專題03立體幾何中空間線、面位置關(guān)系的判定(2)(原卷版+解析)_第1頁(yè)
專題03立體幾何中空間線、面位置關(guān)系的判定(2)(原卷版+解析)_第2頁(yè)
專題03立體幾何中空間線、面位置關(guān)系的判定(2)(原卷版+解析)_第3頁(yè)
專題03立體幾何中空間線、面位置關(guān)系的判定(2)(原卷版+解析)_第4頁(yè)
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專題03立體幾何中空間線、面位置關(guān)系的判定(2)【方法總結(jié)】判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)命題真假的方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.(2)借助空間幾何模型,如從長(zhǎng)方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系,結(jié)合有關(guān)定理,進(jìn)行肯定或否定.(3)借助于反證法,當(dāng)從正面入手較難時(shí),可利用反證法,推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題,進(jìn)而作出判斷.【例題選講】[例1](1)以下四個(gè)命題中,①不共面的四點(diǎn)中,其中任意三點(diǎn)不共線;②若點(diǎn)A,B,C,D共面,點(diǎn)A,B,C,E共面,則點(diǎn)A,B,C,D,E共面;③若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;④依次首尾相接的四條線段必共面.正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案B解析①顯然是正確的;②中若A,B,C三點(diǎn)共線,則A,B,C,D,E五點(diǎn)不一定共面;③中構(gòu)造長(zhǎng)方體(或正方體),如圖所示,顯然b,c異面,故不正確;④中空間四邊形中四條線段不共面,故只有①正確.(2)(2019·全國(guó)Ⅲ)如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則()A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線答案B解析如圖,取CD的中點(diǎn)O,連接ON,EO,因?yàn)椤鱁CD為正三角形,所以EO⊥CD,又平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,所以EO⊥平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則EO=eq\r(3),ON=1,所以EN2=EO2+ON2=4,得EN=2.過M作CD的垂線,垂足為P,連接BP,則MP=eq\f(\r(3),2),CP=eq\f(3,2),所以BM2=MP2+BP2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2+22=7,得BM=eq\r(7),所以BM≠EN.連接BD,BE,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以N為BD的中點(diǎn),即EN,MB均在平面BDE內(nèi),所以直線BM,EN是相交直線.(3)(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列直線或平面與平面ACD1平行的是()A.直線A1BB.直線BB1C.平面A1DC1D.平面A1BC1答案AD解析如圖,由A1B∥D1C,且A1B?平面ACD1,D1C?平面ACD1,故直線A1B與平面ACD1平行,故A正確;直線BB1∥DD1,DD1與平面ACD1相交,故直線BB1與平面ACD1相交,故B錯(cuò)誤;顯然平面A1DC1與平面ACD1相交,故C錯(cuò)誤;由A1B∥D1C,AC∥A1C1,且A1B∩A1C1=A1,AC∩D1C=C,故平面A1BC1與平面ACD1平行,故D正確.故選AD.(4)(2017·全國(guó)Ⅰ)如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析A項(xiàng),作如圖①所示的輔助線,其中D為BC的中點(diǎn),則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ=Q,∴QD與平面MNQ相交,∴直線AB與平面MNQ相交.B項(xiàng),作如圖②所示的輔助線,則AB∥CD,CD∥MQ,∴AB∥MQ,又AB?平面MNQ,MQ?平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.C項(xiàng),作如圖③所示的輔助線,則AB∥CD,CD∥MQ,∴AB∥MQ,又AB?平面MNQ,MQ?平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.D項(xiàng),作如圖④所示的輔助線,則AB∥CD,CD∥NQ,∴AB∥NQ,又AB?平面MNQ,NQ?平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.故選A.(5)已知點(diǎn)E,F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中點(diǎn),點(diǎn)M,N分別是線段D1E與C1F上的點(diǎn),則滿足與平面ABCD平行的直線MN有()A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條答案D解析如圖所示,作平面KSHG∥平面ABCD,C1F,D1E交平面KSHG于點(diǎn)N,M,連接MN,由面面平行的性質(zhì)得MN∥平面ABCD,由于平面KSHG有無數(shù)多個(gè),所以平行于平面ABCD的MN有無數(shù)多條,故選D.