∵，∴，則，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，,∵∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、垂直定義，添加平行線求解是解答的關(guān)鍵．16．（2023下·江蘇宿遷·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D1是一盞可折疊臺(tái)燈．圖2，圖3是其平面示意圖，支架為固定支撐桿，支架可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)．已知燈體頂角，頂角平分線始終與垂直．當(dāng)支架旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)（如圖2），恰好與平行，則支架與水平方向的夾角為，若將圖2中的繼續(xù)向上旋轉(zhuǎn)（如圖3），則此時(shí)與水平方向的夾角為，直接寫(xiě)出．

【答案】120【分析】利用角平分線定義可得，由垂直定義可得，得出，再運(yùn)用平行線性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖2，，平分，，

，，，，，，，即；如圖3，，，過(guò)點(diǎn)作，

則，，，，，，，，∴．故答案為：120．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)，角平分線定義，垂直定義等，熟練掌握平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．（2023下·福建廈門(mén)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)，分別在直線，上，點(diǎn)在直線，之間，平分，平分，，，則的度數(shù)為．

【答案】/度【分析】過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線性質(zhì)推出，，所以，由平分，平分，，進(jìn)而得到，再由三角形內(nèi)角和即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，

，，，，，，，，，，平分，平分，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．18．（2022下·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，M為平行線之間一點(diǎn)，連接，N為上方一點(diǎn)，連接，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若分別平分，則∠M、∠N滿足的關(guān)系式是【答案】【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作，過(guò)點(diǎn)N作，則，先由平行線的性質(zhì)得到，再由角平分線的定義得到；再證明，，即可得到，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作，過(guò)點(diǎn)N作，∵，∴，∴，∴，∵分別平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共78分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（2023下·河南·九年級(jí)?？计谥校┮阎喝鐖D1，，．

（1）判斷圖中平行的直線，并給予證明；（2）如圖2，，，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，證明見(jiàn)解析；（2）∠P=3∠Q，證明解析．【分析】（1）求出∠AMN+∠2=180°，根據(jù)平行線的判定推出AB∥CD即可；延長(zhǎng)EF交CD于F1，根據(jù)平行線性質(zhì)和已知求出∠AEF=∠EF1L，根據(jù)平行線的判定推出即可；（2）作QR∥AB，PL∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可．【詳解】解：（1）AB∥CD，EF∥HL，證明如下：∵∠1=∠AMN，∴∠1+∠2=180°，∴∠AMN+∠2=180°，∴AB∥CD；延長(zhǎng)EF交CD于F1，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EF1L，∵∠AEF=∠HLN，∴∠EF1L=∠HLN，∴EF∥HL；（2）∠P=3∠Q，證明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，∴∠RQN=∠QND，∴∠MQN=∠QMB+∠QND，∵AB∥CD，PL∥AB，∴AB∥CD∥PL，∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，∴∠MPN=∠PMB+∠PND，∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q；【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，平行線公理的推論．能正確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．20．（2023下·廣東東莞·七年級(jí)校考期中）（1）如圖（1），猜想與的關(guān)系，說(shuō)出理由．（2）觀察圖（2），已知，猜想圖中的與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知，猜想圖中的與的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由．

【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；（3）圖（3），圖（4）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作，得到，由，，得到，得到，由此得到；（2）過(guò)點(diǎn)P作，由，得到，從而得到結(jié)論；（3）由，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得與的關(guān)系．【詳解】（1）解：猜想．理由：過(guò)點(diǎn)P作，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)P作，

∵，∴，∴，∴；（3）如圖（3）：．理由：∵，∴，∵，∴，即；如圖（4）：．理由：∵，∴，∵，∴，即．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，三角形的外角的性質(zhì)定理，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2023下·廣東云浮·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖①，已知，探究與有怎樣的位置關(guān)系；（2）如圖②，已知，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖③，已知，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出這種關(guān)系，不用說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）．理由見(jiàn)解析（3）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)C作，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答即可；（3）結(jié)合（1）（2），根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定得出角的關(guān)系即可．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)E作（F在E點(diǎn)右側(cè)）．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以，所以?/p>

