新高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)+題型專項(xiàng)千題百練(新高考適用)專題15數(shù)列構(gòu)造求解析式必刷100題(原卷版+解析)

專題15數(shù)列構(gòu)造求解析式必刷100題任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))1-30題一、單選題1．?dāng)?shù)列中，，，則（）A．32 B．62 C．63 D．642．在數(shù)列中，，且，則的通項(xiàng)為（）A． B．C． D．3．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，則a20的值是（）A．4 B．4C．4 D．44．設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，則通項(xiàng)an可能是（）A．5－3n B．3·2n－1－1C．5－3n2 D．5·2n－1－35．已知數(shù)列滿足：，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列滿足：，，則（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系，，則（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列滿足：，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．11．?dāng)?shù)列滿足，且，若，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．612．已知數(shù)列滿足，，則滿足不等式的（為正整數(shù)）的值為（）．A．3 B．4 C．5 D．613．在數(shù)列中，，，若，則的最小值是（）A．9 B．10 C．11 D．1214．已知數(shù)列滿足，且，則的第項(xiàng)為（）A． B． C． D．15．?dāng)?shù)列中，若，，則該數(shù)列的通項(xiàng)（）A． B． C． D．16．已知數(shù)列滿足，且，，則數(shù)列前6項(xiàng)的和為（）.A．115 B．118 C．120 D．128第II卷（非選擇題）二、填空題17．已知數(shù)列滿足，則__________．18．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．19．已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．20．若正項(xiàng)數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是_______．21．若數(shù)列滿足，，，且，則______．22．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則___．23．在數(shù)列中，，，，則________.三、解答題24．已知數(shù)列滿足，.（1）若數(shù)列滿足，求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.25．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，．求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；26．已知數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；27．已知列滿足，且，．（1）設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；28．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）已知，，設(shè)___________，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.在①，②，③，這3個(gè)條件中，任選一個(gè)解答上述問(wèn)題.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按照第一個(gè)解答計(jì)分.29．設(shè)數(shù)列滿足，且，.（1）求，的值；（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是：，，中的一個(gè)，判斷的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和.30．已知數(shù)列滿足，，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求的最小值.任務(wù)二:中立模式(中檔)1-50題一、單選題1．已知數(shù)列滿足，記數(shù)列前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列滿足，，設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．4．設(shè)數(shù)列滿足，若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．5．?dāng)?shù)列滿足，，若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A．64 B．80 C． D．6．已知數(shù)列滿足，且，，則（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿足，，若，當(dāng)時(shí)，的最小值為（）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列各項(xiàng)均是正數(shù)，，，函數(shù)在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）．①；②數(shù)列是等比數(shù)列；③數(shù)列是等比數(shù)列；④．A．1 B．2 C．3 D．49．已知數(shù)列滿足，，若，，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．10．已知數(shù)列滿足，.若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則中最小的一項(xiàng)是（）A． B． C． D．12．已知數(shù)列，，則（）A． B． C． D．13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足，若，，，則的最小值為（）A． B． C． D．014．?dāng)?shù)列滿足，那么的值為（）．A．4 B．12 C．18 D．3215．已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．16．若數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則的值為（）A．1980 B．2000 C．2020 D．202117．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（），則的最小值為A． B． C． D．18．已知數(shù)列的首項(xiàng)，則（）A．7268 B．5068 C．6398 D．402819．已知在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．20．如果數(shù)列滿足，，且，則這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)等于（）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）二、填空題21．已知數(shù)列滿足，且，則的通項(xiàng)公式_______________________.22．設(shè)數(shù)列滿足，，，數(shù)列前n項(xiàng)和為，且（且）．若表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為_(kāi)__________．23．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式___________.24．設(shè)數(shù)列滿足，，，數(shù)列前n項(xiàng)和為，且（且）．若表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為_(kāi)__________．25．已知數(shù)列中，，設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式________．26．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____.27．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.28．已知數(shù)列中，，且滿足，若對(duì)于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的最小值是_________.29．在數(shù)列中，，且，則______.(用含的式子表示)30．若數(shù)列滿足，且，則________.31．