(6)如圖所示,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,點(diǎn)O,M,N分別是線段BD,DD1,D1C1的中點(diǎn),則直線OM與AC,MN的位置關(guān)系是()A.與AC,MN均垂直B.與AC垂直,與MN不垂直C.與AC不垂直,與MN垂直D.與AC,MN均不垂直答案A解析因?yàn)镈D1⊥平面ABCD,所以AC⊥DD1,又因?yàn)锳C⊥BD,DD1∩BD=D,所以AC⊥平面BDD1B1,因?yàn)镺M?平面BDD1B1,所以O(shè)M⊥AC.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則OM=eq\r(1+2)=eq\r(3),MN=eq\r(1+1)=eq\r(2),ON=eq\r(1+4)=eq\r(5),所以O(shè)M2+MN2=ON2,所以O(shè)M⊥MN.故選A.(7)如圖,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上的一點(diǎn),E,F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB,PC上的射影,給出下列結(jié)論:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.答案①②③解析由題意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又AC⊥BC,且PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,且BC∩PC=C,BC,PC?平面PBC,∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,AE,AF?平面AEF,∴PB⊥平面AEF,∴PB⊥EF.故①②③正確.(8)如圖,AB是圓錐SO的底面圓O的直徑,D是圓O上異于A,B的任意一點(diǎn),以AO為直徑的圓與AD的另一個(gè)交點(diǎn)為C,P為SD的中點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論:①△SAC為直角三角形;②平面SAD⊥平面SBD;③平面PAB必與圓錐SO的某條母線平行.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).答案①③解析如圖,連接OC,∵SO⊥底面圓O,∴SO⊥AC,C在以AO為直徑的圓上,∴AC⊥OC,∵OC∩SO=O,∴AC⊥平面SOC,AC⊥SC,即△SAC為直角三角形,故①正確;假設(shè)平面SAD⊥平面SBD,在平面SAD中過點(diǎn)A作AH⊥SD交SD于點(diǎn)H,則AH⊥平面SBD,∴AH⊥BD,又BD⊥AD,∴BD⊥平面SAD,又CO∥BD,∴CO⊥平面SAD,∴CO⊥SC,又在△SOC中,SO⊥OC,在一個(gè)三角形內(nèi)不可能有兩個(gè)直角,故平面SAD⊥平面SBD不成立,故②錯(cuò)誤;連接DO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)E,連接PO,SE,∵P為SD的中點(diǎn),O為ED的中點(diǎn),∴OP是△SDE的中位線,∴PO∥SE,即SE∥平面PAB,即平面PAB必與圓錐SO的母線SE平行.故③正確.故正確是①③.(9)如圖所示,直線PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB為⊙O的直徑,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).現(xiàn)有結(jié)論:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng).其中正確的是()A.①②B.①②③C.①D.②③答案B解析對(duì)于①,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,∵AB為⊙O的直徑,∴BC⊥AC,∵AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC,又PC?平面PAC,∴BC⊥PC;對(duì)于②,∵點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn),∴OM∥PA,∵PA?平面PAC,OM?平面PAC,∴OM∥平面PAC;對(duì)于③,由①知BC⊥平面PAC,∴線段BC的長(zhǎng)即是點(diǎn)B到平面PAC的距離,故①②③都正確.(10)(多選)已知四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均為正方形,其中AB=2eq\r(2),A1B1=eq\r(2),AA1=BB1=CC1=2,則下列敘述中正確的是()A.該四棱臺(tái)的高為eq\r(3)B.AA1⊥CC1C.該四棱臺(tái)的表面積為26D.該四棱臺(tái)外接球的表面積為16π答案AD解析由棱臺(tái)的性質(zhì),畫出切割前的四棱錐,如圖所示.由于AB=2eq\r(2),A1B1=eq\r(2),可知△SA1B1與△SAB的相似比為1∶2,則SA=2AA1=4,AO=2,則SO=2eq\r(3),則OO1=eq\r(3),故該四棱臺(tái)的高為eq\r(3),A正確;因?yàn)镾A=SC=AC=4,則AA1與CC1的夾角為60°,不垂直,B錯(cuò)誤;該四棱臺(tái)的表面積為S=S上底+S下底+S側(cè)=2+8+4×eq\f((\r(2)+2\r(2)),2)×eq\f(\r(14),2)=10+6eq\r(7),C錯(cuò)誤;由于上、下底面都是正方形,則四棱臺(tái)外接球的球心在OO1上,在平面B1BOO1中,由于OO1=eq\r(3),B1O1=1,則OB1=2=OB,即點(diǎn)O到點(diǎn)B與點(diǎn)B1的距離相等,則四棱臺(tái)外接球的半徑r=OB=2,故該四棱臺(tái)外接球的表面積為16π,D正確.