（2）．理由：過(guò)點(diǎn)C作（D在C點(diǎn)右側(cè)），所以．因?yàn)?，所以．所以．因?yàn)?，所以．?）如圖，過(guò)拐點(diǎn)分別作的平行線，由（1）（2）可得：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是關(guān)鍵，注意掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．22．（2023下·江西宜春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線，點(diǎn)分別在直線上．

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)在直線之間時(shí)，連接．探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，在①的條件下，平分，平分．求與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)在直線的下方時(shí)，連接，其中交于點(diǎn)，平分，平分，的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，則，，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（2）同（1）得出，根據(jù)角平分線的定義得出，，即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，同（1）即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，，

，

，

，，，，，即；（2）解：，理由如下：平分，平分，，，由（1）可知，同理可得，，即；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，，分，平分，，，，，，由（1）可得：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．23．（2023下·廣西貴港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們“借助兩條平行線、和一副直角三角板”開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．即：已知直線和一副直角三角板．

【操作判斷】如圖1，小華把一個(gè)三角板角的頂點(diǎn)F、G分別放在直線、上，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系______．【遷移探究】如圖2，小睿把一個(gè)三角板角的頂點(diǎn)F放在直線上，若，求的度數(shù)．【拓展應(yīng)用】在圖1的基礎(chǔ)上，小明把三角板角的頂點(diǎn)，放在E處，即（如圖3），與的平分線，分別交、于點(diǎn)P，Q，將含角的三角板繞點(diǎn)E轉(zhuǎn)動(dòng)，使始終在的內(nèi)部，請(qǐng)問(wèn)：的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】[操作判斷]；[遷移探究]；[拓展應(yīng)用]不變，，理由見(jiàn)解析【分析】[操作判斷]過(guò)點(diǎn)E作，則，從而，，進(jìn)而可得與的數(shù)量關(guān)系；[遷移探究]過(guò)點(diǎn)E作，則，從而，，進(jìn)而可得，結(jié)合，可求的度數(shù)；[拓展應(yīng)用]過(guò)點(diǎn)E作，可證，設(shè)，則，，然后根據(jù)角平分線的定義即可求解．【詳解】［操作判斷］：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作，，，∵∴故答案為：

［遷移探究］：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作，，，，，

［拓展應(yīng)用］：不變，理由如下：過(guò)點(diǎn)E作，，設(shè)，則，、分別平分、，

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．24．（2023下·廣西桂林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：直線，點(diǎn)A和點(diǎn)B是直線a上的點(diǎn)，點(diǎn)C和點(diǎn)D是直線b上的點(diǎn)，連接，，設(shè)直線和交于點(diǎn)E．

(1)在如圖1所示的情形下，若，求的度數(shù)；(2)在如圖2所示的情形下，若平分，平分，且與交于點(diǎn)F，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，若平分，平分，且，交于點(diǎn)F，設(shè)，，用含有α，β的代數(shù)式表示的補(bǔ)角．【答案】(1)(2)(3)的補(bǔ)角為【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作，證明，可得，，，可得；（2）過(guò)點(diǎn)F作，證明，可得，，，求解，，從而可得答案；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)F作，證明，可得，，可得，證明，，從而可得答案．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)E作，