在數(shù)列中，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則為_(kāi)__________.32．若數(shù)列滿足，，則使得成立的最小正整數(shù)的值是______.33．已知數(shù)列滿足，，則________.34．已知數(shù)列{an}滿足（n∈N*），且a2=6，則{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)____.35．設(shè)數(shù)列滿足，，，，則______.36．已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的首項(xiàng)的取值范圍為_(kāi)__________.37．?dāng)?shù)列滿足，（，），則______.38．已知數(shù)列滿足，，則通項(xiàng)公式_______.39．?dāng)?shù)列滿足：，，，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________．40．?dāng)?shù)列滿足,記,則數(shù)列的前項(xiàng)和________．三、解答題41．已知在數(shù)列中，，且.（1）求，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）求的值.42．已知Sn＝4－an－，求an與Sn.43．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的公差；（2）數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．44．已知數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）數(shù)列滿足的，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.45．?dāng)?shù)列，的每一項(xiàng)都是正數(shù)，，，且，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列，的值．（2）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式．（3）記，記的前n項(xiàng)和為，證明對(duì)于正整數(shù)n都有成立．46．已知數(shù)列滿足，其中.（1）求證是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若對(duì)任意的恒成立，求p的最小值.47．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足.（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.48．已知數(shù)列{an}滿足a1＝，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，點(diǎn)(2Sn＋an，Sn＋1)在的圖象上．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若cn＝n，Tn為cn的前n項(xiàng)和，n∈N*，求Tn.49．已知數(shù)列{an}滿足a1a2…an＝1an．（1）求證數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)Tn＝a1a2……an，bn＝an2Tn2，證明：b1+b2+…+bn＜．50．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明．任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-20題一、單選題1．?dāng)?shù)列滿足，，，設(shè)，記表示不超過(guò)的最大整數(shù)．設(shè)，若不等式，對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列前36項(xiàng)和為（）A．174 B．672 C．1494 D．59043．已知數(shù)列，滿足.若，的值是（）A．4 B．5 C．6 D．74．已知數(shù)列由首項(xiàng)及遞推關(guān)系確定.若為有窮數(shù)列，則稱a為“壞數(shù)”.將所有“壞數(shù)”從小到大排成數(shù)列，若，則（）A． B．C． D．5．為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，對(duì)任意大于2的正整數(shù)，有恒成立，則使得成立的正整數(shù)的最小值為（）A．7 B．6 C．5 D．46．?dāng)?shù)列中，，，則（）A． B． C． D．7．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是6和的等差中項(xiàng)．若對(duì)任意的，都有，則的最小值為（）．A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列滿足，，，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．?dāng)?shù)列滿足，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足B．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足C．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足D．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足10．已知，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．第II卷（非選擇題）二、填空題11．兩個(gè)數(shù)列?滿足，，，（其中），則的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________.12．已知數(shù)列滿足，則________13．設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，數(shù)列滿足，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則__________．14．已知數(shù)列中的分別為直線在軸、軸上的截距，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)____________．15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，則為_(kāi)_________．三、解答題16．已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列滿足：，，求證：．17．(1)已知數(shù)列，其中，，且當(dāng)時(shí)，，求通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列中，，，，求．18．設(shè)二次函數(shù)滿足：（i）的解集為；（ii）對(duì)任意都有成立.數(shù)列滿足：，，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）求證：19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，，證明：對(duì)任意的整數(shù)，有.20．已知數(shù)列中，，.（1）求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列，滿足.（i）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（ii）若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.專題15數(shù)列構(gòu)造求解析式必刷100題任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))1-30題一、單選題1．?dāng)?shù)列中，，，則（）A．32 B．62 C．63 D．64【答案】C【分析】把化成，故可得為等比數(shù)列，從而得到的值.【詳解】數(shù)列中，，故，因?yàn)椋?，故，所以，所以為等比?shù)列，公比為，首項(xiàng)為.所以即，故，故選C.2．在數(shù)列中，，且，則的通項(xiàng)為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】依題意可得，即可得到是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：∵，∴，由，得，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，即．故選：A3．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，則a20的值是（）A．4 B．4C．4 D．