故選AD.【對(duì)點(diǎn)精練】1.給出下列命題,其中正確的命題為________.(填序號(hào))①如果線段AB在平面α內(nèi),那么直線AB在平面α內(nèi);②兩個(gè)不同的平面可以相交于不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C;③若三條直線a,b,c互相平行且分別交直線l于A,B,C三點(diǎn),則這四條直線共面;④若三條直線兩兩相交,則這三條直線共面;⑤兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形.2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F(xiàn)分別為棱AA1,CC1的中點(diǎn),則在空間中與直線A1B1,EF,BC都相交的直線()A.不存在B.有且只有兩條C.有且只有三條D.有無數(shù)條3.(多選)如圖,在四面體A-BCD中,M,N,P,Q,E分別為AB,BC,CD,AD,AC的中點(diǎn),則下列說法中正確的是()A.M,N,P,Q四點(diǎn)共面B.∠QME=∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四邊形MNPQ為梯形4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列命題正確的是()A.AC與B1C是相交直線且垂直B.AC與A1D是異面直線且垂直C.BD1與BC是相交直線且垂直D.AC與BD1是異面直線且垂直5.如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,過A1B1的平面與平面ABC交于DE,則DE與AB的位置關(guān)系是()A.異面B.平行C.相交D.以上均有可能6.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),有以下四個(gè)結(jié)論:①直線AM與CC1是相交直線;②直線AM與BN是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線MN與AC所成的角為60°.其中正確的結(jié)論為________(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上).7.如圖,DC⊥平面ABC,EB∥DC,EB=2DC,P,Q分別為AE,AB的中點(diǎn).則直線DP與平面ABC的位置關(guān)系是________.8.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C與平面A1DC1的位置關(guān)系是________.9.如圖,L,M,N分別為正方體對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn),則平面LMN與平面PQR的位置關(guān)系是()A.垂直B.相交不垂直C.平行D.重合10.若P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn),矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O,M為PB的中點(diǎn),給出以下四個(gè)命題:①OM∥平面PCD;②OM∥平面PBC;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA.其中正確的個(gè)數(shù)是________.11.如圖所示,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,E,F(xiàn),G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),則M只需滿足條件______時(shí),就有MN∥平面B1BDD1.(注:請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可,不必考慮全部可能情況)12.若點(diǎn)A,B,C,M,N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則下列各圖中,不滿足直線MN∥平面ABC的是()13.(2017·全國(guó)Ⅲ)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CD的中點(diǎn),則()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC14.在下列四個(gè)正方體中,能得出異面直線AB⊥CD的是()15.如圖,在三棱錐P-ABC中,不能證明AP⊥BC的條件是()A.AP⊥PB,AP⊥PCB.AP⊥PB,BC⊥PBC.平面BPC⊥平面APC,BC⊥PCD.AP⊥平面PBC16.(多選)如圖,在以下四個(gè)正方體中,直線AB與平面CDE垂直的是()17.如圖所示,AB是半圓O的直徑,VA垂直于半圓O所在的平面,點(diǎn)C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn),M,N分別為VA,VC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.MN∥ABB.平面VAC⊥平面VBCC.MN與BC所成的角為45°D.OC⊥平面VAC18.