福建省福州市福建匠心恒一教育科技有限公司2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考（10月）數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高三第一次月考數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘；試卷滿分：150分第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1．已知集合,則（）A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù),則（）A．B．C．D．3．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A．B．C．D．4．設(shè),則a,b,c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．5．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．D．6．函數(shù)的圖象大致是（）A．B．C．D．7．若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)滿足則（）A．B．C．D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增若，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A．B．0C．1D．210．已知函數(shù),則（）A．1是的極小值點(diǎn)B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．有3個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，11．已知函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為和都是奇函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．C．D．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)___________．13．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí)，,則方程在內(nèi)的所有根之和為_(kāi)__________．14．已知函數(shù)．若過(guò)點(diǎn)可以作曲線三條切線，則m的取值范圍是___________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線平行于x軸．（1）求實(shí)數(shù)a；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．16．已知的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且．（1）求A；（2）若的角平分線與交于點(diǎn),求．17．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若,求曲線在處的切線方程；（3）當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．18．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．19．若函數(shù)在上存在,使得,則稱是上的“雙中值函數(shù)”，其中稱為在上的中值點(diǎn)．（1）判斷函數(shù)是否是上的“雙中值函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）已知函數(shù),存在,使得,且是上的“雙中值函數(shù)”，是在上的中值點(diǎn)．①求a的取值范圍；②證明：．

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高三第一次月考參考數(shù)學(xué)答案題號(hào)12345678910答案CDDDBABBCDAB題號(hào)11答案ABD1．C【分析】利用兩集合的交集定義即得．【詳解】由題意,則．故選：C．故選：C2．D【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，再求出復(fù)數(shù)的模．【詳解】復(fù)數(shù),則，所以．故選：D3．D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性先排除AB選項(xiàng)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性選擇正確答案．【詳解】對(duì)A:因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B:,所以函數(shù)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C:根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在不具有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；對(duì)D:函數(shù)的定義域?yàn)?故函數(shù)為奇函數(shù)，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．故選：D4．D【分析】根據(jù)指數(shù)以及對(duì)數(shù)的單調(diào)性即可求解．【詳解】因?yàn)?所以,因?yàn)?所以．因?yàn)椋?所以．故選：D5．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可．【詳解】,若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，故在上恒成立，故．故選：B6．A【分析】求出函數(shù)的零點(diǎn)排除兩個(gè)選項(xiàng)，再求出函數(shù)的極大值，結(jié)合圖形即可判斷得解．【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?由,得或,即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)0,2，BC錯(cuò)誤；,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在處取得極大值，D錯(cuò)誤，A符合題意．故選：A7．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由此可知該函數(shù)在區(qū)間上也為增函數(shù)，且有,進(jìn)而可得出關(guān)于a的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由于該函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，所以,解得．因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)，同時(shí)也考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題．8．B【分析】依據(jù)題意先賦值代入等量關(guān)系式求出,再賦值得,進(jìn)而依據(jù)此計(jì)算規(guī)則逐步求出,即求出是周期為6的周期函數(shù)，再依據(jù)此計(jì)算規(guī)則結(jié)合和求出,進(jìn)而結(jié)合周期即可求解．【詳解】取代入,得即,由題解得,令代入得,故，所以是周期為6的周期函數(shù)，又,所以，所以，故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：依次賦值和代入分別得到和,再依據(jù)所得條件推出即函數(shù)周期為6和，進(jìn)而根據(jù)周期性和即可求解．9．CD【分析】先利用函數(shù)是奇函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)?再利用函數(shù)在R上單調(diào)遞增，將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)?求解即可．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，則不等式,可變形為,因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，則不等式成立，則,解得，1,2符合題意，故選：CD．10．AB【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值點(diǎn)判斷選項(xiàng)A；通過(guò)證明得函數(shù)圖象的對(duì)稱點(diǎn)判斷選項(xiàng)B;利用函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理判斷選項(xiàng)C;利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小判斷選項(xiàng)D．【詳解】對(duì)于A,函數(shù),令,解得或,故當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí),則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故1是的極小值點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B,因?yàn)?