4【答案】D【分析】首先證得{nan－(n－1)an－1}為常數(shù)列，得到，進(jìn)而證得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，所以nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan故數(shù)列{nan－(n－1)an－1}為常數(shù)列，且，所以，即，因此數(shù)列是以1為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，所以，因此所以a20＝.故選：D．4．設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，則通項(xiàng)an可能是（）A．5－3n B．3·2n－1－1C．5－3n2 D．5·2n－1－3【答案】D【分析】用構(gòu)造法求通項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，因?yàn)閍n＋1＝2an＋3，所以，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，所以故選：D5．已知數(shù)列滿足：，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)兩邊取倒數(shù)后，可以判斷是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，即可求得.【詳解】由數(shù)列滿足：，兩邊取倒數(shù)得：，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以故選:D6．已知數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，由等差數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)可得，即可得解.【詳解】令，則，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以.故選：D.7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得出數(shù)列是等比數(shù)列，然后可利用數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)仍然為等比數(shù)列，求得和．【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所以是等比?shù)列，公比為4，首項(xiàng)為3，則數(shù)列也是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為3．所以．故選：A．8．已知數(shù)列滿足：，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知關(guān)系求得數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得結(jié)論．【詳解】由題意，由得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，僅比為4，首項(xiàng)為4，所以．故選：C．9．已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由遞推式可得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，即?shù)列是以2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故選：D.10．已知數(shù)列滿足：，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取倒數(shù)，可得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由此可得結(jié)論.【詳解】∵∴，∴，∵∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，∴.故選：B.11．?dāng)?shù)列滿足，且，若，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】依題意，得，可判斷出數(shù)列{2nan}為公差是1的等差數(shù)列，進(jìn)一步可求得21a1=2，即其首項(xiàng)為2，從而可得an=，繼而可得答案．【詳解】∵，即，∴數(shù)列{2nan}為公差是1的等差數(shù)列，又a1=1，∴21a1=2，即其首項(xiàng)為2，∴2nan=2+（n﹣1）×1=n+1，∴an=．∴a1=1，a2=，a3=，a4=＞，a5==＜=，∴若，則n的最小值為5，故選C．12．已知數(shù)列滿足，，則滿足不等式的（為正整數(shù)）的值為（）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】先求得的通項(xiàng)公式，然后解不等式求得的值.【詳解】依題意，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，由得，即，即，，而在上遞減，所以由可知.故選：D13．在數(shù)列中，，，若，則的最小值是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，即求.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.則，即.因?yàn)椋?，所以，所?故選：C14．已知數(shù)列滿足，且，則的第項(xiàng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】在等式兩邊取倒數(shù)，可推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可求得.【詳解】當(dāng)且，在等式兩邊取倒數(shù)得，，且，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，因此，.故選：A.15．?dāng)?shù)列中，若，，則該數(shù)列的通項(xiàng)（）A． B． C． D．【答案】A【分析】據(jù)遞推關(guān)系式可得，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，故，故選：A16．已知數(shù)列滿足，且，，則數(shù)列前6項(xiàng)的和為（）.A．115 B．118 C．120 D．128【答案】C【分析】由題干條件求得，得到，構(gòu)造等比數(shù)列可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求得數(shù)列前6項(xiàng)的和.【詳解】，則，可得，可化為，有，得，則數(shù)列前6項(xiàng)的和為.故選：C第II卷（非選擇題）二、填空題17．已知數(shù)列滿足，則__________．【答案】【分析】先判斷出是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，即可得到，從而求出.【詳解】因?yàn)?，所以，由，所以為首?xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：18．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．【答案】【分析】因式分解可得，結(jié)合，即得解【詳解】由，得．又，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．故答案為：19．已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．【答案】【分析】利用條件構(gòu)造數(shù)列，可得數(shù)列為等差數(shù)列即求.【詳解】∵，∴，即．又，，∴數(shù)列是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式．故答案為：.20．若正項(xiàng)數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是_______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件將原等式變形成，再利用構(gòu)造成基本數(shù)列的方法求解即得.【詳解】在正項(xiàng)數(shù)列中，，則有，于是得，而，因此得：數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則有，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.故答案為：21．若數(shù)列滿足，，，且，則______．【答案】15【分析】根據(jù)題意整理可得，所以為常數(shù)列，令即可得解.【詳解】由可得，兩邊同除可得，故數(shù)列為常數(shù)列，所以，所以，解得.故答案為：1522．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則___．【答案】【分析】由給定條件借助消去，求出即可得解.【詳解】因，，而，則，于是得，又，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，從而有，即，，時(shí)，，而滿足上式，所以，.故答案為：23．在數(shù)列中，，，，則________.【答案】460【分析】由已知可得，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由此可求出的通項(xiàng)公式，得出所求.