(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,N為底面ABCD的中心,P為線段A1D1上的動(dòng)點(diǎn)(不包括兩個(gè)端點(diǎn)),M為線段AP的中點(diǎn),則()A.CM與PN是異面直線B.CM>PNC.平面PAN⊥平面BDD1B1D.過P,A,C三點(diǎn)的正方體的截面一定是等腰梯形19.如圖,在正四面體P—ABC中,D,E,F(xiàn)分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),下面四個(gè)結(jié)論不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC20.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí),平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)21.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱和六個(gè)面的對(duì)角線共有24條,其中與體對(duì)角線AC1垂直的有________條.22.如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論中:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直線BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.正確的為________(把所有正確的序號(hào)都填上).23.(多選)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F(xiàn),G分別為BC,CC1,BB1的中點(diǎn),則()A.直線D1D與直線AF垂直B.直線A1G與平面AEF平行C.平面AEF截正方體所得的截面面積為eq\f(9,8)D.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等24.(多選)如圖,四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,△PAD是等邊三角形,底面ABCD是菱形,且∠BAD=60°,M為棱PD的中點(diǎn),N為菱形ABCD的中心,下列結(jié)論正確的有()A.直線PB與平面AMC平行B.直線PB與直線AD垂直C.線段AM與線段CM長(zhǎng)度相等D.PB與AM所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4)更多精品資料請(qǐng)關(guān)注微信公眾號(hào):超級(jí)高中生專題03立體幾何中空間線、面位置關(guān)系的判定(2)【方法總結(jié)】判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)命題真假的方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.(2)借助空間幾何模型,如從長(zhǎng)方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系,結(jié)合有關(guān)定理,進(jìn)行肯定或否定.(3)借助于反證法,當(dāng)從正面入手較難時(shí),可利用反證法,推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題,進(jìn)而作出判斷.【例題選講】[例1](1)以下四個(gè)命題中,①不共面的四點(diǎn)中,其中任意三點(diǎn)不共線;②若點(diǎn)A,B,C,D共面,點(diǎn)A,B,C,E共面,則點(diǎn)A,B,C,D,E共面;③若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;④依次首尾相接的四條線段必共面.正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案B解析①顯然是正確的;②中若A,B,C三點(diǎn)共線,則A,B,C,D,E五點(diǎn)不一定共面;③中構(gòu)造長(zhǎng)方體(或正方體),如圖所示,顯然b,c異面,故不正確;④中空間四邊形中四條線段不共面,故只有①正確.(2)(2019·全國(guó)Ⅲ)如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則()A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線答案B解析如圖,取CD的中點(diǎn)O,連接ON,EO,因?yàn)椤鱁CD為正三角形,所以EO⊥CD,又平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,所以EO⊥平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則EO=eq\r(3),ON=1,所以EN2=EO2+ON2=4,得EN=2.過M作CD的垂線,垂足為P,連接BP,則MP=eq\f(\r(3),2),CP=eq\f(3,2),所以BM2=MP2+BP2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2+22=7,得BM=eq\r(7),所以BM≠EN.連接BD,BE,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以N為BD的中點(diǎn),即EN,MB均在平面BDE內(nèi),所以直線BM,EN是相交直線.(3)(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列直線或平面與平面ACD1平行的是()A.