專題07分段函數的研究(原卷版+解析)

專題07分段函數的研究一、題型選講題型一、分段函數的求值問題由于分段函數的解析式與對應的定義域有關，因此求值時要代入對應的解析式。含有抽象函數的分段函數，在處理里首先要明確目標，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數的含義和作用（或者對函數圖象的影響）例1、（2021·江西南昌市·高三期末（理））已知定義在R上的奇函數滿足，且當時，，其中a為常數，則的值為（）A．2 B． C． D．變式1、（遼寧省沈陽市2020-2021學年高三聯(lián)考）函數，則______．變式2、（2021·山東臨沂市·高三二模）已知奇函數，則（）A． B． C．7 D．11變式3、（2020屆浙江省杭州市建人高復高三4月模擬）對于給定正數k，定義，設，對任意和任意恒有，則（）A．k的最大值為2 B．k的最小值為2 C．k的最大值為1 D．k的最小值為1題型二、與分段函數有關的方程或不等式含分段函數的不等式在處理上通常是兩種方法：一種是利用代數手段，通過對進行分類討論將不等式轉變?yōu)榫唧w的不等式求解。另一種是通過作出分段函數的圖象，數形結合，利用圖像的特點解不等式例2、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函數f(x)=，當λ=2時，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是___________．變式1、（2021·浙江高三期末）已知，則______；若，則______．變式2、（2021·山東煙臺市·高三二模）已知函數是定義在區(qū)間上的偶函數，且當時，，則方程根的個數為（）A．3 B．4 C．5 D．6變式3、（2021·山東高三其他模擬）已知，，則方程的解的個數是（）A． B． C． D．題型三、分段函數的單調性分段函數單調性的判斷：先判斷每段的單調性，如果單調性相同，則需判斷函數是連續(xù)的還是斷開的，如果函數連續(xù)，則單調區(qū)間可以合在一起，如果函數不連續(xù)，則要根據函數在兩段分界點出的函數值（和臨界值）的大小確定能否將單調區(qū)間并在一起。例3、已知函數，若在單調遞增，則實數的取值范圍是_________變式1、（2020·河南羅山縣教學研究室高三其他（理））已知函數單調遞減，則實數的取值范圍為_____.變式2、（2020·全國高三專題練習（理））設函數，則滿足的取值范圍是______.題型四分段函數的定義型問題本題考查函數的新定義，關鍵在于抓住函數的定義，把握住間減函數的實質，結合函數的單調性得以解決問題．例4、（2021·全國高三專題練習）歷史上第一個給出函數一般定義的是19世紀德國數學家狄利克雷（Dirichlet），當時數學家們處理的大部分數學對象都沒有完全的嚴格的定義，數學家們習慣借助于直覺和想象來描述數學對象，狄利克雷在1829年給出了著名函數：（其中為有理數集，為無理數集），狄利克雷函數的出現表示數學家們對數學的理解發(fā)生了深刻的變化，數學的一些“人造”特征開始展現出來，這種思想也標志著數學從研究“算”轉變到了研究“概念、性質、結構”．一般地，廣義的狄利克雷函數可定義為（其中a，且），以下對說法正確的是（）A．當時，的值域為；當時，的值域為B．任意非零有理數均是的周期，但任何無理數均不是的周期C．為偶函數D．在實數集的任何區(qū)間上都不具有單調性變式1、（2021·全國高三月考（理））如果函數在區(qū)間上和區(qū)間上都是減函數，且在上也是減函數，則稱是上的間減函數，如是上的間減函數．是即上的間減函數，是上的間減函數，不是上的間減函數，不是上的間減函數．以下四個函數中：①，②，③，④．其中是間減函數的是______（寫出所有正確答案的序號）．1、（2020屆山東省棗莊市高三上學期統(tǒng)考）若,則__________．2、（2020屆浙江省杭州市建人高復高三4月模擬）已知，若，則_______，______；3、（2021·山東日照市·高三其他模擬）已知函數，若，那么實數的值是（）A．4 B．1 C．2 D．34、（2020·全國高三專題練習（文））函數，若方程有且只有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．5、（2021·全國高三專題練習）設f(x)是定義在R上周期為2的函數，當x∈(-1，1]時，，其中m∈R.