考點(diǎn)8 立體幾何

考點(diǎn)8立體幾何【易錯(cuò)點(diǎn)分析】1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.一般地，表面積=側(cè)面積+底面積.多面體側(cè)面展開圖面積公式棱柱（如三棱柱）棱錐（如三棱錐）棱臺(tái)（如三棱臺(tái)）2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積旋轉(zhuǎn)體側(cè)面展開圖面積公式圓柱底面積：側(cè)面積：表面積：圓錐底面積：側(cè)面積：表面積：圓臺(tái)上底面面積：下底面面積：側(cè)面積：表面積：3.柱體、錐體、臺(tái)體的體積幾何體體積公式柱體（為底面面積，為高），（為底面半徑，為高）錐體（為底面面積，為高），（為底面半徑，為高）臺(tái)體（分別為上、下底面面積，為高），（分別為上、下底面半徑，為高）4.球的表面積和體積（1）球的表面積：設(shè)球的半徑為，則球的表面積為，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍.（2）球的體積：設(shè)球的半徑為，則球的體積為.5.直線與直線平行：基本事實(shí)4平行于同一條直線的兩條直線平行.這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性.6.等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).7.直線與平面平行的判定定理自然語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.，，且.該定理可簡(jiǎn)記為“若線線平行，則線面平行”.8.直線與平面平行的性質(zhì)定理自然語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.，，.該定理可簡(jiǎn)記為“若線面平行，則線線平行”.9.平面與平面平行的判定定理自然語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.，，，，該定理可簡(jiǎn)記為“若線面平行，則面面平行”.10.平面與平面平行的性質(zhì)定理自然語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.，，.該定理可簡(jiǎn)記為“若面面平行，則線線平行”.11.異面直線所成的角：（1）定義：已知兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)分別作直線，我們把與所成的角叫做異面直線與所成的角（或夾角）.（2）異面直線所成的角的取值范圍：.（3）兩條異面直線互相垂直：兩條異面直線所成的角是直角，即時(shí)，與互相垂直，記作.12.直線與平面垂直的概念定義如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線與平面互相垂直，記作，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.它們唯一的公共點(diǎn)叫做垂足.畫法圖示畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示點(diǎn)到面的距離線到面的距離兩面間的距離過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.13.直線與平面垂直的判定定理自然語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.，，，，.該定理可簡(jiǎn)記為“若線線垂直，則線面垂直”.14.直線和平面所成的角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線一條直線與一個(gè)平面相交，但不與這個(gè)平面垂直，圖中直線.斜足斜線和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn).射影過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影.直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角；規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是的角.取值范圍15.直線與平面垂直的性質(zhì)定理自然語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.，16.二面角的概念概念從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.圖示記法棱為，面分別為的二面角記為.也可在內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)，記作二面角.平面角文字在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個(gè)二面角的平面角.圖示符號(hào)，，，，，，是二面角的平面角.范圍規(guī)定二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.17.平面與平面垂直（1）定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.平面與平面垂直，記作.如圖（2）判定定理：自然語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.，.該定理可簡(jiǎn)記為“若線面垂直，則面面垂直”.18.平面與平面垂直的性質(zhì)定理自然語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.，，，.該定理可簡(jiǎn)記為“若面面垂直，則線面垂直”.19.一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角來(lái)求得.也就是說(shuō)，若異面直線所成的角為，其方向向量分別是u，v，則.20.直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.如下圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則.21.平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于的二面角稱為平面α與平面β的夾角.若平面α，β的法向量分別是和，則平面α與平面β的夾角即為向量和的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾角為，則.1.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱，D，E分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是的重心G，則點(diǎn)到平面ABD的距離為()

A. B. C. D.2.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M是的中點(diǎn)，P是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則線段MP長(zhǎng)度的取值范圍是()

A. B. C. D.3.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角后的圖形如圖所示，若E為線段BC的中點(diǎn)，則直線AE與平面ABD所成角的余弦值為()

A. B. C. D.4.如圖，在四棱柱中，四邊形為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段DB，上，且.若G在線段上，且平面平面，則()

A. B. C. D.5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何也有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)可見，臂如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽(yáng)馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱，其中，若，當(dāng)“陽(yáng)馬”即四棱錐體積最大時(shí)，“塹堵”即三棱柱的表面積為()

A. B. C. D.6.如圖，在四棱柱中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱底面ABCD，，，P是側(cè)面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且，記AP與平面所成的角為，則的最大值為()

A. B. C.2 D.7.如圖所示，空間四邊形ABCD中，兩條對(duì)邊，E，F(xiàn)分別是另外兩條對(duì)邊AD，BC上的點(diǎn)，且，，則異面直線AB和CD所成角的大小為____________.

8.在直角三角形ABC中，，M為AB的中點(diǎn)，將沿CM折疊，使A，B之間的距離為1，則三棱錐外接球的體積為_____________.9.如圖，在三棱柱中，與為正三角形，動(dòng)點(diǎn)Q為側(cè)面四邊形內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為_____________.10.如圖所示，該幾何體是由一個(gè)直三棱柱和一個(gè)正四棱錐組合而成的，，.

(1)證明：平面平面ABEF；

(2)求正四棱錐的高h(yuǎn)，使得二面角的余弦值是.

答案以及解析1.答案：B解析：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，

可得，，，，.

因?yàn)辄c(diǎn)E在平面ABD上的射影是的重心，所以平面ABD，

所以，即，解得（負(fù)值舍去），則，，

則點(diǎn)到平面ABD的距離.故選B.2.答案：B解析：取CD的中點(diǎn)的中點(diǎn)的中點(diǎn)H，連接，則平面平面平面，線段MP掃過(guò)的圖形是.是直角，線段MP長(zhǎng)度的取值范圍是.故選B.

3.答案：C解析：過(guò)點(diǎn)E作，垂足為F，連接AF，則即為直線AE與平面ABD所成的角，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則，，在中，由余弦定理可得，所以，在中，，所以，故.4.答案：B解析：四棱柱中，四邊形為平行四邊形，分別在線段上，且，平面平面在上且平面平面.又.故選B.5.答案：C解析：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)四棱錐的體積最大.則此時(shí)三棱柱的表面積為.故選C.6.答案：B解析：連接PB.以D為原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，.設(shè)，，，則，，，.，，.，，，，.時(shí)，取得最小值.易得平面，所以即為AP與平面，所成的角，，的最大值為.故選B.7.答案：解析：如圖，過(guò)點(diǎn)E作，交BD于點(diǎn)O，連接OF，

則在，所以，所以，所以（或其補(bǔ)角）是AB和CD所成的角.在中，，，又，所以，所以，即異面直線AB和CD所成角的大小為.8.答案：解析：在中，，.又M為AB的中點(diǎn)，.故三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，其外接球是以為底面，以MC為高的正三棱柱的外接球.設(shè)三棱錐外接球的球心為O，則球心到的距離，的外接圓半徑，故三棱錐的外接球的半徑，故三棱錐的外接球的體積.9.答案：3解析：取的中點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)G，連接FG，則，所以.又由，得，所以，所以.又平面平面，所以平面，由此可知?jiǎng)狱c(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡為線段.由題意知，所