直線A1BB.直線BB1C.平面A1DC1D.平面A1BC1答案AD解析如圖,由A1B∥D1C,且A1B?平面ACD1,D1C?平面ACD1,故直線A1B與平面ACD1平行,故A正確;直線BB1∥DD1,DD1與平面ACD1相交,故直線BB1與平面ACD1相交,故B錯(cuò)誤;顯然平面A1DC1與平面ACD1相交,故C錯(cuò)誤;由A1B∥D1C,AC∥A1C1,且A1B∩A1C1=A1,AC∩D1C=C,故平面A1BC1與平面ACD1平行,故D正確.故選AD.(4)(2017·全國(guó)Ⅰ)如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析A項(xiàng),作如圖①所示的輔助線,其中D為BC的中點(diǎn),則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ=Q,∴QD與平面MNQ相交,∴直線AB與平面MNQ相交.B項(xiàng),作如圖②所示的輔助線,則AB∥CD,CD∥MQ,∴AB∥MQ,又AB?平面MNQ,MQ?平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.C項(xiàng),作如圖③所示的輔助線,則AB∥CD,CD∥MQ,∴AB∥MQ,又AB?平面MNQ,MQ?平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.D項(xiàng),作如圖④所示的輔助線,則AB∥CD,CD∥NQ,∴AB∥NQ,又AB?平面MNQ,NQ?平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.故選A.(5)已知點(diǎn)E,F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中點(diǎn),點(diǎn)M,N分別是線段D1E與C1F上的點(diǎn),則滿足與平面ABCD平行的直線MN有()A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條答案D解析如圖所示,作平面KSHG∥平面ABCD,C1F,D1E交平面KSHG于點(diǎn)N,M,連接MN,由面面平行的性質(zhì)得MN∥平面ABCD,由于平面KSHG有無數(shù)多個(gè),所以平行于平面ABCD的MN有無數(shù)多條,故選D.(6)如圖所示,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,點(diǎn)O,M,N分別是線段BD,DD1,D1C1的中點(diǎn),則直線OM與AC,MN的位置關(guān)系是()A.與AC,MN均垂直B.與AC垂直,與MN不垂直C.與AC不垂直,與MN垂直D.與AC,MN均不垂直答案A解析因?yàn)镈D1⊥平面ABCD,所以AC⊥DD1,又因?yàn)锳C⊥BD,DD1∩BD=D,所以AC⊥平面BDD1B1,因?yàn)镺M?平面BDD1B1,所以O(shè)M⊥AC.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則OM=eq\r(1+2)=eq\r(3),MN=eq\r(1+1)=eq\r(2),ON=eq\r(1+4)=eq\r(5),所以O(shè)M2+MN2=ON2,所以O(shè)M⊥MN.故選A.(7)如圖,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上的一點(diǎn),E,F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB,PC上的射影,給出下列結(jié)論:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.11.答案①②③解析由題意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又AC⊥BC,且PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,且BC∩PC=C,BC,PC?平面PBC,∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,AE,AF?平面AEF,∴PB⊥平面AEF,∴PB⊥EF.故①②③正確.(8)如圖,AB是圓錐SO的底面圓O的直徑,D是圓O上異于A,B的任意一點(diǎn),以AO為直徑的圓與AD的另一個(gè)交點(diǎn)為C,P為SD的中點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論:①△SAC為直角三角形;②平面SAD⊥平面SBD;③平面PAB必與圓錐SO的某條母線平行.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).答案①③解析如圖,連接OC,∵SO⊥底面圓O,∴SO⊥AC,C在以AO為直徑的圓上,∴AC⊥OC,∵OC∩SO=O,∴AC⊥平面SOC,AC⊥SC,即△SAC為直角三角形,故①正確;假設(shè)平面SAD⊥平面SBD,在平面SAD中過點(diǎn)A作AH⊥SD交SD于點(diǎn)H,則AH⊥平面SBD,∴AH⊥BD,又BD⊥AD,∴BD⊥平面SAD,又CO∥BD,∴CO⊥平面SAD,∴CO⊥SC,又在△SOC中,SO⊥OC,在一個(gè)三角形內(nèi)不可能有兩個(gè)直角,故平面SAD⊥平面SBD不成立,故②錯(cuò)誤;連接DO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)E,連接PO,SE,∵P為SD的中點(diǎn),O為ED的中點(diǎn),∴OP是△SDE的中位線,∴PO∥SE,即SE∥平面PAB,即平面PAB必與圓錐SO的母線SE平行.故③正確.故正確是①③.