【詳解】，，即,所以，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，.故答案為：460.三、解答題24．已知數(shù)列滿足，.（1）若數(shù)列滿足，求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由遞推公式可得，即，即可得證；（2）由（1）可得，再利用分組求和法及等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得；（1）解：因?yàn)?，所以，又，，所以，即，，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）解：由（1）可得，即，所以所以25．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，．求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；【答案】，【分析】利用求通項(xiàng)公式，構(gòu)造是等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式即可；【詳解】解：數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，顯然也適合上式．所以；因?yàn)閿?shù)列滿足，．所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．故，所以.26．已知數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】【分析】首先證得是等差數(shù)列，然后求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；【詳解】解：因?yàn)椋粤?，則，解得，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得，又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以；27．已知列滿足，且，．（1）設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)遞推式得，根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)論得證.（2）由（1）直接寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可.【詳解】（1）由題設(shè)知：，且，∴是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，又，則數(shù)列為等差數(shù)列，得證.（2）由（1）知：.28．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）已知，，設(shè)___________，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.在①，②，③，這3個(gè)條件中，任選一個(gè)解答上述問(wèn)題.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按照第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求，從而可求的通項(xiàng).（2）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，從而可得為常數(shù)列，據(jù)此可求的通項(xiàng)，從而可求相應(yīng)的的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，故，故，而，故即，所以等差數(shù)列的公差為1，所以.（2）因此，故，所以，所以為常數(shù)列，所以，所以，若選①，則；若選②，則；若選③，則.29．設(shè)數(shù)列滿足，且，.（1）求，的值；（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是：，，中的一個(gè)，判斷的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2），.【分析】（1）由遞推公式得，結(jié)合已知是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求，的值；（2）由（1）得，再應(yīng)用分組求和及等差、等比前n項(xiàng)和公式求.【詳解】（1）∵，即且，∴是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，即，∴，則，.（2）設(shè)，由（1）知，又.∴，.30．已知數(shù)列滿足，，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）構(gòu)造，結(jié)合已知條件可知是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再應(yīng)用累加法有，即可求的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知：，易知在上恒成立，且數(shù)列單調(diào)遞增，即可求其最小值.【詳解】（1）令，則，而，∴是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，即，∴，又，∴.（2）由題設(shè)，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故且在上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時(shí)，的最小值.任務(wù)二:中立模式(中檔)1-50題一、單選題1．已知數(shù)列滿足，記數(shù)列前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，利用累加法可求得，求得的范圍，從而可得的范圍，從而可得出答案.【詳解】解：由可得，化簡(jiǎn)得，累加求和得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋?，即，．，，所以，即．故選：B.2．已知數(shù)列滿足，，設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將遞推關(guān)系式整理為，可知數(shù)列為等差數(shù)列，借助等差數(shù)列通項(xiàng)公式可整理求得，從而得到的通項(xiàng)公式；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可采用分離變量法得到，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】由得：．，即，是公差為的等差數(shù)列．，，，．是遞減數(shù)列，，，即，即．只需，令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，，當(dāng)時(shí)，，即，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B．3．已知在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解:因?yàn)?，，所以，整理得，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以，解得．故選：A4．設(shè)數(shù)列滿足，若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)的遞推關(guān)系求出的通項(xiàng)公式，代入的表達(dá)式中，求出的通項(xiàng)，即可求解的前項(xiàng)和【詳解】由可得,∵,∴,則可得數(shù)列為常數(shù)列，即,∴∴,∴.故選:D5．?dāng)?shù)列滿足，，若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A．64 B．80 C． D．【答案】C【分析】由已知可得，即數(shù)列是等差數(shù)列，由此求出，分別令可求出.【詳解】數(shù)列滿足，，則，可得數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，即有，即為，則，則.故選：C.6．已知數(shù)列滿足，且，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，從而得數(shù)列以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)，可化為，從而即可求得答案.【詳解】由可得，若，則，與題中條件矛盾，故，所以，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選：A．7．已知數(shù)列滿足，，若，當(dāng)時(shí)，的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將已知遞推關(guān)系式變形可得，由此可知數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可取得，進(jìn)而得到；由可上下相消求得，結(jié)合解不等式可求得的最小值.【詳解】由得：，，，即，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，則，，由得：，又，且，的最小值為.