若f()=f()，則m的值是___________.6、（2021·山東濟寧市·高三二模）已知函數，若，則的最小值是（）A． B． C． D．7、（2021·山東高三其他模擬）已知函數，若關于的方程有5個不同的實根，則實數可能的取值有（）A． B． C． D．8、（2021·上海高一（2021·山東高三二模）已知函數，則關于的方程的實根的個數是___.9、（2021·山東濱州市·高三二模）某同學設想用“高個子系數k”來刻畫成年男子的高個子的程度，他認為，成年男子身高160及其以下不算高個子，其高個子系數k應為0；身高190及其以上的是理所當然的高個子，其高個子系數k應為1，請給出一個符合該同學想法?合理的成年男子高個子系數k關于身高的函數關系式___________.專題07分段函數的研究一、題型選講題型一、分段函數的求值問題由于分段函數的解析式與對應的定義域有關，因此求值時要代入對應的解析式。含有抽象函數的分段函數，在處理里首先要明確目標，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數的含義和作用（或者對函數圖象的影響）例1、（2021·江西南昌市·高三期末（理））已知定義在R上的奇函數滿足，且當時，，其中a為常數，則的值為（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由題意，函數滿足，所以函數的周期為，又由當時，，因為函數奇函數，所以，所以，則，，令，可得，可得，所以.故選：B變式1、（遼寧省沈陽市2020-2021學年高三聯(lián)考）函數，則______．【答案】1【解析】根據題意，，則；故答案為1．變式2、（2021·山東臨沂市·高三二模）已知奇函數，則（）A． B． C．7 D．11【答案】C【解析】，故選：C.變式3、（2020屆浙江省杭州市建人高復高三4月模擬）對于給定正數k，定義，設，對任意和任意恒有，則（）A．k的最大值為2 B．k的最小值為2 C．k的最大值為1 D．k的最小值為1【答案】B【解析】因為對任意和任意恒有，根據已知條件可得：對任意恒成立，即，，，當時有，即故選：B題型二、與分段函數有關的方程或不等式含分段函數的不等式在處理上通常是兩種方法：一種是利用代數手段，通過對進行分類討論將不等式轉變?yōu)榫唧w的不等式求解。另一種是通過作出分段函數的圖象，數形結合，利用圖像的特點解不等式例2、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函數f(x)=，當λ=2時，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是___________．【答案】(1,4)；【解析】由題意得或，所以或，即，故不等式f(x)<0的解集是當時，，此時，即在上有兩個零點；當時，，由在上只能有一個零點得.綜上，的取值范圍為.變式1、（2021·浙江高三期末）已知，則______；若，則______．【答案】41或【解析】∵，∴；∵，∴當時，，解得，當時，，解得.故答案為：4；1或.變式2、（2021·山東煙臺市·高三二模）已知函數是定義在區(qū)間上的偶函數，且當時，，則方程根的個數為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】要求方程根的個數，即為求與的交點個數，由題設知，在上的圖象如下圖示，∴由圖知：有3個交點，又由在上是偶函數，∴在上也有3個交點，故一共有6個交點.故選：D.變式3、（2021·山東高三其他模擬）已知，，則方程的解的個數是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，所以或，畫出的大致圖象，如圖，因為，所以，因為直線與函數的圖象有1個交點，直線與函數的圖象有2個交點，故方程的解的個數是3.故選：B.題型三、分段函數的單調性分段函數單調性的判斷：先判斷每段的單調性，如果單調性相同，則需判斷函數是連續(xù)的還是斷開的，如果函數連續(xù)，則單調區(qū)間可以合在一起，如果函數不連續(xù)，則要根據函數在兩段分界點出的函數值（和臨界值）的大小確定能否將單調區(qū)間并在一起。例3、已知函數，若在單調遞增，則實數的取值范圍是_________【答案】【解析】思路：若在單調增，則在上任取，均有，在任取中就包含均在同一段取值的情況，所以可得要想在上單調增，起碼每一段的解析式也應當是單調遞增的，由此可得：，但僅僅滿足這個條件是不夠的。