∵，∴，∴，，∴，∵，∴；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作，∵，∴，∴，，∴，∵平分，平分，，，∴，，∴；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)F作，∵，∴，∴，，∴，∵平分，平分，，，∴，，∴，∴的補(bǔ)角．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，角平分線的定義，熟練的利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．25．（2023下·重慶潼南·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，直線，直線、及直線把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六個(gè)部分，點(diǎn)是其中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、，觀察、、三個(gè)角規(guī)定：直線、、上的各點(diǎn)不屬于①、②、③、④、⑤、⑥六個(gè)部分中的任何一個(gè)部分．(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在第①部分時(shí)圖，可得：，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在第②部分時(shí)圖，、、之間的關(guān)系是怎樣的？請(qǐng)直接寫(xiě)出、、之間滿足的關(guān)系式，并說(shuō)明理由．(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在第③部分時(shí)，、、之間的關(guān)系是怎樣的？請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)，詳見(jiàn)解析(3)【分析】（1）首先過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出即可；（2）首先過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出即可；（3）過(guò)點(diǎn)向右作，根據(jù)平行公理可得，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)用表示出，用表示出，然后結(jié)合圖形整理即可得解．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，，，，，；（2），理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，，，，，；；（3）點(diǎn)在第③部分時(shí)，過(guò)點(diǎn)向右作，則，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，兩直線平行，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，內(nèi)錯(cuò)角相等．26．（2023下·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度數(shù)．（1）麗麗同學(xué)看過(guò)圖形后立即口答出：∠APC＝85°，請(qǐng)補(bǔ)全她的推理依據(jù)．如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因?yàn)椤螾AB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．問(wèn)題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行（或平行公理推論），兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2），理由見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填寫(xiě)即可；（2）過(guò)P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）畫(huà)出圖形（分兩種情況①點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，②點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）因?yàn)椤螾AB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖3所示，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，如圖4所示：過(guò)P作PE∥AD交CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β-∠α；當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線時(shí)，如圖5所示：同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α-∠β．綜上所述，∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系為：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定定理，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．附加題（不計(jì)入總分）1．（2023下·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)G在上．

(1)如圖1，在、上分別取點(diǎn)M、N，連接，點(diǎn)F在上，已知平分，平分，若，，求，的度數(shù)．(2)如圖2，平分，平分，反向延長(zhǎng)交于K，設(shè)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，用含x的代數(shù)式表示．(3)如圖3，已知，，平分，平分，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系_________________【答案】(1)；(2)(3)（或）【分析】（1）作，可得，再利用角平分線求出結(jié)果；（2）設(shè)，求出，再利用角平分線及平行的性質(zhì)求得，最后根據(jù)即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)作，由角平分線求得、，最后利用整理式子即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖，作，，，，，，平分，，平分，，；

（2）如圖，設(shè)交于點(diǎn)M，平分，設(shè)，則，由（1）得，，，平分，，，，，在中，；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，，，平分，平分，，，，，，．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平行線的拐角問(wèn)題，角平分線的性質(zhì)，掌握輔助線的作法是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023下·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，點(diǎn)M在射線之間，，連接，過(guò)點(diǎn)M作交射線于點(diǎn)E，且．

(1)求證：；(2)過(guò)點(diǎn)C作，交直線于點(diǎn)N，先按要求畫(huà)圖，再解決下列問(wèn)題．①當(dāng)在上方，滿足時(shí)，在圖2中畫(huà)圖，求的度數(shù)；②作的角平分線交射線于點(diǎn)K，交的角平分線于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系______．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①；②或【分析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由垂直的定義得到，則可證明，由此可得；（2）①由三角形外角的性質(zhì)可得，再由建立方程求解即可；②分當(dāng)在上方時(shí)，當(dāng)在下方時(shí)，根據(jù)角度之間的關(guān)系用表示出，再據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可推出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；

（2）解：①∵，∴，∵，∴，∴②如圖所示，當(dāng)在上方時(shí)，∵，，∴，∵平分，∴，∴，同理可得，∵，∴，∴，又∵，∴，∴；

如圖所示，當(dāng)在下方時(shí)，同理可得，∴，∴，∴，同理可得，∵，∴，∴∴；綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是課上老師呈現(xiàn)的一個(gè)問(wèn)題：已知：如圖，于點(diǎn)交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．

下面提供三種思路：思路一：過(guò)點(diǎn)作（如圖甲）；思路二：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)；思路三：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．

解答下列問(wèn)題：(1)根據(jù)思路一（圖甲），可求得的度數(shù)為_(kāi)_______；(2)根據(jù)思路二、三分別在圖乙和圖丙中作出符合要求的輔助線；(3)請(qǐng)你從思路二、思路三中任選其中一種，寫(xiě)出求度數(shù)的解答過(guò)程．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，可得，從而得到、，即可求解；（2）根據(jù)題意作圖即可；（3）過(guò)點(diǎn)G作，根據(jù)題意可求出，根據(jù)平角的定義可得，然后即可求出答案；過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂直的定義即可求解【詳