故選：C.8．?dāng)?shù)列各項(xiàng)均是正數(shù)，，，函數(shù)在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）．①；②數(shù)列是等比數(shù)列；③數(shù)列是等比數(shù)列；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，整理得到，利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)，即可判斷；【詳解】解：由得，所以，∴（*），①，，，，∴，正確；②由（*）知，∴首項(xiàng)，，∴是等比數(shù)列，正確；③，首項(xiàng)，不符合等比數(shù)列的定義，錯(cuò)誤；④由②對(duì)可知：，兩邊同除得，令，∴，．∴，，即數(shù)列是恒為0的常數(shù)列．∴，故錯(cuò)誤．故選：B．9．已知數(shù)列滿足，，若，，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】由數(shù)列遞推式得到是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式后代入，當(dāng)時(shí)，，且求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由得，則由，得，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，由，得，因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以時(shí)，，，即，所以，又∵，，由，得，得，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.10．已知數(shù)列滿足，.若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（）A． B． C． D．【答案】C【分析】變形為可知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，求出后代入到可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以.故選：C.11．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則中最小的一項(xiàng)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化條件為，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，即，所以，，，當(dāng)時(shí)，，所以中最小的一項(xiàng)是.故選：B.12．已知數(shù)列，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，進(jìn)而可求得的值.【詳解】由可得，，根據(jù)遞推公式可得出，，，進(jìn)而可知，對(duì)任意的，，在等式兩邊取對(duì)數(shù)可得，令，則，可得，則，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，，即.故選：B.13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足，若，，，則的最小值為（）A． B． C． D．0【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化條件為，由等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式可得，求得滿足的項(xiàng)后即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以，令，解得，所以，其余各項(xiàng)均大于0，所以.故選：A.14．?dāng)?shù)列滿足，那么的值為（）．A．4 B．12 C．18 D．32【答案】D【分析】首先根據(jù)題中所給的數(shù)列的遞推公式，得到，從而得到數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，將代入求得結(jié)果.【詳解】由可得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以，故選：D.15．已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得即數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，從而得到，再用錯(cuò)位相減法求和，即可得解；【詳解】解：由，所以，得.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.設(shè)的前項(xiàng)和為，則，兩邊同乘2，得，兩個(gè)式子相減得，所以，所以.故選：A16．若數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則的值為（）A．1980 B．2000 C．2020 D．2021【答案】A【分析】由條件可得，從而數(shù)列是首項(xiàng)為21，公差為1的等差數(shù)列，由，可得，得出的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步得出答案.【詳解】∵，∴，∴，所以數(shù)列是首項(xiàng)為21，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴.，故選：A.17．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（），則的最小值為A． B． C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系,將轉(zhuǎn)換為的遞推公式,繼而構(gòu)造數(shù)列求出,再得到關(guān)于的表達(dá)式,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得的增減性求解即可.【詳解】由題,當(dāng)時(shí),,整理得,即數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.所以,故.所以,令函數(shù),則.故數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列,當(dāng)時(shí),有最小值.故選：B18．已知數(shù)列的首項(xiàng)，則（）A．7268 B．5068 C．6398 D．4028【答案】C【分析】由得，所以構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，算出，求出.【詳解】易知，因?yàn)?，所以，即，是?為公差，以2為首項(xiàng)的等差數(shù)列.所以，即.故選：C19．已知在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】遞推關(guān)系式乘以，再減去3，構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，，所以，整理得，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以，解得.故選：A.20．如果數(shù)列滿足，，且，則這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)條件知，所以，由此能夠得到為等差數(shù)列，從而得到第10項(xiàng)的值．【詳解】解：，，，，即為等差數(shù)列．，，，為以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．，．故選：．第II卷（非選擇題）二、填空題21．已知數(shù)列滿足，且，則的通項(xiàng)公式_______________________.【答案】【分析】由已知條件可得，從而有是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可得，最后利用累加法及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】解：由,得，則，由得，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以，故答案為：.22．設(shè)數(shù)列滿足，，，數(shù)列前n項(xiàng)和為，且（且）．若表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為_(kāi)__________．【答案】2023【分析】根據(jù)遞推公式，可知從第2項(xiàng)起是等差數(shù)列，可得，再根據(jù)累加法，可得，由此可得當(dāng)時(shí)，，又，由此即可求出.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，從第2項(xiàng)起是等差數(shù)列.又，，，，，當(dāng)時(shí)，，（），當(dāng)時(shí)，.又，.故答案為：202323．