還有一種取值可能為不在同一段取值，若也滿足，均有，通過作圖可發(fā)現需要左邊函數的最大值不大于右邊函數的最小值。代入，有左段右端，即綜上所述可得：變式1、（2020·河南羅山縣教學研究室高三其他（理））已知函數單調遞減，則實數的取值范圍為_____.【答案】【解析】由題意得，解得.所以實數的取值范圍是.故答案為：變式2、（2020·全國高三專題練習（理））設函數，則滿足的取值范圍是______.【答案】【詳解】當時，，因此函數是單調遞減函數，因此有.當時，則有或或解（1）得：，解（2）得：，解（3）得：，綜上所述：的取值范圍是.故答案為：題型四分段函數的定義型問題本題考查函數的新定義，關鍵在于抓住函數的定義，把握住間減函數的實質，結合函數的單調性得以解決問題．例4、（2021·全國高三專題練習）歷史上第一個給出函數一般定義的是19世紀德國數學家狄利克雷（Dirichlet），當時數學家們處理的大部分數學對象都沒有完全的嚴格的定義，數學家們習慣借助于直覺和想象來描述數學對象，狄利克雷在1829年給出了著名函數：（其中為有理數集，為無理數集），狄利克雷函數的出現表示數學家們對數學的理解發(fā)生了深刻的變化，數學的一些“人造”特征開始展現出來，這種思想也標志著數學從研究“算”轉變到了研究“概念、性質、結構”．一般地，廣義的狄利克雷函數可定義為（其中a，且），以下對說法正確的是（）A．當時，的值域為；當時，的值域為B．任意非零有理數均是的周期，但任何無理數均不是的周期C．為偶函數D．在實數集的任何區(qū)間上都不具有單調性【答案】BCD【分析】根據值域的定義可判斷A；設任意，，利用周期的定義可判斷B；利用偶函數的定義可判斷C；實數的稠密性，函數值在和之間無間隙轉換可判斷D.【詳解】的函數值只有兩個，的值域為，故A錯誤；設任意，，則，，故B選項正確；若，則，；若，則，；所以為偶函數，故C正確；由于實數具有稠密性，任何兩個有理數之間都有無理數，任何兩個無理數之間也都有理數，其函數值在之間無間隙轉換，所以在實數集的任何區(qū)間上都不具有單調性，故D正確．故選:BCD．變式1、（2021·全國高三月考（理））如果函數在區(qū)間上和區(qū)間上都是減函數，且在上也是減函數，則稱是上的間減函數，如是上的間減函數．是即上的間減函數，是上的間減函數，不是上的間減函數，不是上的間減函數．以下四個函數中：①，②，③，④．其中是間減函數的是______（寫出所有正確答案的序號）．【答案】①③【分析】根據間減函數的定義逐一判斷可得答案．【詳解】對于①：是在R上的間減函數；對于②：在上是減函數，在上是減函數，但在不是減函數，所以在R上不是間減函數；對于③：在上是減函數，在上是減函數，并且在上是減函數，所以在上是間減函數；對于④：在上是減函數，但在是增函數，所以在R上不是間減函數，所以是間減函數的是①③，故答案為：①③．1、（2020屆山東省棗莊市高三上學期統(tǒng)考）若,則__________．【答案】【解析】因為，所以，應填答案.2、（2020屆浙江省杭州市建人高復高三4月模擬）已知，若，則_______，______；【答案】【解析】，，，，，故答案為：；3、（2021·山東日照市·高三其他模擬）已知函數，若，那么實數的值是（）A．4 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】，變成，即，解之得：.故選：C.4、（2020·全國高三專題練習（文））函數，若方程有且只有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令,畫出與的圖象,平移直線,當直線經過時只有一個交點,此時,向右平移,不再符合條件,故故選：A5、（2021·全國高三專題練習）設f(x)是定義在R上周期為2的函數，當x∈(-1，1]時，，其中m∈R.若f()=f()，則m的值是___________.【答案】【分析】分別計算f()和f()，解方程求出m.【詳解】由f()=f()可得：，解得：故答案為：16、（2021·山東濟寧市·高三二模）已知函數，若，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數的圖像如圖所示，作出交兩點，其橫坐標分別為a、b，不妨設.由可得：，解得：，所以記，任取，則。因為，所以，所以，所以則在上單調遞減，所以故選：C7、（2021·山