(9)如圖所示,直線PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB為⊙O的直徑,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).現(xiàn)有結(jié)論:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng).其中正確的是()A.①②B.①②③C.①D.②③答案B解析對(duì)于①,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,∵AB為⊙O的直徑,∴BC⊥AC,∵AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC,又PC?平面PAC,∴BC⊥PC;對(duì)于②,∵點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn),∴OM∥PA,∵PA?平面PAC,OM?平面PAC,∴OM∥平面PAC;對(duì)于③,由①知BC⊥平面PAC,∴線段BC的長(zhǎng)即是點(diǎn)B到平面PAC的距離,故①②③都正確.(10)(多選)已知四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均為正方形,其中AB=2eq\r(2),A1B1=eq\r(2),AA1=BB1=CC1=2,則下列敘述中正確的是()A.該四棱臺(tái)的高為eq\r(3)B.AA1⊥CC1C.該四棱臺(tái)的表面積為26D.該四棱臺(tái)外接球的表面積為16π答案AD解析由棱臺(tái)的性質(zhì),畫出切割前的四棱錐,如圖所示.由于AB=2eq\r(2),A1B1=eq\r(2),可知△SA1B1與△SAB的相似比為1∶2,則SA=2AA1=4,AO=2,則SO=2eq\r(3),則OO1=eq\r(3),故該四棱臺(tái)的高為eq\r(3),A正確;因?yàn)镾A=SC=AC=4,則AA1與CC1的夾角為60°,不垂直,B錯(cuò)誤;該四棱臺(tái)的表面積為S=S上底+S下底+S側(cè)=2+8+4×eq\f((\r(2)+2\r(2)),2)×eq\f(\r(14),2)=10+6eq\r(7),C錯(cuò)誤;由于上、下底面都是正方形,則四棱臺(tái)外接球的球心在OO1上,在平面B1BOO1中,由于OO1=eq\r(3),B1O1=1,則OB1=2=OB,即點(diǎn)O到點(diǎn)B與點(diǎn)B1的距離相等,則四棱臺(tái)外接球的半徑r=OB=2,故該四棱臺(tái)外接球的表面積為16π,D正確.故選AD.【對(duì)點(diǎn)精練】1.給出下列命題,其中正確的命題為________.(填序號(hào))①如果線段AB在平面α內(nèi),那么直線AB在平面α內(nèi);②兩個(gè)不同的平面可以相交于不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C;③若三條直線a,b,c互相平行且分別交直線l于A,B,C三點(diǎn),則這四條直線共面;④若三條直線兩兩相交,則這三條直線共面;⑤兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形.1.答案①③2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F(xiàn)分別為棱AA1,CC1的中點(diǎn),則在空間中與直線A1B1,EF,BC都相交的直線()A.不存在B.有且只有兩條C.有且只有三條D.有無數(shù)條2.答案D解析在EF上任意取一點(diǎn)M,直線A1B1與M確定一個(gè)平面,這個(gè)平面與BC有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N,當(dāng)M的位置不同時(shí)確定不同的平面,從而與BC有不同的交點(diǎn)N,而直線MN與A1B1,EF,BC分別有交點(diǎn)P,M,N,如圖,故有無數(shù)條直線與直線A1B1,EF,BC都相交.3.(多選)如圖,在四面體A-BCD中,M,N,P,Q,E分別為AB,BC,CD,AD,AC的中點(diǎn),則下列說法中正確的是()A.M,N,P,Q四點(diǎn)共面B.∠QME=∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四邊形MNPQ為梯形3.答案ABC解析由三角形的中位線定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.對(duì)于A,有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四點(diǎn)共面,故A說法正確;對(duì)于B,根據(jù)等角定理,得∠QME=∠CBD,故B說法正確;對(duì)于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C說法正確;對(duì)于D,由三角形的中位線定理,知MQ∥BD,MQ=eq\f(1,2)BD,NP∥BD,NP=eq\f(1,2)BD,所以MQ=NP,MQ∥NP,所以四邊形MNPQ是平行四邊形,故D說法不正確.4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列命題正確的是()A.AC與B1C是相交直線且垂直B.AC與A1D是異面直線且垂直C.BD1與BC是相交直線且垂直D.AC與BD1是異面直線且垂直4.答案D解析如圖,連接AB1,可得△AB1C為正三角形,可得AC與B1C是相交直線且成60°角,故A錯(cuò)誤;∵A1D∥B1C,∴AC與A1D是異面直線且成60°角,故B錯(cuò)誤;BD1與BC是相交直線,所成角為∠D1BC,其正切值為eq\r(2),故C錯(cuò)誤;連接BD,可知BD⊥AC,則BD1⊥AC,可知AC與BD1是異面直線且垂直,故D正確.