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式___________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造，可得是公比為的等比數(shù)列，即，再由累加法以及分組求和即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因此，因?yàn)椋?，所以，故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，，，，，，以上各式累加可得：，因?yàn)?，所以；又符合上式，所?故答案為：.24．設(shè)數(shù)列滿足，，，數(shù)列前n項(xiàng)和為，且（且）．若表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為_(kāi)__________．【答案】2023【分析】根據(jù)遞推公式，可知從第2項(xiàng)起是等差數(shù)列，可得，再根據(jù)累加法，可得，由此可得當(dāng)時(shí)，，又，由此即可求出.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，從第2項(xiàng)起是等差數(shù)列.又，，，，，當(dāng)時(shí)，，（），當(dāng)時(shí)，.又，.故答案為：2023.25．已知數(shù)列中，，設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式________．【答案】【分析】首先判斷是等比數(shù)列，并求得其通項(xiàng)公式，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】依題意，則，兩邊取倒數(shù)并化簡(jiǎn)得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.故答案為：26．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____.【答案】【分析】將已知遞推關(guān)系式變形為，令，采用倒數(shù)法可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得后，整理可得所求通項(xiàng)公式.【詳解】由得：，設(shè)，則有，即，又，數(shù)列是以，為公差的等差數(shù)列，，，即，.故答案為：.27．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.【答案】【分析】由，可得，設(shè)，即，先求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到答案.【詳解】由，可得，設(shè)則，則所以是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.則，則，所以故答案為：28．已知數(shù)列中，，且滿足，若對(duì)于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的最小值是_________.【答案】2【分析】將已知等式化為，根據(jù)數(shù)列是首項(xiàng)為3公差為1的等差數(shù)列，可求得通項(xiàng)公式，將不等式化為恒成立，求出的最大值即可得解.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，所以，而，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3公差為1的等差數(shù)列，故，從而.又因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，所?由得，得，所以，所以，即實(shí)數(shù)的最小值是2.故答案為：229．在數(shù)列中，，且，則______.(用含的式子表示)【答案】【分析】將條件變形為，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，然后可算出答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以所以.故答案為：30．若數(shù)列滿足，且，則________.【答案】【分析】由題意結(jié)合數(shù)列的遞推公式，逐步運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，?shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，則通項(xiàng)，可得：，則.故答案為：.31．在數(shù)列中，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則為_(kāi)__________.【答案】【分析】將化為，再由等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式?求和公式，可得所求和.【詳解】解：由，，可得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)?2為公差的等差數(shù)列，所以，由，.故答案為：.32．若數(shù)列滿足，，則使得成立的最小正整數(shù)的值是______.【答案】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可證得數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得，代入不等式，結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】，，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，由得：，即，，且，滿足題意的最小正整數(shù).故答案為：.33．已知數(shù)列滿足，，則________.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化原式為，可得是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即得解【詳解】依題意，，故，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故，則.故答案為：34．已知數(shù)列{an}滿足（n∈N*），且a2=6，則{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)____.【答案】【分析】由題意令n=1可得a1，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化條件可得，進(jìn)而可得，即可得解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列{an}滿足（n∈N*），所以，①當(dāng)n=1時(shí)，即a1=1，②當(dāng)時(shí)，由可得，∴數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始是常數(shù)列，又，∴，∴，又滿足上式，∴.故答案為：.35．設(shè)數(shù)列滿足，，，，則______.【答案】【分析】由題意可得，，化簡(jiǎn)整理得，令，可得，由此可得，從而可求出答案．【詳解】解：∵，，∴當(dāng)時(shí)，，即，∴，∴，令，則，且，∴，又，∴，即，∴，故答案為：．36．已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的首項(xiàng)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用構(gòu)造法求得，由可得出，可得，進(jìn)而可求得的取值范圍.【詳解】，.若，得，可知，此時(shí)，，數(shù)列是遞減數(shù)列，不合乎題意；若，得，則數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，所以，，則，，且，即，整理得，，則，易知數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則，解得.因此，數(shù)列的首項(xiàng)的取值范圍為.故答案為：.37．?dāng)?shù)列滿足，（，），則______.【答案】【分析】利用項(xiàng)和轉(zhuǎn)換，得到，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，可得，再借助，即得解.【詳解】由于，即故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列由于故答案為：38．已知數(shù)列滿足，，則通項(xiàng)公式_______.【答案】【分析】先取倒數(shù)可得,即,由等比數(shù)列的定義可得時(shí),,即,再檢驗(yàn)時(shí)是否符合即可【詳解】由題,因?yàn)?所以,所以,當(dāng)時(shí),,所以,所以當(dāng)時(shí),,則,即,當(dāng)時(shí),,符合,所以,故答案為:39．?dāng)?shù)列滿足：，，，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________．【答案】【詳解】由遞推關(guān)系整理可得：，則：，據(jù)此可得：以上各式相加可得：，再次累加求通項(xiàng)可得：，當(dāng)時(shí)該式也滿足題意，綜上可得：，則：40．?dāng)?shù)列滿足,記,則數(shù)列的前項(xiàng)和________．