所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C,,易知的單調(diào)性一致，而,故有2個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,當(dāng)時(shí)，,而在上單調(diào)遞增，故,故D錯(cuò)誤．故選：AB．11．ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象變換判斷A的真假，根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性，結(jié)合換元思想判斷B的真假；結(jié)合函數(shù)的周期性及特殊點(diǎn)的函數(shù)值，可判斷CD的真假．【詳解】對(duì)于A:把的圖象向左平移1個(gè)單位，可得的圖象，又為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B:由為奇函數(shù)，則,又為的導(dǎo)函數(shù)，所以,即,則,又為奇函數(shù)，所以,即．由上得,故,故,即,即是奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C:由于,故,即,故4是的一個(gè)周期，又,即,所以為周期為4的周期函數(shù)，因?yàn)?令可得,即,所以,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D:因?yàn)槭荝上的奇函數(shù)，故,結(jié)合得，，故,故D正確．故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，則,兩邊求導(dǎo)，可得,所以為偶函數(shù)．即奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)；（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，則,兩邊求導(dǎo)，可得,所以為奇函數(shù)．即偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．12．【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，即可列關(guān)系式求解．【詳解】定義域?yàn)镽,,所以,故,故答案為：13．12【分析】結(jié)合已知條件畫出圖象，由與圖象交點(diǎn)的特征求得方程在內(nèi)的所有根之和．【詳解】因?yàn)?所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又函數(shù)在R為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，,由此畫出在區(qū)間上的圖象如下圖所示．，由圖可知，與圖象的4個(gè)交點(diǎn)，其中兩個(gè)關(guān)于直線對(duì)稱，兩個(gè)關(guān)于直線對(duì)稱，所以方程在內(nèi)的所有根之和為．故答案為：1214．【分析】切點(diǎn)為，則求導(dǎo)后可得斜率，設(shè)切線為：，可得,設(shè)，求,利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，切線的條數(shù)即為直線與圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合圖像即可得出答案．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為．由可得，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以在點(diǎn)處的切線為：,因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn),所以，即,即這個(gè)方程有三個(gè)不等根即可，切線的條數(shù)即為直線與圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，設(shè)，則由可得,由可得：或,所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)x趨近于正無(wú)窮，趨近于0，當(dāng)x趨近于負(fù)無(wú)窮，趨近于正無(wú)窮，的圖像如下圖，且，要使與的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，則．15．（1）1（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，依題意只需使即可求得實(shí)數(shù)a;（2）利用（1）寫出函數(shù)解析式，求導(dǎo)并分解因式，在定義域內(nèi)分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即得單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的極值．【詳解】（1）由可得：，由題意，,解得;（2）由（1）得,則,當(dāng)時(shí)，,則在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)．故時(shí)，函數(shù)有極小值為,無(wú)極大值．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，函數(shù)有極小值為,無(wú)極大值．16．（1）．（2）【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及三角恒等變換公式求解；（2）利用等面積法以及余弦定理即可求解．【詳解】（2）解法一：如圖，由題意得，,所以,即，又,所以,所以,即,所以．解法二：如圖，中，因?yàn)?，由余弦定理得，，所?所以，所以，所以,所以．17．（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）答案見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案；（2）由題意的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案．【詳解】（1）,當(dāng)時(shí)，恒成立，故在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令,解得,所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由,則,得,曲線在處的切線的斜率為故曲線在處的切線的方程為,即;（3）由于，即，即的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可看作直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)同題；令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨向于負(fù)無(wú)窮，當(dāng)x趨向于正無(wú)窮時(shí)，趨向于0，作出函數(shù)的圖象如圖：當(dāng)，即時(shí)，直線與曲線中的有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，直線與曲線的有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，直線與曲線中的無(wú)交點(diǎn)，故時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2；時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1；時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是0；18．（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)得，對(duì)a分和來(lái)討論的單調(diào)性即可；（2）要證,只需證,結(jié)合（1）的結(jié)論得，即證恒成立．令,利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可得證．【詳解】（1）,定義域?yàn)椋瑒t,①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，在上單調(diào)遞減．綜上，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，要證,只需證,由（1）得，，即證恒成立．令,則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，的最大值為，即．恒成立，原命題得證．19．（1）是上的“雙中值函數(shù)”，理由見(jiàn)解析（2）①；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)直接計(jì)算解方程即可；（2）①根據(jù)定義知,利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及最值計(jì)算范圍即可；②根據(jù)條件先轉(zhuǎn)化問(wèn)題為,構(gòu)造差函數(shù),利用多次求導(dǎo)判定其單調(diào)性去函數(shù)符號(hào)即可證明．【詳解】（1）函數(shù)是上的“雙中值函數(shù)”．理由如下：因?yàn)?所以．因?yàn)?所以令,得,即,解得．因?yàn)?所以是上的“雙中值函數(shù)”．（2）①因?yàn)?所以．因?yàn)槭巧系摹半p中值函數(shù)”，所以．由題意可得．設(shè),則．當(dāng)時(shí)，,則為減函數(shù)，即為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，,則為增函數(shù)，即為增函數(shù)，故．因?yàn)?所以