故選D.5.如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,過A1B1的平面與平面ABC交于DE,則DE與AB的位置關(guān)系是()A.異面B.平行C.相交D.以上均有可能5.答案B解析在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,∵AB?平面ABC,A1B1?平面ABC,∴A1B1∥平面ABC,∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE,∴DE∥A1B1,∴DE∥AB.故選B.6.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),有以下四個(gè)結(jié)論:①直線AM與CC1是相交直線;②直線AM與BN是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線MN與AC所成的角為60°.其中正確的結(jié)論為________(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上).6.答案③④解析AM與CC1是異面直線,AM與BN是異面直線,BN與MB1為異面直線.因?yàn)镈1C∥MN,所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角,為60°.7.如圖,DC⊥平面ABC,EB∥DC,EB=2DC,P,Q分別為AE,AB的中點(diǎn).則直線DP與平面ABC的位置關(guān)系是________.7.答案平行解析連接CQ,在△ABE中,P,Q分別是AE,AB的中點(diǎn),所以PQ∥BE,PQ=eq\f(1,2)BE.又DC∥EB,DC=eq\f(1,2)EB,所以PQ∥DC,PQ=DC,所以四邊形DPQC為平行四邊形,所以DP∥CQ.又DP?平面ABC,CQ?平面ABC,所以DP∥平面ABC.8.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C與平面A1DC1的位置關(guān)系是________.8.答案平行解析易證A1C1,A1D都與平面AB1C平行,且A1D∩A1C1=A1,所以平面AB1C∥平面A1DC1.9.如圖,L,M,N分別為正方體對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn),則平面LMN與平面PQR的位置關(guān)系是()A.垂直B.相交不垂直C.平行D.重合9.答案C解析如圖,分別取另三條棱的中點(diǎn)A,B,C,將平面LMN延展為平面正六邊形AMBNCL,因?yàn)镻Q∥AL,PR∥AM,且PQ與PR相交,AL與AM相交,所以平面PQR∥平面AMBNCL,即平面LMN∥平面PQR.10.若P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn),矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O,M為PB的中點(diǎn),給出以下四個(gè)命題:①OM∥平面PCD;②OM∥平面PBC;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA.其中正確的個(gè)數(shù)是________.10.答案①③解析由已知可得OM∥PD,∴OM∥平面PCD且OM∥平面PAD.故正確的只有①③.11.如圖所示,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,E,F(xiàn),G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),則M只需滿足條件______時(shí),就有MN∥平面B1BDD1.(注:請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可,不必考慮全部可能情況)11.答案點(diǎn)M在線段FH上(或點(diǎn)M與點(diǎn)H重合)解析連接HN,F(xiàn)H,F(xiàn)N,則FH∥DD1,HN∥BD,∴平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,則MN?平面FHN,∴MN∥平面B1BDD1.12.若點(diǎn)A,B,C,M,N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則下列各圖中,不滿足直線MN∥平面ABC的是()12.答案D解析對(duì)于A,因?yàn)锳,C,M,N分別為所在棱的中點(diǎn),由正方體的性質(zhì)知MN∥AC,又MN?平面ABC,AC?平面ABC,所以MN∥平面ABC.對(duì)于B,取AC的中點(diǎn)E,連接BE,由條件及正方體的性質(zhì)知MN∥BE.因?yàn)镸N?平面ABC,BE?平面ABC,所以MN∥平面ABC.對(duì)于C,取AC的中點(diǎn)E,連接BE,由條件及正方體的性質(zhì)知MN∥BE,因?yàn)镸N?平面ABC,BE?平面ABC,所以MN∥平面ABC.對(duì)于D,連接AM,BN,由條件及正方體的性質(zhì)知四邊形AMNB是等腰梯形,所以AB與MN所在的直線相交,故不能推出MN∥平面ABC.故選D.13.(2017·全國(guó)Ⅲ)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CD的中點(diǎn),則()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC13.