【答案】【詳解】試題分析：由得，且，所以數(shù)列構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，從而得到，則，所以,,兩式相減，得所以.三、解答題41．已知在數(shù)列中，，且.（1）求，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）求的值.【答案】（1）-4，-15，證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）代值計(jì)算出，，根據(jù)遞推公式可得據(jù)，即可證明；（2）由（1）可知是以-2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；（3）分組求和，即可求出答案.（1）解：因?yàn)?，且所以，，∵，∴，∵，∴，且，∴?shù)列是等比數(shù)列，（2）解：由（1）可知是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，即，即；（3）解：.42．已知Sn＝4－an－，求an與Sn.【答案】an＝n·，n∈N*；Sn＝4－.【分析】由題得Sn＝4－an－，Sn－1＝4－an－1－，n≥2，兩式相減化簡(jiǎn)即得an與Sn.【詳解】∵Sn＝4－an－，∴Sn－1＝4－an－1－，n≥2，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－.∴an＝an－1＋∴，∴2nan－2n－1an－1＝2，∴{2nan}是等差數(shù)列，d＝2，首項(xiàng)為2a1.∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1，∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.∴an＝n·，n∈N*，∴Sn＝4－an－＝4－n·－＝4－.43．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的公差；（2）數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)，，成等比數(shù)列可得，利用表示出和，解方程組可求得，結(jié)合可得結(jié)果；（2）由（1）可得，整理得，可知數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到結(jié)果.（1）（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，成等比數(shù)列，，即，又，解得：或；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，，即等差數(shù)列的公差；（2）由（1）得：，，即，，又，解得：，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，整理可得：.44．已知數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）數(shù)列滿足的，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）將遞推公式兩邊取倒數(shù)，即可得到，從而得到，即可得證；（2）由（1）可得，從而得到，再利用錯(cuò)位相減法求和即可得到，即可得到，對(duì)一切恒成立，再對(duì)分奇偶討論，即可求出的取值范圍；（1）解：由，得∴，所以數(shù)列是以3為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列.（2）解：由（1）得，即.所以.兩式相減得:，∴因?yàn)椴坏仁綄?duì)一切恒成立，所以，對(duì)一切恒成立，因?yàn)閱握{(diào)遞增若為偶數(shù)，則，對(duì)一切恒成立，∴；若為奇數(shù)，則，對(duì)一切恒成立，∴，∴綜上：.45．?dāng)?shù)列，的每一項(xiàng)都是正數(shù)，，，且，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列，的值．（2）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式．（3）記，記的前n項(xiàng)和為，證明對(duì)于正整數(shù)n都有成立．【答案】（1）24；36；（2），；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】(1)由條件取特殊值求，；(2)由條件證明數(shù)列為等差數(shù)列，由此可求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(3)利用裂項(xiàng)相消法求，由此證明.【詳解】解：（1）由得，又得，（2）∵，，成等差數(shù)列，∴①，又∵，，成等比數(shù)列，∴，②當(dāng)時(shí)，③由②③代入①得，，∴是以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，∴則，時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證也符合，∴．（3）由（2）知，則成立．46．已知數(shù)列滿足，其中.（1）求證是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若對(duì)任意的恒成立，求p的最小值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；（2）最小值為1.【分析】（1）根據(jù)，可得，從而可得，即可得出結(jié)論，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），即，設(shè)，利用作差法證明數(shù)列單調(diào)遞減，從而可得出答案.【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.，∴.（2）解：∵，∴，即對(duì)任意的恒成立，而，設(shè)，∴，，∴，∴數(shù)列單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，∴.∴p的最小值為1.47．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足.（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；（2）.【分析】（1）由，化簡(jiǎn)得到，得出，利用等差數(shù)列的定義，得到數(shù)列表示首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，進(jìn)而求得.（2）由題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合裂項(xiàng)法，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，可得，即，可得，即，又由，可得，所以?shù)列表示首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.（2）由，則數(shù)列的前n項(xiàng)和：，即.48．已知數(shù)列{an}滿足a1＝，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，點(diǎn)(2Sn＋an，Sn＋1)在的圖象上．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若cn＝n，Tn為cn的前n項(xiàng)和，n∈N*，求Tn.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意得到，進(jìn)而證得數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，從而可以求出結(jié)果；（2）錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和即可.【詳解】（1）∵點(diǎn)(2Sn＋an，Sn＋1)在的圖象上，∴，∴.∵，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴，即,（2）∵,∴，①∴，②①－②得，∴.49．已知數(shù)列{an}滿足a1a2…an＝1an．（1）求證數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)Tn＝a1a2……an，bn＝an2Tn2，證明：b1+b2+…+bn＜．【答案】（1）證明見(jiàn)解析，an＝；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題設(shè)得，進(jìn)而構(gòu)造與的關(guān)系式，利用等差數(shù)列的定義證明結(jié)論，然后求a1，即可得an；（2）由（1）求得Tn與bn，再利用放縮法與裂項(xiàng)相消法證明結(jié)論．【詳解】（1）∵a1a2…an＝1an①，則a1a2…an+1＝1an+1②，∴兩式相除得：，整理得，∴，則，∴，又n＝1時(shí)有a1＝1a1，解得：，∴，∴數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴，即.（2）由（1）得：Tn＝a1a2…an＝，∴bn＝，∴b1+b2+…+bn＜，得證．50．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明．【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）先化簡(jiǎn)遞推公式，由等比數(shù)列的定義判斷出，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出；（2）由（1）和條件求出，利用作差法判斷出數(shù)列的單調(diào)性，可求出的最大值，再求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）由（1）化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求出，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出的單調(diào)性，結(jié)合的取值范圍求出的范圍，即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1）由已知，可得，所以．所以數(shù)列是為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．則，所以．（2）由（1）知，所以，所以，．，所以，所以則當(dāng)，，即，當(dāng)，，即，是最大項(xiàng)且，．（3），又令，顯然在時(shí)單調(diào)遞減，所以，故而．任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-20題一、單選題1．?dāng)?shù)列滿足，，，設(shè)，記表示不超過(guò)的最大整數(shù)．設(shè)，若不等式，對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并進(jìn)而用累加法求出的通項(xiàng)公式及的通項(xiàng)公式.最后利用裂項(xiàng)相消法將化簡(jiǎn)后取整，整理的最小值后得解【詳解】由題意得：，，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，又，，…，，，由累加法，；，，，，，，，，對(duì)恒成立，，則實(shí)數(shù)的最大值為.故選：C.2．已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列前36項(xiàng)和為（）A．174 B．672 C．1494 D．5904【答案】B【分析】由條件可得，由此求出數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)，再利用分組求和方法即可計(jì)算作答.【詳解】在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，于是得數(shù)列是常數(shù)列，則，即，因，，則，因此，，，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，于是得，所以數(shù)列前36項(xiàng)和為672.故選：B3．已知數(shù)列，滿足.若，的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)可知數(shù)列為等比數(shù)列，將代入后將其變形可知數(shù)列為等差數(shù)列，即可解得；將，代入即可解出答案.【詳解】因?yàn)?所以數(shù)列為以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以.，,所以數(shù)列為以3為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.所以..故選：C.4．已知數(shù)列由首項(xiàng)及遞推關(guān)系確定.若為有窮數(shù)列，則稱a為“壞數(shù)”.將所有“壞數(shù)”從小到大排成數(shù)列，若，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由得，所以數(shù)列為等差數(shù)列,則，求出數(shù)列，當(dāng)分母為0，得，即時(shí)，數(shù)列為有窮數(shù)列，得出，即，又，，根據(jù)單調(diào)性可得答案.【詳解】由，得則，即所以數(shù)列為等差數(shù)列,則則，所以當(dāng)時(shí),，滿足條件.當(dāng)分母為0，得，即時(shí)，數(shù)列為有窮數(shù)列.當(dāng)時(shí),數(shù)列為有窮數(shù)列.則當(dāng)分母為0時(shí)，無(wú)意義，此時(shí)數(shù)列為有窮數(shù)列，此時(shí)對(duì)應(yīng)的值為所以，由，則，即設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增.所以設(shè)設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增.所以所以選項(xiàng)C正確故選：C5．為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，對(duì)任意大于2的正整數(shù)，有恒成立，則使得成立的正整數(shù)的最小值為（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】先由題設(shè)條件求出，得到：，整理得：，從而有數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，求出，再利用累加法求出，然后利用裂項(xiàng)相消法整理可得，解出的最小值．【詳解】解：依題意知：當(dāng)時(shí)有，，，，，，即，，即，，又，，，數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，故，，，，，由上面的式子累加可得：，，，．由可得：，整理得，且，解得：．所以的最小值為6．故選：B．6．?dāng)?shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡(jiǎn)得到，記，得到，是以為公差的等差數(shù)列，計(jì)算得到答案.【詳解】由，故，記，則，兩邊取倒數(shù)，得，所以是以為公差的等差數(shù)列，又，所以，所以，故.故選：C.7．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是6和的等差中項(xiàng)．若對(duì)任意的，都有，則的最小值為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)等差中項(xiàng)的概念列出關(guān)系式，再利用與之間的關(guān)系，得到關(guān)于的遞推關(guān)系式，求得的表達(dá)式，再計(jì)算的取值范圍，再計(jì)算的取值范圍解出題目.【詳解】由是6和的等差中項(xiàng)，得，令得，又，得，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,得．若為奇數(shù)，；若為偶數(shù)，．而是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，并且，，故最小值是，故此題選B．8．?dāng)?shù)列滿足，，，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列通項(xiàng)，再由數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列列出不等式并分離參數(shù)即可推理計(jì)算作答.【詳解】數(shù)列中，，，則有，而，因此，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，即，則，因數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，，則，，令，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得是數(shù)列的最大值的項(xiàng)，即當(dāng)n=3時(shí)，取得最大值，從而得，所以的取值范圍為.故選：C9．?dāng)?shù)列滿足，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足B．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足C．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足D．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足【答案】C【分析】依題設(shè)找到數(shù)列滿足的遞推關(guān)系，或舉反例否定.【詳解】由，得，令，，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足題設(shè)，所以A正確；由，得，令，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足題設(shè)，所以B正確；由，令，得，，，，令，得，，，則，，從而，與矛盾，所以C錯(cuò)誤；由，得，令，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足題設(shè)，所以D正確.故選：C10．已知，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由在R上為奇