答案C解析如圖,∵A1E在平面ABCD上的射影為AE,而AE不與AC,BD垂直,∴B,D錯(cuò);∵A1E在平面BCC1B1上的射影為B1C,且B1C⊥BC1,∴A1E⊥BC1,故C正確;(證明:由條件易知,BC1⊥B1C,BC1⊥CE,又CE∩B1C=C,∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E?平面CEA1B1,∴A1E⊥BC1),∵A1E在平面DCC1D1上的射影為D1E,而D1E不與DC1垂直,故A錯(cuò).14.在下列四個(gè)正方體中,能得出異面直線AB⊥CD的是()14.答案A解析對(duì)于A,作出過AB的平面ABE,如圖①,可得直線CD與平面ABE垂直,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知,AB⊥CD成立,故A正確;對(duì)于B,作出過AB的等邊三角形ABE,如圖②,將CD平移至AE,可得CD與AB所成的角等于60°,故B不成立;對(duì)于C,D,將CD平移至經(jīng)過點(diǎn)B的側(cè)棱處,可得AB,CD所成的角都是銳角,故C和D均不成立.故選A.15.如圖,在三棱錐P-ABC中,不能證明AP⊥BC的條件是()A.AP⊥PB,AP⊥PCB.AP⊥PB,BC⊥PBC.平面BPC⊥平面APC,BC⊥PCD.AP⊥平面PBC15.答案B解析A中,因?yàn)锳P⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC.又BC?平面PBC,所以AP⊥BC,故A正確;C中,因?yàn)槠矫鍮PC⊥平面APC,平面BPC∩平面APC=PC,BC⊥PC,所以BC⊥平面APC.又AP?平面APC,所以AP⊥BC,故C正確;D中,由A知D正確;B中條件不能判斷出AP⊥BC,故選B.16.(多選)如圖,在以下四個(gè)正方體中,直線AB與平面CDE垂直的是()16.答案BD解析在A中,AB與CE的夾角為45°,所以直線AB與平面CDE不垂直,故不符合題意;在B中,AB⊥CE,AB⊥DE,CE∩DE=E,所以AB⊥平面CDE,故符合題意;在C中,AB與EC的夾角為60°,所以直線AB與平面CDE不垂直,故不符合題意;在D中,AB⊥DE,AB⊥CE,DE∩CE=E,所以AB⊥平面CDE,故符合題意.故選BD.17.如圖所示,AB是半圓O的直徑,VA垂直于半圓O所在的平面,點(diǎn)C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn),M,N分別為VA,VC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.MN∥ABB.平面VAC⊥平面VBCC.MN與BC所成的角為45°D.OC⊥平面VAC17.答案B解析由題意得BC⊥AC,因?yàn)閂A⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以VA⊥BC.因?yàn)锳C∩VA=A,所以BC⊥平面VAC.因?yàn)锽C?平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC.故選B.18.(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,N為底面ABCD的中心,P為線段A1D1上的動(dòng)點(diǎn)(不包括兩個(gè)端點(diǎn)),M為線段AP的中點(diǎn),則()A.CM與PN是異面直線B.CM>PNC.平面PAN⊥平面BDD1B1D.過P,A,C三點(diǎn)的正方體的截面一定是等腰梯形18.答案BCD解析由C,N,A三點(diǎn)共線,得CN,PM交于點(diǎn)A,因此CM,PN共面,A錯(cuò)誤;記∠PAC=θ,則PN2=AP2+AN2-2AP·ANcosθ=AP2+eq\f(1,4)AC2-AP·ACcosθ,CM2=AC2+AM2-2AC·AMcosθ=AC2+eq\f(1,4)AP2-AP·ACcosθ,又AP<AC,CM2-PN2=eq\f(3,4)(AC2-AP2)>0,所以CM2>PN2,即CM>PN,B正確;在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AN⊥BD,BB1⊥平面ABCD,則BB1⊥AN,BB1∩BD=B,可得AN⊥平面BDD1B1,AN?平面PAN,從而可得平面PAN⊥平面BDD1B1,C正確;在C1D1上取一點(diǎn)K,使得D1K=D1P,連接KP,KC,A1C1,易知PK∥A1C1,又在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1C1∥AC,所以PK∥AC,所以PK,AC共面,PKCA就是過P,A,C三點(diǎn)的正方體的截面,它是等腰梯形,D正確.故選BCD.19.如圖,在正四面體P—ABC中,D,E,F(xiàn)分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),下面四個(gè)結(jié)論不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC19.答案D解析因?yàn)锽C∥DF,DF?平面PDF,BC?平面PDF,所以BC∥平面PDF,故選項(xiàng)A正確;在正四面體中,AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,且AE,PE?平面PAE,所以BC⊥平面PAE,因?yàn)镈F∥BC,所以DF⊥平面PAE,又DF?平面PDF,從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項(xiàng)B,C均正確.20.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí),平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可

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